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Material de apoio - desenvolvido por terceiros - ao curso de Ciências Atuariais

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  • 1. UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO MESTRADO EM: Ciências Actuariais APLICAÇÃO DE CÓPULAS AO RAMO VIDA Risco de resgate e Risco de taxa de juro DORA MARINA BRANCO LEAL Orientação: Professor Doutor Alfredo Duarte Egídio dos Reis Professor Doutor Jorge Manuel Afonso Garcia DOCUMENTO PROVISÓRIO
  • 2. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 2 Lista de Abreviaturas AIC – critério de informação de Akaike AR – Processo Autorregressivo ARCH – Processo de Heterocedasticidade Condicional Autorregressivo ARMA – Processo Misto Autorregressivo e de Médias Móveis CML – Canonical Maximum Likelihood FAC – Função de Autocorrelação FACP – Função de Autocorrelação Parcial IFM – Inference Functions for Margins MA – Processo de Médias Móveis ML – Maximum Likelihood
  • 3. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 3 APLICAÇÃO DE CÓPULAS AO RAMO VIDA: riscos de resgate e de taxa de juro Dora Marina Branco Leal Mestrado em: Ciências Actuariais Orientadores: Professor Doutor Alfredo Duarte Egídio dos Reis Professor Doutor Jorge Manuel Afonso Garcia Resumo O presente trabalho de projecto tem como principal objectivo determinar uma estrutura de dependência entre as taxas de resgate dos seguros de capital diferido, comercializados pelas empresas de seguros que operam no mercado segurador português, e as taxas de juro, através da aplicação de cópulas. O conceito de cópula surgiu em 1959 por Able Sklar, dando origem ao teorema de Sklar que diz que a cópula corresponde a uma função que transforma conjuntamente as funções de distribuição marginais na distribuição conjunta das variáveis aleatórias. Como tal, o presente trabalho pretende modelar, através da análise dos dados históricos das taxas de resgate e das taxas de juro, as distribuições marginais que permitam modelar as respectivas séries de forma univariada através de processos ARMA-ARCH e, posteriormente determinar, com base na aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, a cópula que melhor representa uma estrutura de dependência entre as séries. Palavras-Chave: Cópulas, cópulas condicionadas, dependência, risco de resgate, risco de taxa de juro, ARMA-ARCH.
  • 4. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 4 USE OF COPULAE IN LIFE INSURANCE: surrender and interest rate risks Dora Marina Branco Leal Master in: Actuarial Science Advisors: Professor Alfredo Duarte Egídio dos Reis Professor Doutor Jorge Manuel Afonso Garcia Abstract This project has the main purpose to find a structure of dependence between the surrender rates of savings, marketed by insurance companies operating in Portugal, and interest rates through the use of copulae. The copula was established in 1959 by Able Sklar, giving rise to the Sklar's theorem which says that a copula corresponds to a function that transforms the marginal distribution into the joint distribution functions of random variables. As such, this work has a dual goal: modelling the marginal distributions of the surrender rates and interest rates, through ARMA-ARCH processes and then fit a set of pre-determined copula functions and determine the best copula that represents a structure of dependency between the series. Keywords: Copulas, conditional copulas, dependency, surrender risk, interest rate risk, ARMA-ARCH.
  • 5. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 5 Índice Resumo............................................................................................................................. 3 Lista de Tabelas................................................................................................................ 7 Lista de Figuras ................................................................................................................ 9 1. Introdução................................................................................................................ 11 2. Cópulas: conceitos gerais........................................................................................ 13 2.1. Definição de Cópula....................................................................................... 13 2.2. Famílias de Cópulas ....................................................................................... 15 2.3. Medidas de Dependência................................................................................ 18 2.3.1. Coeficiente de Correlação de Pearson........................................................ 19 2.3.2. Medidas de Concordância: Tau de Kendall e Rho de Spearman................ 20 2.3.3. Dependência de Cauda ............................................................................... 22 2.4. Métodos de Estimação dos Parâmetros de Cópulas ....................................... 23 2.4.1. Método ML................................................................................................. 23 2.4.2. Método IFM................................................................................................ 24 2.4.3. Método CML.............................................................................................. 25 2.4.4. Outros métodos de estimação..................................................................... 25 2.5. Cópulas Condicionadas e Processos ARCH................................................... 26 3. Cópulas: aplicação prática....................................................................................... 32 3.1. Análise dos Dados .......................................................................................... 32 3.2. Modelação das séries empíricas ..................................................................... 36 3.2.1. Taxas de Resgate ........................................................................................ 36 3.2.2. Taxas de Juro.............................................................................................. 45
  • 6. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 6 3.3. Funções de Distribuição Marginais................................................................ 49 3.4. Estrutura de dependência: ajustamento de Cópula......................................... 52 4. Notas Finais............................................................................................................. 56
  • 7. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 7 Lista de Tabelas Tabela 2.1 – Dependências de cauda .......................................................................................... 23 Tabela 2.2 – Identificação dos processos estacionários .............................................................. 29 Tabela 3.1 – Estatísticas descritivas das séries empíricas........................................................... 35 Tabela 3.2– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de resgate ... 37 Tabela 3.3 – Resultados da estimação dos modelos ARMA....................................................... 38 Tabela 3.4– Correlograma das funções FAC e FACP dos resíduos............................................ 39 Tabela 3.5 – Resultados do teste Box & Pierce .......................................................................... 41 Tabela 3.6 - Correlograma da função FAC e FACP do quadrado dos resíduos.......................... 41 Tabela 3.7 – Resultados do teste ARCH-LM.............................................................................. 42 Tabela 3.8 – Resultados da estimação do modelo ARMA(0,2)(1,0)12-ARCH(2)....................... 43 Tabela 3.9 - Resultados do teste ARCH-LM .............................................................................. 44 Tabela 3.10 – Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado.................... 45 Tabela 3.11– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de juro ...... 46 Tabela 3.12 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0) ................................................ 46 Tabela 3.13– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado .................... 47 Tabela 3.14 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0)- ARCH(2) .............................. 48 Tabela 3.15– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado .................... 48 Tabela 3.16 – Resultados do teste ARCH-LM............................................................................ 48 Tabela 3.17 – Estatísticas descritivas das séries ajustadas.......................................................... 49 Tabela 3.18 – Estatísticas descritivas dos resíduos estandardizados........................................... 51
  • 8. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 8 Tabela 3.19 – Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e Frank ........................................................................................................................................... 53 Tabela 3.20 - Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e Frank, considerando o período de Janeiro de 2003 a Setembro de 2009 .................................... 55
  • 9. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 9 Lista de Figuras Figura 3.1 – Séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro....................................... 34 Figura 3.2 – Série empírica das taxas de resgate......................................................................... 36 Figura 3.3 – Série empírica das taxas de resgate com uma diferenciação simples e série empírica com uma diferenciação sazonal................................................................................................... 37 Figura 3.4 - Série empírica das taxas de juro .............................................................................. 45 Figura 3.5 - Série empírica das taxas de juro com uma diferenciação simples........................... 46 Figura 3.6 – Ajustamentos ARMA-ARCH das séries corrigidas................................................ 49 Figura 3.7 – Funções de distribuição marginais dos resíduos estandardizados das séries corrigidas das taxas de resgate e das taxas de juro...................................................................... 50 Figura 3.8 – Série bivariada dos resíduos estandardizados das séries corrigidas........................ 51 Figura 3.9 - Série bivariada da transformação dos resíduos estandardizados............................. 52 Figura 3.10 – Funções de densidade de distribuição das cópulas elípticas, Gaussiana e t-Student, e respectivos diagramas das curvas de nível ............................................................................... 54 Figura 3.11 - Funções de densidade de distribuição das cópulas Arquimedianas, Gumbel, Clayton e Frank, e respectivos diagramas das curvas de nível.................................................... 54
  • 10. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 10 Agradecimentos Aos Professores Alfredo Duarte Egídio dos Reis e Jorge Manuel Afonso Garcia pela orientação e aconselhamento prestados para a concretização do presente trabalho de projecto. Ao Conselho Directivo do Instituto de Seguros de Portugal, ao Dr. António Egídio dos Reis e à Dra. Ana Cristina Santos por me terem proporcionado a frequência deste Mestrado e disponibilizado os dados que foram testados na parte prática. À Dra. Gabriela Antunes pelo apoio incondicional, conselhos e tempo disponibilizado ao longo da realização deste trabalho. À Dra. Vanda Antunes e à Dra. Ana Rita Pimenta pela enorme preocupação e compreensão demonstradas, pelos esclarecimentos prestados e pela revisão efectuada, cujas sugestões foram muito úteis. À Dra. Ana Marisa Rodrigues, Dra. Carla Sá e ao Dr. Hugo Borginho pelo apoio e referências bibliográficas fornecidas. À Cláudia Duarte, pelas discussões existentes ao longo de todo o trabalho. À minha família, em particular o Tiago, e aos restantes amigos por todo o apoio, paciência e compreensão demonstrados.
