Analisi Limiti
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Analisi Limiti Presentation Transcript

  • 1. lim f(x) = lx → x0E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 1
  • 2. Particolari disequazioni con il valore assoluto I due sistemi si Valori trasformano in una interni a  A(x) ≥ 0   A(x) < 0  disequazione del tipo: k e –k|A(x)|<k  ∨    A(x) < k  − A(x) < k con k>0 ⇔ k − < A x) < k ( k − < A(x) < k Intersezione degli intervalli I due sistemi si Valori  A(x) ≥ 0   A(x) < 0  trasformano in una esterni a  ∨ |A(x)|>k  A(x) > k   − A(x) > k  disequazione del tipo: k e –kcon k>0 ⇔ () () A x > k ∨ A x < −k A(x) > k ∨ A(x) < − k Unione degli intervalli E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 2
  • 3. Particolari disequazioni con il valore assolutoLa disequazione |A(x)|<k con k>0 è equivalente a -k < A(x) <k 3x − 2 < 8 ⇔ − 8 < 3x − 2 < 8 − 8 + 2 < 3x < 8 + 2 ⇔ − 6 < 3x < 10 10 10 ⇔ −2 < x < ⇔ x > −2 ∧ x < 3 3 Valori interni a k e –k intersezione tra intervalli E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 3
  • 4. Particolari disequazioni con il valore assoluto () () Ax < k ⇔ − k < Ax < k Valori interni a k e –k intersezione degli intervalli x2 − 4 < 3 ⇔ − 3 < x2 − 4 < 3x 2 − 4 > −3 ∧ x 2 − 4 < 3x2 > 1 ∧ x2 < 7 ⇔ x < −1 ∨ x > 1 ⇔ − 7 < x < 7 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 4
  • 5. Particolari disequazioni con il valore assolutoLa disequazione |A(x)|>k con k>0 è equivalente all’unione dellesoluzioni date dalle disequazioni A( x ) > k ⇒ A( x ) > k ∨ A( x ) < − k 7x + 1 > 6 ⇔ 7x + 1 < −6 ∨ 7x + 1 > 6 5 7x < −7 ∨ 7x > 5 ⇔ x < −1 ∨ x > 7 Valori esterni a k e –k “unione delle soluzioni” E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 5
  • 6. Particolari disequazioni con il valore assolutoLa disequazione |A(x)|>k con k>0 è equivalente all’unione dellesoluzioni date dalle disequazioni A( x ) > k ⇒ A( x ) > k ∨ A( x ) < − k x2 − x > 6 ⇔ x2 − x > 6 ∨ x2 − x < −6x2 − x − 6 > 0 ⇒ x < −2 ∨x > 3x2 − x + 6 < 0 ⇒ ∆ < 0 → la dis. non è mai verificataLa soluzione è x < −2 ∨x > 3 Valori esterni a k e –k “unione delle soluzioni” E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 6
  • 7. Introduzione al concetto di limiteIl concetto di limite assume un ruolo difondamentale importanza in molti ramidella matematica pura e applicata.Consideriamo la funzione esponenziale y=2xEssa assume valore y=4 per x=2.Invece di calcolare la funzione in un punto si vuolevedere cosa succede ai valori assunti dalla funzioneman mano che x si avvicina al valore indicato. Quindinon interessa conoscere l’eventuale valore di f. nelpunto x=2 ma interessa sapere cosa fa f. quando ilvalore x si avvicina a 2.Il limite è una operazione matematica che ci permettedi descrivere questa proprietà. E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 7
  • 8. Definizione intuitivaSi può dare una definizione intuitiva di limiteiniziando ad usare termini “più” matematici.Allora si dice che per x tendente a x0 x → x0la funzione tende al limite finito l f ( x) → le si scrive lim f ( x ) = l x → x0 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 8
  • 9. La definizione intuitiva dal punto di vista graficosignifica che se x si avvicina a x0 allora f(x) siavvicina ad l = f(x0) E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 9
  • 10. La definizione intuitiva vale anche se x0 non appartiene aldominio come nel caso in figura.Anche in questo caso ci si può porre la seguente domanda:“A quale valore l si avvicina f(x) quando x si avvicina a x0 ?” E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 10
