Resolución de problemas

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  • 1. Bolet´ de la Asociaci´n Matem´tica Venezolana, Vol. XIII, No. 1 (2006) ın o a 53 ´EDUCACION La resoluci´n de problemas: una visi´n o o hist´rico-did´ctica o a J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesga Resumen Este art´ ıculo aborda la evoluci´n de la resoluci´n de problemas ma- o o tem´ticos desde una perspectiva hist´rico-did´ctica, tomando como gu´ a o a ıa cuatro etapas fundamentales: la Antig¨edad, partiendo desde el 2000 a. u n. e hasta la ca´ del Imperio Romano en el siglo V n. e; se sigue con la ıda Edad Media, hasta el siglo XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la alborada del siglo XX; y se concluye en la ´poca Contempor´nea. e a Palabras claves: Soluci´n de Problemas; Historia de la Matem´tica. o a1. Introduccion La resoluci´n de problemas matem´ticos siempre ha sido el coraz´n de la o a oactividad matem´tica. Su evoluci´n hist´rica revela la plena relaci´n que ha a o o otenido esta actividad con la ense˜anza-aprendizaje de la propia Matem´tica. n a Desde la Antig¨edad se ha ido transmitiendo todo el caudal de conocimien- utos acumulados por la humanidad durante milenios; nuestra ciencia no ha sidoajena a esta transferencia, y se ha matizado por la implementaci´n de diferentes om´todos a la hora de realizar tal acci´n. e o En el trabajo se pone de manifiesto que la did´ctica de la resoluci´n de pro- a oblemas matem´ticos y en general la Did´ctica de la Matem´tica es una disciplina a a acient´ ıfica en plena formaci´n. En el estudio de la evoluci´n hist´rico-did´ctica o o o ade la resoluci´n de problemas se observa que en sus inicios muchos conceptos ofueron manejados de manera intuitiva. Entre estos conceptos figuraron los deMatem´tica escolar, problemas matem´ticos, entre otros. El propio desarrollo a ade t´cnicas para la resoluci´n de problemas precis´ que dichos conceptos dejaran e o ode ser transparentes y pasaran a ser objeto de estudio en s´ mismos. ı A continuaci´n se abordar´ la evoluci´n antes mencionada, tomando como o a ogu´ cuatro etapas fundamentales: la Antig¨edad, partiendo desde el siglo VI a. ıa un. e hasta la ca´ del Imperio Romano en el siglo V n. e; se sigue con la Edad ıdaMedia, hasta el siglo XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la alboradadel siglo XX; y se concluye en la ´poca Contempor´nea. e a
  • 2. 54 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesga2. La resoluci´n de problemas en la Antig¨ edad o u La aparici´n de la escuela se remonta a la misma ´poca de la invenci´n o e ode la escritura. Investigaciones hist´ricas demuestran que la ense˜anza de la o naritm´tica se iniciaba en una fase temprana en la vida escolar, al mismo tiempo eque la lectura y la escritura; se debe aclarar que las Matem´ticas eran consi- aderadas elementos importantes en la formaci´n de los escribas y que la escuela orespond´ a las necesidades de esa sociedad, es decir, a las necesidades del mo- ıamento hist´rico concreto, aunque estaba dirigida a grupos muy restringidos. o De la lectura de un documento hist´rico en que se loa a uno de los re- oyes del tercer imperio de Ur en Mesopotamia se puede inferir que la finalidadfundamental de los problemas matem´ticos propuestos era preparar al hombre apara el c´lculo. El soberano proclamaba muy orgulloso “S´ sumar y restar a a ela perfecci´n, soy diestro en c´lculo y en contabilidad”. Muchos autores coinci- o aden en plantear que fue el matem´tico griego Her´n, quien vivi´ en Alejandr´ a o o ıaaproximadamente entre los siglos II y I a.n.e, el primero en incluir ejercicios contexto en sus trabajos; sin embargo, se conocen, de hecho, algunos textos ma-tem´ticos escolares m´s antiguos. Estos textos son de dos tipos: de tablas y de a aproblemas; estos ultimos proponen, por ejemplo, este “problema tipo”, hallado ´en un papiro egipcio de mediados del segundo milenio: En una pir´mide el lado atiene 140 codos y la inclinaci´n es de 5 palmos y 1 dedo por codo. ¿Cu´l es la o aaltura? Tanto en las tablillas de barro, como en los papiros m´s antiguos, se puede aencontrar estos tipos de problemas totalmente “idealizados”, que evidentementefueron concebidos con el ´nimo de ense˜ar los rudimentos aritm´ticos elemen- a n etales. Los textos matem´ticos en su generalidad se inician con una exposici´n a odel problema matem´tico que se trata de resolver, y los datos se representan acomo cifras concretas y no como variables abstractas. Sigue a la exposici´n del oproblema la forma de ir solucion´ndolo paso por paso, para llegar finalmente al aresultado. Cada nuevo paso se basa en el resultado de un paso anterior, o bien enuno de los datos facilitados al principio. El “alumno”quedaba as´ capacitado pa- ıra resolver cualquier otro problema del mismo tipo que pudiera present´rsele.aAdem´s, estos problemas sol´ reagruparse de modo que las t´cnicas apren- a ıan edidas pudieran aplicarse inmediatamente en otros casos (enti´ndase la misma epresentaci´n te´rica con otros n´meros). Seg´n Boyer: “los cientos de problemas o o u ude tipos muy parecidos que aparecen en las tablillas cuneiformes tienen todoel aspecto de ser ejercicios que deb´ resolver los escolares siguiendo ciertos ıanm´todos conocidos o reglas generales.”