Tutorial Matlab 2009

Note Introduttive al Matlab © Marco Sorrentino msorrentino@unisa.it, www.macchine.unisa.it/sorrentino

Riferimenti Bibliografici e Siti Web

Matlab, The Language of Technical Computing - Guida all’Uso ( Release 13 ) - The MathWorks Inc.

Home page Mathworks: http://www.mathworks.com

On-line Tutorial: http://www.mathworks.it/academia/student_center/tutorials/intropage.html

Helpdesk: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/helpdesk.shtml

A. Cavallo, R. Setola, F. Vasca – Using Matlab, Simulink e Control Toolbox – A practical Approach, Prentice Hall.

William J. Palm III - Introduction to MATLAB 6 for Engineers: with 6.5 Update, Mc-Graw Hill.

Corso Introduttivo al MATLAB

Elementi fondamentali

Operazioni

Polinomi e Grafica

Programmazione

Funzioni avanzate

Simulink

Elementi Fondamentali

Introduzione

Avvio

Ingresso da tastiera

Ingresso da files esterni

Manipolazione di matrici

Esercizi

Grafici Bidimensionali

Esercizi su 2D

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Introduzione

MATrix LABoratory (ver. 5.3.1)

Computation , Visualization , Programming

Linguaggio di programmazione ad alto livello “ Learning by using ”

Corredato da una famiglia di applicazioni specifiche ( Toolbox ): signal processing, statistics, optimization, neural networks, etc...

Elementi Fondamentali Avvio

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Definizione di uno scalare e di un vettore >> A=2 >> a=[1 2 3 4]

Cancellazione di un vettore (uso di ‘a’ e ‘A’) >> clear A

Definizione di una matrice (uso di ‘,’ e ‘;’) >> b=[1 2 3 4 (…) 5 6 7 8] >> c=[1 2 3 4; 5 6 7 8];

… tanto per cominciare a “smanettare”... >> b=c >> b==c >> a’ >> sum (b) >> diag (c)

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Un file ASCII “IN.TXT” col contenuto: 30 170 70

15 160 55

50 165 75

>> load IN.TXT >> IN

Le opzioni di formato format short, long, short e, long e, hex, bank, rat ,

Salvataggio in un file >> save nomeFile nomeVar1 nomeVar2

Comandi di utilità … diamoci un’occhiata >> help >> help matlabgeneral >> help matlabops >> clc

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Elementi di una matrice: definito un vettore x di 4 elementi si ponga >> x(5)=x(1) >> x(4)=[] >> x=[]

Affiancamento di matrici >> C=[A B] >> D=[A A+3;A+3 A]

Altri comandi >> [m,n]= size (C) >> h= length (b) >> who

Rappresentazione di intervalli ‘:’ >> z=1:5 >> zd=1:.1:5 >> linspace ( min , max , punti ) (logspace)

Operazioni sulle matrici >> B=A(1:3,2:5) >> B(:,2)=[] >> B(1,2)=[] >> B(2:2:6)=[]

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Matrici speciali >> eye (3) >> eye (3,4) >> zeros (2,3) >> ones (1,2) >> diag ([4 5 6 7])

Stringhe di caratteri >> a=‘arpa’ >> b=‘un’’arpa’ >> findstr (a,’a’) (posizione di ‘a’ in a) >> int2str (123) >> num2str (1.23) >> str2num (‘1.23’)

Da stringa a matrice >> A=str2mat(‘oggi’,’non’,’piove’) >> A(:,1) >> A(:,5)

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Grafici bidimensionali

Rappresentazione di un vettore di dati e uso del plot >> plot (rand(10)) >> plot(rand(1,10)) >> plot(rand(1,10),’r*:’) >> help plot >> x=[1:2:10,13:-3:-1]; y=rand(1,length(x)); >> plot(x,y)

Più grafici nella stessa finestra >> subplot (2,2,1); plot(rand(1,10)) >> subplot(2,2,3); plot(3*rand(1,10))

Scalatura degli assi >> axis ([-1 5 -2 Inf])

Altri comandi: xlabel, ylabel, title, grid, gtext, ginput >> title (‘it{alfa si scrive} alpha’) >> t=0:.1:2*pi; plot(t,sin(t)); >> text(3*pi/4,sin(3*pi/4), ‘leftarrow sin(t)=0.707’)

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Grafici bidimensionali

Le proprietà di una figura >> a=plot(rand(1,10)); set(a)

Le opzioni sulla finestra di figura - File --> Save As - File --> Export - Tools --> Properties - Tools --> Legend - Tools --> Add … - Tools --> Zoom

Grafici multipli >> plot(x1,y1,’k’,x2,y2) >> plot([1 2 3],[-1 -2 -3]) >> plot([1 2 3;-1 -2 -3]) >> teta=-pi:.1:pi; plot(teta,[sin(teta);cos(teta)]); >> legend(‘seno’,’coseno’)