  • 11. Non è possibile dare un’unica definizione di limite comprensivadi tutte le situazioni che si possono presentare;occorrerà pertanto distinguere vari casi e dare per ciascuno diessi l’appropriata definizione.Esaminiamo intuitivamente alcuni casi: y = x3 − x 2 lim x 3 − x 2 = 4 x→2 f ( x0 ) = f (2) = 4 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 11
  • 12. 3 3y= lim = +∞ La funzione rappresentata ha come (x − 1)2 x →1 (x − 1)2 dominio R meno il valore x=1. Il limite, in questo caso, si propone di determinare il valore di y quando x si avvicina a 1. Dal grafico deduciamo che la funzione tende a + infinito. x=1 è un asintoto verticale. La f ha come dominio … x=-2 e x=2 sono asintoti verticali −x −x −x y= lim = ... lim = .... (x 2 −4 ) 2 x → −2 (x 2 −4 ) 2 x→ 2 (x 2 −4 ) 2 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 12
  • 13. 1Analizziamo la f. rappresentata y = x +1In questo caso siamo “costretti” adistinguere due casi:se x si avvicina a -1 con valoripiù piccoli (da sinistra) allora ilvalore di f(x) tende a – infinito…. Limite sinistroSe x si avvicina a -1 con valoripiù grandi (da destra) allora ilvalore di f(x) tende a + infinito x=-1 è un asintoto…. Limite destro verticale 1 1 1 lim− = −∞ ∧ lim+ = +∞ ⇔ limm = m∞x→−1 x +1 x→−1 x +1 x→−1 x +1 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 13
  • 14. Nello studio di una f. (in genere) si calcolano i limiti per valoriesclusi dal dominio e per valori di x che tendono a + o – inf.Consideriamo la f. (rappresentata in colore rosso) e i seguentilimiti (in blu l’asintoto verticale, in giallo l’asintoto orizzontale): 2x − 4 2x − 4 + 2x − 4 y= lim =2 e lim = 2− x +1 x → −∞ x + 1 x → +∞ x + 1 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 14
  • 15. Se facciamo tendere la xa – inf. allora la f siavvicinerà al valore 2“partendo da valorimaggiori ma sempre piùprossimi a 2”.Se x tende a + inf allorala f tenderà a 2 “partendoda valori minori di 2”. 2x − 4 2x − 4Scriveremo i limiti: lim = 2+ e lim = 2− x → −∞ x + 1 x → +∞ x + 1Dicendo che “x tende a + inf” consideriamo valori di x sempre piùgrandi e tali da superare qualsiasi numero reale positivo.Dicendo che “x tende a - inf” consideriamo valori di x sempre piùpiccoli e tali da essere minori di qualsiasi numero reale negativo. E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 15
  • 16. y = − x3 − 8 y = x 3 − 3x 2 + 2 x Attribuisci ad ogni grafico la funzione corrispondente e calcola intuitivamente i limiti.lim x 3 − 3x 2 + 2 x = − ∞ lim x 3 − 3 x 2 + 2 x = + ∞x → −∞ x → +∞lim − x 3 − 8 = + ∞ lim − x 3 − 8 = − ∞x → −∞ x → +∞ E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 16
  • 17. Il limite di una funzione in un puntoDEFINIZIONESia x0 appartenente a un intervallo [a; b]e sia f una funzione definita in ognisuo punto tranne al più x0.Si dice che la funzione f(x) ha per limiteil numero reale l per x che tende a x0 e si scrive:quando comunque si scelga un numero positivo lim f ( x ) = l x → x0e si può determinare un intorno completo I di x0tale che risulti: La scrittura si f ( x) − l < ε legge:per ogni x appartenete a I ∩ [a; b], diverso da x0. “limite per x che tende a x0 di f(x) uguale a l” E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 17
  • 18. Significato della definizione Interpretiamo il valore εNella definizione troviamo la frase: “…quando comunque si scelga un numeropositivo ε ....” significa che per valori diε anche molto piccoli (esso determina un lim 5 x − 4 = 11 ⇒intervallo di f(x) sull’asse y) è sempre x →3possibile determinare un intorno di x0 ⇓sull’asse delle x. f ( x) − l < εIn molti esercizi iniziali si consideraε=1/2 o ε =1/4 ….. e si risolve la ⇓disequazione con il valore assoluto. f ( x) = 5 x − 4 x0 = 3 l = 11 e ε piccolo a piacere E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 18