  • 11. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 11 1. Introdução A revisão em curso do actual regime de solvência aplicável às empresas de seguros a operar no Espaço Económico Europeu, fundado na adopção de princípios económicos para a avaliação dos activos e dos passivos, e de requisitos de capital baseados nos riscos efectivamente assumidos, tem levado a profundas alterações na forma de gerir os riscos a que essas empresas se encontram expostas. Com efeito, a gestão dos riscos tem vindo a assumir uma importância cada vez maior na gestão sã e prudente do negócio, sendo essencial um conhecimento aprofundado e adequado de todos os riscos em exposição. Face ao elevado número de factores de risco existentes, é possível recorrer ao conceito de cópula para modelar uma estrutura de dependência desses riscos, que mais não é do que uma função que transforma conjuntamente as funções de distribuição marginais na distribuição conjunta das variáveis aleatórias. As cópulas têm sido bastante utilizadas na área financeira na modelação de dependência entre as distribuições do preço de diferentes activos, nomeadamente no que se refere à não normalidade do retorno dos activos e à dependência das caudas da distribuição conjunta. No entanto, existem muitas outras áreas ainda não devidamente exploradas em que é possível recorrer ao método das cópulas para estudar o comportamento futuro de variáveis aleatórias. Na actividade seguradora, alguns dos riscos importantes associados à exploração do ramo vida são o risco de resgate e o risco de taxa de juro, sendo primordial para uma gestão eficaz das carteiras das empresas de seguros a sua previsão. Assim, o presente trabalho consiste em modelar uma estrutura de dependência, caso exista, entre as taxas
  • 12. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 12 de resgate e as taxas de juro através da teoria das cópulas, de modo a efectuar uma previsão do comportamento futuro das mesmas. O Capítulo 2 sintetiza a teoria das cópulas, nomeadamente as definições e os conceitos gerais, a descrição das famílias de cópulas mais utilizadas na prática, as medidas de dependência, incluindo as principais características, e os modelos de estimação dos parâmetros das cópulas. Na última secção deste capítulo é efectuado um breve resumo à teoria de cópulas condicionadas e de séries temporais, dada a sua enorme importância na aplicação prática. No Capítulo 3 é apresentada uma aplicação prática das cópulas, que visa modelar uma estrutura de dependência entre o risco de taxa de juro e o risco de resgate dos seguros de capital diferido comercializados pelas seguradoras com actividade em Portugal. A construção do modelo foi efectuada através dos seguintes passos: 1. Determinação, através da análise das séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro, das distribuições marginais que permitam modelar as respectivas séries de forma univariada; 2. Escolha, com base na aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, da cópula que melhor representa uma estrutura de dependência entre as séries; Todo o trabalho de programação foi efectuado utilizando o programa Eviews, na modelação das distribuições marginais das séries empíricas e o programa Matlab, na modelação de cópulas e respectivas medidas de dependência. A programação poderá ser facultada através do email leal_dora@hotmail.com bem como os dados utilizados.
  • 13. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 13 2. Cópulas: conceitos gerais 2.1.Definição de Cópula O termo cópula foi introduzido por Abe Sklar (1959), correspondendo a uma função que une funções de distribuição unidimensionais (distribuições marginais) de forma a obter uma função de distribuição multivaridada. Por outras palavras, a cópula é uma função que transforma conjuntamente as funções de distribuição marginais na distribuição conjunta das variáveis aleatórias, permitindo, assim, modelar uma estrutura de dependência de uma função de distribuição conjunta, separando o comportamento marginal de cada variável. Teorema de Sklar Seja H uma função de distribuição conjunta com funções de distribuição marginais F e G. Então, existe uma cópula C tal que, para todo o , . (2.1) Se F e G são contínuas, então C é única. Pelo contrário, se C é uma cópula e F e G são funções de distribuição, então a função H definida em (2.1) é uma função de distribuição conjunta com funções marginais F e G. A demonstração do teorema pode ser consultada em Nelsen (1999) ou em Denuit et al. (2005), através da qual se retira que , (2.2) É importante salientar que: as funções de distribuição F e G têm domínio , são não decrescentes e e e e ;
  • 14. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 14 a função de distribuição conjunta H, tem domínio , se for crescente em relação a cada uma das variáveis e e . Deste modo, H tem funções marginais F e G dadas por e . Para uma maior compreensão do teorema anterior, considere-se o exemplo seguinte, o qual pode ser consultado em Nelsen (1999). Exemplo: Seja uma função com domínio dada por: e Invertendo as funções e , fica e para . Logo, substituindo as funções inversas na função de distribuição , obtém-se a expressão da cópula . Utilizar uma cópula como a base de construção de um modelo multivariado torna-se muito útil, na medida em que não existem restrições no que respeita às funções de distribuição marginais. Deste modo, as funções de distribuição marginais podem
  • 15. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 15 resultar de diferentes famílias de distribuição, podendo a cópula ser parametrizada através de um parâmetro de dependência entre as distribuições marginais. Refira-se que para variáveis aleatórias independentes, a cópula corresponderá simplesmente ao produto das distribuições marginais. 2.2.Famílias de Cópulas Existe uma enorme diversidade de famílias de cópulas pré-determinadas, sendo que este ponto visa apresentar as principais características das cópulas elípticas e das cópulas Arquimedianas, por se tratar das cópulas utilizadas no presente trabalho. 2.2.1. Cópulas Elípticas A classe de cópulas elípticas consiste em funções de distribuição multivariadas que resultam das funções de distribuição elípticas e goza de muitas das propriedades da função de distribuição Normal multivariada, com a vantagem de ser possível obter estruturas de dependência não normais. As funções de cópulas que se destacam nesta classe são a cópula Normal (ou Gaussiana) e a cópula t-Student, as quais se descrevem de seguida. Normal ou Gaussiana A cópula Normal ou Gaussiana descreve uma estrutura de dependência induzida pela função de distribuição Normal bivariada, no caso das distribuições marginais serem normais, e é dada por , (2.3) onde corresponde à inversa da função de distribuição Normal padrão e à função de distribuição Normal bivariada com coeficiente de correlação linear .
  • 16. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 16 A função de distribuição Normal multivariada é muito utilizada na gestão de riscos para simular a distribuição dos factores de risco presentes numa determinada carteira de investimentos de modo a avaliar o risco de mercado e/ou o risco de crédito. Refira-se, no entanto, que basta uma das funções de distribuição marginais não ser Normal para que a função de distribuição conjunta seja diferente da distribuição Normal bivariada. Este tipo de cópula é simétrica e não apresenta dependência nas caudas da distribuição. t-Student A cópula de t-Student é obtida a partir da função distribuição de Student bivariada, do mesmo modo que a cópula Gaussiana se obtém a partir da função de distribuição Normal bivariada, e é definida por: (2.4) em que corresponde aos graus de liberdade e ao coeficiente de correlação linear da distribuição de Student bivariada. Quando a cópula de t-Student converge para a Normal ou Gaussiana. A cópula t-Student é mais adequada para modelar eventos extremos, tais como oscilações não previstas no mercado de acções uma vez que, ao contrário da cópula Gaussiana, a t-Student permite algum grau de dependência na cauda da distribuição, apesar de ser o mesmo em ambas as caudas (dada a simetria da função). Mais se acrescenta que quanto maior o número de graus de liberdade da cópula, mais a função se aproxima da cópula Gaussiana, pelo que a relação de dependência existente nas caudas tende para zero à medida que os graus de liberdade tendem para infinito.
