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  • 1. RAICES
  • 2. 4¿Qué es una Raíz?Una Raíz es una expresión que consta de unINDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.¿Indice, raíz, cantidad subradical?24IndiceCantidadSubradical(-5,3)854Símbolode Raíz2
  • 3. Elementos de una RaízmanExponente delSubradicalINDICESUBRADICALSímbolode Raíz
  • 4. __¿Qué significa la Raíz?(-5,3)354=Ojo: El Indice 2no se escribe.Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.425=52_42543(-5,3)_2=3(-5,3)6 54 776Raíz Potencia= 3(-0,6)2= (-0,6)232_72=672776
  • 5. Transforma las siguientes Potencia a RaícesTransforma las siguientes raíces a Potencia=4=37=53=374=35=3 47=3235=5m=m nd=216( ) =253,0= 2952=324=−713657=bca214237215323743153473235mnd25m653,09523 2473657−b ca
  • 6. _Importante:Lectura de una Raíz.-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej.-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej.-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.3 76564 76En Generalanb =bnanba0 = 0ba a1 = 1ba ≥ 2
  • 7. Pero es solo una aproximación decimal de laRaíz, que no es exacta. Por lo que la mejorforma de representar a es como .Raíz Cuadrada=4 ya que2 =⋅22 4=9 ya que3 =⋅33 9=16 ya que4 =⋅44 16=25 ya que5 =⋅55 25=2 ...1688724273095048804142135623,12 2Esto sucede con muchas raíces que no entregan unresultado exacto
  • 8. Pero, al igual que el anterior es solo una aproximacióndecimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejorforma de representar a es como .Raíz Cúbica=38 ya que2 =⋅⋅ 222 8=327 ya que3 =⋅⋅ 333 27=364 ya que4 =⋅⋅ 444 64=3125 ya que5 =⋅⋅ 555 125=33 ...6163831077907408382324422495703,133 33
  • 9. 22_Propiedades:El Índice Igual al Exponente.Sabiendo que:723=32737¿Cuál será el resultado de?525=52_555=_an =ananaaEn General: = n212=2
  • 10. Descomponer una Raíza a am n m n× =Resolver lo siguiente:750x6225 xx⋅⋅⋅25+ 732x++56216 xx⋅⋅⋅416+2⋅ x⋅ 6x⋅2⋅ x⋅ 3x⋅ 2⋅ x⋅ 3x⋅xx 25 3+ xx 24 3Son términos semejantesxx 29 32⋅ x⋅ 6x⋅=====
  • 11. Otro ejemplo45 + 20Son términos semejantes54−80 125− −59⋅ 54⋅59 ⋅544 ⋅⋅ 255⋅54 ⋅ 544 ⋅⋅ 255 ⋅53 52 522 ⋅⋅ 55+++ −−−−−−53 52 54 55+ − −====
  • 12. Ingresar Coeficiente• “El coeficiente se eleva al índice de la raízy luego multiplica al radicando.• Ej.n nna b a b= ×3 33 5 532 32 2 2 2= × =
  • 13. 2Multiplicación de Raíces de Igual Índice.¿Cuál será el resultado de?9=an =nxaEn General:57• 29 7•5• mya anx•my
  • 14. Ejemplos: Resuelve usando la Propiedada)b)c) =•3316943=•33366=• 28d)e)f)g)h)i)j)=••• 5635 33=••• 33339243( ) ( ) =−•−52,12,1=−•− 323543232=•3 43 5mm=• 57nn=••• 3 753 23 nnnnbaba644315303•6( )32,1943m6nnnba 32
  • 15. 7División de Raíces de Igual Indice.¿Cuál será el resultado de?5=an =nxEn General:57÷ 75 75mya anxmy÷÷ ÷
  • 16. Resuelve:a)b)d)=28=33381=3 43 755c)=••8328133e)f)h)=02,008,0=÷338143256=••3 23 23 83 5nmnmg)=•• 365343 2 dabdab235232122mnbaObs: nna anbb=
  • 17. Raíz de una Raíz.7¿Cuál será el resultado de?5a=En General:=mn b•amn75475= 7563b
  • 18. Resuelve usando la Propiedad Raíz de una Raíz:a)b)c)e)d)f)=16=37=3 45=48nm=3 3 183 24xx=3612yx26712542nmyx22x3 4 124 3 73 42 8 2 2 2= × =g)
  • 19. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradase Indice ParComo, por ejemplo, 24 = ya que 422 =⋅entoncesy así para todas las Raíces Cuadradasde Números PositivosNO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZRAÍZCUADRADACUADRADA DE NÚMEROSNEGATIVOSEs decir:4− No Existe2,0− No Existe3625− No ExisteEn General, Esta condición es propiade todas las Raíces de INDICE PAR.4 12,0− No Existe83625− No Existe
  • 20. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas eIndice ImparLas Raíces que tienen INDICE IMPARNO tienen restricciónEs decir:283−=− ya que =−⋅−⋅− 222 8−3273−=− ya que =−⋅−⋅− 333 27−322783 −=− ya que =−⋅−⋅−323232278−21287−=− ya que =−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅− 2222222 128−