(Boyer, C. B. 1986, p. 66). e El objetivo did´ctico que se persigue con la utilizaci´n de los problemas a oresulta evidente con la explicaci´n anterior. Adem´s, la estructura de los textos o ade los problemas y las tablas permiten abordar desde otra ´ptica la cuesti´n de o ola abstracci´n y la generalizaci´n en las Matem´ticas. En conclusi´n el plan- o o a oteamiento de los egipcios y babilonios consiste en crear una cadena de ejemplos
  • 3. ´ Sobre la resolucion de problemas 55t´ ıpicos gracias a la cual es posible, por interpolaci´n, establecer una relaci´n o oentre un problema nuevo y los ya conocidos (principio de analog´ ıa). Al penetrar en la Grecia se conoce que, aunque el c´lculo se ense˜aba en a nla escuela elemental, la sociedad griega se mostraba, realmente, poco interesadapor la formaci´n intelectual y t´cnica de los ni˜os y j´venes. Al igual que los o e n otextos babilonios o egipcios, los problemas planteados se refieren expl´ ıcitamentea una situaci´n concreta, incluso esta es muchas veces un artificio con fines opedag´gicos. Se puede plantear que la aparici´n de escuelas, algunas de las o ocuales llegaron a ser famosas, se debieron a iniciativas individuales; as´ los dos ı,grandes fil´sofos atenienses de fines del siglo V y primera mitad del IV antes ode nuestra era, S´crates ( 470-399 a.n.e) y Plat´n (428-347 a.n.e), fundan sus o opropias escuelas. El primero, de ret´rica, que era el arte de persuadir al otro por omedio de un discurso muy adornado y elaborado y el segundo, en el a˜o 387, nfund´ en Atenas su escuela de Filosof´ la “Academia”, instituci´n a menudo o ıa oconsiderada como la primera universidad europea, la cual ofrec´ un amplio ıaplan de estudios que inclu´ temas de Astronom´ Biolog´ Matem´tica, Teor´ ıa ıa, ıa, a ıaPol´ ıtica y Filosof´ ıa. S´crates ve´ las Matem´tica como instrumento indispensable de la forma- o ıa aci´n intelectual. Esta ciencia, en t´rminos de S´crates, al igual que los deba- o e otes contradictorios que tanto atra´ a la juventud, deb´ servir para formar ıan ıanmentes “bien hechas”, aunque su contenido resultara in´til para el ciudadano ucuyo ideal consist´ en dedicarse a la vida pol´ ıa ıtica. Para Plat´n, dicha cien- ocia cumple una funci´n proped´utica de magnitud distintiva, pues deben servir o ede introducci´n al estudio de la Filosof´ mientras que a la vez pretend´ que o ıa, ıaesos conocimientos matem´ticos sirvieran como base a un proyecto de reformas apol´ ıticas. Seg´n u Schoenfeld (1987), el fil´sofo griego S´crates fue capaz de aislar la noci´n o o ode “resolver problemas”para someterla a estudios; a pesar de su idea de quesolamente podemos conocernos a nosotros mismos, hay que destacar en ´l cier- etos elementos metacognitivos importantes, y estudiados en la actualidad, comofactores que intervienen en la soluci´n de problemas. De todos es conocida la oimportancia que concedi´ Plat´n al estudio de las Matem´ticas, en especial a la o o aense˜anza de la Geometr´ y c´mo la utiliza desde su posici´n de idealista obje- n ıa, o otivo. A ´l se le debe la concepci´n actual de los objetos matem´ticos al se˜alar: e o a n“los razonamientos que hacemos en geometr´ no se refieren a las figuras visibles ıaque dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.”(Boyer, C. B.1986, P.125). Tambi´n aprecia la importancia de la resoluci´n de problemas, e oas´ en su obra “La Rep´blica”plantea que si se quiere desarrollar la inteligencia ı, ues preciso proceder como se hace en Geometr´ por medio de problemas. ıa, El t´rmino “heur´ e ıstica”surgi´ entre los m´s destacados matem´ticos y pen- o a asadores de la antig¨edad, posteriores a S´crates y Plat´n. Tal era el nombre de u o ouna rama del saber bastante mal definida y que se relacionaba tanto con la