  • 17. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 17 2.2.2 Cópulas Arquimedianas Contrariamente às cópulas elípticas, a classe de cópulas Arquimedianas permite captar uma estrutura de dependência nas caudas, nos casos onde existe alguma assimetria no comportamento das variáveis em estudo, na medida em que possibilita a utilização de diferentes coeficientes de dependência para a cauda da função de distribuição. Além disso, as cópulas Arquimedianas não são obtidas directamente das funções de distribuição multivariadas e do Teorema de Sklar já enunciado. Para definir as cópulas Arquimedianas é necessário definir, de acordo com o apresentado por Nelsen (1999), a função geradora da cópula, seja , bem como a sua função pseudo-inversa, . Seja tal que: (i) ; (ii) Para todo o , ou seja, é decrescente; (iii) Para todo o , ou seja, é convexa. E seja, , tal que: Se for convexa, então a função cópula é definida da seguinte forma: (2.5) Se , então . De entre a panóplia de cópulas que constituem as cópulas Arquimedianas, destacam-se as cópulas Gumbel, Clayton e Frank, cuja especificação das respectivas funções depende apenas de um parâmetro, tornando-as, assim, bastante utilizadas na prática.
  • 18. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 18 a) Gumbel A cópula Gumbel é definida para como sendo (2.6) em que . De referir que esta cópula apresenta apenas dependência na cauda superior. b) Clayton A cópula Clayton é definida para como sendo (2.7) com . Ao contrário da cópula Gumbel, a cópula Clayton apresenta apenas dependência na cauda inferior. c) Frank A cópula Frank é definida para como sendo (2.8) com . Esta cópula apresenta a mesma dependência em ambas as caudas da função, tal como as cópulas elípticas descritas anteriormente. 2.3.Medidas de Dependência Para medir a relação existente entre os diversos factores de risco existem diversas medidas de dependência, das quais se destaca o coeficiente de correlação linear. Esta
  • 19. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 19 secção visa descrever, para além deste coeficiente de correlação, as principais medidas de dependência que estão directamente relacionadas com as cópulas, designadamente o tau de Kendall, o rho de Sperman e as dependências de cauda. 2.3.1. Coeficiente de Correlação de Pearson O coeficiente de correlação de Pearson é uma medida de dependência entre duas variáveis aleatórias que captura o seu grau de relação linear e é definido por: . (2.9) O coeficiente de correlação linear situa-se no intervalo , onde -1 representa uma correlação linear perfeita negativa e 1 representa uma correlação linear perfeita positiva. No caso de duas variáveis aleatórias independentes, o coeficiente de correlação é nulo, o que significa que não dependem linearmente uma da outra. No entanto, o inverso não é verdadeiro, como é o caso da correlação nula entre uma variável aleatória com função de distribuição Normal padrão e uma variável aleatória correspondente ao quadrado da anterior que segue uma função de distribuição de com 1 grau de liberdade, quando claramente as variáveis aleatórias não são independentes. Em grande parte dos casos existirá alguma dependência não linear, pelo que este caso deverá ser sempre analisado com algum cuidado. Esta definição pressupõe a existência de variâncias finitas para X e Y, o que torna esta medida de dependência bastante limitada, sobretudo quando se trabalha com funções de distribuição com caudas pesadas. Além disso, o coeficiente de correlação de Pearson não é invariante a transformações estritamente crescentes. Trata-se de uma medida de dependência muito útil, pela sua facilidade de cálculo, tendo, no entanto, o inconveniente de apenas resultar no caso de funções de distribuição
  • 20. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 20 multivariadas normais ou, mais genericamente, funções de distribuição multivariadas elípticas, pelo que nos casos em que as variáveis não seguem este tipo de funções, a utilização do coeficiente de correlação linear não será a mais adequada. 2.3.2. Medidas de Concordância: Tau de Kendall e Rho de Spearman Em geral, a covariância não revela toda a informação da estrutura de dependência da cópula, pelo que surgiram outros conceitos de dependência designados por correlações de ordem, o tau de Kendall e o rho de Sperman, formando ambas uma medida de dependência conhecida como concordância. Um par de variáveis aleatórias diz-se concordante se valores elevados de uma dessas variáveis estiverem tendencialmente associados a valores elevados da outra variável e, da mesma forma, valores diminutos de uma associados a valores diminutos da outra. Seja e um par de observações das variáveis aleatórias X e Y. O par de observações diz-se concordante se e , ou se e e discordantes se e , ou se e . Em alternativa, e dizem-se concordantes se e discordantes se . Ao contrário do coeficiente de correlação linear, as medidas de concordância são invariantes a transformações não lineares. Tau de Kendall O tau de Kendall ( ) corresponde à probabilidade de concordância entre duas variáveis aleatórias subtraída da probabilidade de discordância dessas mesmas variáveis, tal como pode ser consultado em Nelsen (1999).
  • 21. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 21 Sejam, n o número total de observações de cada variável aleatória, m o número de pares distintos e de observações existentes na amostra, c o número de pares concordantes e d o número de pares discordantes. Então, o tau de Kendall da amostra é dado por . O tau de Kendall da população para um vector de variáveis aleatórias contínuas , com função de distribuição conjunta H, é dado por: . (2.10) De forma similar se define o tau de Kendall para duas variáveis aleatórias contínuas e cópula : . (2.11) Como caso particular, o tau de Kendall para as cópulas Arquimedianas é dado por . (2.12) O tau de Kendall goza da propriedade de invariância sob transformações estritamente monótonas e também é definido entre -1 e 1, em que -1 indica uma dependência perfeita negativa e 1 uma dependência perfeita positiva. Rho de Spearman Sejam , e três vectores aleatórios independentes, com função de distribuição conjunta H e cópula , o rho de Sperman, , é dado por: . (2.13)
  • 22. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 22 De forma similar se define o rho de Spearman para duas variáveis aleatórias contínuas e cópula : . (2.14) Refira-se a possibilidade de relacionar as diversas medidas de dependência entre si, na cópula Gaussiana, através da seguinte expressão: . (2.15) No caso das cópulas Arquimedianas, as medidas de dependência podem ser obtidas através dos parâmetros estimados: para a Gumbel, para a Clayton e para a Frank. 2.3.3. Dependência de Cauda Para além das medidas de dependência anteriormente explicadas, existem ainda as dependências de cauda superior, , e inferior, , as quais se definem da seguinte forma, respectivamente: , (2.16) . (2.17) A dependência de cauda superior representa a associação da cauda existente no quadrante superior direito e a dependência de cauda inferior representa a associação no quadrante inferior esquerdo. Se ou , significa que não existe dependência de cauda inferior e superior, respectivamente. As dependências de cauda são determinadas a partir das diferentes famílias de cópulas, através dos parâmetros estimados.
  • 23. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 23 A Tabela 2.1 apresenta as diversas medidas de dependência de cauda existentes para as diferentes cópulas estudadas no presente trabalho. Tabela 2.1 – Dependências de cauda Cópula Cauda Gaussiana t-Student Gumbel ; Clayton Frank 2.4.Métodos de Estimação dos Parâmetros de Cópulas Nas distribuições paramétricas as cópulas podem ser estimadas através do método Maximum Likelihood (ML), do método Inference Functions for Margins (IFM) e do método Canonical Maximum Likelihood (CML). 2.4.1. Método ML O método de máxima verosimilhança consiste em estimar simultaneamente os parâmetros das funções de distribuição marginais e da função cópula. Seja a função densidade de probabilidade da função de distribuição conjunta , dada por: , (2.18) onde e correspondem às funções densidade das funções de distribuição marginais e e à função densidade da cópula dada pela seguinte expressão: (2.19)
  • 24. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 24 Suponha-se um conjunto de dados empíricos, , para as variáveis aleatórias e e seja o espaço dos parâmetros a estimar, onde corresponde ao vector dos parâmetros das funções de distribuição marginais e ao vector dos parâmetros da cópula. A função do logaritmo da verosimilhança, , é dada por: . (2.20) O estimador ML para , seja , é aquele que maximiza o argumento da função do logaritmo da verosimilhança, isto é, . No entanto, o facto de estimar conjuntamente todos os parâmetros pode tornar o estimador bastante complexo, principalmente no caso de funções de distribuição com muitos parâmetros. Refira-se ainda que o estimador ML é consistente e assintoticamente normal. 2.4.2. Método IFM O método IFM consiste em estimar os parâmetros das funções de distribuição marginais e da cópula em dois passos, os quais são os seguintes: 1. Estimação dos parâmetros das funções de distribuição marginais pelo método ML, ou seja, , .
