Ejercicios resueltos

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1. Comprueba, dando valores a x, que la función Solución x2 4 Para que no exista el límite de una función en un f(x) tiende a 4, cuando x tiende a 2. x 2 punto, los límites laterales en dicho punto han de ser Solución distintos. Para valores de x mayores de 2: Buscamos, por tanto, aquellos puntos en donde los x 2 2,1 2,01 2,001 2,0001 límites laterales son distintos. f(x) 4,1 4,01 4,001 4,0001 En el punto x 2, lím f(x) 4 y lím f(x) 0. x→2 x→2 Para valores de x menores de 2: En x 2, lím f(x) 0 y lím f(x) 3. x→ 2 x→ 2 x 2 1,9 1,99 1,999 1,9999 En x 3, lím f(x) 3 y lím f(x) 4. f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999 x→ 3 x→ 3 x2 4 En x 4, lím f(x) 4 y lím f(x) 1. x→ 4 x→ 4 Por tanto, lím 4. x→2 x 2 4. Utilizando la gráfica de la función f(x), calcula 2. (Selectividad. Andalucía, 1997). Dada la gráfica de los puntos de en donde la función tiene por límite la función: ∞ o ∞. Y y x 1 6 Y 5 5 4 3 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 3 1 1 3 5 X 2 a) Obtén los intervalos de crecimiento y decreci- 4 miento. b) Obtén los puntos en los que f(x) es discontinua. c) Obtén los valores de: lím f(x); lím f(x); lím f(x). Solución x→0 x→7 x→ ∞ Los posibles puntos en donde la función puede te- Solución ner por límite ∞ o ∞ son los puntos x 2 y a) De la observación de la gráfica se deduce que la x 2. función es creciente en el intervalo (0, 7) (10, 14) y decreciente en (7, 10) (14, 15) (15, ∞). A partir de la gráfica determinamos los límites late- b) Es discontinua en x 10 y x 15. rales para cada uno de los puntos. c) El límite cuando «x tiende a 0» sólo puede consi- lím f(x) x→2 ∞ y lím f(x) x→2 4 derarse cuando «x tiende a 0 por la derecha» y es lím f(x) x→0 ∞. Por otro lado, se cumple: Como los límites laterales son distintos, no existe, lím f(x) 6 y lím f(x) 0 por tanto, lím f(x). x→7 x→ ∞ x→2 3. Determina, utilizando la gráfica de la función f(x), Para el punto x 2: los puntos de donde no existe límite de la función. lím f(x) x→ 2 4 y x→ 2 lím f(x) ∞ Y luego, no existe lím f(x). x→ 2 3 1 No existe ningún número real en donde la función f(x) tenga por límite ∞ o ∞. 5 3 1 1 3 5 X 2 4 5. Dada la gráfica de la función f(x), calcula los lími- tes siguientes:132