  • 4. 56 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesgal´gica, como con la Filosof´ o la Psicolog´ En los trabajos llegados hasta la o ıa ıa.actualidad se observa la exposici´n frecuente de m´todos geom´tricos, pero raras o e eveces sus detalles; todo ello ten´ como objeto de estudio las reglas y m´todos ıa edel descubrimiento e invenci´n. o En resumen, en la Antig¨edad, partiendo de los puntos de vistas explica- udos y, en virtud de la finalidad did´ctica del proceso de resoluci´n de problemas a omatem´ticos en esta ´poca, se percibe un sentido utilitario de la matem´tica a e aprehel´nica frente a una ´ptica cosmol´gica de la griega, donde en ´sta la instru- e o o ementaci´n de las concepciones giran en torno a la comprensi´n de los elementos o oque componen el orden existencial del hombre y su medio, aspecto que respon-de a las caracter´ ısticas propias del desarrollo de la ciencia y de la cosmovisi´n ohumana en relaci´n con la existencia. Es, en estos casos, la resoluci´n de pro- o oblemas matem´ticos un veh´ a ıculo socioclasista de dominaci´n en manos de los oque ostentaban el poder.3. La resoluci´n de problemas en la Edad Media o En la Edad Media, en la India, entre los siglos V-VII, las Matem´ticasaalcanzan un gran esplendor y su desarrollo estuvo ligado ´ ıntimamente con ma-tem´ticos de relieve como Aryabhata, Brahmagupta y Bh´skara. Los principales a aaportes de estos notables cient´ıficos se pueden exponer en la resoluci´n completa ode la ecuaci´n de segundo grado, la resoluci´n de las ecuaciones indeterminadas o oy su aplicaci´n a la soluci´n de problemas pr´cticos. Adem´s, al igual que los o o a a“Elementos”del griego Euclides, en el que se sintetiz´ gran parte de la matem´ti- o aca de su ´poca, los conocimientos de esta etapa fueron recogidos por Bh´skara e aen el siglo VII en su obra capital titulada “Sidhanta Ciromani”. El desarrollo matem´tico adquiri´ gran relevancia en el Mundo Arabe. a o ´Una de las principales escuelas de este per´ ıodo fue la de Bagdad, en lo funda-mental, por la utilizaci´n de los recursos algebraicos en la soluci´n de problemas o omatem´ticos pr´cticos; entre los principales representantes se encuentra Al Jua- a arisme (nombre que sirve como base al t´rmino actual algoritmo), que vivi´ en e oel siglo IX. A este estudioso le corresponde el honor de haber escrito el primer ´texto de Algebra, que nominaliz´ esta disciplina cient´ o ıfica. Otro representantede esta escuela fue Al Batani (858-929), que elabor´ m´todos pr´cticos e indi- o e acaciones para la resoluci´n de problemas; muchos de estos resultados aparecen o ´en un tratado de Algebra escrito por Omar Khayyan en el siglo XII. En la Edad Media en Europa, el objetivo de la ense˜anza era conocer el norden del universo y la esencia de las cosas, sin importarles la preparaci´n del ohombre para la vida en la sociedad. Con el surgimiento de las universidades, losprocedimientos seguidos por los profesores en casi todas partes eran los mismos;no se acud´ a las fuentes originales, el docente le´ un manual y luego se centra- ıa ıaba en su discusi´n y debate. En esos tiempos ya exist´ grupos de graduados o ıan
  • 5. ´ Sobre la resolucion de problemas 57de las diferentes universidades que compart´ el ejercicio de las Matem´ticas: ıan apor un lado, los agrimensores, ingenieros y contables y, por otro, los m´dicos y eastr´logos, que gozaban de una situaci´n social superior; los del primer grupo, o odentro de sus ense˜anzas, enfatizaban en la resoluci´n de problemas pr´cticos, n o aofreciendo determinados modelos para algunas situaciones espec´ ıficas. En el siglo XIV, en Europa, los cambios econ´micos as´ como el desarrollo o ıde las ciudades y el comercio van a favorecer el ascenso social de los matem´ticos apr´cticos. Los intercambios comerciales cada vez m´s complejos exig´ t´cnicas a a ıan eid´neas de c´lculo y contabilidad. Exist´ en esos momentos tratados donde o a ıanse expon´ reglas para la soluci´n de problemas espec´ ıan o ıficos relacionados prin-cipalmente con las tasas de inter´s, los cambios, la circulaci´n y el peso de las e omonedas, o la repartici´n de los beneficios. En los tratados estos m´todos sol´ o e ıanpresentarse en forma de casos concretos, integr´ndose en un contexto totalmente apr´ctico. a La influencia de las interpretaciones escol´sticas como instrumento para la ageneralizaci´n de la fe, durante la Edad Media, hacen que la direcci´n formativa o ode la resoluci´n de problemas matem´ticos evidencie una concepci´n teol´gica o a o odonde los procedimientos matem´ticos constituyen un elemento b´sico en la a amultiplicidad existencial del hombre, evidenciando el rigor de un ordenamientoque, independientemente de la multiplicidad factorial que lo compone, confluyenen la existencia de una causa universal que descansa en la idea de Dios.4. ´ La resoluci´n de problemas en la Epoca Moderna o ´ En la Epoca Moderna, con el desarrollo del capitalismo, impera el esp´ ırituutilitario y desde ese punto de vista fue puesta en pr´ctica toda la ense˜anza. a nEste proceso se inicia con el humanismo renacentista, incluy´ndose en esta de- enominaci´n aquellos que se apasionaron por las letras y las artes cl´sicas. Es o aatinado aclarar que en el siglo XVII comienza la decadencia de la ense˜anza nhuman´ ıstica y la sociedad pide a la escuela que provea a sus hijos de conductasy conocimientos te´rico-pr´cticos, que les permitan actuar y desarrollarse en o aella. El hito fundamental, en esta ´poca en la actividad matem´tica, fue mar- e acado por el fil´sofo y matem´tico R. Descartes (1596-1650). Este genio franc´s o a efue el fundador del racionalismo, que se form´ como resultado de interpretar ode manera unilateral el car´cter l´gico del conocimiento matem´tico, dado que a o ala naturaleza universal y necesaria de este conocimiento le parec´ a Descar- ıates derivada de la naturaleza del intelecto mismo. El matem´tico asigno dentro adel proceso de conocimiento un papel extraordinario a la deducci´n, basada en oaxiomas, alcanzables por v´ intuitiva. Para obtener el conocimiento, ´l cre´ ıa e ıanecesario ponerlo todo en duda, salvo la cognoscibilidad misma; este principiose manifiesta en su m´xima: “pienso, luego existo”. a