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Esercizi sui grafici bidimensionali

Usando il comando patch e gli altri visti, si disegni uno spicchio di “luna rossa”

Introduzione

Avvio

Esercizi

Esercizi su 2D

Si costruiscano degli opportuni vettori per la rappresentazione del grafico

2 5 7 3 0

Corso Introduttivo al MATLAB Operazioni

Operazioni aritmetiche

Funzioni

Operazioni di relazione

Operazioni logiche

Esercizi

Operazioni

Polinomi e Grafica

Programmazione

Funzioni avanzate

Simulink

Variabili predefinite (att.ne all’unità immaginaria!) ans, eps, pi, i, j, Inf, NaN, clock, cputime, date, flops, realmax, realmin, nargin, nargout

Operazioni aritmetiche su scalari +, -, *, /, ^, sqrt, >> 2/3 >> 23 >> 2*1/3 >> 1/2*3

Operazioni aritmetiche su vettori e l’operatore ‘.*’ >> sqrt([1 2 3]) >> [1:3]*[1:3] >> [1:3]*[1:3]’ >> [1:3].*[1:3] >> [1:3]^2 >> [1:3].^2 >> [1:3].^[1:3]

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Operazioni algebriche su matrici >> [1+j,1-2*j]’ >> [1+j,1-2*j].’ >> A+3 >> 2*A >> B=inv(A) >> B=A^(-1) >> X=A/B (esegue A*B -1 ) >> X=AB (esegue A -1 *B…e se A non è quadrata?) >> B=pinv(A) ( B=(A T A) -1 A T )

Operazioni

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

La soluzione del problema Ax=b

- se length(x)>length(b), cioè più incognite che equazioni (o meglio se rank(A)=rank([A b]) ), esistono infinite soluzioni; due possibili soluzioni sono: >> x=pinv(A)*b (soluzione a min norma) >> y=A (soluzione con maggior numero di zeri)

- se length(x)=length(b), o meglio se la matrice A è non singolare, esiste una unica soluzione: >> y=A

- se length(x)<length(b), cioè più equazioni che incognite (o meglio se rank(A)<rank([A b]) ), non esistono soluzioni; una soluzione approssimata è >> x=pinv(A)*b (soluzione a min norma d’errore)

Operazioni

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Funzioni

Arrotondamento - round arrotonda all’intero più vicino >> round(1.5) >>round(1.49…9) (15 o 16 c.d.) - fix arrotonda verso lo 0 >> fix(1.9) >> fix(1.1) >> fix(-2.1) - floor arrotonda per difetto all’intero più vicino >> foor(1.9) >> floor(-2.6) >> floor(-2.1) - ceil arrotonda per eccesso all’intero più vicino >> ceil(1.9) >> ceil(1.1) >> ceil(-2.1)

Approssimazioni razionali - rem resto di una divisione intera >> rem(3,2) >> rem(2,3) >> rem(2,0) - mod risultato della a mod b >> mod(3,7) >> mod(7,3) - rats approssimazione razionale >> rats(9.22)

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Funzioni

Aritmetica complessa - real parte reale - imag parte immaginaria - conj coniugato complesso - abs valore assoluto o modulo complesso - angle angolo di fase

Esempi >> 2+3i >> 2+3j >> 2+3*i >> clear i >> a=3,z=2+ai

Esercizio. Si tabelli il modulo e la fase della funzione razionale fratta riportata, per s=j  ed  [10^(-2):10^2]

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Funzioni

Funzioni esponenziali e logaritmiche - pow2 esponenziale in base 2 - exp esponenziale in base e - log logaritmo naturale - log2 logaritmo in base 2 - log10 logaritmo in base 10

Esempio >> x=(1:.1:5)’; y=log(x); [x y] >> plot(x,y)

… proviamo a disegnare qualche altra funzione elementare ...

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Funzioni

Funzioni trigonometriche - sin seno - cos coseno - tan tangente - asin arcoseno - acos arcocoseno - atan arcotangente - atan2 arcotangente a quattro quadranti - cart2pol da coordinate cartesiane a polari

L’esempio della circonferenza >> teta=-pi:.1:pi; x=cos(teta); y=sin(teta); >> [fase,modulo]=cart2pol(x,y) >> plot(x,y) >> plot(modulo,fase)

… . proviamo a rappresentare qualche altra funzione trigonometrica ….