LÍMITES Y CONTINUIDAD a) lím f(x) Y 3x2 2x 1 x→ ∞ 7. Calcula lím . 5 b) lím f(x) x→1 5x3 2x 7 x→2 c) lím f(x) Solución x→0 1 Aplicando la propiedad del límite de un cociente, d) lím f(x) x→ 4 6 2 1 3 5 X aparece la indeterminación 0/0. Para resolverla, fac- e) lím f(x) torizamos los polinomios del numerador y del deno- x→ 6 3 minador y simplificamos. f) lím f(x) x→ ∞ P(x) 3x 2 2x 1 (x 1)(3x 1) Solución Q(x) 5x 3 2x 7 (x 1)(5x 2 5x 7) a) Cuando x tiende a ∞, f(x) tiende a 0, luego: lím f(x) 0 Sustituyendo: x→ ∞ 3x 2 2x 1 (x 1)(3x 1) b) Determinamos los límites laterales de f(x) en lím lím x 2: x→1 5x 3 2x 7 (x 1)(5x 2 5x x→1 7) lím f(x) x→2 ∞ y lím f(x) 1 x→2 lím 3x 1 4 x→1 5x 2 5x 7 17 luego no existe el límite de f(x) en el punto x 2. c) Observamos que cuando x tiende a 0, f(x) tiende 8. Determina el valor de lím ( x2 1 x). x→ ∞ a 3, luego: Solución lím f(x) 3 x→0 Cuando x tiende a ∞ aparece la indeterminación d) Cuando x tiende a 4 por la derecha, la función ∞ ∞. tiende a 1, luego: Multiplicamos numerador y denominador por la lím f(x) 1 expresión radical conjugada. x→ 4 e) Determinamos los límites laterales de la función lím ( x 2 1 x) x→ ∞ en el punto x 6. lím f(x) ∞ y lím f(x) ∞ ( x2 1 x)( x 2 1 x) x→ 6 x→ 6 lím x→ ∞ x 2 1 x luego, lím f(x) x→ 6 ∞. 2 2 x 1 x 1 f) Al tender x a ∞, la función tiende a 0, luego: x→ lím ∞ x 2 1 x lím x→ ∞ x 2 1 x lím f(x) 0 x→ ∞ 1 06. (Selectividad. Cataluña, 1997). Calcula el lím f(x) x→∞ ∞ para las siguientes funciones: 9. (Selectividad. Castilla-La Mancha, 1999). Dada la x 2x 3 e 1 función f(x), se pide: a) f(x) c) f(x) x 4x 5 e 1 a) Gráfica de f(x). x b) f(x) b) Estudiar su continuidad. x2 5 1 1 Solución x 3 x 2 2 f(x) 1 2x 3 x 1 x2 3x x 3 a) lím lím 2 x→∞ 4x 5 x→∞ 5 2 4 ⏐x 3⏐ x 3 x Solución 1 Y x x a) b) lím lím 0 6 x→∞ x 2 5 x→∞ 5 1 4 x2 2 1 5 3 1 x 1 e 1 ex 1 3 5 X c) lím lím 1 2 x→∞ e x 1 x→∞ 1 1 4 ex 133

b) La función es discontinua en x 1/2, ya que: b) Justifica que el gasto en ocio es siempre cre- 1 ciente con los ingresos. lím f(x) lím1 2 1 x c) Justifica que ninguna familia realiza un gasto x→ x→ 2 2 en ocio superior a las 15.000 ptas. 7 lím1 f(x) lím1 ( x2 3x) x→ x→ 4 Solución 2 2 a) Estudiamos la continuidad en x 100: y es discontinua en x 3, ya que: 1. Existe f(100) 1. lím f(x) lím ( x2 3x) 0 x→3 x→3 2. lím f(x) lím (0,02 x 1) 1 x→100 x→100 lím f(x) lím ⏐x 3⏐ 6 30x x→3 x→3 lím f(x) lím 1,2 x→100 x→100 2x 2.300 10. (Selectividad. Las Palmas, 1994). Estudia la conti- Como lím f(x) lím f(x), la función presen- nuidad de la función: x→100 x→100 x2 1 x 0 ta, en el punto x 100, una discontinuidad no f(x) evitable. x 1 x 0 El gasto en ocio pasa de ser 1.000 ptas. para las Realiza su representación gráfica. familias con ingresos «ligeramente» inferiores Solución a 100.000 ptas., a 1.200 ptas. para aquellas que tienen ingresos «ligeramente» superiores Como en los dos tramos la función está definida a 100.000 ptas. Luego hay una discontinuidad mediante polinomios, el único punto en el que pue- en x 100. de ser discontinua es x 0. Veamos si es continua en él: b) La función correspondiente al primer tramo es a) Existe f (0) 1. una recta con pendiente positiva, es creciente. b) lím f (x) lím (x 1) 1 Para comprobar el crecimiento en el segundo x→0 x→0 2 tramo consideramos dos puntos x y x, tales que, lím f (x) lím (x 1) 1 x→0 x→0 x x siendo x, x 100. Los gastos en ocio Como los límites laterales existen pero no coinci- correspondientes a cada uno de ellos son: den, la función presenta, en x 0, una discontinui- 30x 30x G(x) y G(x) dad no evitable. 2x 2.300 2x 2.300 Y y x2 1 30x 30x 6 G(x) G(x) 2x 2.300 2x 2.300 4 2 30x(2 x 2.300) 30x(2 x 2.300) 2 4 6 (2x 2.300)(2 x 2.300) 6 4 2 X 2 69.000(x x) 4 (2x 2.300)(2 x 2.300) y x 1 6 fracción en la que tanto el numerador como el denominador son positivos, luego la función es creciente. 11. (Selectividad. Oviedo, 1994). En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(x), en miles c) Como además lím G(x) 15, concluimos que x→ ∞ de pesetas, está relacionado con sus ingresos men- ninguna familia gasta en ocio más de 15.000 ptas. suales, x, en miles de pesetas, a través de la si- mensuales. guiente expresión: 0,02x 1 0 x 100 12. (Selectividad. Murcia, 1998). Representa gráfica- G(x) 30x mente la función: 100 x 2x 2.300 x si 3 x 0 a) Estudia la discontinuidad del gasto. ¿El gasto 0 si 0 x 1 en ocio de una familia es sensiblemente distinto f(x) 1 si 1 x 2 si sus ingresos son «ligeramente» inferiores o 2 si 2 x 3 superiores a las 100.000 ptas.? 0 si x 3ox 3134