  • 6. 58 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesga En el ´mbito de la resoluci´n de problemas, la trascendencia m´s especial a o ase centra en dos de sus principales tratados: “Discours de la M´thode”(Discurso edel M´todo, publicado por primera vez en Leyden, en 1637) y “Regulae ad Direc- etionem Ingenii”(Reglas para la Direcci´n del Esp´ o ıritu, publicado post mortemen “Obras P´stumas”, Amsterdam, 1701). En 1627 comenz´ a redactar sus Re- o oglas en tres tomos, con una docena de ellas cada uno; pero despu´s de arribar a ela mitad del segundo volumen, solo alcanz´ a poner el t´ o ıtulo de tres reglas m´s,aya que la muerte vino a sorprenderlo en febrero de 1650. En esta obra el granpensador explica a los “mortales corrientes¸´mo ellos podr´ pensar como ´l, co ıan ey c´mo, siguiendo su m´todo, podr´ resolver problemas tal y como ´l lo hizo. o e ıan e Considera Polya que las palabras siguientes de Descartes describen el origende las Reglas: “Cuando, en mi juventud, o´ hablar de invenciones ingeniosas, ıtrataba de saber si no podr´ inventarlas yo mismo, sin incluso leer al autor, ıaas´ advert´ que me conformaba a ciertas reglas.”(Polya, G. 1945, p. 109). ı ı La utop´ de su gran proyecto descansaba sobre un plan muy simple: Fase ıaI: reducir cualquier problema algebraico a la resoluci´n de una ecuaci´n simple. o oFase II: Reducir cualquier problema matem´tico a un problema algebraico. Fase aIII: Reducir cualquier problema a un problema matem´tico. El primer libro aculmina con las reglas IX-XII, que ayudan a consolidar el conocimiento. Enfatizala necesidad de profundizar en las cuestiones m´s simples; en la importancia de ala ejercitaci´n; en la b´squeda de relaciones entre proposiciones simples; y en el o uempleo ´ptimo de cuatro facultades: la inteligencia, la imaginaci´n, los sentidos o oy la memoria. Respecto a las facultades empleadas en el conocimiento, Descartesdestaca que s´lo la inteligencia puede percibir la verdad, pero no debe dejar de oayudarse del resto de las facultades se˜aladas. n En el segundo libro se examinan cuestiones m´s complicadas. Veamos las areglas m´s significativas: Regla XIII: Cuando se comprende perfectamente una acuesti´n es necesario abstraerla de toda concepci´n superflua, reducirla a sus o om´s simples elementos y subdividirlas en tantas partes como sea posible por amedio de la enumeraci´n. Regla XIV: La misma regla debe ser aplicada a la ex- otensi´n real de los cuerpos y es necesario representarla completa a la imaginaci´n o opor medio de figuras claras; de este modo ser´ mucho mejor comprendida por ıala inteligencia. Regla XV: Es de gran utilidad trazar estas figuras y representar-las a los sentidos externos a fin de conservar la atenci´n del esp´ o ıritu. Como sepuede apreciar, estas reglas son muy adecuadas para emprender la soluci´n de oun problema. En el primer caso se incita a descomponer el problema en otrosm´s sencillos, poni´ndose al descubierto los procesos de an´lisis y s´ a e a ıntesis; enel resto se sugiere la construcci´n de una figura de an´lisis, con ´nfasis en la o a evisualizaci´n de los elementos que interviene en el problema. o En el siglo XVIII resulta necesario destacar al suizo L. Euler (1707-1783).Este eminente cient´ ıfico no lleg´ a plantear expl´ o ıcitamente, como Descartes, unconjunto de reglas para abordar los problemas. El m´rito fundamental radica en e
  • 7. ´ Sobre la resolucion de problemas 59la educaci´n heur´ o ıstica manifestada en su praxis pedag´gica. Seg´n testimonios o ude Condorcet (matem´tico contempor´neo con Euler): “ Euler prefer´ instruir a a a ıa n o ´sus alumnos con la peque˜a satisfacci´n de sorprenderlos. El pensaba no haberhecho bastante por la ciencia si no hubiese a˜adido a los descubrimientos la n´ıntegra exposici´n de las ideas que le llevaron a ellos.”