Probabilidade de ruína e processos de lévy

223 views
122 views

Published on

Material de apoio - desenvolvido por terceiros - ao curso de Ciências Atuariais

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
223
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Probabilidade de ruína e processos de lévy

  1. 1. Apresenta¸c˜ao Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis Jhames Matos Sampaio Universidade de S˜ao Paulo IME - USP 08 de abril, 2010 Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  2. 2. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis 1 Distribui¸c˜oes Est´aveis 2 Processos de L´evy α-est´aveis Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  3. 3. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis 1 Distribui¸c˜oes Est´aveis 2 Processos de L´evy α-est´aveis Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  4. 4. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod 3 O espa¸co D 4 Topologia de Skorohod 5 Convergˆencia Fraca Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  5. 5. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod 3 O espa¸co D 4 Topologia de Skorohod 5 Convergˆencia Fraca Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  6. 6. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod 3 O espa¸co D 4 Topologia de Skorohod 5 Convergˆencia Fraca Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  7. 7. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Convergˆencia Fraca de Processos de Risco 6 Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına 7 Caso Cl´assico 8 Estudo realizado Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  8. 8. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Convergˆencia Fraca de Processos de Risco 6 Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına 7 Caso Cl´assico 8 Estudo realizado Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  9. 9. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Convergˆencia Fraca de Processos de Risco 6 Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına 7 Caso Cl´assico 8 Estudo realizado Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  10. 10. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito 9 Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına 10 Ru´ına em Tempo Finito Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  11. 11. Apresenta¸c˜ao Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito Probabilidade da Ru´ına em Tempo Finito 9 Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına 10 Ru´ına em Tempo Finito Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  12. 12. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Parte I Distribui¸c˜oes Est´aveis e Processos de L´evy α-est´aveis Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  13. 13. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis 1 Distribui¸c˜oes Est´aveis 2 Processos de L´evy α-est´aveis Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  14. 14. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Distribui¸c˜oes Est´aveis Defini¸c˜ao 1.1 Dizemos que uma vari´avel aleat´oria X ´e est´avel se para n ≥ 2, existe um n´umero positivo cn e um n´umero real dn tais que: X1 + · · · + Xn d = cnX + dn, onde as v.a.’s Xi ’s s˜ao c´opias independentes de X. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  15. 15. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Um teorema importante Teorema 1.1 Seja X uma v.a. com distribui¸c˜ao F est´avel n˜ao degenerada e sejam X1, · · · , Xn c´opias independentes de X. Ent˜ao, (i) Existe 0 ≤ α ≤ 2 ´unico tal que cn = n1/α, isto ´e, Sn = X1 + · · · + Xn d = n1/αX + dn. (ii) Se α = 1 existe um b ∈ R tal que dn = −b(n1/α − n) e b ´e tal que X − b possui distribui¸c˜ao estritamente est´avel. Ver Feller (1966) Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  16. 16. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Nota¸c˜ao Defini¸c˜ao 1.2 Dizemos que X tem distribui¸c˜ao est´avel se existirem constantes 0 < α ≤ 2, σ > 0, |β| ≤ 1 e µ tais que a fun¸c˜ao caracter´ıstica de X ´e dada por ln ΦX (t) =    itµ − σα|t|α 1 − iβsinal(t) tan πα 2 se α = 1, itµ − σ|t| [1 + iβsinal(t) ln(t)] se α = 1. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  17. 17. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Nota¸c˜ao Em Breiman (1968), mostra-se que a defini¸c˜ao acima ´e equivalente `a Defini¸c˜ao 1.1 e Fun¸c˜ao sinal sinal(t) =    1 se t > 0, 0 se t = 0, −1 se t < 0. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  18. 18. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Nota¸c˜ao A Defini¸c˜ao 1.2 motiva a nota¸c˜ao Sα(σ, β, µ) para indicar uma v.a. X com distribui¸c˜ao est´avel e parˆametros 0 < α ≤ 2: ´ındice de estabilidade. σ > 0: ´ındice (parˆametro) de escala. |β| ≤ 1: parˆametro de assimetria ou vi´es. µ: parˆametro de loca¸c˜ao. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  19. 19. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis 1 Distribui¸c˜oes Est´aveis 2 Processos de L´evy α-est´aveis Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  20. 20. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Processos de L´evy Defini¸c˜ao 1.3 Um processo estoc´astico X = {X(t) : t ≥ 0} com valores em Rd ´e dito um processo de L´evy se : (i) P{X(0) = 0} = 1 ou X(0) = 0 q.c. (ii) X tem incrementos independentes. (iii) X ´e temporalmente homogˆeneo, isto ´e, X(t + h) − X(t) d = X(h), ∀ t > 0. (iv) X ´e estocasticamente cont´ınua, isto ´e, lim t→t0 P{|X(t) − X(t0)| > } = 0. (v) Para quase todo ω, X(t, ω) ´e uma trajet´oria cont´ınua `a direita com limite `a esquerda. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  21. 21. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Defini¸c˜ao 1.4 Dizemos que Zα = {Zα(t) : t ≤ 0} ´e um processo (movimento) de L´evy α-est´avel se: (i) P{Zα(0) = 0} = 1 ou Zα(0) = 0 q.c. (ii) Zα possui incrementos independentes. (iii) Zα(t + h) − Zα(t) d = Sα σh1/α, β, 0 para 0 ≤ t, h < ∞, onde 0 < α ≤ 2, σ > 0 e |β| ≤ 1. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  22. 22. Distribui¸c˜oes Est´aveis Processos de L´evy α-est´aveis Auto-Similaridade dos Processos de L´evy α-est´aveis Defini¸c˜ao 1.5 Um processo X ´e dito auto-similar se dado a > 0 existir um b > 0 tal que {Xat : t ≥ 0} d = {bXt : t ≥ 0} . Proposi¸c˜ao 1.1 Todo processo L´evy α-est´avel ´e auto-similar, onde para todo c > 0 {Zα(ct) : t ≥ 0} d = c1/α Zα(t) : t ≥ 0 . Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  23. 23. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca Parte II Convergˆencia Fraca e a Topologia de Skorohod Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  24. 24. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca 3 O espa¸co D 4 Topologia de Skorohod 5 Convergˆencia Fraca Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  25. 25. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca O espa¸co D O espa¸co D = D[0, ∞) consiste das fun¸c˜oes x em [0, ∞) que s˜ao cont´ınuas `a direita e possuem limite `a esquerda, em outras palavras: (i) Para t ∈ [0, ∞), x(t+ ) = lim y→t+ x(y) existe e x(t+) = x(t). (ii) Para t ∈ [0, ∞), x(t− ) = lim y→t− x(y) existe. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  26. 26. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca 3 O espa¸co D 4 Topologia de Skorohod 5 Convergˆencia Fraca Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  27. 27. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca M´etrica de Skorohod Defini¸c˜ao 2.1 Defina d(x, y) como o ´ınfimo dos positivos para o qual existe em Λ (a classe das fun¸c˜oes estritamente crescentes e cont´ınuas de [0, ∞) sobre [0, ∞)) um λ tal que sup t |λt − t| ≤ e sup t |x(t) − y(λt)| ≤ . Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  28. 28. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca 3 O espa¸co D 4 Topologia de Skorohod 5 Convergˆencia Fraca Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  29. 29. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca Covergˆencia Fraca e em Probabilidade Defini¸c˜ao 2.2 Dado um espa¸co de probabilidade (Ω, Σ, P) dizemos que um conjunto A ∈ Σ ´e P-cont´ınuo se P{Fr (A)} = 0. Defini¸c˜ao 2.3 Dizemos que {Pn}n≥1 converge fracamente para a probabilidade P se Pn{A} convergir a P{A} para todo A P-cont´ınuo. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  30. 30. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca Convergˆencia em termos de elementos aleat´orios Agora vamos definir a convergˆencia em termos de elementos aleat´orios, onde considerados os espa¸cos (Ω, Σ, P), (S, S) e vari´aveis aleat´orias X, Xn : Ω −→ S, definimos abaixo: Defini¸c˜ao 2.4 Dizemos que Xn d =⇒ X se PXn f =⇒ PX onde ∀A ∈ S, PX {A} = P{X ∈ A} e PXn (A) = P{Xn ∈ A}. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  31. 31. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca Teorema da Aplica¸c˜ao Cont´ınua Considere o espa¸co m´etrico (S , S ) e os espa¸cos j´a citados acima. Teorema 2.1 Sejam {Xn}n≥1 e X vari´aveis aleat´orias e h : S → S uma fun¸c˜ao mensur´avel. Seja D(h) o conjunto dos pontos de descontinuidade de h e suponha P{X ∈ D(h)} = 0. Nessas condi¸c˜oes se Xn d =⇒ X ent˜ao h(Xn) d =⇒ h(X). Ver Billingsley (1968) Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  32. 32. O espa¸co D Topologia de Skorohod Convergˆencia Fraca Convergˆencia em Probabilidade Defini¸c˜ao 2.5 Dizemos que Xn p → X (converge em probabilidade) em (S, S) se dado > 0, P{ρ(Xn, X) ≥ } −→ 0, quando n → ∞. ρ ´e a m´etrica associada ao espa¸co referido. Quando nos referirmos `a convergˆencia em probabilidade na topologia de Skorohod, a m´etrica associada ser´a a m´etrica de Skorohod. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  33. 33. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Parte III Convergˆencia Fraca de Processos de Risco Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  34. 34. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado 6 Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına 7 Caso Cl´assico 8 Estudo realizado Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  35. 35. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que ´e um processos de risco? Defini¸c˜ao 3.1 Um processo de risco ou de reserva R = {R(t) : t ≥ 0} ´e um processo estoc´astico dado por R(t) = u + ct − N(t) k=1 Yk. Supomos que a v.a. Yk ´e n˜ao-negativa, u > 0 e c > 0 tal que ct > E   N(t) k=1 Yk  . Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  36. 36. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O Tempo de Ru´ına Defini¸c˜ao 3.2 Dado um processo de risco R = {R(t) : t ≥ 0} definimos o tempo de ru´ına associado ao processo R(t) por T(R) = inf{t : t > 0, R(t) < 0}, se {t : t > 0, R(t) < 0} = ∅ e T(R) = ∞ caso contr´ario. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  37. 37. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado A Probabilidade de Ru´ına Defini¸c˜ao 3.3 Definimos a probabilidade de ru´ına associada ao processo R(t) por P{T(R) < ∞}. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  38. 38. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado 6 Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına 7 Caso Cl´assico 8 Estudo realizado Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  39. 39. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Quais as condi¸c˜oes no caso cl´assico? N ´e um processo de Poisson com parˆametro λ > 0. N ´e independente do Processo {Yk}. Em um caso particular podemos tomar as indeniza¸c˜oes Yk com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro δ > λ. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  40. 40. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Quais as condi¸c˜oes no caso cl´assico? N ´e um processo de Poisson com parˆametro λ > 0. N ´e independente do Processo {Yk}. Em um caso particular podemos tomar as indeniza¸c˜oes Yk com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro δ > λ. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  41. 41. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Quais as condi¸c˜oes no caso cl´assico? N ´e um processo de Poisson com parˆametro λ > 0. N ´e independente do Processo {Yk}. Em um caso particular podemos tomar as indeniza¸c˜oes Yk com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro δ > λ. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  42. 42. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Quais as condi¸c˜oes no caso cl´assico? N ´e um processo de Poisson com parˆametro λ > 0. N ´e independente do Processo {Yk}. Em um caso particular podemos tomar as indeniza¸c˜oes Yk com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro δ > λ. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  43. 43. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Qual a probabilidade de ru´ına no caso cl´assico? No caso cl´assico, N(.) processo de Poisson e E(etYk ) < ∞ para algum t > 0, temos a desigualdade de Lundberg, ver Asmussen (2000), Desigualdade de Lundberg P{T(R) < ∞} ≤ e−γu , (1) onde γ > 0 ´e o coeficiente de ajuste. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  44. 44. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Caso cl´assico com indeniza¸c˜oes exponenciais No caso cl´assico com indeniza¸c˜oes exponenciais a probabilidade de ru´ına ´e conhecida, ver Asmussem (2000), e ´e dada por: Probabilidade de Ru´ına com indeniza¸c˜oes exponenciais P inf t≥0 R(t) < 0 = λ δ exp[−(δ − λ)u]. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  45. 45. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Ru´ına em tempo finito A ru´ına em tempo finito ´e a probabilidade do tempo de ru´ına ser menor que um valor finito e temos assim a distribui¸c˜ao do tempo de ru´ına: Probabilidade de ru´ına em tempo finito P{T(R) ≤ t}. Para Yk’s exponencialmente distribu´ıdas com a exponencial padr˜ao e para o processo de Poisson com taxa λ < 1 tamb´em ´e conhecida. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  46. 46. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Ru´ına em tempo finito Ru´ına em tempo finito P{T(R) ≤ t} = λe−(1−λ)u − 1 π π 0 f1(θ)f2(θ) f3(θ) dθ, (2) onde f1(θ) = λ exp[2 √ λt cos θ − (1 + λ)t + u( √ t cos θ − 1)], f2(θ) = cos(u √ λ senθ) − cos(u √ λ senθ + 2θ), f3(θ) = 1 + λ − 2 √ λ cos θ. Ver Asmussen (2000). Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  47. 47. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado 6 Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına 7 Caso Cl´assico 8 Estudo realizado Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  48. 48. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Situa¸c˜oes pr´aticas Queremos limitantes superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito. O valor das indeniza¸c˜oes n˜ao possuem segundo momento finito. Portanto o valor das indeniza¸c˜oes possuem cauda pesada. O estudo da probabilidade de ru´ına requer outras t´ecnicas. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  49. 49. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Situa¸c˜oes pr´aticas Queremos limitantes superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito. O valor das indeniza¸c˜oes n˜ao possuem segundo momento finito. Portanto o valor das indeniza¸c˜oes possuem cauda pesada. O estudo da probabilidade de ru´ına requer outras t´ecnicas. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  50. 50. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Situa¸c˜oes pr´aticas Queremos limitantes superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito. O valor das indeniza¸c˜oes n˜ao possuem segundo momento finito. Portanto o valor das indeniza¸c˜oes possuem cauda pesada. O estudo da probabilidade de ru´ına requer outras t´ecnicas. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  51. 51. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Situa¸c˜oes pr´aticas Queremos limitantes superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito. O valor das indeniza¸c˜oes n˜ao possuem segundo momento finito. Portanto o valor das indeniza¸c˜oes possuem cauda pesada. O estudo da probabilidade de ru´ına requer outras t´ecnicas. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  52. 52. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Situa¸c˜oes pr´aticas Queremos limitantes superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito. O valor das indeniza¸c˜oes n˜ao possuem segundo momento finito. Portanto o valor das indeniza¸c˜oes possuem cauda pesada. O estudo da probabilidade de ru´ına requer outras t´ecnicas. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  53. 53. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que fazemos nessas situa¸c˜oes? Furrer, Michna e Weron (1997), Stable L´evy motion aproximation in collective risk theory. Insurance: Mathematics and Economics 20, 97-114. Estudamos a probabilidade de ru´ına via aproxima¸c˜ao de processos de risco {Q(n)} por processos L´evy α-est´aveis, com 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  54. 54. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que fazemos nessas situa¸c˜oes? Furrer, Michna e Weron (1997), Stable L´evy motion aproximation in collective risk theory. Insurance: Mathematics and Economics 20, 97-114. Estudamos a probabilidade de ru´ına via aproxima¸c˜ao de processos de risco {Q(n)} por processos L´evy α-est´aveis, com 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  55. 55. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que fazemos nessas situa¸c˜oes? Furrer, Michna e Weron (1997), Stable L´evy motion aproximation in collective risk theory. Insurance: Mathematics and Economics 20, 97-114. Estudamos a probabilidade de ru´ına via aproxima¸c˜ao de processos de risco {Q(n)} por processos L´evy α-est´aveis, com 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  56. 56. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Como obter os limitantes? Primeiramente mostramos que Q(n)(t) f =⇒ Q(t). Mostramos em seguida que o funcional T ´e quase certamente cont´ınuo e T(Q(n)) f =⇒ T(Q). Consequentemente lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t}. Obtemos os limitantes. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  57. 57. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Como obter os limitantes? Primeiramente mostramos que Q(n)(t) f =⇒ Q(t). Mostramos em seguida que o funcional T ´e quase certamente cont´ınuo e T(Q(n)) f =⇒ T(Q). Consequentemente lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t}. Obtemos os limitantes. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  58. 58. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Como obter os limitantes? Primeiramente mostramos que Q(n)(t) f =⇒ Q(t). Mostramos em seguida que o funcional T ´e quase certamente cont´ınuo e T(Q(n)) f =⇒ T(Q). Consequentemente lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t}. Obtemos os limitantes. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  59. 59. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Como obter os limitantes? Primeiramente mostramos que Q(n)(t) f =⇒ Q(t). Mostramos em seguida que o funcional T ´e quase certamente cont´ınuo e T(Q(n)) f =⇒ T(Q). Consequentemente lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t}. Obtemos os limitantes. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  60. 60. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Como obter os limitantes? Primeiramente mostramos que Q(n)(t) f =⇒ Q(t). Mostramos em seguida que o funcional T ´e quase certamente cont´ınuo e T(Q(n)) f =⇒ T(Q). Consequentemente lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t}. Obtemos os limitantes. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  61. 61. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado A sequˆencia de processos adotada. Considere a sequˆencia de processos de risco {Q(n)} dada por: Sequˆencia de processos de risco. Q(n) (t) = u(n) + c(n) t − N(n)(t) k=1 Y (n) k , t ≥ 0. (3) Como as sequˆencias u(n) e c(n) s˜ao determin´ısticas, na busca de um processo limite Q ´e natural a hip´otese u(n) → u > 0 e c(n) → c > 0. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  62. 62. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Por que processos L´evy α-est´aveis? Teorema do Limite Central Sejam as v.a.’s Yk i.i.d.’s com distribui¸c˜ao qualquer, E(Yk) = µ < ∞ e 0 < var(Yk) = σ2 < ∞, ent˜ao 1 σ √ n n k=1 (Yk − µ) f =⇒ N(0, 1). (4) Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  63. 63. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Por que processos L´evy α-est´aveis? Sendo B(1) d = N(0, 1), a convergˆencia (4) sugere que Processo de L´evy α com parˆametro 1 1 φ(n) n k=1 (Yk − µ) f =⇒ Zα(1), (5) onde Zα(1) tem distribui¸c˜ao est´avel com ´ındice de estabilidade 1 < α < 2 e {φ(n)} s˜ao constantes normalizantes. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  64. 64. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Um caso particular No caso particular de α = 2 temos φ(n) = n1/2σ e a no¸c˜ao de divisibilidade infinita, juntamente com o Teorema de Donsker, indica que se Y (n) k = Yk/φ(n), ent˜ao nossa sequˆencia dada em (3) converge fracamente para Processo limite Q(t) = u + ct − B(t). Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  65. 65. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que faremos nesse trabalho? Supomos Y (n) k = Yk/φ(n) onde, novamente, {Yk} ´e uma sequˆencia de v.a.’s i.d.d. com m´edia µ. Assumimos a ocorrˆencia de (5). A fun¸c˜ao φ ser´a dada por φ(n) = n1/αL(n) onde L cresce lentamente para o infinito, ou seja, L(n)n−δ converge a 0 para todo δ > 0. Se n˜ao explicitado anteriormente, assumimos pelo restante do trabalho que 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  66. 66. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que faremos nesse trabalho? Supomos Y (n) k = Yk/φ(n) onde, novamente, {Yk} ´e uma sequˆencia de v.a.’s i.d.d. com m´edia µ. Assumimos a ocorrˆencia de (5). A fun¸c˜ao φ ser´a dada por φ(n) = n1/αL(n) onde L cresce lentamente para o infinito, ou seja, L(n)n−δ converge a 0 para todo δ > 0. Se n˜ao explicitado anteriormente, assumimos pelo restante do trabalho que 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  67. 67. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que faremos nesse trabalho? Supomos Y (n) k = Yk/φ(n) onde, novamente, {Yk} ´e uma sequˆencia de v.a.’s i.d.d. com m´edia µ. Assumimos a ocorrˆencia de (5). A fun¸c˜ao φ ser´a dada por φ(n) = n1/αL(n) onde L cresce lentamente para o infinito, ou seja, L(n)n−δ converge a 0 para todo δ > 0. Se n˜ao explicitado anteriormente, assumimos pelo restante do trabalho que 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  68. 68. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que faremos nesse trabalho? Supomos Y (n) k = Yk/φ(n) onde, novamente, {Yk} ´e uma sequˆencia de v.a.’s i.d.d. com m´edia µ. Assumimos a ocorrˆencia de (5). A fun¸c˜ao φ ser´a dada por φ(n) = n1/αL(n) onde L cresce lentamente para o infinito, ou seja, L(n)n−δ converge a 0 para todo δ > 0. Se n˜ao explicitado anteriormente, assumimos pelo restante do trabalho que 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  69. 69. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado O que faremos nesse trabalho? Supomos Y (n) k = Yk/φ(n) onde, novamente, {Yk} ´e uma sequˆencia de v.a.’s i.d.d. com m´edia µ. Assumimos a ocorrˆencia de (5). A fun¸c˜ao φ ser´a dada por φ(n) = n1/αL(n) onde L cresce lentamente para o infinito, ou seja, L(n)n−δ converge a 0 para todo δ > 0. Se n˜ao explicitado anteriormente, assumimos pelo restante do trabalho que 1 < α < 2. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  70. 70. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Qual o processo limite nesse caso? Vamos mostrar que a sequˆencia dada em (3), nas condi¸c˜oes dadas acima, converge fracamente para o processo de risco Q = {Q(t) : t ≥ 0} dado por Processo limite Q(t) = u + ct − λ1/α Zα(t) (6) onde, novamente, u e c s˜ao constantes positivas e {Zα(t) : t ≥ 0} ´e um processo de L´evy α-est´avel; a constante positiva λ ser´a explicitada no Teorema 3.1. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  71. 71. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Processo pontual no trabalho Diferentemente do caso cl´assico n˜ao supomos N(n) um processo de Poisson em (3), veremos adiante que este pode ser um processo de renova¸c˜ao arbitr´ario: N(t) = max n : n k=1 Tk ≤ t , onde assumimos que os tempos entre chegadas (Tk : k ∈ N) s˜ao v.a.’s i.i.d.’s positivas. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  72. 72. Processos de risco e a Probabilidade de Ru´ına Caso Cl´assico Estudo realizado Teorema 3.1 Seja a sequˆencia (Yk : k ∈ N) como acima e considere (N(n) : n ∈ N) uma sequˆencia de processos pontuais tais que N(n) − λnt φ(n) p → 0, n → ∞, (7) na topologia de Skorohod para alguma constante positiva λ. Assuma tamb´em que para E[Yk ] = µ temos lim n→∞ c(n) − λn µ φ(n) = c, lim n→∞ u(n) = u. (8) Ent˜ao u(n) + c(n) t − 1 φ(n) N(n) (t) k=1 Yk f =⇒ u + ct − λ1/α Zα(t), n → ∞, (9) na topologia de Skorohod. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  73. 73. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Parte IV Limitantes para a Probabilidade de Ru´ına em Tempo Finito Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  74. 74. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito 9 Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına 10 Ru´ına em Tempo Finito Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  75. 75. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Aproxima¸c˜ao do Tempos de Ru´ına Mostramos que temos a convergˆencia fraca T(Q(n) ) f =⇒ T(Q) e tamb´em a aproxima¸c˜ao para a probabilidade a tempo finito lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t}. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  76. 76. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Teorema 4.1 Seja T o tempo de ru´ına definido na Defini¸c˜ao 3.2. Se Q(n) ⇒ Q onde Q ´e dado em (6), ent˜ao T(Q(n) ) ⇒ T(Q). (10) Mais ainda, lim n→∞ P{T(Q(n) ) ≤ t} = P{T(Q) ≤ t} (11) e lim n→∞ P inf 0≤s≤t Q(n) (s) < 0 = lim n→∞ P inf 0≤s≤t Q(s) < 0 . (12) Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  77. 77. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito 9 Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına 10 Ru´ına em Tempo Finito Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  78. 78. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito O que faremos nessa se¸c˜ao? Estabelecemos cotas superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito, P{T(Q) ≤ t}. Primeiro para movimentos de L´evy α-est´aveis sim´etricos. Em seguida para movimentos de L´evy α-est´aveis arbitr´arios. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  79. 79. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito O que faremos nessa se¸c˜ao? Estabelecemos cotas superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito, P{T(Q) ≤ t}. Primeiro para movimentos de L´evy α-est´aveis sim´etricos. Em seguida para movimentos de L´evy α-est´aveis arbitr´arios. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  80. 80. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito O que faremos nessa se¸c˜ao? Estabelecemos cotas superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito, P{T(Q) ≤ t}. Primeiro para movimentos de L´evy α-est´aveis sim´etricos. Em seguida para movimentos de L´evy α-est´aveis arbitr´arios. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  81. 81. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito O que faremos nessa se¸c˜ao? Estabelecemos cotas superiores para a probabilidade de ru´ına a tempo finito, P{T(Q) ≤ t}. Primeiro para movimentos de L´evy α-est´aveis sim´etricos. Em seguida para movimentos de L´evy α-est´aveis arbitr´arios. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  82. 82. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Lema 4.1 Seja X d = Sα(σ, β, µ) com 1 < α < 2. Ent˜ao    lim λ→∞ λα P{X > λ} = Cα 1 + β 2 σα , lim λ→∞ λα P{X < −λ} = Cα 1 − β 2 σα . A constante Cα ´e dada por Cα = 1 − α Γ(2 − α) cos(πα/2) Ver Samorodnitsky e Taquu (1994). Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  83. 83. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Primeira Aproxima¸c˜ao Proposi¸c˜ao 4.1 Seja Zα um movimento α-est´avel de L´evy com parˆametro de assimetria −1 < β < 1. Ent˜ao P{T(u+cs−λ1/α Zα(s)) ≤ t} ∼ Cα 1 + β 2 λt(u+ct)−α , u → ∞. Para duas fun¸c˜oes f e g, vamos usamos a nota¸c˜ao f ∼ g para indicar que lim x→∞ f (x)/g(x) = 1. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  84. 84. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Limitantes para o caso sim´etrico Para X d = Sα(1, β, 0) vamos denotar por G(x; α, β) sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao e representaremos G = 1 − G. Teorema 4.2 Seja Zα um movimento α-est´avel de L´evy sim´etrico. Para n´umeros positivos u, c e λ n´os temos P{T(u + cs − λ1/α Zα(s)) ≤ t} ≤ 2P{Zα(t) > uλ−1/α } = 2G(u/(λt)1/α ; α, 0). Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  85. 85. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Caso n˜ao sim´etrico Lema 4.2 Seja Zα um movimento α-est´avel de L´evy com α = 1 e parˆametro de desvio |β| ≤ 1. Ent˜ao para z > 0 temos (i) P{Zα(t) > 0} = 1 2 + 1 πα arctan β tan πα 2 =: ρ, (ii) P sup 0≤s≤t Zα(s) ≥ z ≤ 1 ρ P{Zα(t) > z}. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  86. 86. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Caso n˜ao sim´etrico Teorema 4.3 Seja Zα um movimento α-est´avel de L´evy com ´ındice α = 1 e |β| ≤ 1. Para n´umeros positivos u, c e λ n´os temos P{T(u + cs − λ1/α Zα(s)) ≤ t} ≤ 1 ρ P{Zα(t) > uλ−1/α } = 1 ρ G(u/(λt)1/α ; α, β). Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  87. 87. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Caso n˜ao sim´etrico Teorema 4.4 Seja Zα um movimento α-est´avel de L´evy com ´ındice α = 1 e |β| ≤ 1 ou α = 1 e β = 0. Para n´umeros positivos u, c e λ n´os temos P{T(u + cs − λ1/α Zα(s)) ≤ t} ≤ G((u + ct)/(λt)1/α; α, β) G(ct/(λt)1/α; α, β) . Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  88. 88. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Divisibilidade Infinita Defini¸c˜ao Dizemos que uma v.a. X tem distribui¸c˜ao infinitamente divis´ıvel se ∀n ∈ N existem v.a.’s X (n) 1 , X (n) 2 , · · · , X (n) n i.i.d’s tais que X d = X (n) 1 + · · · + X (n) n . Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis
  89. 89. Aproxima¸c˜ao dos Tempos de Ru´ına Ru´ına em Tempo Finito Defini¸c˜ao Alternativa Defini¸c˜ao Um processo Zα(t) iniciado em 0, com incrementos independentes e estacion´arios, ´e dito L´evy α-est´avel se Zα(1) d = Sα(σ, β, 0). Essa defini¸c˜ao ´e equivalente `a Defini¸c˜ao 1.4. Jhames Matos Sampaio Probabilidade de Ru´ına e Processos de L´evy α-est´aveis

×