¿En qué puntos es continua la función? ¿Cuál es la 14. (Selectividad. Castilla y León, 1998). Halla el va- LÍMITES Y CONTINUIDAD gráfica de la función ⏐f(x)⏐? lor de k para que la función: Solución x2 4 si x 2 f(x) x 2 Y k si x 2 3 2 sea continua en x 2. 1 4 3 2 1 1 2 3 4 Solución X Calculamos el límite en x 2: 1 2 x2 4 (x 2)(x 2) 3 lím lím x→ 2 x 2 x→ 2 x 2 4 lím (x 2) 4 x→ 2 f(x) es continua en { 3, 1, 2, 3} Para que f(x) sea continua en x 2 debe ser La gráfica de ⏐f(x)⏐ es: lím f(x) f( 2) x→ 2 Y Por tanto, k 4. 4 3 2 15. Dada la función: 1 0 si x 1 X f(x) (x 1)2 si x 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 a) Calcula su dominio y dibuja su gráfica. 2 b) Define la función en x 1 para que sea conti- 3 nua en ese punto. Solución13. (Selectividad. Cataluña, 1996). El espacio recorri- do por un móvil en función del tiempo viene dado a) El único punto en el que la función no está defi- por la siguiente función: nida es el punto x 1. 3t 2 si 0 t 2 La función se compone de dos tramos, el prime- e(t) 3t a si 2 t 5 ro una recta y el segundo una rama parabólica; t 2 13t b si 5 t su gráfica es la siguiente: Y Determina los valores de a y b para que la función f(x) 5 sea continua en los instantes t 2 y t 5. 4 3 Solución 2 Continuidad en t 2: 1 lím e(t) lím 3t 2 12 1 2 3 4 5 X t→2 t→2 lím e(t) lím (3t a) 6 a t→2 t→2 En x 1 no está definida. Para que e(t) sea continua en t 2, debe cumplirse que 6 a 12 ⇒ a 6. b) Para que la función sea continua debemos asig- Continuidad en t 5: nar a f(1) el valor de los límites laterales, que deben coincidir: lím e(t) lím (3t a) 15 a t→5 t→5 lím f (x) lím 0 0 2 x→1 x→1 lím e(t) lím ( t 13t b) 40 b t→5 t→5 lím f(x) lím (x 1)2 0 x→1 x→1 Para que e(t) sea continua en t 5, debe cumplirse que 15 a 40 b. luego f (1) 0. Para a 6: 21 40 b⇒b 19 135

Ejercicios resueltos

by Andrés Hidalgo

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