  • 19. lim 5 x − 4 = 11 x →3f ( x) − l < ε ⇒ f ( x) = 5 x − 4 l = 11 e ε piccolo a piacere 1 1 15 x − 4 − 11 < ....... − < 5 x − 15 < 2 2 2 1 1 29 31 29 31− + 15 < 5 x < + 15 ⇒ < 5x < ⇒ <x< 2 2 2 2 10 1029 31 1 1 <x< ⇒ 3− < x < 3+10 10 10 10Quello che abbiamo ottenuto è un intorno di 3 di raggio 1/10Verificare il limite per ε = 1/20 e 1/100 e come terzo esercizio risolvere ladisequazione con ε valore costante E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 19
  • 20. Significato della definizione f ( x) − l < ε Interpretazione mediante la distanza Consideriamo sull’asse y un punto fisso Q(0; l) e un punto P(0; f(x)) variabile su tale asse, al variare di x. L’espressione in valore assoluto rappresenta la distanza fra i punti P e Q: PQ = f ( x) − lFissato un numero reale La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) èpositivo ε piccolo a data dalla formula AB = ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 A B A Bpiacere, f ( x) − l < ε Se i due punti hanno la stessa ascissa xA= xB lase risulta: formula diventa:significa che la distanza AB = ( y A − y B ) 2 = ( y A − y B )PQ può essere piccola a e applicata a PQ PQ = ( y P − y A ) = ( f ( x) − lpiacere. E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 20
  • 21. f ( x) − l < ε Significato della definizione Interpretazione mediante gli intorniConsideriamo il valore assoluto e risolviamolo: f (x) − l < ε ⇒ −ε < f (x) − l < ε ⇒ l −ε < f (x) < l + ε  f ( x) l −ε ←  →l + ε ]l −ε; l +ε [f(x) appartiene all’intorno di l: se il raggio ε dell’intorno diventapiù piccolo, allora il punto P si avvicina al punto Q. E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 21
  • 22. Interpretazione della definizione lim f ( x ) = l x → x0 Consideriamo la funzione y=2x-1 definita in D = ]0; 4[ e scegliamo x0=3 e verifichiamo che l =5. Consideriamo il limite: lim ( 2 x − 1) = 5 x→3 e interpretiamo la definizione di limite. Fissiamo un ε a piacere e controlliamo se la disequazione e soddisfatta per tutti gli x in un intorno di 3. Scegliamo prima ε = 1, ε = ½ e ε = ¼ lim ( 2 x − 1) = 5 x→3 (2 x − 1) − 5 <1 ⇒ − 1 < (2 x − 1) − 5 < 1 ⇒ − 1 < 2 x − 6 < 1 5 7 1 1 ⇒ 5 < 2x < 7 ⇒ <x< ⇒ 3− < x < 3+ 2 2 2 2 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 22
  • 23. Interpretazione della definizione lim f ( x ) = l x → x0 L’insieme delle soluzioni della disequazione è l’intorno circolare di 3 di raggio ½ .  1 1 3− ; 3+   2  2 Scegliamo ε = ½ lim ( 2 x − 1) = 5 x→3 1 1 1 1 1 (2 x − 1) − 5 < ⇒ − < (2 x − 1) − 5 < ⇒ − < 2x − 6 < 2 2 2 2 2 11 13 1 1 ⇒ <x< ⇒ 3− < x < 3+ 4 4 4 4 L’insieme delle soluzioni della disequazione  1 1 è l’intorno circolare di 3 di raggio ¼ 3− ; 3+   4  4 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 23
  • 24. Interpretazione della definizione lim f ( x ) = l x → x0Dalla scelta di ε dipende il raggio dell’intorno di x0, cioè a undeterminato intorno di l sull’asse y corrisponde un intorno di x0sull’asse x. La definizione dice che fissato un ε piccolo a piacere(anche molto piccolo), troviamo sempre un intorno di x0 tale cheper ogni x appartenente a quell’intorno, f(x) appartieneall’intorno di l cioè f(x) è molto vicino a l. f ( x) ∈ ]l − ε ; l + ε [ E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 24
  • 25. Interpretazione della definizione lim f ( x ) = l x → x0In generale, il significato della definizione è il seguente:Per ogni ε positivo fissato …. Per ogni fissata distanza ε, anche molto piccola …… troviamo un intorno I di … se, da un punto di vista della distanzax0 tale che se x appartiene a I fra punti, x è abbastanza vicini a x0 …….. allora | f(x) – l |< ε … allora f(x) è molto vicino a l (è a distanza minore di ε) E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 25