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Funzioni

Funzioni su matrici - max funzione di massimo (e min di minimo) >> max(x) >> max(A) >> max(max(A)) >> [Y,I]=max(A) >> max(A,B) >> [m1,i1]=max(A); [m,k]=max(m1); h=i1(k); h,k

- sort ordinamento in senso crescente >> R=[1,2;5,1;3,3;2,4]; A=sort(R) >> [S,i1]=sort(R); B=R(i1,:)

- sum, rank, det, poly, trace, norm, eig, mean, expm, logm, sqrtm

>> A=[0 1 1;0 0 1;0 0 0]; >> E1= exp (A); E2= expm (A); >> E3= eye (3)+A+A^2/2; E4= eye (3)+A+A.^2/2; >> E1, E2, E3, E4

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Operazioni di relazione

Operatori di relazione - < minore - <= minore o uguale - > maggiore - >= maggiore o uguale - == uguale - ~= diverso

Operatori logici - & and - | or - xor or esclusivo - ~ not

Esempi >> 2>3 >> 2+2~=4 >> P=(rem(A,2)==0) (gli elementi di A divisibili per 2)

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Operazioni logiche

Come sempre gli operatori su matrici agiscono per colonne - any dà 1 se almeno un elemento è diverso da 0 - all dà 1 se tutti gli elementi sono diversi da 0 >> A=[0 1 1;0 0 1;0 0 0]; any(A), all(A) >> all(A<0) >> all(A>=0) >> any(A>0.5) - find trova gli indici il cui argomento è diverso da 0 >> find(A) >> [h,k]=find(A) >> t=0:.005:20; y=sin(t); (trovare i valori di t per cui y=0.5) >> tolleranza=0.05; i=find(abs(y-0.5)<tolleranza)

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Esercizi

Si rappresentino 5 periodi della funzione |sin t|

Si definisca il vettore x contenente 31 valori dell’intervallo [1/2, 2 5 ] ottenuti con spaziatura logaritmica in base 2

Definito un opportuno vettore x si valutino L=(x>=2), L=(x<3), L=(x>3), L=(x<4 & x>-4)

Dato il vettore x=(1, 34, 2, -12, 56, 7, 0, 9) visualizzare i valori maggiori di 5.

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Esercizi

Dati x=3+j5, y=-2+j4, z=j3, si calcolino: x+y, x-z, (x+y)z, |x|, 1/y, z 2 , log(x), e y , |x/y|

Si risolva il sistema di equazioni: x+y=a 3x+2y=b per a=(1, 4, 3) e b=(1, sqrt(3), 0.5)

Si rappresenti la funzione e 3t sin 5  t per t  [-2,2] con 45 punti

Op aritmetiche

Funzioni

Op di relazione

Op logiche

Esercizi

Operazioni

Corso Introduttivo al MATLAB Programmazione

Le strutture fondamentali

Script files

Funzioni

Esercizi sulla programmazione

Operazioni

Polinomi e Grafica

Programmazione

Funzioni avanzate

Simulink

La struttura if-then-else if condizione , istruzioni elseif condizione , istruzioni else istruzioni end

Script files

Funzioni

Programmazione

L’iterazione for for i=1:n, istruzioni end

L’iterazione while while condizione , istruzioni end

T=0:.1:2; for t=T, y=[y,sin(t)]; end » y=sin(T);

[m,n]=size(A); for i=1:m for j=1:n if A(i,j)>10, A(i,j)=0; end, end, end » A(A>10)=0*A(A>10);

Script files Un esempio di M-file [es_scriptfile] %Un M-file per la stima approssimata della funzione coseno attraverso lo sviluppo in serie di Mc Laurin, arrestato al quinto ordine. x=0; cos_approx=0; for i=0:5 termine_par=(-1)^i*x^(2*i)/factorial(2*i); cos_approx=cos_approx+termine_par; end cos_approx

Script files

Funzioni

Programmazione

Script files

Un esempio sulla dipendenza dei tempi di calcolo dalla struttura di programmazione adottata [es_tempicalcolo]

clear ;

tic

for i=1:10000

t(i)=.1*i;

y(i)=t(i)^2;

end ;

toc

clear

tic

t=[0:.1:1000]';

y=t.^2;

toc

Script files

Funzioni

Programmazione

Funzioni La struttura delle “function” [es_function] function [t,y]=es_function(x) %Una funzione per la stima approssimata della funzione coseno attraverso lo sviluppo in serie di Mc Laurin, arrestato al quinto ordine. cos_approx=0; for i=0:5 termine_parziale=(-1)^i*x^(2*i)/factorial(2*i); cos_approx=cos_approx+termine_parziale; end y=cos_approx; t=x; end >>x=[-pi:.1:pi]; >>[t,y]=es_function(x)

Script files

Funzioni

Programmazione

Funzioni Un esempio con lo switch function [multipli,non_multipli]=mult(base) % Nei primi 100 interi, i numeri multipli della base data base=2; non_multipli=0; multipli=1; while n<=100 switch rem(n,base)==0 case 0 non_multipli=[non_multipli n]; case 1 multipli=[multipli n]; end n=n+1; end

