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Notación matemática

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Introducción a la notación matemática, con particular orientación al estudio de la matemática financiera.

Introducción a la notación matemática, con particular orientación al estudio de la matemática financiera.

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  • 1. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero NOTACIÓN MATEMÁTICA INTRODUCCION: La matemática tiene, como la mayoría de las ciencias y otras disciplinas del saber, un lenguaje particular, específico, el cual simplifica, en algunos casos, la comunicación, y por otro lado clarifica y designa de una manera exacta, sin posible confusión, sus contenidos. El desconocimiento del lenguaje matemático produce errores de construcción, de interpretación, y en definitiva hace imposible la comunicación. Es decir, si se pierde la gran virtud de las matemáticas que es, su exactitud, nos queda una ciencia con un lenguaje que producirá errores y confusiones. Pero, ¿a qué nos referimos cuando hablamos de lenguaje matemático? Pues a dos cosas distintas pero interrelacionadas, a saber: la simbología utilizada en matemática y, por otro lado, la estructura y presentación de los contenidos matemáticos. La simbología matemática está repleta de signos o caracteres gráficos, que son como las “palabras” de un idioma. Éstas deben ser conocidas con el objeto de poder interpretar lo que se quiere decir con ellas, al tiempo que se deben utilizar para decir lo que se quiera. Cada uno de estos símbolos utilizados en matemática, son necesarios para la perfecta construcción de ideas, de manera que la sustitución de alguno de ellos por otro diferente, aunque sea gráficamente parecido, cambiaría totalmente el significado. Es decir, todas y cada una de las “palabras matemáticas” tienen un significado particular, no existiendo la posibilidad de sinónimos. Por otra parte, la presentación de los contenidos matemáticos se realiza mediante enunciados con nombres o etiquetas (como por ejemplo: Definición, Teorema, Proposición, Lema, Demostración, Corolario, etc.), de manera que cada una de ellas predice su contenido. Así, todo enunciado o afirmación en matemática, debe ser presentado dentro de uno de estos epígrafes, ayudando así a una clara organización y estructura de los contenidos de la materia.
  • 2. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero II.- DESARROLLO DEL TEMA: 1.-SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA: a) CONJUNTOS NUMÉRICOS: Los Conjuntos Numéricos se designan con las letras: IN : Conjunto de los números Naturales. IN0 : Conjunto de los números Cardinales. Z : Conjunto de los números Enteros. Q : Conjunto de los números Racionales. Q’ : Conjunto de los números Irracionales. IR : Conjunto de los números Reales. C : Conjunto de los números Complejos. b) RELACIÓN DE PERTENENCIA: Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto escribimos: x ∈ A (se lee: x pertenece al conjunto A) Para indicar que un elemento NO pertenece a un conjunto escribimos: x ∉ A (se lee: x no pertenece al conjunto A) c) DEFINICIÓN DE CONJUNTOS: Un Conjunto puede definirse de dos maneras: Nota 1: Un elemento se escribe siempre con letra minúscula y un conjunto se escribe siempre con letra mayúscula.- Un Conjunto se dice que está bien definido cuando se puede determinar, sin ningún error, cuáles son los elementos que lo forman. Cuando un elemento forma parte de un Conjunto, se dice que pertenece (∈) al Conjunto y, en caso contrario, que no pertenece (∉) al Conjunto.-
  • 3. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero c1) Por Extensión: Nombrando todos y cada uno de los elementos que lo forman. Para escribirlos, se encierran los elementos entre llaves y separados por comas: Ejemplo: V= { a, e, i, o, u } y se lee “ V es el conjunto formado por las letras a,e,i,o,u” c2) Por Comprensión: Nombrando una propiedad que cumplan todos los elementos del c El conjunto del ejemplo anterior, de onjunto y sólo ellos.