Resolución de problemas

Bolet´ de la Asociaciń Matem´tica Venezolana, Vol. XIII, No. 1 (2006)
ın o a 53

´
EDUCACION

La resoluciń de problemas: una visiń
o o
hist´rico-didćtica
o a

J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´
ıguez & P. Ruesga

Resumen

Este art´
ıculo aborda la evoluciń de la resoluciń de problemas ma-
o o
tem´ticos desde una perspectiva hist´rico-didćtica, tomando como gu´
a o a ıa
cuatro etapas fundamentales: la Antigëdad, partiendo desde el 2000 a.
u
n. e hasta la ca´ del Imperio Romano en el siglo V n. e; se sigue con la
ıda
Edad Media, hasta el siglo XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la
alborada del siglo XX; y se concluye en la ´poca Contemporńea.
e a

Palabras claves: Soluciń de Problemas; Historia de la Matem´tica.
o a

1. Introduccion

La resoluciń de problemas matem´ticos siempre ha sido el corazń de la
o a o
actividad matem´tica. Su evoluciń hist´rica revela la plena relaciń que ha
a o o o
tenido esta actividad con la enseãnza-aprendizaje de la propia Matem´tica.
n a
Desde la Antigëdad se ha ido transmitiendo todo el caudal de conocimien-
u
tos acumulados por la humanidad durante milenios; nuestra ciencia no ha sido
ajena a esta transferencia, y se ha matizado por la implementaciń de diferentes
o
m´todos a la hora de realizar tal acciń.
e o
En el trabajo se pone de manifiesto que la didćtica de la resoluciń de pro-
a o
blemas matem´ticos y en general la Didćtica de la Matem´tica es una disciplina
a a a
cient´ ıfica en plena formaciń. En el estudio de la evoluciń hist´rico-didćtica
o o o a
de la resoluciń de problemas se observa que en sus inicios muchos conceptos
o
fueron manejados de manera intuitiva. Entre estos conceptos figuraron los de
Matem´tica escolar, problemas matem´ticos, entre otros. El propio desarrollo
a a
de tćnicas para la resoluciń de problemas precis´ que dichos conceptos dejaran
e o o
de ser transparentes y pasaran a ser objeto de estudio en s´ mismos.
ı
A continuaciń se abordar´ la evoluciń antes mencionada, tomando como
o a o
gu´ cuatro etapas fundamentales: la Antigëdad, partiendo desde el siglo VI a.
ıa u
n. e hasta la ca´ del Imperio Romano en el siglo V n. e; se sigue con la Edad
ıda
Media, hasta el siglo XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la alborada
del siglo XX; y se concluye en la ´poca Contemporńea.
e a

54 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´
ıguez & P. Ruesga

2. La resoluciń de problemas en la Antig¨ edad
o u
La apariciń de la escuela se remonta a la misma ´poca de la invenciń
o e o
de la escritura. Investigaciones hist´ricas demuestran que la enseãnza de la
o n
aritm´tica se iniciaba en una fase temprana en la vida escolar, al mismo tiempo
e
que la lectura y la escritura; se debe aclarar que las Matem´ticas eran consi-
a
deradas elementos importantes en la formaciń de los escribas y que la escuela
o
respond´ a las necesidades de esa sociedad, es decir, a las necesidades del mo-
ıa
mento hist´rico concreto, aunque estaba dirigida a grupos muy restringidos.
o
De la lectura de un documento hist´rico en que se loa a uno de los re-
o
yes del tercer imperio de Ur en Mesopotamia se puede inferir que la finalidad
fundamental de los problemas matem´ticos propuestos era preparar al hombre
a
para el c´lculo. El soberano proclamaba muy orgulloso “S´ sumar y restar a
a e
la perfecciń, soy diestro en c´lculo y en contabilidad”. Muchos autores coinci-
o a
den en plantear que fue el matem´tico griego Herń, quien vivi´ en Alejandr´
a o o ıa
aproximadamente entre los siglos II y I a.n.e, el primero en incluir ejercicios con
texto en sus trabajos; sin embargo, se conocen, de hecho, algunos textos ma-
tem´ticos escolares m´s antiguos. Estos textos son de dos tipos: de tablas y de
a a
problemas; estos ultimos proponen, por ejemplo, este “problema tipo”, hallado
´
en un papiro egipcio de mediados del segundo milenio: En una pir´mide el lado
a
tiene 140 codos y la inclinaciń es de 5 palmos y 1 dedo por codo. ¿Cu´l es la
o a
altura?
Tanto en las tablillas de barro, como en los papiros m´s antiguos, se puede
a
encontrar estos tipos de problemas totalmente “idealizados”, que evidentemente
fueron concebidos con el ńimo de enseãr los rudimentos aritm´ticos elemen-
a n e
tales. Los textos matem´ticos en su generalidad se inician con una exposiciń
a o
del problema matem´tico que se trata de resolver, y los datos se representan
a
como cifras concretas y no como variables abstractas. Sigue a la exposiciń del
o
problema la forma de ir solucionńdolo paso por paso, para llegar finalmente al
a
resultado. Cada nuevo paso se basa en el resultado de un paso anterior, o bien en
uno de los datos facilitados al principio. El “alumno”quedaba as´ capacitado pa-
ı
ra resolver cualquier otro problema del mismo tipo que pudiera present´rsele.a
Adem´s, estos problemas sol´ reagruparse de modo que las tćnicas apren-
a ıan e
didas pudieran aplicarse inmediatamente en otros casos (entińdase la misma
e
presentaciń te´rica con otros n´meros). Segń Boyer: “los cientos de problemas
o o u u
de tipos muy parecidos que aparecen en las tablillas cuneiformes tienen todo
el aspecto de ser ejercicios que deb´ resolver los escolares siguiendo ciertos
ıan
m´todos conocidos o reglas generales.”(Boyer, C. B. 1986, p. 66).
e
El objetivo didćtico que se persigue con la utilizaciń de los problemas
a o
resulta evidente con la explicaciń anterior. Adem´s, la estructura de los textos
o a
de los problemas y las tablas permiten abordar desde otra ´ptica la cuestiń de
o o
la abstracciń y la generalizaciń en las Matem´ticas. En conclusiń el plan-
o o a o
teamiento de los egipcios y babilonios consiste en crear una cadena de ejemplos

