• Like
Integral
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

Integral

  • 18,665 views
Published

 

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
18,665
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
1,389
Comments
17
Likes
14

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Makalah matematika “Integral ” Di Susun Oleh: BAGUS GELIS PRATAMA PUTRA XII IPA 4 / 07 SMAN 3 SIDOARJO DR. JL. DR. WAHIDIN NO. 130 SIDOARJO www.sman3sda.sch.id
  • 2. KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya,sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini. Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunyatentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber.Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diripenyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutamapertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudiselaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jampelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada parapembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulismenerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini. Sidoarjo,November 2010 Penulis 2 INTEGRAL | Matematika
  • 3. DAFTAR ISIINTEGRALKATA PENGANTAR ................................................................................................................... 2DAFTAR ISI ............................................................................................................................... 3BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................. 4 A. LATAR BELAKANG ......................................................................................................... 4 B. TUJUAN .......................................................................................................................... 4BAB II MATERI POKOK ............................................................................................................ 5 A. PENGERTIAN INTEGRAL ............................................................................................... 5 B. INTEGRAL TAK TENTU .................................................................................................. 6 1. Penyelesaian cara biasa .............................................................................................. 7 2. Penyelesaian cara subtitusi .......................................................................................... 8 3. Integral Parsial ............................................................................................................. 8 C. Integral Tertentu ........................................................................................................... 9 D. Integral Luas Daerah .................................................................................................. 11 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ............................................................... 11 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x............................................................ 12 3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X..................... 14 4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva ............................................................. 15 E. Menentuka Volume Benda Putar ................................................................................... 17 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ...................... 17 2. Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y ....................... 18 3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva...................................................................... 20BAB III PARADE LATIHAN SOAL ............................................................................................ 22 A. Parade Soal ................................................................................................................... 22 B. Kunci jawaban ............................................................................................................... 27BAB IV PENUTUP.................................................................................................................... 28 A. Rangkuman ................................................................................................................... 28 B. Rekomendasi................................................................................................................. 31 3 INTEGRAL | Matematika