(Polya, G. 1976, p. 66) o En la obra euleriana, no solamente los descubrimientos por analog´ son ıasdignos de mencionar, es importante decir que su capacidad de an´lisis era sor- aprendente, pero fundamentalmente se distingui´ como: “el matem´tico m´s o a ah´bil para la creaci´n de algoritmos y estrategias generales para la soluci´n a o ode problemas, que jam´s haya existido”(Castro, I. 1996, p.3). Tambi´n tiene un a elugar preponderante la creaci´n de nuevas teor´ basadas en los m´todos con o ıas elos que resolvi´ grandes problemas matem´ticos; un ejemplo de su prodigiosa o acapacidad para la resoluci´n de problemas y su facilidad para la generalizaci´n o ode m´todos de soluci´n, se pone de manifiesto en uno de los problemas m´s e o apopulares que resolvi´ este genio, el de los siete puentes de K¨nigsberg. La o oestrategia que emple´ para su soluci´n sirvi´ para desarrollar una rama de la o o omatem´tica llamada Topolog´ combinatoria. a ıa Otro matem´tico no menos importante a tener en cuenta en la historia de ala resoluci´n de problemas el cual, si bien desarroll´ su mayor actividad en el o osiglo XVIII muri´ en el XIX, es al franc´s J. L. Lagrange (1736-1813); su mayor o econtribuci´n en esta direcci´n aparece en las memorias que escribi´ en Berl´ en o o o ın1767, sobre la resoluci´n de las ecuaciones num´ricas, en la cual se exponen dos o eestrategias para la resoluci´n de problemas utilizando como recurso las ecua- ociones num´ricas simples. No se debe pasar por alto, en el an´lisis de la ´poca, e a eal notable matem´tico B. Bolzano (1781-1848), que tambi´n incursion´ sobre a e ola forma de abordar aquellos problemas para los cuales no se pose´ un pro- ıacedimiento de resoluci´n; en su libro Wissenschaftslebre dirigido a la L´gica, o odedic´ una extensa parte a la heur´ o ıstica. Modestamente relata: “No pretendoen lo absoluto presentar aqu´ ning´n procedimiento de investigaci´n que no sea ı u oconocido desde hace tiempo por los hombres de talento, no creo que encuentrenaqu´ nada nuevo en la materia. Pero voy a esmerarme en asentar, en t´rminos ı eclaros, las reglas y los caminos de la investigaci´n seguidos por todo hombre ocapaz, aunque en la mayor´ de los casos lo sigue sin tener plena conciencia de ıaello. Si bien ignoro si he tenido o no pleno ´xito en esta empresa, guardo al emenos la ilusi´n que mi modesta contribuci´n sea del gusto de algunos y tenga o oaplicaciones m´s tarde”. (Bernel, R. 1982, p. 73). a El verdadero valor de su obra est´ en proponerse hacer una recopilaci´n a oy divulgar esos modos de actuaci´n de los “hombres de talento”. El trabajo otiene un valor educacional excepcional, por cuanto de todos es conocido quemuchos cient´ıficos e investigadores destacados basan su actividad en recursosobtenidos de una larga experiencia o a veces instrumentados magistralmentepor ellos mismos, pero que pocas veces son explicitados, saliendo a la luz s´lo o
  • 8. 60 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesgala exposici´n formal y rigurosa del resultado obtenido. o La resoluci´n de problemas en el ´mbito de la modernidad condiciona una o aperspectiva logol´gica, donde el hombre y su personalidad, constituyen el centro ode la problem´tica. La propia perspectiva humanista de la ciencia advierte la anecesidad de acrecentar la preocupaci´n por el hombre en la relaci´n con sus o osimilares y la sociedad, donde los procedimientos matem´ticos constituyen al- aternativas para satisfacer las demandas humanas e incrementar el ´xito de la ehumanidad en el proceso de adaptaci´n secular, social y cultural. o5. ´ La resoluci´n de problemas en la Epoca o Contempor´nea a En la alborada del siglo XX aparecen los aportes de H. Poincar´ (1854- e1912), matem´tico franc´s que se ocup´ sobremanera de la metodolog´ general a e o ıade la ciencia. Poincar´ consideraba que las leyes de la ciencia no pertenecen eal mundo real, sino que constituyen acuerdos convencionales para hacer m´s ac´moda y util la descripci´n de los fen´menos correspondientes. o ´ o o En su “Fundations of Science”(1913), Poincar´ dedica un apartado al an´li- e asis de la creaci´n de los conceptos matem´ticos. Esta secci´n recibi´ el t´ o a o o ıtulode Creaci´n Matem´tica, y hab´ aparecido originalmente en una publicaci´n o a ıa ofrancesa de 1908 (“Science et M´thode”). Lo m´s plausible en esta obra es la e adistinci´n que su autor hace respecto al acto creativo, destacando cuatro fa- oses: Saturaci´n (actividad consciente que implica trabajar en el problema hasta odonde sea posible); Incubaci´n (el subconsciente es el que trabaja); Inspiraci´n o o(la idea surge repentinamente, “como un flash”seg´n Poincar´) y Verificaci´n u e o(chequear la respuesta hasta asegurarse de su veracidad). Otra importante contribuci´n fue realizada por J. Hadamard (1865-1963) oen su libro “An essay on the psychology of invention in the mathematical field”,publicado en 1945. Hadamard prosigue y profundiza el punto de vista de Poin-car´, resaltando la actividad consciente, la reflexi´n y el trabajo inconsciente. e oDe manera similar, este matem´tico propone un esquema algo m´s exhaustivo a apara explicar el proceso de creaci´n matem´tica. Sus fases son las siguientes: o