Script files

Funzioni

Programmazione

Esercizi sulla programmazione Programmazione

Script files

Funzioni

Verificare che la funzione cos(x) nell’intorno dell’origine è approssimabile con le somme parziali del suo sviluppo in serie di Mc Laurin, tracciando i grafici della funzione cos(x) e delle prime 5 somme parziali nell’intervallo [-  , +  ] [es_taylor] :

Verificare che il calcolo vettoriale consente di ridurre i tempi di elaborazione rispetto all’implementazione di una struttura classica di programmazione

Esercizi

A partire dalle curve di coppia di un motore, individuare una regressione lineare del tipo [es_linreg] :

x 1 + x 2 * (rpm) + x 3 * (rpm) 2 + x 4 * (throttle) = torque

Operazioni

Script files

Funzioni

Operazioni Esercizi

Un motore a combustione interna è caratterizzato dai seguenti valori di consumo specifico [g/kWh], in funzione del numero di giri e della coppia [es_cons_spe]:

Stimare il consumo specifico nelle condizioni indicate dal simbolo “?”.

Determinare il punto di minimo consumo specifico, nel campo 1000<n<6000, 10<C<100. Suggerimento: utilizzare grafici 3D.

Script files

Funzioni

6000 5000 4000 3000 2000 1000 Num giri [rpm] ? 359 389 10 346 20 365 335 30 ? 40 309 50 344 60 341 70 390 80 90 ? 314 344 100 Coppia [Nm]

Esercizi

Si calcolino il lavoro utile e l’efficienza globale di un impianto con turbina a gas in cui il fluido evolve secondo il ciclo termodinamico di Joule [es_joule_id].

Ipotesi:

Funzionamento ideale;

Condizioni ambiente all’aspirazione;

Fluido di lavoro: aria;

Rapporto di compressione:  =[1:1:30];

Temp. Max ciclo: T3=[1073 1273 1573] K

Si rappresentino gli andamenti dell’efficienza e del lavoro utile al variare di  e T3.

Si calcolino i punti di massimo delle curve relative al lavoro utile.

Si rappresentino gli andamenti di efficienza al variare del grado di rigenerazione (R=[0 0.5 0.9 1]) per T3=1273 K.

Si rappresenti il ciclo termodinamico sul piano (s,T) e si valutino il lavoro utile, il calore addotto ed il rendimento in funzione dell’area del ciclo.

Operazioni

Script files

Funzioni

Esercizi

Le prevalenze reale ed Euleriana di una pompa possono essere espresse in funzione della portata volumetrica Q e del regime di rotazione n attraverso le seguenti relazioni:

Hr = k 1 * n 2 + 2*k 2 n * Q - k 3 * Q 2

HE = k 5 * n 2 – k 6 * Q*n

mentre la prevalenza esterna può essere espressa come Hest = Hu + k 4 * Q 2.

A partire dai dati rilevati nelle quattro misure indicate rappresentare graficamente gli andamenti delle prevalenze Euleriana, reale ed esterna ed il rendimento al variare della portata volumetrica per vari regimi di rotazione [es_curvecaratt] . Si assuma k 4 = k 6 =1; k 5 =14; Hu=20 m

1) Q= 1 m 3 /h; n= 1000 rpm; Hr = 11 m

2) Q =2 m 3 /h; n = 2000 rpm ; Hr = 44 m

3) Q =4 m 3 /h ; n = 3000 rpm; Hr = 98 m

4) Q =10 m 3 /h; n = 3500 rpm; Hr = 92.5 m

Operazioni

Script files

Funzioni

Corso Introduttivo al MATLAB Polinomi e Grafica 3D

Operazioni su polinomi

Interpolazione

Esercizi sui polinomi

Grafici tridimensionali

Esercizi su 3D

Operazioni

Polinomi e Grafica

Programmazione

Funzioni avanzate

Simulink

Operazioni sui polinomi

Definizione di un polinomio >> p=[1 0 -1]; (definisce il polinomio x 2 -1)

Le radici di un polinomio >> roots([1 0 -1]) >> roots([1 -2 -15])

Dalle radici al polinomio >> radici=[-1,1]; poly(radici) >> radici=[-3,-5]; poly(radici)

Il prodotto di polinomi >> a=[1 0 1]; b=[1 1]; c=conv(a,b)

Il rapporto di polinomi a(s)=q(s)b(s)+r(s) >> [q,r]=deconv(a,b) >> [q,r]=deconv(b,a)

Il valore di un polinomio in un punto >> polyval(a,3)

La derivata di un polinomio >> polyder(a)

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Polinomi e Grafica

Interpolazione

Il comando polyfit per il fitting dei dati >> x=-1:.1:1; y=2*x+1+2*rand(1,length(x)); >> plot(x,y) >> p=polyfit(x,y,1); y1=polyval(p,x); >> plot(x,y,x,y1) >> p=polyfit(x,y,5); y5=polyval(p,x); >> p=polyfit(x,y,10); y10=polyval(p,x); >> plot(x,y,x,y1,x,y5,x,y10)