  • 26. Verifica del limite destro e del limite sinistro.Consideriamo la funzione a tratti in figuraI limiti da verificare sono due:Il limite sinistro e il limite destro 2 x + 1 se x ≥ 1 lim 2 x + 1 = 3 x → 1+y = f ( x) =  3 x − 1 se x < 1 lim− 3 x − 1 = 2 x →1 3x −1 − 2 < ε ⇒ −ε < 3 x − 3 < ε ⇒ 3 − ε < 3 x < 3 + ε => ε ε ε  1− < x < 1+ ⇒ 1 − ; 1  3 3  3  2 x + 1 − 3 < ε ⇒ − ε < 2 x − 2 < ε ⇒ .... ε ε  ε 1− < x < 1+ => 1; 1 +  2 2  2 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 26
  • 27. Il limite infinito di una funzione in un puntoSia f una funzione definita in un intervallo ]a; b[escluso il punto x0.Si dice che la funzione f(x) tende a + inf. per x chetende a x0 quando per ogni numero reale positivo msi può determinare un intorno completo di x0 taleche risulti f(x) > m per ogni x appartenete aI ∩ [a; b] , diverso da x0. 1lim 2 = +∞ C .E . x ≠ 1x →1 ( x − 1) 1 1 1 2 > m ⇒ ( x − 1) 2 < ⇒ x −1 = ± ⇒ valori int .( x − 1) m m 1 1 1 1  1 1 − < x −1 < + ⇒ 1− < x < 1+ ⇒ 1 − ; 1+  m m m m  m m  Occorre precisare che se m >0 e un qualsiasi valore anche molto grande allora il valore 1/m e la sua radice è un numero piccolissimo E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 27
  • 28. Il limite infinito di una funzione in un puntoSia f una funzione definita in un intervallo ]a; b[escluso il punto x0.Si dice che la funzione f(x) tende a - inf. per x chetende a x0 quando per ogni numero reale positivo msi può determinare un intorno completo di x0 taleche risulti f(x) <-m per ogni x appartenete aI ∩ [a; b] , diverso da x0. −1 lim = −∞ C.E. x ≠ 2 x →2 ( x − 2) 2 −1 1 1 1 2 < −m ⇒ 2 > m ⇒ ( x − 2) < ⇒ x − 2 = ± 2 ⇒ valori int . ( x − 2) ( x − 2) m m 1 1 1 1  1 1  − < x−2< + ⇒ 2− < x < 2+ ⇒ 2 − ; 2+  m m m m  m mIn entrambi i casi occorre precisare E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 28
  • 29. ESERCIZI Risolvere le seguenti disequazioni x − 2 < 12 3x − 4 < 3 4x + 3 > 6 − x − 4 > 5 x2 − 2x < 4 x2 − 5x > 6 1 1 5x − 2 < ε con ε = 10 , 1 , , 2 10 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 29
  • 30. Esercizi: verifica di un limite di una funzione in un punto lim f ( x ) = l ⇔ f ( x ) − l < ε x → x0 lim ( 3 x + 2 ) = 14 ⇒ 3 x + 2 − 14 < ε x→ 4 lim ( 2 − 3 x ) = − 1 lim ( x − 6 ) = − 6 x →1 x→0 1  3  11 lim  x + 7  = 8 lim  − x  =  x→ 2 2   x → −4 2  2 lim (7 − 4 x ) = 5 x→3 lim ( x 2 − 2 x ) = 0 ⇒ x 2 − 2 x < ε x→ 2 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 30
  • 31. Il limite destro e il limite sinistro di una funzione in unpunto.Esercizi pag. 86 U n. 97 e 98Il limite infinito di una f in un puntoEsercizi pag. 89 U n. 113-114 – 117 – 118Esercizi pag. 92 U n. 127 - 132 – 133 E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 31
  • 32. E Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 32
  • 33. deflim f ( x ) = l ← → x → x0∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀ x ∈ ]x 0 − δ ; x 0 + δ [ − {x 0 }, f ( x ) ∈ ]l − ε ; l + ε [ Si dice che il limite per x che tende a xo, di f(x) è uguale ad l se e solo se per ogni ε (piccolo a piacere) maggiore di zero esiste un numero δ (che dipende da ε) maggiore di zero tale che, se la distanza di x da x0 è minore di δ, la distanza di f(x) da l è minore di εlim f ( x ) = l def ← → ∀ I l ∃ I x 0 / ∀ x ∈ I x 0 − {x 0 }, f ( x ) ∈ I lx → x0 Si dice che il limite per x che tende a xo, di f(x) è uguale ad l se e solo se per ogni intorno di l esiste un intorno di x0 tale che per ogni x appartenente all’intorno di x0 (con escluso al più x0), f(x)Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio appartiene all’intorno di elle E 33