´
Sobre la resolucion de problemas 55

t´
ıpicos gracias a la cual es posible, por interpolaciń, establecer una relaciń
o o
entre un problema nuevo y los ya conocidos (principio de analog´ ıa).
Al penetrar en la Grecia se conoce que, aunque el c´lculo se enseãba en
a n
la escuela elemental, la sociedad griega se mostraba, realmente, poco interesada
por la formaciń intelectual y tćnica de los niõs y j´venes. Al igual que los
o e n o
textos babilonios o egipcios, los problemas planteados se refieren expl´ ıcitamente
a una situaciń concreta, incluso esta es muchas veces un artificio con fines
o
pedag´gicos. Se puede plantear que la apariciń de escuelas, algunas de las
o o
cuales llegaron a ser famosas, se debieron a iniciativas individuales; as´ los dos ı,
grandes fil´sofos atenienses de fines del siglo V y primera mitad del IV antes
o
de nuestra era, Sćrates ( 470-399 a.n.e) y Platń (428-347 a.n.e), fundan sus
o o
propias escuelas. El primero, de ret´rica, que era el arte de persuadir al otro por
o
medio de un discurso muy adornado y elaborado y el segundo, en el aõ 387, n
fund´ en Atenas su escuela de Filosof´ la “Academia”, instituciń a menudo
o ıa o
considerada como la primera universidad europea, la cual ofrec´ un amplio ıa
plan de estudios que inclu´ temas de Astronom´ Biolog´ Matem´tica, Teor´
ıa ıa, ıa, a ıa
Pol´ ıtica y Filosof´ ıa.
Sćrates ve´ las Matem´tica como instrumento indispensable de la forma-
o ıa a
ciń intelectual. Esta ciencia, en t´rminos de Sćrates, al igual que los deba-
o e o
tes contradictorios que tanto atra´ a la juventud, deb´ servir para formar
ıan ıan
mentes “bien hechas”, aunque su contenido resultara in´til para el ciudadano
u
cuyo ideal consist´ en dedicarse a la vida pol´
ıa ıtica. Para Platń, dicha cien-
o
cia cumple una funciń propedútica de magnitud distintiva, pues deben servir
o e
de introducciń al estudio de la Filosof´ mientras que a la vez pretend´ que
o ıa, ıa
esos conocimientos matem´ticos sirvieran como base a un proyecto de reformas
a
pol´ ıticas. Segń
u
Schoenfeld (1987), el fil´sofo griego Sćrates fue capaz de aislar la nociń
o o o
de “resolver problemas”para someterla a estudios; a pesar de su idea de que
solamente podemos conocernos a nosotros mismos, hay que destacar en ´l cier- e
tos elementos metacognitivos importantes, y estudiados en la actualidad, como
factores que intervienen en la soluciń de problemas. De todos es conocida la
o
importancia que concedi´ Platń al estudio de las Matem´ticas, en especial a la
o o a
enseãnza de la Geometr´ y c´mo la utiliza desde su posiciń de idealista obje-
n ıa, o o
tivo. A ´l se le debe la concepciń actual de los objetos matem´ticos al seãlar:
e o a n
“los razonamientos que hacemos en geometr´ no se refieren a las figuras visibles
ıa
que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.”(Boyer, C. B.
1986, P.125). Tambiń aprecia la importancia de la resoluciń de problemas,
e o
as´ en su obra “La Rep´blica”plantea que si se quiere desarrollar la inteligencia
ı, u
es preciso proceder como se hace en Geometr´ por medio de problemas.
ıa,
El t´rmino “heur´
e ıstica”surgi´ entre los m´s destacados matem´ticos y pen-
o a a
sadores de la antigëdad, posteriores a Sćrates y Platń. Tal era el nombre de
u o o
una rama del saber bastante mal definida y que se relacionaba tanto con la

ıguez & P. Ruesga

l´gica, como con la Filosof´ o la Psicolog´ En los trabajos llegados hasta la
o ıa ıa.
actualidad se observa la exposiciń frecuente de m´todos geom´tricos, pero raras
o e e
veces sus detalles; todo ello ten´ como objeto de estudio las reglas y m´todos
ıa e
del descubrimiento e invenciń.
o
En resumen, en la Antigëdad, partiendo de los puntos de vistas explica-
u
dos y, en virtud de la finalidad didćtica del proceso de resoluciń de problemas
a o
matem´ticos en esta ´poca, se percibe un sentido utilitario de la matem´tica
a e a
prehelńica frente a una ´ptica cosmol´gica de la griega, donde en ´sta la instru-
e o o e
mentaciń de las concepciones giran en torno a la comprensiń de los elementos
o o
que componen el orden existencial del hombre y su medio, aspecto que respon-
de a las caracter´
ısticas propias del desarrollo de la ciencia y de la cosmovisiń
o
humana en relaciń con la existencia. Es, en estos casos, la resoluciń de pro-
o o
blemas matem´ticos un veh´
a ıculo socioclasista de dominaciń en manos de los
o
que ostentaban el poder.

