2. Definición:
• En términos sencillos y claros, un
logaritmo es un exponente o potencia,
a la que un número fijo (llamado base),
se ha de elevar para dar un cierto
número.
• Entonces, el logaritmo es la función
inversa de la función exponente.
Introducción
3. Consiste en determinar el exponente
cuando se conocen la base b y la
potencia N.
Introducción
4. • Matemáticamente hablando, sería:
loga c = b
• Es decir:
ab
= c
Introducción
Forma
Exponencial
Forma
Logarítmica
10. • Hay ciertas propiedades que debes
conocer de los logaritmos.
• Veremos las más importantes a
continuación.
Propiedades de los logaritmos
11. • El logaritmo de la base siempre es igual
a uno, es decir:
loga a = 1
• Ejemplos:
log5 5 = 1
log89 89 = 1
Log12.500 12.500 = 1
Propiedad 1
12. • El logaritmo de 1 en cualquier base es
siempre igual a cero:
loga 1 = 0
• Ejemplos:
log3 1 = 0
log2a 1 = 0
log43 1 = 0
Propiedad 2
13. • El logaritmo de un producto es igual a
la suma de los logaritmos de sus
factores:
loga (b·c) = loga b + loga c
• Ejemplos:
log2 (3·5) = log2 3 + log2 5
log3 (6·2·5) = log3 6 + log3 2 + log3 5
log4 (16·4) = log4 16 + log4 4 = 2+1 =3
Propiedad 3
14. • El logaritmo de una fracción es igual a
la resta del logaritmo del numerador
menos el logaritmo del denominador.
loga (b/c) = loga b – loga c
• Ejemplo:
log2 3 / 4 = log2 3 – log2 4
log4 (16/4) = log4 16 - log4 4 = 2-1 = 1
Propiedad 4
15. • El logaritmo de una potencia es igual a
la potencia multiplicando al logaritmo
de la base de la potencia:
loga bc
= c loga b
• Ejemplo:
log2 53
= 3 log2 5
log3 √5 = ½ log3 5
Propiedad 5
16. • El logaritmo de la base elevado a una
potencia es igual a la potencia.
Loga ab
= b
• Ejemplo:
log3 32
= 2
log4 46
= 6
log2 23
= 3
Propiedad 6
17. Cambio de base de logaritmo:
• El logaritmo en base a un número es
igual a la fracción entre el logaritmo del
primer número con base en un tercer
número y el logaritmo del segundo
número con base en un tercer número.
loga b = logc b
logc a
Ejemplo:
log2 8 = log3 8 / log3 2
Propiedad 7
18. • Un número elevado al logaritmo con
base en el mismo número, es igual al
número del logaritmo.
a log
a
b
= b
• Ejemplo:
4 log
4
3
= 3
20 log
20
4
= 4
b log
b
2
= 2
3 log
3
5
= 5
Propiedad 8
19. Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 y
cualquier número real k:
( )
MkM
NM
N
M
NMNM
ka
a
a
k
a
aaa
aaa
k
a
a
a
loglog.6
loglog)(log.5
logloglog.4
log.3
01log.2
1log.1
⋅=
−=
+=
=
=
=
Formulario de logaritmos
20. Para cualquier número positivo x.
xx loglog10 =
Logarítmo decimal o común
• El logaritmo log10 x se llama logaritmo
común de x y su forma abreviada
es log x.
21. Son aquellos cuya base es el número
e ≈ 2,7182818..
Para cualquier número positivo x.
xxe lnlog =
Logaritmo natural
22. Las funciones exponenciales y logarítmicas
pueden ser utilizadas para resolver y modelar
algunas situaciones de la vida real. Algunas de
estas situaciones son: el crecimiento de bacterias
en un cultivo, el crecimiento de la población de
una ciudad, el tiempo que toma un objeto para
llegar a cierta temperatura, etc.
APLICACIONES
23. Modelo de crecimiento y decrecimiento de
poblaciones
Donde “Ao” es la población inicial.
Si el modelo es de
crecimiento la tasa “k” > 0 ,
si es de decrecimiento la
tasa k < 0 .
APLICACIONES
24. Desintegración radiactiva
Donde “Co” es la cantidad de masa
inicial del elemento radiactivo
APLICACIONES
Los elementos radiactivos tienden
a disminuir su masa conforme
transcurre el tiempo, sea t el
tiempo medido en años y C(t) la
cantidad medida en gramos del
elemento radiactivo, entonces la
cantidad de masa C(t) esta dada
por :
25. Ley de enfriamiento de Newton.
k > 0
APLICACIONES
donde “u” es la temperatura del medio,
“T” es la temperatura inicial del cuerpo
y “K” es la constante de enfriamiento
del cuerpo
26. Modelo logístico de crecimiento
APLICACIONES
Donde a , b y c son
constantes, c > 0 y b > 0
27. MAGNITUD DE UN TERREMOTO
APLICACIONES
Donde I es la intensidad del terremoto e
Io es la intensidad de un terremoto
estándar de referencia
Para medir la magnitud de un terremoto
se realizan lecturas en un sismógrafo
que deben ser representadas en una
escala por ejemplo : La Escala Richter
cuya magnitud se halla :
28. Interés compuesto
El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
donde: A(t) = cantidad después de t años
P =Capital o valor actual
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
APLICACIONES
29. Interés compuesto en forma continua
El interés compuesto en forma continua se calcula
mediante la fórmula:
donde A(t) = cantidad después de t años
P = capital o valor actual
r = tasa de interés por año
t = número de años
APLICACIONES
30. Modelo exponencial para la diseminación de un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad
pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de
personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:
CALCULAR:
1. Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día,
despues de dos dias y después de cinco días.
c) Haz la gráfica de la función y describe su comportamiento.
(puedes utilizar la hoja de cálculo y la calculadora WIRIS)
Practicando lo aprendido
31. Practicando lo aprendido
RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 05:
Desintegración de una sustancia
• Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función
exponencial . La cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero
después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcular la
cantidad de masa después de 100 años
i) Como la sustancia radiactiva se desintegra
de acuerdo a
Para Co = 10 se tiene
ii) Ademas C(200) =2
32. Luego reemplazando k en i) se tiene:
iii) Nos piden C(100)
Luego la cantidad de masa después de 100 años es de 4,47 gramos aproximadamente
Practicando lo aprendido