  • 21. RacionalizaciónRacionalizar es amplificar una fracción donde eldenominador presenta una Raíz, con el fin deque ésta no aparezca.Ejemplos:=2122 =3aa=3 23nn393n¿Qué es lo que hay que saber?Amplificar:27=⋅44828Multiplicar Raíces =⋅ 82 41682 ==⋅=⋅ 53xx 4853xxxx ==⋅PotenciasRaíz como PotenciaPropiedad de Raíces: xxx nnn n==aa
  • 22. i) Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Formaaqp=37=⋅3337=⋅3337=2337337=xmn=⋅xxxmn=⋅ xxmxn=2xmxnmxxn=+752 ( ) =⋅+77752 ( ) =⋅+77752=⋅+27757273572 +=aqp=⋅aaaqp=⋅aaqap=2aqapqaapEn General1)2)3)=57n=147nn=nn47=⋅nnnn27=nnn274) =37nn
  • 23. Ejemplo: Racionaliza las siguientes Expresiones⋅=117117⋅=aaxaax52155215⋅=abaaba10401040 22⋅=33aaaaaa⋅=497497=abab=+228=−xyxyyxxyi)ii)iii)iv)v)vi)vii)viii)
  • 24. ii) Racionalizar Raíces de la Forman kaqp⋅=347=⋅3 23 234447=⋅3 234447=3 334474474=4 3xmn=⋅⋅444 3xxxmn=⋅⋅4 34xxmxn=⋅⋅4 44xmxnmxxn4=+3 23aaa ( ) =⋅+333 233 aaaaa ( ) =⋅+3 2333 aaaaa=⋅+3 333 23 aaaaaaaa333+=⋅n kaqp=⋅⋅ −−n knn knn kaaaqp=⋅⋅⋅−−n knkn knaaqap=⋅⋅ −n nn knaqapEn General1)2)3)aqap n kn⋅⋅ −=3 7474) =⋅3 6447=⋅33 6447=⋅32447.....444473 23 232⋅⋅
  • 25. Racionaliza las siguientes Expresiones⋅= 33117117⋅=3 23 252155215aaxaax⋅=3 223 2210401040abaaba⋅=3 233 23baaabbaaab⋅= 33497497=3 5abab=+4 34 74 11222=−7 697 623yxyxxi)ii)iii)iv)v)vi)vii)viii)
  • 26. iii) Racionalizar expresiones con binomio en el denominador( )67 2=+ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 26 7 2 6 7 26 ( 7 2) 6( 7 2)2 7 27 4 3( 7 2)7 2 7 2/− / −− −× = = = = −− /−+ −Ejemplo 1( )75 2=− ( ) ( ) ( )( ) ( )2 27 5 2 7 5 27 ( 5 2) 7( 5 2)5 2 3( 5 2)5 2 5 2/− −+ +× = = =−+− −Ejemplo 2En ambos ejemplos tuvimos que amplificar por uno ( ),para formar una “suma por diferencia“ :(a+b)(a-b)= a2– b2Resumiendo, podemos generalizar de la siguiente Manera:( )a b cab cb c=−±mab c±
  • 27. Ecuaciones con Irracionales.Una Ecuación Irracional es determinar el valor dela incógnita que se encuentra bajo raíces.Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:73 =+xxx 213 −=+13743 +=−++ xxx1375123+=++ xxPara resolverlas hay que seguir dospasos muy sencillos:i) Si hay más de una raíz, sedebe aislar en uno de los ladosde la ecuación.ii) Elevar al cuadrado ambos ladosde la ecuación.
  • 28. OJO. En estricto rigor la solución de laecuación debe estar en el siguienteconjunto:Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:642 =−x[ [+∞,2Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aisladaen uno de los dos lados de la ecuación.642 =−x Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar amboslados de la igualdad a 2.( ) 22642 =−x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice yel exponente se simplifiquen.3642 =−xSe resuelve como una ecuación de primergrado con una incógnita.20=x2/
  • 29. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:138 =+−+ xxPaso i) Aislar una de las raíces en uno de los doslados de la ecuación.Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar amboslados de la igualdad a 2.El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice yel exponente se simplifiquen y en el otrolado de la igualdad tengamos que realizar elcuadrado de un binomio.xx ++=+ 3182/( ) ( )22318 xx ++=+xxx ++++=+ 33218x+= 324 Debemos volver al paso i), raíz aislada yelevamos al cuadrado ambos lados de laigualdad.2/( )22324 x+=( )x+= 3416x41216 +=x=1Aquí en adelante la Ecuación Irracional setransforma en una Ecuación de Primer Gradocon una Incógnita
  • 30. Curiosidades...2121212112+++++=1)2) Algoritmo para determinar una raíz.
  • 31. Linkshttp://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htmhttp://www.sectormatematica.cl/contenidos.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadradahttp://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.phphttp://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327
  • 32. RAICESHarold Leiva MirandaHarold.leiva@sekmail.comColegio Sek – Pacífico