[es_polyfit1]

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Interpolazione

Il comando spline (interpolazione con cubiche) - il significato fisico (la spline usata per disegnare) - si infittisce l’intervallo tra i campioni, tra questi si cerca un’approssimazione polinomiale e si assicura la differenziabilità fino ad un certo ordine nei punti di giunzione (la cosiddetta “pp-form”):

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

>> x=-1:.1:1; y=2*x+1+2*rand(1,length(x)); >> xx=-1:.1/2:1; yy=spline(x,y,xx); >> plot(x,y,’o’,xx,yy)

Interpolazione

Il comando interp1 per l’interpolazione monodimensionale >> x=-1:.1:1; y=2*x+1+2*rand(1,length(x)); >> xi=-1:.03:1; yi=interp1(x,y,xi,’nearest’) >> plot(x,y,’o’,xi,yi) >> yil=interp1(x,y,xi,’linear’); plot(x,y,’o’,xi,yi,xi,yil) o altre opzioni come ‘spline’ e ‘cubic’.

Interpolazione bidimensionale: dati X ed Y monotoni ZI = interp2 (X, Y, Z, XI, YI, method) >> [x,y]=meshgrid(-3:1:3) >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2) >> surf(x,y,z); >> [xi,yi]=meshgrid(-3:.25:3); >> zi=interp2(x,y,z,xi,yi); surf(xi,yi,zi)

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Calcolare i punti estremali, le intersezioni con gli assi e gli eventuali punti di flesso della funzione f(x)=x 4 +5x 3 +1. [es_polinomi]

Data la sequenza di punti y= [7.02 1.46 -1.55 0.94 2.21 7.95 15.56 19.22 32.80 37.72 59.79] per x= [0:10] , individuare i polinomi di interpolazione di grado (1, 2, 3) e rappresentarli graficamente.

La densità dell’aria  (in g/m 3 ) varia con la quota h (in km) secondo la tabella riportata. Determinare un polinomio interpolatore di ordine n=1, 2, 3, …, 6 e la norma dell’errore commesso. Si calcolino poi i valori della densità dell’aria ai valori di quota 10, 20, 30, 40, 50 e 60. h=7, 10, 15, 21, 27, 34, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 61  =556, 369, 191,75, 26.2, 9.9,4.4,2.3, 1.4,.8, .5,.33,.25

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Per un motore ad accensione comandata, sono state effettuate le seguenti misure di emissioni di NOx al variare del rapporto di miscela A/F [es_nox] :

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Rappresentare l’andamento delle emissioni in funzione di A/F, e determinare la migliore rappresentazione polinomiale delle emissioni in funzione di A/F in termini di precisione e generalizzabilità. Stimare il valore delle emissioni per A/F=15.2

Un primo esempio >> t=0:pi/10:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t) >> x=0:.1:4; y=-2:.1:1; [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z=sin(X).*cos(Y); plot3(X,Y,Z); >> mesh(X,Y,Z); surf(X,Y,Z); surfc(X,Y,Z);

Il colore per i grafici >> [X,Y]=meshgrid(-8:.5:8);R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps >> Z=sin(R)./R; surf(Z);

La mappa dei colori Red Green Blue (RGB) nero 0 0 0 bianco 1 1 1 giallo 1 1 0 magenta 1 0 1 cyan 0 1 1 grigio 0.5 0.5 0.5 >> t=-pi:pi/10:pi; fi=(-pi/2:pi/20:pi/2)’; >> X=cos(fi)*cos(t); Y=cos(fi)*sin(t); >> Z=sin(fi)*ones(size(t)); surf(X,Y,Z) >> colormap([0 0 0;1 1 1]); C=rand(size(Z)); >> surf(X,Y,Z,C)

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Le curve di livello >> t=-2:.2:2; [X,Y,Z]=peaks(n); mesh(X,Y,Z); >> figure(2); contour(X,Y,Z,20); >> hold on; [U,V]=gradient(Z,.2); >> quiver(X,Y,U,V); hold off >> [C,h]=contour(Z,10); clabel(C,h) >> figure(3); mesh(X,Y,Z), hold on; >> contour3(X,Y,Z,[1 1],’k’); >> Az=180;El=0; view([Az El])

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

x y -y z Az El

I solidi di rotazione ottenuti col comando cylinder - due possibili rotazioni della retta y=x: » cylinder(0:.1:2) » cylinder(-2:.1:2) - le possibili rotazioni di un coseno: » teta=0:pi/10:2*pi; » [X,Y,Z]=cylinder(4*cos(teta)); » subplot(2,2,1), mesh(X) » subplot(2,2,2), mesh(Y) » subplot(2,2,3), mesh(Z) » subplot(2,2,4), mesh(X,Y,Z)