  • 25. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 25 2. Estimação do parâmetro da cópula, considerando a estimação efectuada aos parâmetros das funções de distribuição marginais, ou seja, . O estimador IFM é igualmente consistente e assintoticamente normal, apresentando, no entanto, uma menor eficiência face ao estimador ML. Isto decorre do facto de poderem ocorrer erros de estimação ao utilizar dois passos, o que poderá originar uma propagação dos mesmos. Contudo, os resultados não são muito diferentes na maioria dos casos. 2.4.3. Método CML O método CML baseia-se nas distribuições empíricas das funções de distribuição marginais, não assumindo assim qualquer hipótese para os seus parâmetros. A estimação dos parâmetros também é efectuada em dois passos como no método IFM: 1. Transformação dos dados em dados de realizações/observações de variáveis aleatórias uniformes e , usando as funções de distribuição empíricas; 2. Estimação dos parâmetros da cópula através do método ML, ou seja, 2.4.4. Outros métodos de estimação Para além da aplicação dos métodos ML, IFM e CML, existem ainda as seguintes possibilidades de estimação: a estimação não-paramétrica, que consiste em utilizar cópulas empíricas construídas a partir dos dados da amostra e a estimação baseada nas medidas de dependência, a qual apenas é possível no caso de cópulas bivariadas com
  • 26. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 26 um parâmetro. Este último tipo de estimação consiste em recorrer às relações existentes entre as medidas de dependência já descritas anteriormente e os parâmetros das cópulas. Apesar da sua simplicidade, a aplicação deste método tem como grande desvantagem o facto de negligenciar parte da informação disponível, apresentando resultados bastante diferentes dependendo da medida de dependência utilizada. 2.5.Cópulas Condicionadas e Processos ARCH No presente trabalho, cuja aplicação prática se descreve no capítulo seguinte, foram aplicadas as chamadas cópulas condicionadas, que consistem numa combinação da teoria de cópulas apresentada nos pontos anteriores e os processos de heterocedasticidade condicional autorregressivos (ARCH) utilizados na modelação de sucessões cronológicas ou séries temporais, de acordo com o descrito em Murteira et al. (1993) e em Muller (1995). Uma sucessão cronológica pode ser definida como uma trajectória particular, limitada no tempo, de um processo estocástico, seja . As sucessões cronológicas são normalmente constituídas por três componentes: tendência (inércia da sucessão), sazonalizade (variações que se repetem, em torno da tendência, ao longo do período) e ruído aleatório (movimentos irregulares de origem desconhecida). O objectivo primordial na análise deste tipo de sucessões consiste na identificação e estimação do modelo probabilístico que melhor se ajusta aos dados, de forma a permitir prever o seu comportamento futuro. Uma sucessão cronológica diz-se estacionária se apresentar uma tendência neutra, não tiver movimentos estritamente periódicos (isto é, a variabilidade da série não pode ir aumentando ou diminuindo ao longo do tempo) e se a variância se encontrar
  • 27. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 27 estabilizada ao longo do período de observação. Para eliminar estas componentes recorre-se a transformações das sucessões, ou seja, a diferenciações simples para eliminar a tendência e a diferenciações sazonais para eliminar o efeito da sazonalidade. Dos processos estacionários existentes destacam-se o ruído branco, , os processos de médias móveis (MA), os processos autoregressivos (AR) e os processos mistos autoregressivos e de médias móveis (ARMA). Podem ainda existir sucessões cronológicas com componentes sazonal e não sazonal, para as quais podem ser definidos os processos mistos multiplicativos. Ruído Branco O processo , diz-se um ruído branco se para todo . Adicionalmente, se o processo é tal que, então o processo diz-se estacionário. Processo de Médias Móveis Seja um ruído branco estacionário, o processo diz-se um processo de médias móveis de ordem , , se , (2.21) com para .
  • 28. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 28 Processo Autoregressivo Seja um ruído branco estacionário, o processo diz-se um processo autoregressivo de ordem , , se , (2.22) com para . Processo Misto Seja um ruído branco estacionário, o processo diz-se um processo misto autoregressivo e de médias móveis de ordens e , , se , (2.23) com para . Processo Misto Multiplicativo Seja um ruído branco estacionário, o processo diz-se um processo misto autoregressivo e de médias móveis de ordens e para a componente não sazonal e de ordens e para a componente sazonal , , se , (2.24) com para , e para . A estacionaridade da sucessão bem como a identificação do tipo de processo a aplicar pode ser verificada através da análise da função de autocorrelação (FAC), seja , e da função de autocorrelação parcial (FACP).
  • 29. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 29 A FAC é dada por . (2.25) Considere-se o modelo de regressão linear múltipla de sobre dos seus valores passados , . (2.26) O coeficiente corresponde à FACP e dá uma medida da correlação entre e , conhecendo-se os respectivos valores intermédios, e trata-se de um ruído branco. A Tabela 2.2 sintetiza a identificação dos diferentes processos estacionários através da análise das funções FAC e FACP. Tabela 2.2 – Identificação dos processos estacionários AR MA ARMA FAC Decaimento exponencial e/ou sinusoidal para zero Decaimento brusco para zero a partir da ordem do processo Decaimento exponencial e/ou sinusoidal para zero FACP Decaimento brusco para zero a partir da ordem do processo Decaimento exponencial e/ou sinusoidal para zero Decaimento exponencial e/ou sinusoidal para zero Segundo a teoria de Box-Jenkins, quando se obtém um ruído branco para os resíduos do modelo significa que o ajustamento do modelo é bom. No entanto, a volatilidade desse ruído branco poderá não ser constante ao longo do tempo. Esta é a situação típica da análise de séries financeiras, as quais são normalmente modeladas pelos chamados processos ARCH. Processo de Heterocedasticidade Condicional Autorregressiva Considere-se uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), seja , com média zero e variância unitária. Um processo , diz-se
  • 30. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 30 um processo de heterocedasticidade condicional autorregressiva de ordem , , se: (2.27) com , . O processo é estacionário se e só se . Os parâmetros podem ser estimados pelo método de máxima verosimilhança, assumindo que os resíduos estandardizados, variáveis , são i.i.d. e seguem uma distribuição Normal padrão, ou seja, No presente trabalho as diferentes famílias de cópulas foram aplicadas aos resíduos estandardizados de forma a analisar uma estrutura de dependência dos mesmos, pelo que os métodos de estimação apresentados no ponto anterior podem ser aplicados, com as devidas adaptações. Seja uma função de distribuição conjunta condicionada por , com funções de distribuição marginais e . (2.28) A função do logaritmo da verosimilhança condicionada é dada pela versão condicionada do Teorema de Sklar. (2.29)
  • 31. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 31 As conclusões retiradas quanto ao ajustamento do processo estacionário determinado no capítulo que se segue, bem como quanto ao ajustamento das cópulas, basearam-se no critério de informação de Akaike (1974), mais conhecido como critério AIC, o qual é determinado da seguinte forma: , (2.30) onde representa o número de parâmetros da família de distribuição ajustada. Segundo este critério, o modelo que melhor se ajusta aos dados será o que minimiza o correspondente valor de AIC, uma vez que significa que é o modelo que terá uma menor variância residual. Por último, refira-se que, tendo em consideração o objectivo do presente trabalho, toda a teoria apresentada anteriormente foi baseada no caso bivariado. No entanto, importa realçar o facto de a mesma poder ser facilmente generalizada para o caso multi- dimensional.