aDocumentaci´n (informarse, leer previamente, escuchar, discutir); Preparaci´n o o(realizar un proceso de ensayo-error sobre diferentes v´ e hip´tesis, conside- ıas orando un cambio eventual de actividad en caso de no obtener ning´n progreso); uIncubaci´n (al cambiar de actividad); Iluminaci´n (ocurre la idea repentina); o oVerificaci´n (la idea debe someterse al an´lisis y comprobaci´n, al juicio cr´ o a o ıtico);Conclusi´n (ordenaci´n y formulaci´n de los resultados). o o o Salvando sus limitaciones idealistas estas ideas son bastante progresistas.Por primera vez se intentaba explorar los fen´menos que ocurren en el cerebro ohumano, durante la resoluci´n de problemas. Ya no se trataba de describir ociertas reglas para conducir el pensamiento, sino de estudiar el pensamiento
  • 9. ´ Sobre la resolucion de problemas 61mismo. Resulta atinado plantear que ya Hadamard comprendi´ la necesidad de oencarar el proceso de resoluci´n de problemas desde la perspectiva matem´tica o ay psicol´gica cuando expres´: o o “... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicolog´ y Matem´tica, y reque- ıa arir´ ser tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el psic´logo a ocomo por el matem´tico. Por la falta de esta composici´n, el asunto ha si- a odo investigado por los matem´ticos por un lado y por los psic´logos por el a ootro...”(Hadamard, J. 1945, p. 1). En materia de resoluci´n de problemas es corriente que los historiadores oy estudiosos escindan sus an´lisis en dos etapas, claramente delimitadas por el aa˜o 1945. La raz´n es simple: en ese a˜o sali´ a la luz “How to Solve It”, del n o n omatem´tico y pedagogo h´ngaro G. Polya. La obra did´ctica de Polya nace en a u ael prefacio del trabajo “Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis”del cual fuecoautor. En las indicaciones sobre el uso de este libro los autores revelan unabreve recomendaci´n, a fin de lograr un pensamiento productivo. Ellos se˜alan: o n “Reglas generales, capaces de prescribir detalladamente la m´s util discipli- a ´na del pensamiento, no son conocidas por nosotros. Sin embargo, si tales reglaspudieran ser formuladas, ellas no ser´ muy utiles; uno tiene que asumirlas en ıan ´carne y hueso y tenerlas listas para un uso inminente. La resoluci´n indepen- odiente de problemas dif´ ıciles ayudar´ al estudiante mucho m´s que los aforismos a aque ´l sigue, aunque para un comienzo estos puedan no da˜arlo”. (Polya, G. y e nSzeg¨, G. 1925, p. 11). o Schoenfeld (1987) se˜ala que en “How to Solve It”Polya no se contenta con neste simple aforismo, as´ que realiza un estudio introspectivo del m´todo carte- ı esiano. Aunque su alcance se vio limitado al modesto enfoque de la heur´ ıstica, hayque destacar un aporte fundamental: el aislamiento de cuatro fases claramenteidentificables durante el proceso de resoluci´n de problemas: Comprensi´n del o oproblema; Concepci´n de un plan; Ejecuci´n del plan; y Visi´n retrospectiva. o o oEn cada una Polya propone una serie de reglas heur´ ısticas bastante sugerentes,pero lo m´s notorio, en primer lugar, consiste en que la mayor´ de ellas van a ıadirigidas a la segunda fase. El propio Polya se˜ala: “De hecho, lo esencial de la nsoluci´n de un problema es concebir la idea de un plan.”(Polya, G. 1976, p.30). o El mismo autor analiza la diferencia entre “heur´ ıstica” y “heur´ ıstica mo-derna” y expone, en lo fundamental, que en la segunda se trata de: ¸omprender cel m´todo que conduce a la soluci´n del problema, en particular las operaciones e omentales t´ ıpicamente utiles en este proceso. Un estudio serio de la heur´ ´ ısticadebe tener en cuenta el trasfondo tanto l´gico como psicol´gico”. (Polya, G. o o1945, pp. 113-114). A pesar de que “How to Solve It”marc´ un hito en el campo de la Did´ctica o ade la Matem´tica, en su fecha de aparici´n no caus´ gran impacto, ya que los a o ocurr´ıculos escolares estaban fuertemente influenciados por los asociacionistas, loscuales propugnaban un aprendizaje por repetici´n. A´n as´ Polya continu´ su o u ı, o
  • 10. 62 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesgaemprendedora obra y en 1954 public´ en la misma direcci´n “Mathematics and o oPlausible Reasoning”. Sin embargo, no es hasta la d´cada de los ochenta que ese toman en cuenta, en los EE.UU., para su instrumentaci´n en el contexto del oaula las ideas de Polya, sobre todo lo concerniente a las etapas en el proceso deresoluci´n de problemas. o Es importante resaltar que los trabajos de Polya y Hadamard aparecieronen el mismo a˜o y que abrieron el camino para la formalizaci´n de conceptos n outilizados en la ense˜anza de las Matem´ticas. Por ejemplo el concepto proble- n ama. Inspirado en la ideas de Hadamard sic´logos de la talla de Shaldon (1954) oy Rubinstein (1965) estudian el concepto problema y plantean que: en todoverdadero problema el sujeto desconoce la v´ de soluci´n y al posicionarse ıa ofrente al problema mismo adopta un car´cter activo. a En el campo de la Did´ctica de la Matem´tica aparecieron diferentes cri- a aterios en relaci´n con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, por ola interferencia sem´ntica mezclado con el t´rmino de ejercicio. La escuela de a eDid´ctica de las Matem´ticas de la antigua R.D.A elabor´ una clasificaci´n de a a o olos ejercicios, tomando como base el grado de abstracci´n en el reflejo de los oelementos y relaciones. Como concepto superior tom´ los ejercicios matem´ticos o apropuestos a los alumnos, los cuales se subdividen en dos conceptos subordina-dos: ejercicios de aplicaci´n (los que tienen su origen en la pr´ctica) y ejercicios o aconstruidos (aquellos que se conciben con fines did´cticos, o sea, para ejercitar, aprofundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otros). En 1981 Kantowski deja clara la diferencia entre ejercicio y problema cuan-do asevera: “ un problema es una situaci´n que difiere de un ejercicio en que oel resolutor de problemas no tiene un proceso algor´ ıtmico que lo conducir´ con acerteza a la soluci´n.”(Kantowski, M. 1981, p. 111). A partir de este momentos ose pueden encontrar en la literatura m´ltiples definiciones, pero las mismas no use contradicen y permiten delimitar dos importantes elementos. 1. La v´ de pasar de la situaci´n inicial a la nueva situaci´n debe de ser ıa o odesconocida; estableciendo diferencias esenciales entre ejercicio y problema. 2. La persona quiere realizar esa transformaci´n, poniendo bien en claro oque lo que constituye un problema para uno puede no serlo para otro. Cabe se˜alar que desde el punto de vista did´ctico, no hay un marco te´rico n a oexplicativo completo sobre c´mo se relacionan los variados aspectos del pensa- omiento matem´tico en el proceso de resoluci´n de problemas. No obstante en a oeste contexto, parece un acuerdo general sobre la importancia de los siguientesaspectos dados por Schoenfeld(1992): El conocimiento de base. Las estrategias espec´ ıficas de resoluci´n de problemas. o Los aspectos metacognitivos.
  • 11. ´ Sobre la resolucion de problemas 63 Los aspectos afectivos y el sistema de creencias. La comunidad donde se desarrolla la p´ctica. a Lester(1994) examin´ 25 a˜os de investigaci´n publicada sobre la soluci´n o n o ode problema en matem´ticas, en funci´n de estudiar los cambios evolutivos y a ola coherencia en la investigaci´n sobre esta l´ o ´ ınea. El concluy´ que aunque hubo oprogresos significativos todav´ se necesitaba trabajar en direcciones tales como: ıa El papel del profesor en el tratamiento de los problemas en el aula. Estudiar la verdadera realidad de lo ocurre en el aulas. Profundizar en la resoluci´n de problemas en grupo. o Otro elemento asociado al trabajo anteriormente citado es que en el mismose enfatiza y explica la importancia para la resoluci´n de problemas de intregar ode manera coordinada la experiencia previa, los conocimientos y la intuici´n de olos estudiantes. Es importante resaltar que Lester(1994) corrobora la importan-cia de los aspectos metacognitivos desarrollado en los trabajos de schoenfeld. A partir de estas formalizaciones aparecieron aportes muy concretos res-pecto a la resoluci´n de problemas por la ya mencionada escuela de Did´ctica o ade la Matem´tica de la desaparecida R.D.A., en lo fundamental, las ideas y at´cnicas desarrolladas en relaci´n con la instrucci´n heur´ e o o ıstica en el contexto delas Matem´ticas escolares. La escuela alemana conceb´ un sistema de proce- a ıadimientos heur´ ısticos, clasificados en principios, reglas y estrategias (generalesy particulares) que deb´ ser objeto de ense˜anza a los estudiantes, durante el ıa nproceso de resoluci´n de problemas. o Los trabajos realizados por la escuela alemana se propon´ formular un ıanPrograma General Heur´ ıstico (PGH), que abarcara todo el proceso de resoluci´n ode ejercicios y problemas y, adem´s, que estuvieran presentes todos los dem´s a aprogramas como subprogramas o en forma de casos especiales. El primero de los modelos que se presenta es el m´s conocido por los aprofesores en la actualidad y de sus fases; la segunda es la de mayor importanciadesde el punto de vista metodol´gico, pues en el proceso de la resoluci´n de o oproblemas buscar la idea y la v´ de soluci´n resulta lo m´s complejo para ıa o acualquier resolutor. Pues como afirma Polya: “Poner en pie un plan, concebir la idea de la soluci´n, ello no tiene nada de of´cil. Hace falta, para lograrlo, el concurso de toda una serie de circunstancias: aconocimientos ya adquiridos, buenos h´bitos de pensamiento, concentraci´n, y a olo que es m´s, buena suerte.”(Polya, G. 1976, p. 33). a Las ideas centrales de los principales modelos, son: Polya:(Comprender el problema, Concebir el plan, Ejecutar el plan y Vistaretropectiva.)