  • 4. BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematikaini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembanganpenalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukurandan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematikasecara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapanpengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaantemuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawanjuga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itusendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadilatar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integraladalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentudan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integraltertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan. Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didikjuga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Dengan mengajarkan Matematikakhususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupansehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebihtinggi. B. TUJUAN Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada pesertadidik adalah sebagi berikut : 1. Agar Peserta didik dapat memahami konsep intrgral tak trentu dan integral tentu. 2. Agar peserta didik dapat menghitung Integral tak tentu dan integral tentu dari fingsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. 3. Agar peserta didik dapat menggunakan Integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. 4. Membantu peserta didik dalam memahami dan menguasai materi Integral. 4 5. Sebagai sumber informasi tentang integral bagi para pembacanya, INTEGRAL | Matematika
  • 5. BAB II MATERI POKOKMind Map Integral Pengertian Cara integral aplikasi volume parsial subtitusi biasa panjang luas busur A. PENGERTIAN INTEGRAL Integral dapat di artikan sebagai kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan .menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikirbagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambangintegral adalah ‘ ∫’. Agar lebih dapat di mengerti perhatikan pernyataan berikut : F1(x) = x2 + 5x – 6 maka F1’(x) = 2x + 5 F2(x) = x2 + 5x + 12 maka F2’(x) = 2x + 5 F3(x) = x2 + 5x + maka F3’(x) = 2x + 5 Pada fungsi-fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang fungsisama. Operasi dari F(x) menjadi F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangkan untuk operasi merupakansebaliknya dari F’(x) menjadi F(x) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan) Turunan Turunan Y Y’ Y” Integral Integral 5 INTEGRAL | Matematika
  • 6. B. INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsiyang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel),atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi taktentu ini disebut integral tak tentu. Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral : • ‫ ݔ = ݔ݀ ׬‬൅ ܿ • ‫׬‬൫݂ (‫ )ݔ‬േ ݃(‫)ݔ‬൯ ݀‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ = ݔ‬൅ ‫ݔ݀)ݔ(݃ ׬‬ ଵ • ‫ ݔ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ ௡ାଵ ௞௫ ೙శభ • ‫ ݔ݇ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ൅ ܿ ௡ାଵIntegral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingatkembali turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana diperlihatkan dalam tabel berikut No F(x) F’(x) = f(x) 1 Sin x Cos x 2 Cos x -Sin x 3 Tan x Sec2x 4 Cot x -Cosec2x 5 Sec x Tan x.Secx 6 Cosec x -Cot x.Cosec xDengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa:F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentudari fungsi-fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut : ‫ ׬‬cos ‫ = ݔ݀ ݔ‬sin ‫ ݔ‬൅ ܿ ‫ ׬‬sin ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cos ‫ ݔ‬൅ ܿ ‫ ׬‬sec ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬tan ‫ ݔ‬൅ ܿ ‫ ׬‬csc ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cot ‫+ݔ‬c ‫ ׬‬tan ‫ ݔ‬csc ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ csc ‫ ݔ‬൅ ܿ 6 INTEGRAL | Matematika