3. La resoluciń de problemas en la Edad Media
o

En la Edad Media, en la India, entre los siglos V-VII, las Matem´ticasa
alcanzan un gran esplendor y su desarrollo estuvo ligado ´ ıntimamente con ma-
tem´ticos de relieve como Aryabhata, Brahmagupta y Bh´skara. Los principales
a a
aportes de estos notables cient´ıficos se pueden exponer en la resoluciń completa
o
de la ecuaciń de segundo grado, la resoluciń de las ecuaciones indeterminadas
o o
y su aplicaciń a la soluciń de problemas prćticos. Adem´s, al igual que los
o o a a
“Elementos”del griego Euclides, en el que se sintetiz´ gran parte de la matem´ti-
o a
ca de su ´poca, los conocimientos de esta etapa fueron recogidos por Bh´skara
e a
en el siglo VII en su obra capital titulada “Sidhanta Ciromani”.
El desarrollo matem´tico adquiri´ gran relevancia en el Mundo Arabe.
a o ´
Una de las principales escuelas de este per´ ıodo fue la de Bagdad, en lo funda-
mental, por la utilizaciń de los recursos algebraicos en la soluciń de problemas
o o
matem´ticos prćticos; entre los principales representantes se encuentra Al Jua-
a a
risme (nombre que sirve como base al t´rmino actual algoritmo), que vivi´ en
e o
el siglo IX. A este estudioso le corresponde el honor de haber escrito el primer
´
texto de Algebra, que nominaliz´ esta disciplina cient´
o ıfica. Otro representante
de esta escuela fue Al Batani (858-929), que elabor´ m´todos prćticos e indi-
o e a
caciones para la resoluciń de problemas; muchos de estos resultados aparecen
o
´
en un tratado de Algebra escrito por Omar Khayyan en el siglo XII.
En la Edad Media en Europa, el objetivo de la enseãnza era conocer el
n
orden del universo y la esencia de las cosas, sin importarles la preparaciń del
o
hombre para la vida en la sociedad. Con el surgimiento de las universidades, los
procedimientos seguidos por los profesores en casi todas partes eran los mismos;
no se acud´ a las fuentes originales, el docente le´ un manual y luego se centra-
ıa ıa
ba en su discusiń y debate. En esos tiempos ya exist´ grupos de graduados
o ıan

´

de las diferentes universidades que compart´ el ejercicio de las Matem´ticas:
ıan a
por un lado, los agrimensores, ingenieros y contables y, por otro, los m´dicos y
e
astr´logos, que gozaban de una situaciń social superior; los del primer grupo,
o o
dentro de sus enseãnzas, enfatizaban en la resoluciń de problemas prćticos,
n o a
ofreciendo determinados modelos para algunas situaciones espec´ ıficas.
En el siglo XIV, en Europa, los cambios econ´micos as´ como el desarrollo
o ı
de las ciudades y el comercio van a favorecer el ascenso social de los matem´ticos
a
prćticos. Los intercambios comerciales cada vez m´s complejos exig´ tćnicas
a a ıan e
idńeas de c´lculo y contabilidad. Exist´ en esos momentos tratados donde
o a ıan
se expon´ reglas para la soluciń de problemas espec´
ıan o ıficos relacionados prin-
cipalmente con las tasas de inter´s, los cambios, la circulaciń y el peso de las
e o
monedas, o la reparticiń de los beneficios. En los tratados estos m´todos sol´
o e ıan
presentarse en forma de casos concretos, integrńdose en un contexto totalmente
a
prćtico.
a
La influencia de las interpretaciones escol´sticas como instrumento para la
a
generalizaciń de la fe, durante la Edad Media, hacen que la direcciń formativa
o o
de la resoluciń de problemas matem´ticos evidencie una concepciń teol´gica
o a o o
donde los procedimientos matem´ticos constituyen un elemento b´sico en la
a a
multiplicidad existencial del hombre, evidenciando el rigor de un ordenamiento
que, independientemente de la multiplicidad factorial que lo compone, confluyen
en la existencia de una causa universal que descansa en la idea de Dios.