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Esercizi su grafici tridimensionali

Si rappresenti la funzione z=x 2 + 4y nel piano [z,x] al variare di y, nel piano [z,y] al variare di x e nello spazio 3D [es_grafici3d]

%piano x,z

x=[-10:10];hold on

for y=-2:2

z=x.^2+4*y;plot(x,z)

end

hold off

%piano y,z

clear x, y;y=[-10:10];figure;hold on

for x=-2:2

z=x.^2+4*y;plot(y,z)

end

hold off

%spazio3D

clear x,y;x=[-10:10];y=[-10:10]; figure

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=X.^2+4*Y;

plot3(X,Y,Z);mesh(X,Y,Z);surf(X,Y,Z);

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Esercizi su grafici tridimensionali

Si risolva graficamente il problema di ottimizzazione vincolata min x 2 +y 2 +z 2 con il vincolo x 2 +2y+4z-14 Suggerimento: si disegni prima il vincolo.

Ritornando all’esempio della sfera presentato in precedenza, si disegni in nero la sola semisfera inferiore e poi la sola semisfera di destra.

Utilizzando il comando help e la funzione peak , si utilizzino i comandi - hist, stem, stem3, pie, light

Polinomi e Grafica

Op su polinomi

Interpolazione

Esercizi su 3D

Corso Introduttivo al MATLAB Funzioni Avanzate

Analisi Statistica

Ricerca dei Minimi e degli Zeri

Derivazione ed Integrazione Numerica

Operazioni

Polinomi e Grafica

Programmazione

Funzioni avanzate

Simulink

Analisi Statistica

Analisi Statistica

Ricerca Minimi e Zeri

Funzioni Avanzate

Definizione di una distribuzione di variabili normale (oppure Beta, Binomiale, Chi-square, etc…) >> R=normrnd(10,1,100,1);

Calcolo della probability density function in x >> y=normpdf(x,10,1)

p.d.f : f(x)=Pr{x < X < x+dx}

Calcolo dei momenti primo e secondo >> mean(R) >> std(R)

Calcolo della matrice di covarianza e dei coefficienti di correlazione >> cov(R1,R2) >> corrcoef(R1,R2)

Confronto tra distribuzioni normali al variare del momento secondo >> x=[0:20] >> y1=normpdf(x,10,1)

>> y2=normpdf(x,10,2)

>> plot(x,y1,x,y2)

Minimo e zero di una funzione function b=es_minimo(v); b=(v+1).*exp(-v.^2);

return

>> a= fminbnd (‘ es_minimo ’,-2,2) >> a= fzero (‘ es_minimo ’,-2)

Minimo di una funzione di più variabili function b=es_minimo2(v); x=v(1); y=v(2); z=v(3); b=x^2+2.5*sin(y)-z^2*x^2*y^2; return

>> a= fminsearch (‘ es_minimo2 ’,[-0.6 -1.2 0.135])

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Esercizi su Ricerca Minimi e Zeri

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Calcolare le radici dell’equazione

x 2 -3sinx+0.1=0

Calcolare il minimo della funzione

f(x,y)=e (x-y) +x 2 +y 2

>>minimo=fminsearch( 'es_minimo_fun' ,[-0.3 0.3])

function z=es_minimo_fun(v);

x=v(1);y=v(2);

z=exp(x-y)+x^2+y^2;

return

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Assegnato il set di dati illustrato in figura e riportato nel file (es_minimo2_dati.mat), individuare i valori ottimali dei parametri lambda che ne consentano di riprodurre l’andamento attraverso la struttura funzionale seguente [es_minimo2] :

y=lambda(1)*exp[-lambda(2)*t]

Soluzione

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate clear all;clc global dati load es_minimo2_dati t=dati(:,1); y=dati(:,2); plot(t,y, 'ro' ) pause; lambda0=[3 1]; lambda=fminsearch( 'es_minimo2_fun' ,lambda0) [err,z]=es_minimo2_fun(lambda); plot(t,y, 'ro' ,t,z) function [err,z] = es_minimo2_fun(lambda) global dati t = dati(:,1);y = dati(:,2); z=lambda(1)*exp(-lambda(2)*t); err = norm(z-y);plot (t,y, 'o' ,t,z) return

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Assegnato il set di dati illustrato in figura e riportato nel file (es_minimo2_dati.mat), individuare i valori ottimali dei parametri non lineari lambda che ne consentano di riprodurre l’andamento attraverso la struttura funzionale seguente [es_minimo3] :

y=c(1)*exp[-lambda(1)*t]+c(2)*exp[-lambda(2)*t]

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate Nel modello economico semplificato di mercato perfettamente concorrenziale , grande rilievo assumono le curve di domanda ed offerta, che in ascissa hanno la quantità di bene prodotto o richiesto in un prefis s ato periodo di tempo ed in ordinata il prezzo unitario del bene. L’intersezione delle curve determina il prezzo di equilibrio della merce. Assumendo i seguenti dati per la produzione e richiesta del grano in un ipotetico mercato si calcoli il prezzo di equilibrio e si traccino le curve di domanda ed offerta utilizzando almeno 30 punti [es_minimo4] .