  • 32. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 32 3. Cópulas: aplicação prática Neste capítulo pretende-se descrever a modelação de uma estrutura de dependência entre as taxas de resgate e as taxas de juro através da teoria das cópulas de modo a determinar o mais aproximadamente possível o comportamento futuro das mesmas. Como referido na introdução do trabalho, a construção do modelo será efectuada através dos seguintes passos: 1. Determinação, através da análise das séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro, das distribuições marginais que permitam modelar as respectivas séries de forma univariada; 2. Escolha, com base na aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, da cópula que melhor representa uma estrutura de dependência entre as séries; 3.1. Análise dos Dados Os dados utilizados na análise correspondem ao histórico das taxas de resgate dos seguros de capital diferido, comercializados pelas empresas de seguros com actividade em Portugal, e das taxas de juro a 12 meses, ambas relativas ao período de Janeiro de 1998 a Setembro de 2009 (141 observações). Os seguros de capital diferido caracterizam-se por garantir o pagamento imediato do valor do capital constituído na conta poupança da pessoa segura se esta for viva na data de vencimento do contrato ou em caso de falecimento antes da data de vencimento do contrato. A maioria deste tipo de seguros caracteriza-se por garantir uma determinada taxa de juro fixa, conferindo ainda o direito a uma participação nos resultados em função das melhores rendibilidades obtidas com os activos que estão afectos a estes
  • 33. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 33 produtos. De referir ainda que em caso de resgate são, geralmente, cobradas penalizações. As taxas de resgate foram determinadas, para cada trimestre, pelo quociente entre os montantes pagos relativos a resgates e a média das provisões matemáticas, cujos valores foram trabalhados com base nos dados reportados pelas empresas de seguros ao Instituto de Seguros de Portugal. Sobre esta matéria importa referir que uma vez que apenas foi possível determinar taxas de resgate trimestrais, as taxas de resgate mensais utilizadas foram obtidas por interpolação linear, através da seguinte forma: , em que representa o extremo inferior do intervalo de tempo considerado, representa o extremo superior do intervalo de tempo considerado e representa um ponto intermédio do intervalo . A necessidade de obter dados mensais resulta do facto de um maior número de observações melhorar o ajustamento. O histórico das taxas de juro utilizadas foi retirado do sítio da internet do Banco Central Europeu1 e corresponde às taxas de juro a 12 meses, por se tratar de taxas mais líquidas. Refira-se que o programa utilizado na modelação das séries empíricas foi o Eviews, pelo que todas as figuras utilizadas na análise das mesmas são as que resultam como output do programa. Para a modelação das diferentes cópulas utilizadas foi utilizado o programa Matlab, pelo que, do mesmo modo, as ilustrações e resultados apresentados foram os que resultaram do próprio programa. 1 http://www.ecb.int/ecb/html/index.pt.html.
  • 34. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 34 A Figura 3.1 apresenta as séries históricas das taxas de resgate e das taxas de juro utilizadas. Figura 3.1 – Séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro Os dados encontram-se autocorrelacionados ao longo do tempo, sendo possível visualizar na figura anterior a existência das componentes tendência, sazonalizade e ruído aleatório, principalmente na série empírica das taxas de resgate. Atendendo à existência destas componentes, o objectivo será transformar adequadamente as séries de modo a eliminar estes efeitos, e, de seguida, identificar e estimar um modelo estocástico linear que permita descrever as mesmas. Para tal, recorreu-se à modelação Box-Jenkins, uma vez que tem em conta que uma sucessão cronológica representa uma realização particular limitada no tempo de um processo estocástico, tal como descrito em Murteira et al. (1993) e em Muller (1995). De referir ainda que a modelação Box-Jenkins exige a estacionaridade dos processos. A Tabela 3.1 sintetiza as estatísticas descritivas de cada uma das séries em análise bem como o respectivo coeficiente de correlação linear, o qual evidencia uma relação de dependência linear entre as taxas de resgate e as taxas de juro de aproximadamente 0,11.
  • 35. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 35 Tabela 3.1 – Estatísticas descritivas das séries empíricas Taxas de Resgate Taxas de Juro Média 0,023851 0,034381 Mediana 0,019141 0,034832 Máximo 0,071588 0,053932 Mínimo 0,009732 0,012610 Desvio-padrão 0,012987 0,010506 Correlação linear 0,107570 Considerando as estatísticas descritivas determinadas, verificou-se que ao longo do período analisado a média das taxas de resgate foi de 2,39% e a média das taxas de juro de 3,44%, tendo as taxas de resgate atingido o seu máximo nos 7,16%. Saliente-se que este pico observou-se no período que decorreu em consequência da enorme crise dos mercados financeiros (2008), altura em que as taxas de juro registaram igualmente os seus maiores valores (5,39%). A correlação de 0,11 não se revela muito significativa, facto que pode estar associado às características do tipo de seguros em análise. Por exemplo, considere-se um seguro de capital diferido com uma taxa técnica garantida de 3%, conferindo ainda o direito a uma participação nos resultados se as taxas de rendibilidade dos activos afectos forem superiores à taxa garantida. Se as taxas de juro de mercado estiverem nos 4% e a taxa de rendibilidade dos activos for de 4,5%, então o beneficiário do seguro irá receber, além da taxa garantida, uma percentagem da diferença (0,5%) como participação nos resultados, pelo que apesar da taxa de juro ser superior à taxa garantida, não existiria vantagem em efectuar o resgate do capital existente à data. Por outro lado, se a taxa de rendibilidade for abaixo dos 4%, a penalização cobrada por resgate poderá continuar a não ser compensatória.
  • 36. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 36 Importa, contudo, referir que considerando o histórico das taxas de resgate e das taxas de juro para um período mais recente, entre Janeiro de 2003 a Setembro de 2009, a correlação linear entre as taxas é de aproximadamente 0,37. De facto, observando novamente a Figura 3.1, é possível visualizar uma alteração do comportamento das séries naquele período, não se evidenciando, ainda assim, uma correlação muito significativa entre as séries. O ponto que se segue consiste em determinar os modelos aplicáveis às séries temporais, descritos no capítulo anterior, de forma a obter as funções de distribuição marginais a utilizar nas cópulas para cada uma das séries empíricas. 3.2. Modelação das séries empíricas 3.2.1. Taxas de Resgate A Figura 3.2 representa a série histórica das taxas de resgate. Figura 3.2 – Série empírica das taxas de resgate Analisando o gráfico da série empírica, observa-se uma tendência crescente bem como movimentos periódicos em torno da mesma, pelo que foi necessário efectuar uma diferenciação simples e uma diferenciação sazonal de modo a estacionarizar a série de dados. Pela teoria de Box-Jenkins para que uma sucessão seja estacionária tem de apresentar uma tendência neutra, não apresentar movimentos estritamente periódicos e a variância tem de se encontrar estabilizada ao longo do período de observação, facto que
  • 37. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 37 pode ser verificado através da análise das séries corrigidas apresentadas na Figura 3.3, bem como da análise das suas funções de autocorrelação, seguidamente apresentadas na Tabela 3.2. Figura 3.3 – Série empírica das taxas de resgate com uma diferenciação simples e série empírica com uma diferenciação sazonal Tabela 3.2– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de resgate Da análise efectuada a estas funções denota-se na FAC um corte brusco para zero a partir do segundo desfasamento temporal bem como um ligeiro decaimento exponencial para zero na FACP, ou seja, verifica-se a existência de correlação nos primeiros
  • 38. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 38 desfasamentos. Este comportamento, de acordo com a Tabela 2.2, é típico dos processos de médias móveis de ordem 2, . Adicionalmente, apesar da reduzida evidência do tipo de comportamento associado às funções de autocorrelação, observa-se a necessidade de modelar os desfasamentos relativos à sazonalidade. Note-se que a FAC sai fora das barras de significância nos desfasamentos 12 e 36. O modelo de estimação será, então, do tipo , tendo sido identificados vários modelos possíveis para a parte sazonal do processo, nomeadamente e , ou seja, considerando na componente sazonal quer um processo de médias móveis de primeira ordem quer um processo autorregressivo de primeira ordem. De seguida, procedeu-se à estimação dos parâmetros dos modelos identificados pelo método ML, cujos resultados se apresentam na Tabela 3.3. Tabela 3.3 – Resultados da estimação dos modelos ARMA Modelo Estimativas Parâmetros Desvio-Padrão Estatística t Valor-p AIC ARMA(0,2)(0,1)12 0.261882 0.055632 4.707422 0.0000 -10.173170.781188 0.056545 13.81526 0.0000 -0.286343 0.093998 -3.046266 0.0028 ARMA(0,2)(1,0)12 -0.415751 0.109426 -3.799395 0.0002 -10.196240.330770 0.054914 6.023451 0.0000 0.829113 0.050682 16.35912 0.0000 Para avaliar a qualidade estatística do modelo estimado verificou-se a estacionaridade do mesmo, observando se os parâmetros estimados se encontravam na vizinhança das regiões de não estacionaridade, ou seja, os parâmetros têm de ser, em módulo, inferiores a 1. Além disso, testou-se a significância estatística dos parâmetros estimados, procedendo-se à realização do teste t, definido de seguida.