4. ´
La resoluciń de problemas en la Epoca Moderna
o
´
En la Epoca Moderna, con el desarrollo del capitalismo, impera el esp´ ıritu
utilitario y desde ese punto de vista fue puesta en prćtica toda la enseãnza.
a n
Este proceso se inicia con el humanismo renacentista, incluyńdose en esta de-
e
nominaciń aquellos que se apasionaron por las letras y las artes cl´sicas. Es
o a
atinado aclarar que en el siglo XVII comienza la decadencia de la enseãnza n
human´ ıstica y la sociedad pide a la escuela que provea a sus hijos de conductas
y conocimientos te´rico-prćticos, que les permitan actuar y desarrollarse en
o a
ella.
El hito fundamental, en esta ´poca en la actividad matem´tica, fue mar-
e a
cado por el fil´sofo y matem´tico R. Descartes (1596-1650). Este genio franc´s
o a e
fue el fundador del racionalismo, que se form´ como resultado de interpretar
o
de manera unilateral el carćter l´gico del conocimiento matem´tico, dado que
a o a
la naturaleza universal y necesaria de este conocimiento le parec´ a Descar-
ıa
tes derivada de la naturaleza del intelecto mismo. El matem´tico asigno dentro
a
del proceso de conocimiento un papel extraordinario a la deducciń, basada en
o
axiomas, alcanzables por v´ intuitiva. Para obtener el conocimiento, ´l cre´
ıa e ıa
necesario ponerlo todo en duda, salvo la cognoscibilidad misma; este principio
se manifiesta en su m´xima: “pienso, luego existo”.
a

ıguez & P. Ruesga

En el ´mbito de la resoluciń de problemas, la trascendencia m´s especial
a o a
se centra en dos de sus principales tratados: “Discours de la M´thode”(Discurso
e
del M´todo, publicado por primera vez en Leyden, en 1637) y “Regulae ad Direc-
e
tionem Ingenii”(Reglas para la Direcciń del Esp´
o ıritu, publicado post mortem
en “Obras P´stumas”, Amsterdam, 1701). En 1627 comenz´ a redactar sus Re-
o o
glas en tres tomos, con una docena de ellas cada uno; pero despu´s de arribar a
e
la mitad del segundo volumen, solo alcanz´ a poner el t´
o ıtulo de tres reglas m´s,a
ya que la muerte vino a sorprenderlo en febrero de 1650. En esta obra el gran
pensador explica a los “mortales corrientes¸´mo ellos podr´ pensar como ´l,
co ıan e
y c´mo, siguiendo su m´todo, podr´ resolver problemas tal y como ´l lo hizo.
o e ıan e
Considera Polya que las palabras siguientes de Descartes describen el origen
de las Reglas: “Cuando, en mi juventud, o´ hablar de invenciones ingeniosas,
ı
trataba de saber si no podr´ inventarlas yo mismo, sin incluso leer al autor,
ıa
as´ advert´ que me conformaba a ciertas reglas.”(Polya, G. 1945, p. 109).
ı ı
La utop´ de su gran proyecto descansaba sobre un plan muy simple: Fase
ıa
I: reducir cualquier problema algebraico a la resoluciń de una ecuaciń simple.
o o
Fase II: Reducir cualquier problema matem´tico a un problema algebraico. Fase
a
III: Reducir cualquier problema a un problema matem´tico. El primer libro
a
culmina con las reglas IX-XII, que ayudan a consolidar el conocimiento. Enfatiza
la necesidad de profundizar en las cuestiones m´s simples; en la importancia de
a
la ejercitaciń; en la b´squeda de relaciones entre proposiciones simples; y en el
o u
empleo ´ptimo de cuatro facultades: la inteligencia, la imaginaciń, los sentidos
o o
y la memoria. Respecto a las facultades empleadas en el conocimiento, Descartes
destaca que s´lo la inteligencia puede percibir la verdad, pero no debe dejar de
o
ayudarse del resto de las facultades seãladas.
n
En el segundo libro se examinan cuestiones m´s complicadas. Veamos las
a
reglas m´s significativas: Regla XIII: Cuando se comprende perfectamente una
a
cuestiń es necesario abstraerla de toda concepciń superflua, reducirla a sus
o o
m´s simples elementos y subdividirlas en tantas partes como sea posible por
a
medio de la enumeraciń. Regla XIV: La misma regla debe ser aplicada a la ex-
o
tensiń real de los cuerpos y es necesario representarla completa a la imaginaciń
o o
por medio de figuras claras; de este modo ser´ mucho mejor comprendida por
ıa
la inteligencia. Regla XV: Es de gran utilidad trazar estas figuras y representar-
las a los sentidos externos a fin de conservar la atenciń del esp´
o ıritu. Como se
puede apreciar, estas reglas son muy adecuadas para emprender la soluciń de o
un problema. En el primer caso se incita a descomponer el problema en otros
m´s sencillos, ponińdose al descubierto los procesos de an´lisis y s´
a e a ıntesis; en
el resto se sugiere la construcciń de una figura de an´lisis, con ńfasis en la
o a e
visualizaciń de los elementos que interviene en el problema.
o
En el siglo XVIII resulta necesario destacar al suizo L. Euler (1707-1783).
Este eminente cient´ ıfico no lleg´ a plantear expl´
o ıcitamente, como Descartes, un
conjunto de reglas para abordar los problemas. El m´rito fundamental radica en
e

