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Estructura discreta II (Ejercicios Propuestos)
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Estructura discreta II (Ejercicios Propuestos)

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  • 1. Alumno: Angel D. Garcia P. C.I.20.501.660 Sección:SAIA-A Profesora: Adriana Barreto
  • 2. Ejercicios Propuestos a) Matriz de adyancencia. b) Matriz de incidencia. c) Es conexo?. Justifique su respuesta. d) Es simple?. Justifique su respuesta. e) Es regular?. Justifique su respuesta. f) Es completo? Justifique su respuesta. g) Una cadena simple no elemental de grado 6. h) Un ciclo no simple de grado 5. i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor. j) Subgrafo parcial. k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury. l) Demostrar si es hamiltonianos. Dado el siguiente grafo, encontrar: Ejercicio 1; DETERMINAR:
  • 3. Soluciones: a) Matriz Adyacencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas. Pasos: 1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices que posee el Grafo, tanto en las filas como las columnas. 2) Se buscan las relaciones adyacentes o incidencias que lleguen a un mismo vértices. 2.1) Lazos o aristas paralelas tienen valor de 2. 2.2) Incidencias o relaciones en los vértices tienen valor de 1. 2.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V1 0 1 1 0 0 1 1 1 V2 1 0 1 1 1 0 1 0 V3 1 1 0 1 1 0 1 1 V4 1 0 1 0 1 0 0 1 V5 1 0 1 1 0 1 0 1 V6 1 1 0 0 1 0 1 1 V7 0 1 1 0 0 1 0 1 V8 0 1 1 1 1 1 1 0
  • 4. b) Matriz Incidencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas. Pasos: 1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices y N cantidad de aristas que posee el Grafo. En las filas se colocan los vértices y el columnas se colocan las aristas. 2) Se buscan las relaciones o incidencias entre vértices y aristas. 2.1) Lazos o aristas paralelas con respecto al vértices tienen valor de 1 2.2) Incidencias o relaciones en los vértices y aristas tienen valor de 1. 2.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
  • 5. c) ¿Es Conexo?: Es cuando existe un camino entre cualquier par de nodos. . SI es conexo, porque en el grafo siguiente podemos ubicar varios caminos. Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3 Camino 3 : V1,V3,V2
  • 6. d) ¿Simple?: Es cuando un grafo no contiene lazos, ni aristas paralelas, ni aristas dirigidas. NO es simple, porque en el grafo contiene aristas paralelas, falla una condición, por ende ya es no simple. Ejemplos de aristas paralelas, lazos y aristas dirigidas. Aristas paralelas y lazos. Por Ender El Grafo “NO ES SIMPLE” Grafo con sus vértices y aristas Se Obtiene Aristas paralelas y dirigidas.
  • 7. e) ¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia. Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice. Los grados o valencia del grafo se calculan así: 1) Ubicamos la tabla de incidencia del grafo, que nos indicará la cantidad de aristas que inciden en cada vértice para ubicar su grado y se suman todas las aristas correspondiente a cada vértice a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 =5 =5 =5 =5 =4 =4 =6 =6 GRADOS Son difere ntes los grado s, de acuer do a la suma de las arista s. No es regular, porque los vértices tienen distintos grados o valencias.
  • 8. f) ¿Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. grafos. No posee aristas paralelas ni sub. grafos. Posee aristas paralelas y sub. Grafos, como lo hemos demostrado anteriormente. De esta manera, podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos. N O E S G R A F O C O M P L E T O G R A F O C O M P L E T O
  • 9. g) Una cadena simple no elemental de grado 6: Es una cadena con todas sus aristas distintas. 1) Ubicamos la Matriz de Incidencia para ubicar una cadena no elemental de grado 6: Tenemos dos de grado 4 con el vértice V4 y V7. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 0 a 1 1 a 1 2 a1 3 a 1 4 a 1 5 a 1 6 a1 7 a 1 8 a19 a2 0 V 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V 2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 V 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 V 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 V 6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 V 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 V 8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 =4 =4 GRADOS De esta manera describimos una cadena simple que no sea de grado 6
  • 10. h) Demostrar un ciclo no simple de grado 5: Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple. No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado. i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor Paso 1: Elegir S1=V1, y coloca H1= {V1} Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4] V4 V1 a4
  • 11. V4 V1 V7 a15 Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca H3={V1,V4}. a4 Paso 4: Se elige la arista a 17 que conecta V7 con V5 y se coloca H4={V1,V4,V7,V5} a4 V1 a15 V7 V4 a17 V5
  • 12. Paso 5: Se elige la arista 19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5={V1, V4, V7, V5,V8} V1 a4 V4 a15 V7 a17 V5 a5 V8 Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6={V1,V4,V7,V5,V8,V6}. V1 a4 V4 a15 V7 a17 V5 a5 V8 a19 V6
  • 13. Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2} V1 a4 V4 a15 V7 a17 V8 V5 a19 V6 a19 a10 V2 a4 Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2,V3}. Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador. V1 V4 V7 V5 V8 V6 V2 a15 a17 a19 a19 a10 V3 a3
  • 14. j) Subgrafo parcial Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3. Camino 3 : V1,V3,V2.
  • 15. k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury: el grafo no es auleriano debido a que no es posible la construcción de un siclo euleriano, ya que no todos los vertices tienen grado par. l) Demostrar si es hamiltonianos: el numero de vértices que posee el grafo es 8, el grado de V1 es Gr(V1) ≥ 4, el de V2 es Gr (V2) ≥ 4, el de V8 es Gr(V8) ) ≥ 4, además ser un grafo simple, por lo tanto es grafo halmitoniano. En la siguiente figura podremos ver un ciclo hamiltoniano.
  • 16. Ejercicio 2; DETERMINAR: Dado el siguiente dígrafo encontrar: a) Encontrar matriz de conexión b) ¿Es simple?. Justifique la respuesta. c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5. d) Encontrar un ciclo simple. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad. f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra. Ejercicios Propuestos
  • 17. a) Encontrar matriz de conexión: En la matriz se enumeran vértices y aristas. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 b) ¿Es simple?. Se puede decir que el dígrafo es simple ya que no posee ni arcos ni lazos paralelos , falla una condición, por ende ya es no simple. Aristas paralelas y lazos. Aristas paralelas y dirigidas.
  • 18. POR ENDE El Grafo No Es Simple c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5. Cadena simple: Es aquella que no repite aristas. Cadena Elemental: Es aquella que no repite vértices. ACLARATORIA: Para llegar una conclusión. Cadena no simple no elemental: Es aquella que repite vértices y artistas. No se puede ubicar ninguna, ya que no es doblemente dirigidos para realizar en camino para repetir ambas.
  • 19. a1 a2 a8 d) Encontrar un ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.
  • 20. f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra. Pasos: 1) Ubicar el vértice de inicio. 2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que este directamente a él. 3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:
  • 21. Símbolo de la Iteración o estudio de distancia. Ponderación de la arista + lo que precede. Vértice Estudiado (1,1 ) # de la iteración 4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior que esta directamente al vértice estudiado. 5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando. 6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge cualquiera de la dos.
  • 22. dv2 a v1: 2 dv2 a V3: 3 dv2 a V5: 3 dv2 a v4: 4 dv2 a v6: 3

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