  • 39. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 39 Seja o parâmetro estimado e a respectiva variância empírica, a estatística teste é dada por e o parâmetro diz-se estatisticamente nulo, com um nível de significância de 5%, se . Uma vez que foram estimados vários modelos que satisfaziam as condições anteriores, a escolha do melhor modelo foi efectuada pelo critério AIC já definido anteriormente. Verificou-se, assim, quer através da significância estatística dos parâmetros estimados, com um nível de significância de 5%, quer do critério AIC, que o modelo que melhor se ajusta à série corrigida é o . Trata-se de um processo misto multiplicativo com um para a parte não sazonal e um para a parte sazonal, cuja expressão algébrica, de acordo com a fórmula (2.4), é a seguinte: . De seguida foi necessário analisar os resíduos de forma a testar a qualidade de adequação do modelo à série empírica corrigida, o que pode ser efectuado através da análise do comportamento das funções de autocorrelação dos mesmos, as quais se apresentam na Tabela 3.4. Para que se esteja perante um bom ajustamento do modelo, os resíduos deverão comportar-se como uma realização de um processo de ruído branco. Tabela 3.4– Correlograma das funções FAC e FACP dos resíduos
  • 40. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 40 De acordo com o teste individual de Kendal & Stuart definido em Murteira et al. (1993), os autores demonstraram, para uma sucessão de variáveis aleatórias i.i.d., o seguinte resultado assintótico, . Podendo estabelecer-se uma região de confiança ao nível de 5% dada por . Se todos os valores da FAC estiverem compreendidos nesta região serão considerados estatisticamente nulos, aceitando-se a hipótese de que os resíduos têm um comportamento semelhante ao de um ruído branco. De facto, observando o comportamento das funções de autocorrelação dos resíduos do modelo determinado, verifica-se a inexistência de desfasamentos temporais por modelar, uma vez que os valores da FAC estão todos dentro das barras de significância, pelo que se aceita a hipótese de ruído branco para os resíduos do modelo estimado. Adicionalmente, realizou-se o teste de nulidade conjunta dos valores da FAC através do teste Box e Pierce, igualmente definido em Murteira et al. (1993), cuja estatística teste é dada por , em que representa a ordem das diferenciações simples efectuadas e o número de desfasamentos temporais considerados. Os autores demonstraram que a estatística converge para um com graus de liberdade. Considerando um nível de significância de 5%, se rejeita-se a hipótese de ruído branco para os resíduos.
  • 41. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 41 Tabela 3.5 – Resultados do teste Box & Pierce Teste Box & Pierce Estatística Q 5,1163 18,3070 Valor-p 0,824 Como , considerando um nível de significância de 5%, então aceita-se a hipótese de nulidade conjunta, isto é, os resíduos do modelo são um ruído branco. Note-se que o valor-p é bastante superior a 5%. No entanto, todos os modelos aplicados anteriormente assumem uma variância residual constante ao longo do tempo (homocedasticidade), facto que poderá não ser verdade, uma vez que muitas séries temporais evidenciam períodos de grande volatilidade seguidos de períodos de pequena volatilidade. Assim sendo, foi ainda necessário verificar se existia algum efeito de heterocedasticidade, recorrendo-se, assim, aos processos de tipo ARCH definidos no capítulo anterior. De acordo com o definido em Ehlers (2007) e em Muller (1995), a característica chave dos modelos ARCH é que a variância condicional dos resíduos comporta-se como um processo autorregressivo. Se os resíduos do modelo forem um processo ARCH então o quadrado dos resíduos admite uma representação autoregressiva, facto que pode ser analisado através do correlograma das funções de autocorrelação do quadrado dos resíduos apresentado na Tabela 3.6. Tabela 3.6 - Correlograma da função FAC e FACP do quadrado dos resíduos
  • 42. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 42 Analisando o correlograma do quadrado dos resíduos, verifica-se a existência de efeitos heterocedásticos, uma vez que existem alguns desfasamentos temporais por modelar. Uma vez que o comportamento das funções de autocorrelação não se revela evidente, ou seja, não se observa um corte brusco para zero na FACP, efectuaram-se várias tentativas de modelação dos desfasamentos, tendo-se verificado um melhor ajustamento através de um processo para os resíduos, quer em termos de significância estatística dos parâmetros estimados quer ao nível do critério AIC. A ordem do processo ARCH pode ser confirmada através do teste ARCH-LM definido em Muller (1995), o qual considera a seguinte hipótese nula: . em que representa a ordem do processo. A estatística teste é dada por que se demonstra ter assintoticamente a distribuição de um com graus de liberdade, onde representa o coeficiente de determinação da regressão e o número de observações. Considerando , os resultados do teste ARCH-LM são os seguintes: Tabela 3.7 – Resultados do teste ARCH-LM Teste ARCH-LM Estatística teste 9,501461 5,99 Valor-p 0,008645 Como , considerando um nível de significância de 5%, então rejeita-se a hipótese nula, isto é, existe efeito ARCH por modelar.
  • 43. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 43 Após a identificação da ordem do processo, procedeu-se à estimação dos parâmetros do modelo ARMA que melhor se ajustou à série corrigida das taxas de resgate, assumindo um processo de tipo ARCH para os resíduos do modelo. A estimação foi efectuada através do método ML, assumindo que os resíduos estandardizados seguiam uma distribuição normal. A Tabela 3.8 apresenta os resultados da estimação. Tabela 3.8 – Resultados da estimação do modelo ARMA(0,2)(1,0)12-ARCH(2) Modelo Estimativas Parâmetros Desvio-Padrão Estatística t Valor-p AIC ARMA(0,2)(1,0)12 ARCH(2) -0.148006 0.065370 -2.264117 0.0236 -10.25091 0.396355 0.171224 2.314840 0.0206 0.607060 0.148980 4.074777 0.0000 0.000001 0.000000 7.496368 0.0000 0.102349 0.084137 1.216447 0.2238 0.342765 0.166150 2.062988 0.0391 A expressão algébrica para o modelo da série corrigida das taxas de resgate, seja , é então a seguinte: A variável segue uma distribuição Normal padrão e os parâmetros , são superiores a zero. Além disso, como a soma dos parâmetros do processo é inferior a 1 significa que o modelo é estacionário. Considerando o teste t, verifica-se a significância estatística dos parâmetros estimados, considerando um nível de significância de 5%, à excepção do parâmetro correspondente à primeira ordem do processo ARCH.
  • 44. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 44 Relativamente ao valor do AIC, observa-se uma melhoria do modelo ARMA-ARCH face ao modelo ARMA, uma vez que o valor do AIC reduziu de -10,196 para -10,251. Para aferir da adequabilidade do modelo efectuou-se novamente o teste ARCH-LM considerando a seguinte hipótese nula: . Os resultados do teste foram os seguintes: Tabela 3.9 - Resultados do teste ARCH-LM Teste ARCH-LM Estatística teste 1,477082 5,99 Valor-p 0,477810 Como , considerando um nível de significância de 5%, então aceita-se a hipótese nula, isto é, não existe efeito ARCH por modelar. Note-se que o valor-p é superior a 5%. Analisando novamente os correlogramas das funções FAC e FACP dos resíduos e do quadrado dos resíduos, apresentado na Tabela 3.10, verifica-se a inexistência de desfasamentos por modelar, apesar do correlograma dos resíduos ao quadrado evidenciar efeitos heterocedásticos no desfasamento 12. No entanto, considerando um processo para tentar corrigir este efeito a estimação do modelo piora significativamente e os parâmetros deixam mesmo de ser significativos. Considerou-se, assim, o como sendo o melhor modelo ajustável aos resíduos do modelo .