´

la educaciń heur´
o ıstica manifestada en su praxis pedag´gica. Segń testimonios
o u
de Condorcet (matem´tico contemporńeo con Euler): “ Euler prefer´ instruir a
a a ıa
n o ´
sus alumnos con la pequeã satisfacciń de sorprenderlos. El pensaba no haber
hecho bastante por la ciencia si no hubiese aãdido a los descubrimientos la
n
´
ıntegra exposiciń de las ideas que le llevaron a ellos.”(Polya, G. 1976, p. 66)
o
En la obra euleriana, no solamente los descubrimientos por analog´ son
ıas
dignos de mencionar, es importante decir que su capacidad de an´lisis era sor-
a
prendente, pero fundamentalmente se distingui´ como: “el matem´tico m´s
o a a
h´bil para la creaciń de algoritmos y estrategias generales para la soluciń
a o o
de problemas, que jam´s haya existido”(Castro, I. 1996, p.3). Tambiń tiene un
a e
lugar preponderante la creaciń de nuevas teor´ basadas en los m´todos con
o ıas e
los que resolvi´ grandes problemas matem´ticos; un ejemplo de su prodigiosa
o a
capacidad para la resoluciń de problemas y su facilidad para la generalizaciń
o o
de m´todos de soluciń, se pone de manifiesto en uno de los problemas m´s
e o a
populares que resolvi´ este genio, el de los siete puentes de K¨nigsberg. La
o o
estrategia que emple´ para su soluciń sirvi´ para desarrollar una rama de la
o o o
matem´tica llamada Topolog´ combinatoria.
a ıa
Otro matem´tico no menos importante a tener en cuenta en la historia de
a
la resoluciń de problemas el cual, si bien desarroll´ su mayor actividad en el
o o
siglo XVIII muri´ en el XIX, es al franc´s J. L. Lagrange (1736-1813); su mayor
o e
contribuciń en esta direcciń aparece en las memorias que escribi´ en Berl´ en
o o o ın
1767, sobre la resoluciń de las ecuaciones num´ricas, en la cual se exponen dos
o e
estrategias para la resoluciń de problemas utilizando como recurso las ecua-
o
ciones num´ricas simples. No se debe pasar por alto, en el an´lisis de la ´poca,
e a e
al notable matem´tico B. Bolzano (1781-1848), que tambiń incursion´ sobre
a e o
la forma de abordar aquellos problemas para los cuales no se pose´ un pro-
ıa
cedimiento de resoluciń; en su libro Wissenschaftslebre dirigido a la L´gica,
o o
dedic´ una extensa parte a la heur´
o ıstica. Modestamente relata: “No pretendo
en lo absoluto presentar aqu´ ningń procedimiento de investigaciń que no sea
ı u o
conocido desde hace tiempo por los hombres de talento, no creo que encuentren
aqu´ nada nuevo en la materia. Pero voy a esmerarme en asentar, en t´rminos
ı e
claros, las reglas y los caminos de la investigaciń seguidos por todo hombre
o
capaz, aunque en la mayor´ de los casos lo sigue sin tener plena conciencia de
ıa
ello. Si bien ignoro si he tenido o no pleno ´xito en esta empresa, guardo al
e
menos la ilusiń que mi modesta contribuciń sea del gusto de algunos y tenga
o o
aplicaciones m´s tarde”. (Bernel, R. 1982, p. 73).
a
El verdadero valor de su obra est´ en proponerse hacer una recopilaciń
a o
y divulgar esos modos de actuaciń de los “hombres de talento”. El trabajo
o
tiene un valor educacional excepcional, por cuanto de todos es conocido que
muchos cient´ıficos e investigadores destacados basan su actividad en recursos
obtenidos de una larga experiencia o a veces instrumentados magistralmente
por ellos mismos, pero que pocas veces son explicitados, saliendo a la luz s´lo
o

ıguez & P. Ruesga

la exposiciń formal y rigurosa del resultado obtenido.
o
La resoluciń de problemas en el ´mbito de la modernidad condiciona una
o a
perspectiva logol´gica, donde el hombre y su personalidad, constituyen el centro
o
de la problem´tica. La propia perspectiva humanista de la ciencia advierte la
a
necesidad de acrecentar la preocupaciń por el hombre en la relaciń con sus
o o
similares y la sociedad, donde los procedimientos matem´ticos constituyen al-
a
ternativas para satisfacer las demandas humanas e incrementar el ´xito de la
e
humanidad en el proceso de adaptaciń secular, social y cultural.
o

5. ´
La resoluciń de problemas en la Epoca
o
Contemporńea
a

En la alborada del siglo XX aparecen los aportes de H. Poincar´ (1854-
e
1912), matem´tico franc´s que se ocup´ sobremanera de la metodolog´ general
a e o ıa
de la ciencia. Poincar´ consideraba que las leyes de la ciencia no pertenecen
e
al mundo real, sino que constituyen acuerdos convencionales para hacer m´s a
c´moda y util la descripciń de los fen´menos correspondientes.
o ´ o o
En su “Fundations of Science”(1913), Poincar´ dedica un apartado al an´li-
e a
sis de la creaciń de los conceptos matem´ticos. Esta secciń recibi´ el t´
o a o o ıtulo
de Creaciń Matem´tica, y hab´ aparecido originalmente en una publicaciń
o a ıa o
francesa de 1908 (“Science et M´thode”). Lo m´s plausible en esta obra es la
e a
distinciń que su autor hace respecto al acto creativo, destacando cuatro fa-
o
ses: Saturaciń (actividad consciente que implica trabajar en el problema hasta
o
donde sea posible); Incubaciń (el subconsciente es el que trabaja); Inspiraciń
o o
(la idea surge repentinamente, “como un flash”segń Poincar´) y Verificaciń
u e o
(chequear la respuesta hasta asegurarse de su veracidad).
Otra importante contribuciń fue realizada por J. Hadamard (1865-1963)
o
en su libro “An essay on the psychology of invention in the mathematical field”,
publicado en 1945. Hadamard prosigue y profundiza el punto de vista de Poin-
car´, resaltando la actividad consciente, la reflexiń y el trabajo inconsciente.
e o
De manera similar, este matem´tico propone un esquema algo m´s exhaustivo
a a
para explicar el proceso de creaciń matem´tica. Sus fases son las siguientes:
o a
Documentaciń (informarse, leer previamente, escuchar, discutir); Preparaciń
o o
(realizar un proceso de ensayo-error sobre diferentes v´ e hip´tesis, conside-
ıas o
rando un cambio eventual de actividad en caso de no obtener ningń progreso);
u
Incubaciń (al cambiar de actividad); Iluminaciń (ocurre la idea repentina);
o o
Verificaciń (la idea debe someterse al an´lisis y comprobaciń, al juicio cr´
o a o ıtico);
Conclusiń (ordenaciń y formulaciń de los resultados).
o o o
Salvando sus limitaciones idealistas estas ideas son bastante progresistas.
Por primera vez se intentaba explorar los fen´menos que ocurren en el cerebro
o
humano, durante la resoluciń de problemas. Ya no se trataba de describir
o
ciertas reglas para conducir el pensamiento, sino de estudiar el pensamiento

