Funciones y Procesos Infinitos: Sumatorias
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Definición y propiedades de las sumatorias.

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Funciones y Procesos Infinitos: Sumatorias Funciones y Procesos Infinitos: Sumatorias Document Transcript

  • El signo Σ corresponde a la letra mayúscula sigma, del alfabeto griego. Es equivalente a la letra S, de nuestro alfabeto. Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. Guía de Trabajo Nº 2 Funciones y Procesos Infinitos Sumatorias: 1. Concepto de sumatoria: A menudo resulta difícil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesión, considerándolos como sumandos. Para facilitar este trabajo se ha convenido representar la adición de los términos en forma abreviada, mediante el signo Σ, acompañado de la fórmula o término general que define a la sucesión y del rango de valores que tomará la variable considerada en esa fórmula. Se denomina sumatoria de una sucesión na , a la forma abreviada de escribir sus términos expresados como sumandos: Se denota: ∑ = =++++ n k kn aaaaa 1 321 .. . Ejemplos: 1+2+3+...+ n= ∑= n k k 1 1 2 +2 2 +3 2 +...+n 2 = ∑= n k k 1 2 ∑= + =+++++ 20 1 121 20 ... 5 4 4 3 3 2 2 1 k k k 2. Propiedades de las sumatorias: Sumatoria de una constante: Si c1=c2=c3=...=cn=c, constante, entonces: cnc n k k ⋅=∑=1 1
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. Ejemplo: 2004504...4444 50 1 =⋅=++++=∑=k 50 veces Sumatoria del producto de una constante por los términos de una sucesión: Si c es una constante, entonces: ∑∑== ⋅=⋅ n k k n k k acac 11 Ejemplo: 180603)26171052(3)1(3)1(3 5 1 2 5 1 2 =⋅=++++⋅=+⋅=+ ∑∑ == kk kk Sumatoria de una suma o resta de términos de dos o más sucesiones: Si ka y kb son sucesiones, entonces se cumple que: ∑∑∑=== ±=± n k k n k k n k kk baba 111 )( Ejemplo: ∑∑∑∑ ==== +⋅−=+− 6 1 6 1 6 1 2 6 1 2 23)23( kkkk kkkk Propiedad Telescópica de las sucesiones: El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus términos se anulan quedando estas reducidas a sólo dos términos. Esta propiedad se denomina Propiedad telescópica de las sumatorias. Observemos el siguiente caso: )()(...)()()()( 11342312 1 1 nnnnx n k k aaaaaaaaaaaa −+−++−+−+−=− +− = +∑ Luego: 2 La notación ∑= n k ka 1 se lee: “sumatoria de los términos de la forma, a sub k, donde k varía de 1 a n.”
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. 11 1 1 )( aaaa nk n k k −=−+ = +∑ Con el mismo razonamiento se tiene: 111 1 )( ++ = −=−∑nk n k k aaaa La Propiedad Telescópica también es válida para la suma de los recíprocos: 1111 1111 aaaa nkk n k −=      − ++= ∑ 1111 1111 ++= −=      −∑ nkk n k aaaa La propiedad Telescópica es de gran utilidad para hallar una expresión que permita calcular directamente el valor de alguna sumatoria o para demostrar si una sumatoria es igual a una expresión o fórmula dada, como por ejemplo: Calculemos una fórmula para: ∑= + n k kk1 )1( 1 Si expresamos el numerador de la fracción como: (1+k-k), tenemos: 1 11 )1()1( 1 )1( 1 111 + −= + − + + = + −+ ∑∑∑ === kkkk k kk k kk kk n k n k n k 3
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. Aplicando la propiedad telescópica: 11 11 1 1 1 1 11 1 + = + −+ = + −= + −∑= n n n n nkk n k Por lo tanto: 4 1)1( 1 1 + = + ∑= n n kk n k
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. Guía de Ejercicios: 4° Medio : Funciones y Procesos Infinitos Calcula las siguientes sumatorias: 1) = + ∑= 7 1 2 )1( k kk 2) ∑= =− 8 1 )23( k k 3) = + ∑= 6 1 2 )1(k k k 4) = + − ∑= 10 1 1 1 k k k 5) ( ) = + − ∑= 4 1 12 1 k k k 6) ( ) = +− ∑= 8 1 2 4 )1(1 k k k k Expresa como sumatoria, las siguientes sumas: i) 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + 50 51 ii) 1 ∙ 1 +2 ∙ 3 +3 ∙ 5 + … + 10 ∙ 19 iii) 2 + 5 + 8 + 11 + … + 44 5
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. iv) 1 + 4 + 7 + … + 43 v) 2 + 5 + 10 + 17 + … + 401 vi) 5 + 8 + 13 + 20 + … + 904 Aplica las propiedades de las sumatorias y calcula: i) =∑= 25 4 22 4 k ii) = + ∑= 10 1 3 5 )1(7 k k iii) ∑= =−+ 20 11 2 )2)(2( k kk iv) ∑= =+ 13 1 3 )7( k k 6
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. Guía de ejercicios N°2 4° Medio : Funciones y Procesos Infinitos Usa la fórmula correspondiente y calcula cada una de las siguientes sumatorias: 1) ∑= = 40 1k k 2) =−∑= 30 1 )12( k k 3) ∑= = 63 1 2 k k 4) =∑= 80 1 2 )2( k k 5) ∑= =+ 70 1 2 )( k kk 6) =−∑= 15 1 2 )25( k k Usa las fórmulas conocidas y encuentra a su vez otra fórmula para cada una de las siguientes sumatorias. i) =∑= n k k 1 2 ii) =−∑= n k k 1 )23( 7
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. iii) =+∑= n k k 1 )42( iv) =−∑= n k k 1 2 )1( v) =+∑= n k kk 1 2 )46( vi) =+∑= n k k 1 2 )1( 8
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. Guía de Trabajo Nº 3 Funciones y Procesos Infinitos Sumatorias: Sumatoria de una Sucesión: A veces es posible encontrar una fórmula o expresión general para la sumatoria de los términos de una sucesión, lo que simplifica notablemente el cálculo de dicha sumatoria. 1) Sumatoria de los n primeros números naturales: Sea An = 1, 2, 3, 4, 5, … , n-1, n nnk n k +−+++++=∑= )1(...4321 1 , o bien 123....)2()1( 1 ++++−+−+=∑= nnnk n k Sumando término a término, tenemos: )1(...)1()1()1(2 1 ++++++++=∑= nnnnk n k n veces 2 )1( ,)1(2 11 + =+= ∑∑ == nn kuegolnnk n k n k 2) Sumatoria de los n primeros números impares: Sea An= 1, 3, 5, 7, … , (2n-1) 1+3+5+ … + (2n-1)= ∑= − n k k 1 )12( Aplicando propiedades de la sumatoria, tenemos: 2 1 )12( nk n k =−∑= 9
  • Colegio Gabriela Mistral Departamento de Matemática Susana Castro C. ¡Compruébalo! 10