  • 7. Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudutax+b dapat dirumuskan sebagai berikut : ଵ ‫ ׬‬cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫= ݔ‬ ௔ sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬sec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫= ݔ‬ ௔ tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬cosec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫ = ݔ‬െ ௔ cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ‫ ) ܤ‬sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬௔ sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ Dalam penyelesaiannya integral tak tentu memiliki 3 cara penyelesaian : 1. Penyelesaian cara biasa Secara umum: ௗ௬ jika ‫= ′ ݕ‬ ௗ௫ atau dy= y’ dx maka ‫࢟ ׬ = ࢟ = ࢟ࢊ ׬‬Ԣ ࢊ࢞ Jadi dapat disimpulkan : 1 න ‫ ݔ‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ ݊൅1 Dengan x ≠ -1 Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsitrigonometri, maka : ଵ=‫ ׬‬sin ܽ‫ = ݔ‬െ ௔ cos ܽ‫ ݔ‬൅ ‫ܥ‬ ଵ=‫ ׬‬cos ܽ‫= ݔ‬ ௔ sin ܽ‫ݔ‬ ൅‫ܥ‬Contoh soal : 1 5 = ‫ 3ݔ‬൅ ܿ = 5 ‫ ݔ‬ඥ2 ൅ ܿ మ మ 3 ଵ 1. ‫ ݔ ׬ = ݔ݀ 2√ ׬‬య ݀‫= ݔ‬ ‫ ݔ‬యାଵ య మ ାଵ 1 3 య 5 2. ‫ ݔ3(ݔ 2 ׬‬െ 1) = ‫ ݔ6(׬‬ଶ െ 2‫ ݔ2 = ݔ݀)ݔ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܿ 7 INTEGRAL | Matematika
  • 8. 2. Penyelesaian cara subtitusi Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusiada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanya yang lain (termasuk dx) harusdiubah dalam du.Bentuk umumnya: ‫ ܨ ׬‬ሾ݃(‫)ݔ‬ሿ. ݃Ԣ(‫ݔ݀ )ݔ‬Misal ‫ )ݔ(݃ = ݑ‬dan ݀‫݃ = ݑ‬ᇱ (‫ ݔ݀)ݔ‬didapat න ‫ݑ݀)ݑ(ܨ‬Contoh: 1. ‫ ݔ( ݔ4 ׬‬ଶ ൅ 9)ହ ݀‫ڮ = ݔ‬ Misal : ‫ ݔ = ݑ‬ଶ ൅ 9 dan ݀‫ݔ݀ ݔ2 = ݑ‬ ଵ ଺ ଵ Di dapat : ‫ ݔ( 2 ׬‬ଶ ൅ 9)ହ 2‫)ݑ(2 ׬ = ݔ݀ ݔ‬ଶ ݀‫= ݑ‬ ଷ ‫ݑ‬ ൅ ܿ = ଷ (‫ ݔ‬ଶ ൅ 6)଺ 2. ‫ ׬‬sinଷ ‫ ݔ‬cos ‫ڮ = ݔ݀ ݔ‬ Misal : ‫ = ݑ‬sin ‫ ݔ‬dan ݀‫ = ݑ‬cos ‫ݔ݀ ݔ‬ ଵ ସ ଵ Di dapat : ‫ ׬‬sinଷ ‫ ݔ‬cos ‫ݑ ׬ = ݔ݀ ݔ‬ଷ ݀‫= ݑ‬ ସ ‫ݑ‬ ൅ܿ = ସ (sinସ ) ൅ܿ 3. Integral Parsial Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasilkali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagianoperasi Integral. Bentuk rumus : න ‫ ݒ ݑ = ݒ݀ ݑ‬െ න ‫ݑ݀ ݒ‬Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk‫ ࢛ࢊ ࢜ ׬‬lebih sederhana dari bentuk ‫.࢛ࢊ ࢛ ׬‬ 8 INTEGRAL | Matematika
  • 9. Contoh : 1. ‫ ݔ3 ׬‬cos 2‫ڮ = ݔ݀ ݔ‬ u = 3x dan du = 3 dx ଵ = ‫ ݒݑ‬െ ‫ݑ݀ ݒ ׬‬ dv = cos 2x dan v = ଶ sin 2x ଵ ଵ ଷ ଷ = (3‫ ) ݔ‬ቀଶ sin 2‫ݔ‬ቁ െ ‫ ׬‬ቀଶ sin 2‫ݔ‬ቁ (3 ݀‫= ) ݔ‬ ଶ ‫ ݔ‬sin 2‫ ݔ‬െ ଶ ‫ ׬‬sin 2‫ݔ݀ ݔ‬ ଷ ଷ = ଶ ‫ ݔ‬sin 2‫ ݔ‬൅ ସ cos 2‫ݔ‬ 2. ∫(3x + 1)cos 2x dx = ... Diferensial Integral 3x + 1 Cos 2x ଵ 3 sin 2x ଶ ଵ 0 െ Cos 2x ସ 1 ∫(3x + 1)cos 2x dx = /2(3x +1)sin 2x - (-3/4 cos 2x) + C 1 = /2(3x +1)sin 2x + 3/4 cos 2x) + C C. Integral Tertentu Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz.Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann. Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Padabeberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batasinilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu.Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentuada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskansebagai berikut : b b Jika f kontinu pada [a,b], maka ∫ f ( x)dx = [ F ( x)] a = F (b) − F (a) dengan a F antiturunan 9sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f. INTEGRAL | Matematika
  • 10. Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi n bagian yangsama dengan lebar. Jika di dalam subinterval ke-I [xi-1, xi] dan ada, maka limit itu dapat dinyatakan dengan b n ∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ε i )∆x a n→∞ i =1 yang didefinisikan sebagai integral tertentu f dari a sampai bSIFAT : b b b ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a a b b ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a a b ∫ f ( x)dx = 0 a b b ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a a b c b ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a < c < b a cJika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ≥ 0Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ 0, maka ≤ 0Contoh : ଷ ଵ ଵ ଵ 1. ‫ 5 ׬‬െ ‫ = ݔ݀ ݔ‬ሾ5‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ଶ ሿ ଷ = 15 െ 4 = 10 ଴ ଴ ଶ ଶ ଶ ଶ 2. ‫ ݔ4( ׬‬െ 3)݀‫= ݔ‬ ଵ = ሾ2x2 – 3x)2 = { 2 (2)2 – 3(2)} – { 2(1)2 – 3(1)} 10 = {8-6} – {2-3} = 2൅1 = 3 INTEGRAL | Matematika
  • 11. D. Integral Luas Daerah Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperolehsebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2.Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiapanggota L. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan ‘luas daerah’ di bawahkurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L,yakni sup L. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a, dan raris x=b , dengan F(x) ≥ 0 pada [a,b] maka luas daerah R adalah sebagai berikut. 11 INTEGRAL | Matematika