  • 45. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 45 Tabela 3.10 – Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado 3.2.2. Taxas de Juro A modelação da série dos dados relativos às taxas de juro baseou-se na mesma análise efectuada às taxas de resgate, quer ao nível da identificação do modelo, quer relativamente à estimação e avaliação da qualidade de ajustamento do mesmo, pelo que a análise efectuada será apresentada de uma forma mais sucinta. A Figura 3.4 apresenta a série histórica das taxas de juro. Figura 3.4 - Série empírica das taxas de juro De forma a estabilizar a série empírica efectuou-se uma diferenciação simples (Figura 3.5) e analisou-se o respectivo correlograma das funções de autocorrelação FAC e FACP (Tabela 3.11).
  • 46. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 46 Figura 3.5 - Série empírica das taxas de juro com uma diferenciação simples Tabela 3.11– Correlograma das funções FAC e FACP da série corrigida das taxas de juro Da análise efectuada a estas funções denota-se um corte brusco para zero a partir do primeiro desfasamento na FACP, bem como um ligeiro decaimento exponencial para zero na FAC. De acordo com o definido na Tabela 2.2 do capítulo anterior, este é um comportamento típico dos modelos autorregressivos de ordem 1. Paralelamente, não é evidenciada a necessidade de modelar os desfasamentos relativos à sazonalidade (note-se que as funções FAC e FACP encontram-se dentro das barras de significância no desfasamento 12). O modelo de ajustamento considerado foi, assim, um , cujos resultados da estimação efectuada pelo método ML se apresentam na Tabela 3.12. Tabela 3.12 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0) Modelo Estimativas Parâmetros Desvio-Padrão Estatística t Valor-p AIC ARMA(1,0) 0.669937 0.063228 10.59559 0.0000 -10.15202
  • 47. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 47 O parâmetro autorregressivo é estatisticamente significativo (valor-p nulo) e inferior a 1, o que evidencia a estacionaridade do modelo. O valor do AIC foi de -10,152. Tendo em consideração o facto de os resíduos do modelo serem já um ruído branco, foi necessário proceder à verificação da existência de algum efeito de heterocedasticidade, pelo que se procedeu à análise dos correlogramas das funções de autocorrelação dos resíduos e do quadrado dos resíduos apresentados na Tabela 3.13. Tabela 3.13– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado Analisando o correlograma do quadrado dos resíduos, verifica-se um ligeiro efeito de heterocedasticidade no desfasamento 10, pelo que se tentou corrigir este efeito através de um processo ARCH de ordem 10. No entanto, os parâmetros do processo não eram estatisticamente significativos. Deste modo, foram realizadas diversas tentativas, verificando-se uma melhoria do critério AIC quando considerado um . Assim sendo, o melhor modelo de estimação encontrado para a série corrigida das taxas de juro, seja , foi o modelo com resíduos do tipo e cuja expressão algébrica é a seguinte:
  • 48. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 48 Os resultados da estimação do modelo apresentam-se na Tabela 3.14. Tabela 3.14 – Resultados da estimação do modelo ARMA(1,0)- ARCH(2) Modelo Estimativas Parâmetros Desvio-Padrão Estatística t Valor-p AIC ARMA(0,1) ARCH(2) 0.659070 0.091444 7.207376 0.0000 -10.15963 0.000002 0.000000 6.797425 0.0000 0.243052 0.084137 2.694297 0.0071 0.056535 0.166150 0.675230 0.4995 Para aferir da adequabilidade do modelo analisou-se novamente o correlograma dos resíduos e do quadrado dos resíduos, verificando-se a inexistência de desfasamentos por modelar, o que foi igualmente corroborado pelo teste ARCH-LM. Tabela 3.15– Correlogramas da FAC e da FACP dos resíduos e do seu quadrado Tabela 3.16 – Resultados do teste ARCH-LM Teste ARCH-LM Estatística teste 0,022500 5,99 Valor-p 0,988813 Como , considerando um nível de significância de 5%, então aceita-se a hipótese nula, isto é, não existe efeito ARCH por modelar. Note-se que o valor-p é superior a 5%.
  • 49. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 49 3.3. Funções de Distribuição Marginais Na secção anterior identificaram-se e estimaram-se, pelo método de máxima verosimilhança, os modelos ARMA-ARCH que melhor se ajustaram às séries corrigidas das taxas de resgate e das taxas de juro, assumindo que os resíduos estandardizados seguiam uma distribuição Normal padrão2 , ou seja, . A representação gráfica bem como algumas estatísticas descritivas dos modelos encontrados apresentam-se na Figura 3.6 e na Tabela 3.17. Figura 3.6 – Ajustamentos ARMA-ARCH das séries corrigidas Tabela 3.17 – Estatísticas descritivas das séries ajustadas Estatísticas Descritivas ARMA(0,2)(2,0)-ARCH(2) ARMA(1,0)-ARCH(2) Média -0,000039 -0,000143 Mediana 0,000004 0,000098 Máximo 0.002963 0.003190 Mínimo -0.004512 -0.005921 Desvio-padrão 0.001103 0.001379 Correlação linear 0,096729 2 Refira-se, por último, que foi igualmente estimado o mesmo modelo, mas assumindo uma distribuição t-Student para os resíduos estandardizados, tendo-se, no entanto, obtido um pior ajustamento (quer em termos de significância estatística dos parâmetros, quer ao nível do critério AIC).
  • 50. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 50 De referir que após o ajustamento das séries empíricas das taxas de resgate e das taxas de juro, o coeficiente de correlação linear diminuiu ligeiramente de 0,108 para 0,097, em consequência dos ajustamentos realizados, necessários à estacionarização das séries. A partir da estimação dos modelos ARMA-ARCH, e tendo em consideração a metodologia apresentada em Dias (2004), em Huang et al. (2009) e em Palaro et al. (2006), foram extraídos os resíduos estandardizados de cada uma das séries em análise, de forma a analisar a sua estrutura de dependência. Estas serão as distribuições marginais a utilizar como input nas diferentes famílias de cópulas a estimar. A Figura 3.7 representa as funções de distribuição dos resíduos estandardizados das séries corrigidas das taxas de resgate e das taxas de juro, respectivamente, e a Tabela 3.18, as estatísticas descritivas das mesmas. Note-se que o coeficiente de correlação linear entre os resíduos estandardizados é de 0,023, tendo diminuído substancialmente face à correlação inicial existente (0,11). Figura 3.7 – Funções de distribuição marginais dos resíduos estandardizados das séries corrigidas das taxas de resgate e das taxas de juro
  • 51. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 51 Tabela 3.18 – Estatísticas descritivas dos resíduos estandardizados Estatísticas Descritivas Resíduos Estandardizados Taxas de Resgate Taxas de Juro Média -0.032189 -0.032949 Mediana 0.007732 0.079980 Máximo 2.870860 3.316146 Mínimo -4.128999 -5.203030 Desvio-padrão 1.020081 1.016927 Correlação linear 0,022623 A Figura 3.8 apresenta a série bivariada dos resíduos estandardizados, evidenciando a dependência positiva existente. Figura 3.8 – Série bivariada dos resíduos estandardizados das séries corrigidas Dadas as funções de distribuição marginais, procedeu-se à transformação das mesmas em distribuições uniformes entre 0 e 1, de forma a determinar uma estrutura de dependência dos resíduos estandardizados através da utilização de cópulas, transformação essa que se apresenta na Figura 3.9.
  • 52. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 52 Figura 3.9 - Série bivariada da transformação dos resíduos estandardizados 3.4. Estrutura de dependência: ajustamento de Cópula Considerando os resíduos estandardizados das séries ajustadas das taxas de resgate e das taxas de juro, determinaram-se as cópulas elípticas Gaussiana e t-Student e as Arquimedianas Clayton, Frank e Gumbel. A estimação dos parâmetros das cópulas foi efectuada através do método CML definido no capítulo anterior, cujos resultados se apresentam na Tabela 3.19. Este método de estimação é efectuado em dois passos, ou seja, transforma os resíduos estandardizados em dados de realizações/observações de variáveis aleatórias uniformes e estima os parâmetros da cópula através do método ML.3 Na mesma tabela são igualmente apresentadas as medidas de dependência estudadas, o tau de Kendall, o rho de Spearman e as dependências de cauda, bem como o valor do AIC para cada cópula estimada. 3 Foi ainda aplicado o método IFM, que consistiu em transformar os resíduos estandardizados através da função de distribuição Normal, no entanto, obteve-se um pior ajustamento.