Si calcoli il minimo della funzione

x 4 +6xy+xy 3 -6xz 3 -yz+4z 3

Una fabbrica decide di iniziare la produzione di un nuovo tipo di caramelle dietetiche. Il costo di produzione è di L. 1000 per confezione e l’ufficio di marketing prevede una richiesta settimanale di 100000/p 2 confezioni dove p è il prezzo complessivo al quale ogni confezione è venduta. Si calcoli il prezzo al quale sarà messa in vendita una confezione di caramelle per massimizzare il profitto [ es_max_prof ] .

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Le prevalenze reale ed Euleriana di una pompa possono essere espresse in funzione della portata volumetrica Q e del regime di rotazione n attraverso le seguenti relazioni:

Hr = k 1 * ( n/1000) 2 + 2*k 2 (n/1000) * Q - k 3 * Q 2

HE = k 5 * ( n/1000) 2 – k 6 * Q*(n/1000)

mentre la prevalenza esterna può essere espressa come Hest = Hu + k 4 * Q 2.

Si assuma k 1 =10; k 2 = k 3 = k 4 = k 6 =1; k 5 =14; Hu =20

Calcolare il punto ottimale di funzionamento corrispondente al massimo rendimento con il vincolo di uguaglianza tra caratteristica interna ed esterna. Eseguire l’ottimizzazione sia con un metodo di minimizzazione non vincolata impiegando una penalty function , sia con un metodo di minimizzazione vincolata [es_curvecaratt]:

1 – max [  - k * ( Hr - Hest ) 2 ]

2 – max  con Hr =Hest e dHr/dQ <0

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Carico termico ed elettrico Cogeneratore Utenza termica Utenza elettrica Ausiliario (caldaia) ENEL Serbatoio Esercizi su Ricerca Minimi e Zeri

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate [es_ cogenerazione ]

Integrazione Numerica

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

La risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie in Matlab viene eseguita con due metodi:

1 - ode23 usa il metodo di Runge-Kutta del 2°-3° ordine;

2 - ode45 usa il metodo di Runge-Kutta del 4°-5° ordine;

La sintassi è identica per le due funzioni e richiede che l’equazione da integrare sia espressa come sistema di equazioni ordinarie del primo ordine:

>> [t,x]=ode23(‘xpunto’,t0,tf,x0)

Esercizi sulla Integrazione Numerica

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Le equazioni di Volterra-Lokta descrivono un modello semplificato dell’evoluzione di due specie in competizione tra loro (noto come modello preda-predatore ):

Si studi la soluzione di queste equazioni a partire dai parametri nominali a=2.7, b=0.7, c=1, d=3 [es_loktavolterra] .

preda Soluzione predatore

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate clear all % Modello Lokta-Volterra (preda-predatore) global a b c d a=2.7;b=0.7;c=1;d=3; x0=[2,3]'; timerange=[0: .1:10]; [t,x]=ode45( 'loktavolterra' ,timerange,x0); plot(t,x) function xpunto=loktavolterra(t,x) global a b c d xpunto(1)=a*x(1)-b*x(1)*x(2); xpunto(2)=c*x(1)*x(2)-d*x(2); xpunto=xpunto'; return

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Simulare il modello preda-predatore rappresentato dalle equazioni di Volterra - Lokta in presenza dell’effetto ‘pesca’:

1) Si studi la soluzione di queste equazioni a partire dai parametri nominali a=2.7, b=0.7, c=1, d=3, h=0.5 nell’intervallo t = [0:.1:10] [es_loktavolterra2] .

2) Si identifichi il valore ottimale del parametro ‘h’ che consenta di riprodurre attraverso il sistema di equazioni l’andamento preda/tempo riportato nel file loktavolterra.mat, lasciando invariati i valori degli altri parametri [es_loktavolterra2min] .

preda predatore

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Partendo dalla legge rappresentativa di una trasformazione adiabatica:

P v K = cost.

riprodurre la fase di compressione ideale per un motore ad accensione comandata [es_compr_id] .