  • 12. 64 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. Ruesga Schoenfeld:(An´lisis y compresi´n del problema, Dise˜ar y planificar la a o nsoluci´n, Explorar soluciones y Verificar las soluciones.) o M¨ller:(Orientaci´n, Elaboraci´n, Realizaci´n y Evaluaci´n.) u o o o o Jungk:(Orinetaci´n hacia el problema, Trabajo en el problema, Soluci´n o odel problema y Evaluaci´n de la soluci´n.) o o Es importante resaltar que en el PHG de Polya los elementos de sus fases noaparecen detallados; por lo tanto, su aplicaci´n de manera directa resulta dif´ o ıcil.La estrategia desarrollada por Schoenfeld, aunque dirigida a alumnos talentos,es m´s expl´ a ıcita y aplicativa y pudiera aplicarse parcialmente, con adaptaciones,a los estudiantes de nuestras aulas. El de M¨ller y el de Jungk son similares y um´s completos que los anteriores; estos ultimos plantean un PHG aplicable a a ´cualquier tipo de problema. A modo de resumen, en todo el universo de la contemporaneidad perpetuala asunci´n logol´gica constituyendo el elemento directriz de las pretensiones o oformativas cimentadas en la resoluci´n de los problemas matem´ticos, pero esta o avez las asunciones did´cticas tienden al an´lisis del rol din´mico y activo de a a alos sujetos cognoscentes como resolutores de problemas, a partir de la preocu-paci´n, no solo por problemas relacionados con la ense˜anza, sino, y esto es o nde suma importancia, por cuestiones que abordan el fen´meno del aprendiza- oje y su significaci´n; factores estos devenidos en un conjunto de modelos que, oaunque no resuelven en su totalidad los problemas existentes, condicionan unamayor racionalidad a las intenciones formativas y did´cticas de la Matem´tica. a aEn tal direcci´n cabe mencionar los trabajos de Zilmer(1989) y Sigarreta et al o(2003,2004,2005).Referencias [1] Bernel, R., Problem solving and mathmatics, Seymour publishers, Palo Al- to, 1982. [2] Boyer, C. B., Historia de la matem´tica, Alianza Editorial, Madrid, 1986. a [3] Castro, I., Leonhard Euler, Prinomex, M´xico D. F, 1996. e [4] Hadamard, J., An essay on the psychology of invention in the mathematical field, Ed Princenton University Press, Princenton, 1945. [5] Jungk, W., Conferencias sobre Metodolog´ de la Ense˜anza de la Ma- ıa n tem´tica, Editorial Pueblo y Educaci´n, La Habana, 1979. a o [6] Kantowski, M. G., Mathematics Educations Research Implications for the 80’s. Problem solving(USA)4, 111-126, 1981.
  • 13. ´ Sobre la resolucion de problemas 65 [7] Lester, F. K., Musings about mathematical problems solving research:1970- 1994, Journal for Research in Mathematics Education 25(6) (1994),660- 675. [8] M¨ller, H., Aspectos metodol´gicos acerca del trabajo con ejercicios en la u o Ense˜anza de la Matem´tica, Editorial Pueblo y Educaci´n, La Habana, n a o 1987. [9] Plat´n, Obras completas, Ediciones Aguilar, Madrid, 1996. o[10] Polya, G., How to solve it, Editorial Princenton University press, Princen- ton, 1945.[11] Polya, G., Mathematical Discovery: On Understanding, Learning and Tea- ching Problem Solving, Editorial Combined edition, New York, 1976.[12] Polya, G. y Szeg¨, G., Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis I, Published o by Springer. New York. 1925.[13] Rubinstein, S. L., El proceso de pensamiento, Editora Nacional, La Habana, 1965.[14] Shaldon, J., Psicolog´ y Matem´ticas, Editora Alianza,Madrid, 1954. ıa a[15] Schoenfeld, A. H., A brief and biased history of problem solving, Ed Uni- versity of California, Berkeley, 1987.[16] Schoenfeld, A. H., Learning to think mathematically , In handbook for Re- search on mathematical teaching and learning. Macmillan, New York,1992[17] Sigarreta, J. M. y J. Torres, Utilizaci´n de los problemas matem´ticos en o a la formaci´n de valores, Edu. Matem´tica 8 (2003),32-44. o a[18] Sigarreta, J. M. y Ruesga, P, Estrategia para la resoluci´n de problemas o como un recurso para interacci´n sociocultural, PREMISA 20 (2004),15- o 29.[19] Sigarreta, J. M. y Arias, L, La resoluci´n de problemas: Un recurso para o la formaci´n de la personalidad, SOAREM 17 (2003),13-23. o[20] Zilmer, W., Complementos de Metodolog´ de la Ense˜anza de la Matem´ti- ıa n a ca, Editorial Pueblo y Educaci´n, La Habana, 1989. o
  • 14. 66 J. M. Sigarreta, J. M. Rodr´ ıguez & P. RuesgaJ. M. SigarretaJ. M. Rodr´ıguez ´Departamento de Matematicas ˜Universidad Carlos III de Madrid, Espanajsigarre@math.uc3m.es. jomaro@math.uc3m.esP. RuesgaDepartamento de Didacticas Espec´ ´ ıficas ˜Universidad de Burgos, Espana.pruesga@ubu.es