´

mismo. Resulta atinado plantear que ya Hadamard comprendi´ la necesidad de
o
encarar el proceso de resoluciń de problemas desde la perspectiva matem´tica
o a
y psicol´gica cuando expres´:
o o
“... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicolog´ y Matem´tica, y reque-
ıa a
rir´ ser tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el psic´logo
a o
como por el matem´tico. Por la falta de esta composiciń, el asunto ha si-
a o
do investigado por los matem´ticos por un lado y por los psic´logos por el
a o
otro...”(Hadamard, J. 1945, p. 1).
En materia de resoluciń de problemas es corriente que los historiadores
o
y estudiosos escindan sus an´lisis en dos etapas, claramente delimitadas por el
a
aõ 1945. La razń es simple: en ese aõ sali´ a la luz “How to Solve It”, del
n o n o
matem´tico y pedagogo hńgaro G. Polya. La obra didćtica de Polya nace en
a u a
el prefacio del trabajo “Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis”del cual fue
coautor. En las indicaciones sobre el uso de este libro los autores revelan una
breve recomendaciń, a fin de lograr un pensamiento productivo. Ellos seãlan:
o n
“Reglas generales, capaces de prescribir detalladamente la m´s util discipli-
a ´
na del pensamiento, no son conocidas por nosotros. Sin embargo, si tales reglas
pudieran ser formuladas, ellas no ser´ muy utiles; uno tiene que asumirlas en
ıan ´
carne y hueso y tenerlas listas para un uso inminente. La resoluciń indepen- o
diente de problemas dif´ ıciles ayudar´ al estudiante mucho m´s que los aforismos
a a
que ´l sigue, aunque para un comienzo estos puedan no daãrlo”. (Polya, G. y
e n
Szeg¨, G. 1925, p. 11).
o
Schoenfeld (1987) seãla que en “How to Solve It”Polya no se contenta con
n
este simple aforismo, as´ que realiza un estudio introspectivo del m´todo carte-
ı e
siano. Aunque su alcance se vio limitado al modesto enfoque de la heur´ ıstica, hay
que destacar un aporte fundamental: el aislamiento de cuatro fases claramente
identificables durante el proceso de resoluciń de problemas: Comprensiń del
o o
problema; Concepciń de un plan; Ejecuciń del plan; y Visiń retrospectiva.
o o o
En cada una Polya propone una serie de reglas heur´ ısticas bastante sugerentes,
pero lo m´s notorio, en primer lugar, consiste en que la mayor´ de ellas van
a ıa
dirigidas a la segunda fase. El propio Polya seãla: “De hecho, lo esencial de la
n
soluciń de un problema es concebir la idea de un plan.”(Polya, G. 1976, p.30).
o
El mismo autor analiza la diferencia entre “heur´ ıstica” y “heur´ ıstica mo-
derna” y expone, en lo fundamental, que en la segunda se trata de: ¸omprender c
el m´todo que conduce a la soluciń del problema, en particular las operaciones
e o
mentales t´ ıpicamente utiles en este proceso. Un estudio serio de la heur´
´ ıstica
debe tener en cuenta el trasfondo tanto l´gico como psicol´gico”. (Polya, G.
o o
1945, pp. 113-114).
A pesar de que “How to Solve It”marc´ un hito en el campo de la Didćtica
o a
de la Matem´tica, en su fecha de apariciń no caus´ gran impacto, ya que los
a o o
curr´ıculos escolares estaban fuertemente influenciados por los asociacionistas, los
cuales propugnaban un aprendizaje por repeticiń. Ań as´ Polya continu´ su
o u ı, o