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Un impianto di pompaggio è costituito da una pompa che preleva acqua da un bacino per alimentare un serbatoio in pressione situato ad una quota di 20 m rispetto al bacino. Simulare l’andamento della pressione nel serbatoio nelle seguenti condizioni [es_serbatoio]:

Volume serbatoio = 10 m 3 ;

Pressione iniziale serbatoio = 1 bar;

Temperatura aria = 300 K;

Regime rotazione pompa = 2000 rpm;

Hr = 10* ( n/1000) 2 + 2* (n/1000) * Q - Q 2;

Hest = Hu + k 4 * Q 2 Hu =  z +  P/ 

Soluzione

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate %----------------------------------------------------------------------------- % calcolo pressione serbatoio %----------------------------------------------------------------------------- global k4 k5 k6 hu k1 k2 k3 n gamma pamb mair rair tamb g k1=10;k2=1;k3=1;k4=1;k5=14;k6=1; hu=20;vserb=10;rair=287;pamb=1e5;tamb=300; mair=pamb*vserb/rair/tamb; rpm=2000;n=rpm*1e-3;g=9.807; timespan=[0:5000]; p0=pamb; %[Pa] [t,p]=ode45('dpserb',timespan,p0); plot(t,p) -------------------------------------------------------------------------- % funzione calcolo pressione serbatoio function dp = dpserb(t,p) global k4 k5 k6 hu k1 k2 k3 n gamma pamb mair rair tamb g gamma=g*1000; AA=k4+k3;BB=-2*k2*n;CC=hu+(p-pamb)/gamma-k1*n^2; qvol=(-BB+sqrt(BB^2-4*AA*CC))/(2*AA) dp=p^2*qvol/3600/mair/rair/tamb; return

Corso Introduttivo al MATLAB Simulink

Come costruire uno schema

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

Operazioni

Polinomi e Grafica

Programmazione

Funzioni avanzate

Simulink

Un primo esempio: un sistema massa-molla

Simulink

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

Lo schema Simulink corrispondente

m k f x=0  dt 1/m  dt k f + -

L’uso del mouse:

Sui blocchi: bottone sin per selezionare e spostare blocchi bottone dex per duplicare il blocco bottone dex su selezione per le proprietà doppio click sin per selezionare i parametri

Sulle linee bottone sin per selezionare e spostare linee bottone sin su vertice per spostare il vertice bottone dex per creare una diramazione

Sullo schermo bottone sin per creare una nuova linea in ingresso o uscita ad un blocco bottone dex per le proprietà dello schema doppio click sin per inserire testo

Simulink

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

Sources e Sinks

Sources:

Il clock per il tempo simulato

La costante anche definibile dal workspace

Una generica variabile temporale definita col From Workspace (è necessario anche il tempo)

Un segnale periodico con il Repeating Sequence

La sinusoide e il gradino

Sinks:

Per assegnare il valore ad una variabile con il To Workspace (occhio ai parametri!)

Stop Simulation per fermare la simulazione

Lo Scope per visualizzare la variabile durante la simulazione

Simulink

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

La simulazione

I parametri della simulazione:

Istante di tempo iniziale < Istante di tempo finale

I metodi di risoluzione a passo fisso: * il metodo di Eulero (rapporto incrementale) * il metodo di Runge Kutta

* l’opzione Mode/MultiTasking per consentire la verifica di incoerenza nella connessione di blocchi con diversi periodi di campionamento

Simulink

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

La simulazione

I metodi di risoluzione a passo variabile sulla differenza di due successive iterazioni: * la predizione e la correzione * il max (per default (t_fin-t_in)/50) e min passo * la tolleranza relativa (percentuale della norma dello stato) e assoluta (quando lo stato si avvicina a zero):

* per modificare la tolleranza assoluta sulla singola variabile, usare i parametri dell’integratore

L’opzione Refine Output per valutare le uscite del sistema in un numero maggiore di punti (di un fattore e questa opzione non cambia l’intervallo di integrazione), o in un numero prefissato di punti.

Simulink

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

Esercizi

Costruire lo schema Simulink per un sistema massa-molla-smorzatore ed analizzare la risposta ad una forzante sinusoidale (m=1, k=10, sigma=0.1, F0=10) [es_pendoloforzato] .

Simulare la risposta dinamica di un autoveicolo ad una variazione a gradino della coppia motrice [es_dynvehicle] .

Simulink

Sources e Sinks

La simulazione

Esercizi

Analisi Statistica

Funzioni Avanzate

Il modello semplificato di un satellite in orbita circolare intorno a un pianeta è:

dove r è la distanza del satellite dal centro del pianeta,  è l’angolo di azimut (detto in altri termini anomalia, se pensiamo al riferimento che giace nel piano dell’orbita e un sistema di coordinate polari per individuare la posizione del satellite) e k la costante di gravitazione relativa al pianeta (per la terra k=9.807).

Si studi il moto del satellite in orbita intorno alla terra per quote variabili tra 350 e 500 km. [es_satellite]

La simulazione

I metodi di risoluzione a passo variabile sulla differenza di due successive iterazioni: * la predizione e la correzione * il max (per default (t_fin-t_in)/50) e min passo * la tolleranza relativa (percentuale della norma dello stato) e assoluta (quando lo stato si avvicina a zero):