  • 12. Contoh : 1. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x , sumbu X , garis x = 1 dan garis x = 2! Jawab : jadi, luasny adalah satuan luas 2. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dan sumbu y Jawab: = -{8-16} = 8 SL2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a , dan garis x = b, dengan F(x) ≤ 0 pada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahas pada subbab sebelumnya adalah sebagai berikut 12 INTEGRAL | Matematika
  • 13. Contoh : 1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis , sumbu x, garis x=4, dan sumbu y. Jawab: Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah (2-8) 2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y=4-2x, sumbu X dan garis x=4. Jawab: 13 INTEGRAL | Matematika
  • 14. 3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] dan f(x)<=0 pada [b,c], maka luas daerah T adalah sebagai berikut:Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0≤x≤2 dan sumbu x. Jawab: luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0≤x≤2 dan sumbu x adalah : = = = = =4 14 INTEGRAL | Matematika
  • 15. 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=4x-x2, sumbu X, garis x=0, dan garis x=6! Jawab: L1 = L2 = Jadi, luas total adalah:4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 KurvaLuas Daerah U pada gambar diatas adalah L(U) = Luas ABEF – Luas ABCDABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x=a, x=b, dan y=0 sehinggaAdapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x=b, dan y=0sehinggaDengan demikian, luas daerah U adalah : 15 INTEGRAL | Matematika
  • 16. Contoh: 1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva Jawab: Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas dan batas bawhnya: Sehingga batas-batasbnya adalah , maka luasnya adalah: = 2. Tentukan Luas daerah yang diarsir ! Jawab: Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas dan batas bawhnya: 3x = x 2 - 2x x 2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 didapat titik potong di x = 5 dan x = 0, sehingga luasnya adalah 16 INTEGRAL | Matematika
  • 17. E. Menentukan Volume Benda Putar Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis : V=A.h Dengan demikian volumrnya dapat dinyatakan sebagai berikut: A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai : 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=b, dengan a<b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu X adalah :Contoh: 1. Tentukan volum benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva Jawab: 17 INTEGRAL | Matematika
  • 18. e2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y=x2 dan y= x2 dan y=x+6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360° Jawab :2. Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y Kita tidak hanya dapat menentukan volume benda putar dengan sebuah bidang yang mengelilingi sumbu X saja, namun dapat pula menentukan volume benda putar sebuah bidang yang diputar mengelilingi sumbu Y. Untuk Itu perhatikan daerah yang dibatasi kurva x=f(y), sumbu y, garis x=a, dan garis x=b yang diputar dengan sumbu Y sebesar 360o. Dengan cara yang sama dengan penentuan volume benda putar yang diputar mengelilngi sumbu X , maka volume benda putaryang diperoleh adalah : 18 INTEGRAL | Matematika
  • 19. Contoh:1. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva y , sumbu y, garis x=2, dan y=-1 diputar 360o terhadap sumbu x! Jawab :2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva , sumbu Y, garis y=0, dan y=2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360o. Jawab : V= = = = Jadi, volumenya adalah 4 satuan volume. 19 INTEGRAL | Matematika
  • 20. 3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinu dan nonnegativ sedemikian sehingga untuk [a,b]. L adalah daerah yang di batasi dan garis x=a serta x=b . Maka, bila daerah tersebut di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360o , maka volume benda yang ter jadi dapat dinyatakan dengan bentuk berikut.Contoh : 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva dan di putar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh. Jawab: Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut. Sehingga batas-batas daerahnya adalah dan dengan dem,ikian volume yang dimaksud adalah: V= = = 20 = Jadi , volumenya adalah satuan volume INTEGRAL | Matematika