ıguez & P. Ruesga

emprendedora obra y en 1954 public´ en la misma direcciń “Mathematics and
o o
Plausible Reasoning”. Sin embargo, no es hasta la dćada de los ochenta que
e
se toman en cuenta, en los EE.UU., para su instrumentaciń en el contexto del
o
aula las ideas de Polya, sobre todo lo concerniente a las etapas en el proceso de
resoluciń de problemas.
o
Es importante resaltar que los trabajos de Polya y Hadamard aparecieron
en el mismo aõ y que abrieron el camino para la formalizaciń de conceptos
n o
utilizados en la enseãnza de las Matem´ticas. Por ejemplo el concepto proble-
n a
ma.
Inspirado en la ideas de Hadamard sic´logos de la talla de Shaldon (1954)
o
y Rubinstein (1965) estudian el concepto problema y plantean que: en todo
verdadero problema el sujeto desconoce la v´ de soluciń y al posicionarse
ıa o
frente al problema mismo adopta un carćter activo.
a
En el campo de la Didćtica de la Matem´tica aparecieron diferentes cri-
a a
terios en relaciń con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, por
o
la interferencia semńtica mezclado con el t´rmino de ejercicio. La escuela de
a e
Didćtica de las Matem´ticas de la antigua R.D.A elabor´ una clasificaciń de
a a o o
los ejercicios, tomando como base el grado de abstracciń en el reflejo de los
o
elementos y relaciones. Como concepto superior tom´ los ejercicios matem´ticos
o a
propuestos a los alumnos, los cuales se subdividen en dos conceptos subordina-
dos: ejercicios de aplicaciń (los que tienen su origen en la prćtica) y ejercicios
o a
construidos (aquellos que se conciben con fines didćticos, o sea, para ejercitar,
a
profundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otros).
En 1981 Kantowski deja clara la diferencia entre ejercicio y problema cuan-
do asevera: “ un problema es una situaciń que difiere de un ejercicio en que
o
el resolutor de problemas no tiene un proceso algor´ ıtmico que lo conducir´ con
a
certeza a la soluciń.”(Kantowski, M. 1981, p. 111). A partir de este momentos
o
se pueden encontrar en la literatura m´ltiples definiciones, pero las mismas no
u
se contradicen y permiten delimitar dos importantes elementos.
1. La v´ de pasar de la situaciń inicial a la nueva situaciń debe de ser
ıa o o
desconocida; estableciendo diferencias esenciales entre ejercicio y problema.
2. La persona quiere realizar esa transformaciń, poniendo bien en claro
o
que lo que constituye un problema para uno puede no serlo para otro.
Cabe seãlar que desde el punto de vista didćtico, no hay un marco te´rico
n a o
explicativo completo sobre c´mo se relacionan los variados aspectos del pensa-
o
miento matem´tico en el proceso de resoluciń de problemas. No obstante en
a o
este contexto, parece un acuerdo general sobre la importancia de los siguientes
aspectos dados por Schoenfeld(1992):
El conocimiento de base.
Las estrategias espec´
ıficas de resoluciń de problemas.
o
Los aspectos metacognitivos.

´

Los aspectos afectivos y el sistema de creencias.

La comunidad donde se desarrolla la pćtica.
a

Lester(1994) examin´ 25 aõs de investigaciń publicada sobre la soluciń
o n o o
de problema en matem´ticas, en funciń de estudiar los cambios evolutivos y
a o
la coherencia en la investigaciń sobre esta l´
o ´
ınea. El concluy´ que aunque hubo
o
progresos significativos todav´ se necesitaba trabajar en direcciones tales como:
ıa

El papel del profesor en el tratamiento de los problemas en el aula.

Estudiar la verdadera realidad de lo ocurre en el aulas.

Profundizar en la resoluciń de problemas en grupo.
o

Otro elemento asociado al trabajo anteriormente citado es que en el mismo
se enfatiza y explica la importancia para la resoluciń de problemas de intregar
o
de manera coordinada la experiencia previa, los conocimientos y la intuiciń de o
los estudiantes. Es importante resaltar que Lester(1994) corrobora la importan-
cia de los aspectos metacognitivos desarrollado en los trabajos de schoenfeld.
A partir de estas formalizaciones aparecieron aportes muy concretos res-
pecto a la resoluciń de problemas por la ya mencionada escuela de Didćtica
o a
de la Matem´tica de la desaparecida R.D.A., en lo fundamental, las ideas y
a
tćnicas desarrolladas en relaciń con la instrucciń heur´
e o o ıstica en el contexto de
las Matem´ticas escolares. La escuela alemana conceb´ un sistema de proce-
a ıa
dimientos heur´ ısticos, clasificados en principios, reglas y estrategias (generales
y particulares) que deb´ ser objeto de enseãnza a los estudiantes, durante el
ıa n
proceso de resoluciń de problemas.
o
Los trabajos realizados por la escuela alemana se propon´ formular un
ıan
Programa General Heur´ ıstico (PGH), que abarcara todo el proceso de resoluciń
o
de ejercicios y problemas y, adem´s, que estuvieran presentes todos los dem´s
a a
programas como subprogramas o en forma de casos especiales.
El primero de los modelos que se presenta es el m´s conocido por los
a
profesores en la actualidad y de sus fases; la segunda es la de mayor importancia
desde el punto de vista metodol´gico, pues en el proceso de la resoluciń de
o o
problemas buscar la idea y la v´ de soluciń resulta lo m´s complejo para
ıa o a
cualquier resolutor. Pues como afirma Polya:
“Poner en pie un plan, concebir la idea de la soluciń, ello no tiene nada de
o
fćil. Hace falta, para lograrlo, el concurso de toda una serie de circunstancias:
a
conocimientos ya adquiridos, buenos h´bitos de pensamiento, concentraciń, y
a o
lo que es m´s, buena suerte.”(Polya, G. 1976, p. 33).
a
Las ideas centrales de los principales modelos, son:
Polya:(Comprender el problema, Concebir el plan, Ejecutar el plan y Vista
retropectiva.)