  • 53. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 53 Tabela 3.19 – Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e Frank Resultados da Estimação AIC Cópulas Elípticas Gaussiana - 0,0494 0,0314 0,0471 - - 1,7196 t-Student 17 0,0169 0,0394 0,0591 0,0009 0,0009 1,3945 Cópulas Arquimedianas Gumbel - 1,0426 0,0409 0,0614 0,0558 - 1,5729 Clayton - 0,0561 0,0273 0,0093 - 0,000004 1,7754 Frank - 0,5054 0,0560 0,0839 - - 1,3164 Conforme evidencia a tabela supra, a cópula que melhor se ajusta à estrutura de dependência entre os dados é a cópula Frank, uma vez que é a que apresenta o menor valor de AIC. De facto, considerando os resultados estimados, observa-se que a cópula Frank é a que determina uma maior dependência não linear entre os resíduos estandardizados das séries (0,056 para o tau de Kendall e 0,084 para o rho de Spearman). A dependência não linear revelou-se, assim, ligeiramente superior à correlação linear obtida entre os resíduos estandardizados, para qualquer uma das cópulas consideradas. No caso particular da cópula Frank, essa dependência aproximou-se mais da correlação linear obtida entre as séries ajustadas (comparando com a Tabela 3.17), revelando-se, ainda assim, ligeiramente inferior. A dependência das caudas é praticamente nula em qualquer uma das cópulas, à excepção da cópula Gumbel. As funções de densidade de distribuição das cópulas estimadas representam-se nas ilustrações seguintes bem como os respectivos diagramas das curvas de nível.
  • 54. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 54 Figura 3.10 – Funções de densidade de distribuição das cópulas elípticas, Gaussiana e t-Student, e respectivos diagramas das curvas de nível Figura 3.11 - Funções de densidade de distribuição das cópulas Arquimedianas, Gumbel, Clayton e Frank, e respectivos diagramas das curvas de nível Toda a metodologia apresentada foi igualmente aplicada para o período que decorreu entre Janeiro de 2003 e Setembro de 2009, atendendo ao facto de o coeficiente de correlação linear ter evidenciado, à partida, uma correlação bastante superior (0,37).
  • 55. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 55 Após a aplicação das cópulas aos resíduos estandardizados, os resultados da estimação obtidos para as dependências não lineares foram os que se apresentam na Tabela 3.20. Tabela 3.20 - Resultados da estimação das cópulas Gaussiana, t-Student, Gumbel, Clayton e Frank, considerando o período de Janeiro de 2003 a Setembro de 2009 Resultados da Estimação AIC Cópulas Elípticas Gaussiana - 0,1474 0,0942 0,1409 - - 0,5067 t-Student 5 0,2075 0,1330 0,1985 0,0908 0,0908 -1,3104 Cópulas Arquimedianas Gumbel - 1,1409 0,1235 0,1834 0,1641 - -0,2374 Clayton - 0,1394 0,0652 0,0232 - 0,0069 1,4399 Frank - 1,5358 0,1668 0,2483 - - -1,3768 A cópula Frank foi novamente a que revelou um melhor ajustamento, observando-se valores de dependência não lineares ligeiramente inferiores ao coeficiente de correlação linear das séries empíricas.
  • 56. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 56 4. Notas Finais O presente trabalho de projecto teve como principal objectivo determinar uma estrutura de dependência entre as taxas de resgate dos seguros de capital diferido, comercializados pelas empresas de seguros que operam no mercado segurador português, e as taxas de juro, através da aplicação de cópulas condicionadas. Para tal foi aplicada uma metodologia já desenvolvida na literatura, que consiste numa modelação em dois passos: determinar, através da análise dos dados históricos das taxas de resgate e das taxas de juro, as distribuições marginais que permitem modelar as respectivas séries de forma univariada através de processos ARMA-ARCH e, posteriormente, com base nos resíduos estandardizados dessas distribuições, determinar, por aplicação de diferentes famílias de cópulas existentes, a cópula que melhor representa uma estrutura de dependência entre as séries. Esta metodologia pode ser consultada em Dias (2004), em Huang et al. (2009) e em Palaro et al. (2006). Os resultados obtidos com a aplicação referida sugerem uma dependência entre as taxas de resgate e as taxas de juro mais baixa do que se esperaria. No entanto, essa mesma dependência poderá não ser estranha atendendo às características dos seguros de capital diferido comercializados no mercado segurador português. A falta de conhecimento dos subscritores relativamente aos produtos comercializados, por um lado, e a existência, na maioria dos produtos, de penalizações por resgate, por outro, poderão ser factores explicativos deste fenómeno. Além disso, estes produtos têm, muitas vezes, uma taxa técnica garantida, conferindo ainda o direito a uma participação nos resultados em função das taxas de rendibilidade dos activos afectos aos produtos.
  • 57. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 57 Adicionalmente, observa-se igualmente no mercado segurador, por estratégia comercial da empresa de seguros, o resgate do valor constituído da conta poupança de um determinado seguro para investir noutro seguro do mesmo tipo, o que na essência acaba por se tratar de uma simples transferência de contratos. Não obstante as justificações anteriores apresentadas, a aplicação da metodologia revelou dependências não lineares inferiores às correlações lineares iniciais, quer considerando todo o histórico de dados existente, quer considerando o período de Janeiro de 2003 a Setembro de 2009, período no qual se observou uma alteração do comportamento das séries de dados. Este facto pode estar associado aos ajustamentos efectuados para a estacionarização das séries bem como à utilização dos resíduos estandardizados dos processos ARMA-ARCH de forma a aplicar as cópulas elípticas Gaussiana e t-Student e as cópulas Arquimedianas, Gumbel, Clayton e Frank, uma vez que como existem desfasamentos temporais entre a alteração das taxas de juro e o seu impacto imediato na realização dos resgates, os ajustamentos podem retirar alguma parte da dependência existente. De facto, os casos práticos conhecidos com a aplicação da metodologia apresentada no presente trabalho utilizam séries de dados com um número de observações muito significativo, sendo, na sua maioria, dados referentes às variações dos preços de fecho de determinados índices bolsistas, pelo que existe uma maior sincronização nos dados. Em suma, apesar dos resultados obtidos no presente trabalho com a aplicação das cópulas não evidenciarem uma estrutura de dependência não linear muito diferente da correlação linear, a metodologia estudada deverá ser aplicada com algum cuidado, uma vez que poderá não ser a mais adequada para séries com determinado tipo de comportamento.
  • 58. Aplicação de Cópulas ao Ramo Vida 58 Bibliografia Akaike, H. (1974), A new look at the statistical model identification, IEEE Transactions on Automatic Control 19 (6), 716–723 Denuit M., Dhaene J., Goovaerts M. and Kaas R. (2005), Actuarial Theory for Dependent Risks – Measures, Orders and Models, Wiley. Dias, A. (2004), Copula Inference for Finance and Insurance, Doctoral Thesis. Ehlers, R. S. (2007), Análise de Séries Temporais, 4.ª edição publicada. Embrechts, P. (2009), Copulas: A personal view, Department of Mathematics, ETH Zurich, Switzerland. Embrechts, P., McNeil, A. and Straumann, D. (1999), Correlation: Pitfalls and Alternatives, Department of Mathematics, ETH Zurich. Embrechts, P., McNeil, A. and Straumann, D. (1999), Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls, Department of Mathematics, ETH Zurich. Huang, J., Lee, K., Liang, H. and Lin, W. (2009), Estimating value at risk of portfolio by conditional copula-GARCH method, Insurance: Mathematics and Economics, Vol. 45, pg. 315-324. Muller, D. (1995), Sucessões Cronológicas e Previsão, ISEG, Lisboa. Murteira, B. J. F., Muller, D.A. e Turkman, K. F. (1993), Análise de Sucessões Cronológicas, McGraw-Hill, Lisboa. Nelsen, R. B. (1999), An Introduction to Copulas, Lecture Notes in Statistics No 139, Springer-Verlag, New York. Palaro, H. P. and Hotta, L. K. (2006), Using Conditional Copula to Estimate Value at Risk, Journal of Data Science, Vol. 4, 93-115. Romano, C. (2002), Calibrating and Simulating Copula Functions: an application to the Italian Stock Market, Working Paper, Rome. Sklar, A. (1959), Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges, Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris 8, 229-231.