- finido por comprensión, se escribe: --------- V= { x / x es letra vocal } y se lee “V es el conjunto de los elementos x, tal que x es letra vocal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Nota 2: El símbolo / se lee “tal que” --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d) CUANTIFICADORES: d1) CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: ∃ jemploE : Para representar que en el conjunto A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, existen elementos ue son ∃ x ∈ A / x = 2 ento x que pertenece al conjunto A tal que x es múltiplo de 2 ! jemplo q MÚLTIPLOS DE 2, se escribiría: y se lee: “ existe al menos un elem ” ∃ E : La ∈IN / x es par x es primo e lee: “ al conjunto de los números aturales tal que x es par y x es primo”. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- expresión ∃! x ^ s n existe un único x que pertenece -- Nota 3: El número dos con un punto arriba representa a los múltiplos de dos. n general, a representa a los múltiplos de a ------------------------------------------------------------------------------------------------------ E --------------------- Se utiliza para expresar la existencia de al menos un elemento que cumple Se representa por el símbolo una condición o propiedad. ∃ , y se lee “existe al menos” Se utiliza para expresar la existencia de un único elemento que cumple una condición o propiedad. Se representa por el símbolo ∃ ! , y se lee “existe un único”
  • 4. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero d2) CUANTIFICADOR UNIVERSAL: n el ejemplo anterior, todos los elementos de A son números naturales. Se escribiría así:E ∀ x ∈ A, x ∈ IN se lee unto A, x pertenece al conjunto de los números naturales” -- e) CON Y ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- : “para todo elemento x que pertenece al conj ECTIVOS LOGICOS BASICOS: Los Conectivos Lógicos Básicos son: e1) Conjunción: “ ∧ ” que se lee “y” Ejemplo: Para indicar que el 2 es un n escribe: úmero natural y que el - 5 es un número entero, se 2 ∈IN ∧ - 5 ∈ Z 2) Disyuncióne : “ jemplo ∨ ” que se lee “o” E : Para indicar que x es un elemento de la Unión de los conjuntos A y B, se escribe: x ∈A ∨ x∈B e3) Implicación: “⇒” que se lee “entonces Ejemplo ” : a ∈IN - a ∈ Z u e úm os naturales entonces -a pertenece al e3) Doble Implicación ⇒ y se lee: “ Si a pertenece al conj nto d los n er conjunto de los números enteros”. : “ ” que se lee “ si y sólo si” Ejemplo ⇔ : a ∈IN ⇔ ∈Z( a ∧ a > 0 ) aturales si y sólo si a pertenece a los números eros y a es mayor que cero”. y se lee: “ a pertenece a los números ent n g) Signos de OPERACIONES: Operaciones Símbolos ¿Cómo se lee? Se utiliza para expresar que una propiedad o condición es cierta para todo elemento del conjunto. Se representa por el símbolo ∀ , y se lee “para todo”
  • 5. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero Adición a + b “a más b” Sustracción a - b “a menos b” Multiplicación a.b “a por b” División a : b “a dividido por b” Potenciación a “a elevado a n” ”enésima potencia de a” n Radicación n “raíz enésima de a”a Logaritmación bglo a “logarítmo de a en ”base b Factorial n ! “ ene factorial” Porcentaje a% “a por ciento” h) Signos de Relaciones: ¿Cómo se lee?Relaciones Símbolos Igualdad a = b “ a es igual a b” Desigualdad a b “a es distinto de b” Des “a ”igualdad a > b es mayor que b Desigualdad “a es menor que b”a < b Desigualdad o “a e b” igualdad a ≥ b s mayor o igual que Desigualdad o a ≤ b “a es menor o igual que b” igualdad EJERCICIOS
  • 6. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero I.-Corrige los siguientes enunciados Enunciado INCORRECTO o Fa iado CORRECTO o Verdaderolso. Enunc 1) ∀ x ∈ IN se cumple que ( a- b ) ∈N 2) La raíz de 4 es 2 3) a ”≤ b se lee “a es menor e igual que b 4) A ∈IN 5) Si x∈{2, 4, 6,8} entonces x es impar. 6) ∀ x ∈ IN, x ≥ 0 II.- Escribe por comprensión los siguientes conjuntos: 1) Conjunto de los números pares mayores ue 4 y menores o iguales que 10.q 2) { 1,3,5,7,9} 3) { 2,3,5,7,11,13,17} 4) El conjunto formado por las vocales 5) { 1,5,9,13,17} III.- Escribe por extensión los siguientes conjuntos: iguales que 10. 1) Conjunto de los números pares mayores que 2 y menores o 2) { 1,3,5,7,9} 3) { 2,3,5,7,11,13,17} 4) El conjunto formado por las vocales de nuestro alfabeto 5) El conjunto de letras de la pala “Subercaseaux” bra IV.-Escribe en forma simbólica los siguientes enunciados:
  • 7. Matemáticas I Semestre 2007-1 Adaptado Por Edward Rogers Técnico Financiero a) “Para todo X pertenecientes a los naturales existe un único elemento neutro ditivo, tal que x + 0 = x”a b) “La fracción 2 7 no pertenece al conjunto de los números enteros” IV.- ¿Cómo se lee la siguiente expresión? x = 2X + π + e

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