ıguez & P. Ruesga

Schoenfeld:(An´lisis y compresiń del problema, Diseãr y planificar la
a o n
soluciń, Explorar soluciones y Verificar las soluciones.)
o
M¨ller:(Orientaciń, Elaboraciń, Realizaciń y Evaluaciń.)
u o o o o
Jungk:(Orinetaciń hacia el problema, Trabajo en el problema, Soluciń
o o
del problema y Evaluaciń de la soluciń.)
o o
Es importante resaltar que en el PHG de Polya los elementos de sus fases no
aparecen detallados; por lo tanto, su aplicaciń de manera directa resulta dif´
o ıcil.
La estrategia desarrollada por Schoenfeld, aunque dirigida a alumnos talentos,
es m´s expl´
a ıcita y aplicativa y pudiera aplicarse parcialmente, con adaptaciones,
a los estudiantes de nuestras aulas. El de M¨ller y el de Jungk son similares y
u
m´s completos que los anteriores; estos ultimos plantean un PHG aplicable a
a ´
cualquier tipo de problema.
A modo de resumen, en todo el universo de la contemporaneidad perpetua
la asunciń logol´gica constituyendo el elemento directriz de las pretensiones
o o
formativas cimentadas en la resoluciń de los problemas matem´ticos, pero esta
o a
vez las asunciones didćticas tienden al an´lisis del rol din´mico y activo de
a a a
los sujetos cognoscentes como resolutores de problemas, a partir de la preocu-
paciń, no solo por problemas relacionados con la enseãnza, sino, y esto es
o n
de suma importancia, por cuestiones que abordan el fen´meno del aprendiza-
o
je y su significaciń; factores estos devenidos en un conjunto de modelos que,
o
aunque no resuelven en su totalidad los problemas existentes, condicionan una
mayor racionalidad a las intenciones formativas y didćticas de la Matem´tica.
a a
En tal direcciń cabe mencionar los trabajos de Zilmer(1989) y Sigarreta et al
o
(2003,2004,2005).

Referencias

[1] Bernel, R., Problem solving and mathmatics, Seymour publishers, Palo Al-
to, 1982.

[2] Boyer, C. B., Historia de la matem´tica, Alianza Editorial, Madrid, 1986.
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[3] Castro, I., Leonhard Euler, Prinomex, M´xico D. F, 1996.
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[4] Hadamard, J., An essay on the psychology of invention in the mathematical
field, Ed Princenton University Press, Princenton, 1945.

[5] Jungk, W., Conferencias sobre Metodolog´ de la Enseãnza de la Ma-
ıa n
tem´tica, Editorial Pueblo y Educaciń, La Habana, 1979.
a o

[6] Kantowski, M. G., Mathematics Educations Research Implications for the
80’s. Problem solving(USA)4, 111-126, 1981.

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[7] Lester, F. K., Musings about mathematical problems solving research:1970-
1994, Journal for Research in Mathematics Education 25(6) (1994),660-
675.

[8] M¨ller, H., Aspectos metodol´gicos acerca del trabajo con ejercicios en la
u o
Enseãnza de la Matem´tica, Editorial Pueblo y Educaciń, La Habana,
n a o
1987.

[9] Platń, Obras completas, Ediciones Aguilar, Madrid, 1996.
o

[10] Polya, G., How to solve it, Editorial Princenton University press, Princen-
ton, 1945.

[11] Polya, G., Mathematical Discovery: On Understanding, Learning and Tea-
ching Problem Solving, Editorial Combined edition, New York, 1976.

[12] Polya, G. y Szeg¨, G., Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis I, Published
o
by Springer. New York. 1925.

[13] Rubinstein, S. L., El proceso de pensamiento, Editora Nacional, La Habana,
1965.

[14] Shaldon, J., Psicolog´ y Matem´ticas, Editora Alianza,Madrid, 1954.
ıa a

[15] Schoenfeld, A. H., A brief and biased history of problem solving, Ed Uni-
versity of California, Berkeley, 1987.

[16] Schoenfeld, A. H., Learning to think mathematically , In handbook for Re-
search on mathematical teaching and learning. Macmillan, New York,1992

[17] Sigarreta, J. M. y J. Torres, Utilizaciń de los problemas matem´ticos en
o a
la formaciń de valores, Edu. Matem´tica 8 (2003),32-44.
o a

[18] Sigarreta, J. M. y Ruesga, P, Estrategia para la resoluciń de problemas
o
como un recurso para interacciń sociocultural, PREMISA 20 (2004),15-
o
29.

[19] Sigarreta, J. M. y Arias, L, La resoluciń de problemas: Un recurso para
o
la formaciń de la personalidad, SOAREM 17 (2003),13-23.
o

[20] Zilmer, W., Complementos de Metodolog´ de la Enseãnza de la Matem´ti-
ıa n a
ca, Editorial Pueblo y Educaciń, La Habana, 1989.
o

ıguez & P. Ruesga

J. M. Sigarreta
J. M. Rodr´ıguez
´
Departamento de Matematicas
˜
Universidad Carlos III de Madrid, Espana
jsigarre@math.uc3m.es. jomaro@math.uc3m.es
P. Ruesga
Departamento de Didacticas Espec´
´ ıficas
˜
Universidad de Burgos, Espana.
pruesga@ubu.es

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