  • 21. 2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x, garis x=0, dan garis x=4 diputar 360o terhadap sumbu y Jawab: Cari Titik Potong dan garis x=4 Substitusi x=4 ke persamaan sehingga diperoleh Jadi, batas pengintegralannya adalah y=-1 sampai y=0.Ubah persamaan menjadi persamaan dalam variabel y sehinggaJadi, volumenya adalah satuan volume. 21 INTEGRAL | Matematika
  • 22. BAB III PARADE LATIHAN SOALA. Parade Soal ଶ 1. Nilai dari ‫ ݔ3( ׬‬ଶ െ 3‫ ݔ‬൅ 7) ݀‫ ݔ‬adalah... ଴ a. 12 b. 16 c. 10 d. 6 e. 4 2. Jika ݂(‫ ݔ(׬ = )ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬൅ 5) ݀‫ ݔ‬dan ݂(0) = 5 maka ݂(‫...= )ݔ‬ ଵ ଷ a. ଷ ‫ݔ‬ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5 ଵ ଷ b. ଷ ‫ݔ‬ െ 2‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5 ଶ ଷ c. ଷ ‫ݔ‬ െ 2‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5 ଶ ଷ d. ଷ ‫ݔ‬ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5 ସ ଷ e. ଷ ‫ݔ‬ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5 ௕ 3. Jika ܾ ൐ 0 dan ‫ ݔ2( ׬‬െ 3)݀‫ , 21 = ݔ‬maka nilai b adalah... ଵ a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 ௣ 4. Jika ‫ 1( ׬‬൅ ‫ ݌ = ݔ݀)ݔ‬maka nilai ‫ ݌‬adalah... ଵ a. √3 b. √2 c. √5 d. 1 ଵ e. ଶ ഏ 5. Nilai dari ‫׬‬మ (2 sin ‫ ݔ‬൅ cos ‫ ݔ݀ )ݔ‬adalah… ഏ ర ଵ a. െ1 െ ଶ √2 ଵ b. 1 ൅ ଶ √2 ଵ c. െ2 ൅ ଶ √2 ଵ d. 2 ൅ ଶ √2 ଵ e. 2 െ ଶ √2 6. Luas bidang yang dibatasi oleh grafik ‫ ݔ6 = ݕ‬ଶ െ ‫ ݔ‬dan sumbu x adalah… ଵ a. ଷ଺ ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵ b. ଻ଶ ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵ 22 c. ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵ଴଼ ଵ d. ଶଵ଺ ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵ e. ସଷଶ ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬ INTEGRAL | Matematika
  • 23. 7. Daerah yang bi batasi oleh kurva yan diputar mengalilingi sumbu- sejauh 360o. Volume benda yang terjadi adalah... a. b. c. d. e.8. Lua daerah yang terbatas dibawah ini adalah... a. b. c. d. 2 e. 19. Panjang busur kurva dari sampai adalah... a. b. c. d. 16 e.10. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu kurva , dan kurva adalah... a. 3 b. 36 c. 54 23 d. 60 e. 72 INTEGRAL | Matematika
  • 24. ഏ11. Hasil dari ‫׬‬మ (cos ‫ ݔ‬Sinଶ‫ ݔ݀ )ݔ‬adalah... ଴ ଵ a. ଷ ଶ b. ଷ ସ c. ଷ ଵ d. െ ଷ ଶ e. െ ଷ12. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva ‫ ݔ = ݕ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬െ 3 , garis 5‫ ݔ‬െ 3‫ ݕ‬െ 5 = 0, dan sumbu ‫ ݔ‬adalah.. ଵ a. 6 ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଺ ଵ b. 5 ଺ ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬ ଶ c. 4 ଷ ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬ ଶ d. 3 ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬ ଷ ହ e. 2 ଺ ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬ 113. Hasil ∫ 2 x. cos 2 xdx = .... a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C ∫14. Nilai x. sin( x 2 + 1) dx = .... a. cos ( x2 + 1 ) + C b. cos ( x2 + 1 ) + C c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C e. 2cos ( x2 + 1 ) + C15. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva ‫ ݔ = ݕ‬ଶ െ 1 dan sumbu ܺ dari ‫ = ݔ‬െ1 sampai ‫ 1 = ݔ‬dipurar mengelilingi sumbu ܺ sejauh 360o adalah.. ସ a. ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵହ ଼ b. ଵହ ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵ଺ c. ଵହ ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଶସ d. ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬ ଵହ ଷଶ e. ଵହ ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬ 24 INTEGRAL | Matematika
  • 25. 16. Nilai dari adalah... a. b. c. d. e.17. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis diputar mengelilingi sumbu sejauh 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah.. a. b. c. d. e.18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas. a. 2/3 b. 3 c. 5 1 3 d. 2 6 3 e. 9 25 INTEGRAL | Matematika
  • 26. 19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas. a. 4 1 2 b. 1 5 6 c. 5 5 6 d. 1 13 6 e. 30 1 620. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas. a. 5 b. 7 2 3 c. 8 d. 9 1 3 e. 1 10 3 26 INTEGRAL | Matematika
  • 27. B. Kunci jawaban 1. B 2. A 3. D 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B 10. B 11. C 12. B 13. A 14. C 15. C 16. B 17. D 18. D 19. C 20. D 27Nb : Kunci jawaban yang tersedia tidak memiliki nilai kebenaran absolut. Untuk itu, mohon koreksinya jika ada jawaban yangsalah. INTEGRAL | Matematika
  • 28. BAB IV PENUTUP A. RangkumanI. Integral tak tentu Beberapa aturan dalam penyelesaian integral: • ‫ ݔ = ݔ݀ ׬‬൅ ܿ • ‫׬‬൫݂ (‫ )ݔ‬േ ݃(‫)ݔ‬൯ ݀‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ = ݔ‬൅ ‫ݔ݀)ݔ(݃ ׬‬ ଵ • ‫ ݔ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ ௡ାଵ ௞௫ ೙శభ • ‫ ݔ݇ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ൅ ܿ ௡ାଵ Integral trigonometri Fungsi-fungsi integral trigonometri: ‫ ׬‬cos ‫ = ݔ݀ ݔ‬sin ‫ ݔ‬൅ ܿ ‫ ׬‬sin ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cos ‫ ݔ‬൅ ܿ ‫ ׬‬sec ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬tan ‫ ݔ‬൅ ܿ ‫ ׬‬csc ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cot ‫+ݔ‬c ‫ ׬‬tan ‫ ݔ‬csc ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ csc ‫ ݔ‬൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫= ݔ‬ ௔ sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬sec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫= ݔ‬ ௔ tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬cosec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫ = ݔ‬െ ௔ cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ‫ )ܤ‬sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬௔ sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ ଵ ‫ ׬‬cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ Penyelesaian cara biasa 1 න ‫ ݔ‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ ݊൅1 28 INTEGRAL | Matematika
  • 29. Penyelesaian cara subtitusi Misal ‫ )ݔ(݃ = ݑ‬dan ݀‫݃ = ݑ‬ᇱ (‫ ݔ݀)ݔ‬didapat : න ‫ݑ݀)ݑ(ܨ‬ Integral Parsial න ‫ ݒ ݑ = ݒ݀ ݑ‬െ න ‫ݑ݀ ݒ‬ Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk ‫ ࢛ࢊ ࢜ ׬‬lebih sederhana dari bentuk ‫.࢛ࢊ ࢛ ׬‬II. Integral Tertentu 1. Bentuk umum integral tertentu ௕ න ݂(‫ )ܾ(ܨ = ݔ݀)ݔ‬െ ‫)ܽ(ܨ‬ ௔ Rumus-rumus integral tertentu: ௕ ௕ න ݇ ݂(‫ ݇ = ݔ݀)ݔ‬න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬ ௔ ௔ ௕ න (݂(‫ )ݔ‬൅ ݃(‫ݔ݀))ݔ‬ ௔ ௕ න (݂(‫ )ݔ‬െ ݃(‫ݔ݀))ݔ‬ ௔ ௕ න (݂(‫0 = ݔ݀)ݔ‬ ௔ ௕ ௕ න ݂(‫ = ݔ݀)ݔ‬െ න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬ ௔ ௔ 29 ௖ ௕ ௖ න ݂(‫ = ݔ݀)ݔ‬න ݂(‫ ݔ݀)ݔ‬൅ න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬ ௔ ௔ ௕ INTEGRAL | Matematika
  • 30. ௔ ଶ ‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ 2 = ݔ݀)ݔ(݂ ݇ ׬‬di mana f fungsi genap ି௔ ଴ ௔ ‫ 0 = ݔ݀)ݔ(݂ ݇ ׬‬di mana f fungsi ganjil ି௔ 2. Rumus Luas Daerah (L) yang terletak a. Di atas sumbu x ௕ ‫ = )ܴ(ܮ‬න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬ ௔ b. Di bawah sumbu x ௕ ‫ = )ܵ(ܮ‬െ ‫ݔ݀)ݔ(݂ ׬‬ ௔ c. Di atas dan di bawah sumbu x ௕ ௖ ‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ = )ܵ(ܮ‬െ ‫ݔ݀)ݔ(݂ ׬‬ ௔ ௕ d. Di antara 2 kurva ௕ ‫ = )ܷ(ܮ‬න(݂(‫ )ݔ‬െ ݃(‫ݔ݀))ݔ‬ ௔ 3. Volume Benda Putar (V) yang Diputar Mengelilingia. Sumbu x ௕ ܸ = ߨ න(݂(‫))ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬ ௔b. Sumbu y ௕ ଶ ܸ = ߨ න൫݂(‫)ݕ‬൯ ݀‫ݕ‬ ௔c. Sumbu x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x) ௕ ଶ ܸ (ܶ) = ߨ න൫݂(‫)ݔ‬൯ ݀‫ ݔ‬െ (݃(‫))ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬ ௔d. Sumbu y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y) ௕ 30 ଶ ܸ (ܷ) = ߨ න൫݂(‫)ݕ‬൯ ݀‫ ݕ‬െ (݃(‫))ݕ‬ଶ ݀‫ݕ‬ ௔ INTEGRAL | Matematika
  • 31. B. Rekomendasi Beberapa saran saya kepada pihak guru,siswa,sekolah terhadap pembelajaran matematika pada umumnya dan integral pada khususnya : Hendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering di beri tugas. Dan hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagi peserta didik. Sehingga para peserta didik bisa menyelesaikan tugas dengan baik dan termotivasi untuk mempelajari Matematika Integral ini. Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikan pembelajaran yang merata bagi seluruh siswa di kelas. Dan hendaknya pihak guru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagian sudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga dalam proses pembelajaran bagian sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik. Hendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak memberikan jenis-jenis soal yang terlalu rumit/susah dan terkesan sangat berbeda dengan soal-soal latihan yang sederhana dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehingga soal-soal evaluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan oleh peserta didik. 31 INTEGRAL | Matematika
  • 32. 32Terkadang bukannya kita tidak mampu melakukan sesuatu, tapi kita hanya terlalu enggan untuk mencoba INTEGRAL | Matematika