Matriks dan Determinan

5,337 views
5,028 views

Published on

1 Comment
7 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
5,337
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
255
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
1
Likes
7
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matriks dan Determinan

  1. 1. MODUL 4:MATRIK DAN DETERMINAN
  2. 2. Pengertian MatrikMatrik adalah susunan bilanganreal (kompleks) berbentuk empatpersegi panjang yang dibatasi olehtanda kurung, ditulis dengan :)(........................321333323122322211131211nmaaaaaaaaaaaaaaaaaaAijmnmmmijnnnIstilah-istilah :Lambang matrik digunakan hurufbesar, A, B, CElemen matrik digunakan lambanghuruf kecil, a. b , c …Bagian mendatar disebut barisBagian tegak disebut kolomIndeks-I menyatkan baris, indeks-jmenyatakan kolomJumlah baris=m, jumlah kolom=nUkuran matrik disebut ordoMatrik dengan jumlah baris=m,jumlah kolom=n diebut denganukuran (mxn) atau matrik berordo(mxn)
  3. 3. CONTOH3145.023223001.023.04333.0225667.0221jjABeberapa istilah yang perludiketahui ;Elemen matrik A dapat berupabilangan bulat, desimal, rel ataubilangan kompleksJumlah baris A=4, jumlah koloma=5, A berukuran (4x5)a32 : elemen baris ke-3 kolom-2adalah 0.001Elemen-elemen diagonal matrikA : 1, , 3, 1CONTOHPerhatikan jaringan berikut :1 2 43terbubungtidakjdaninodejika,terhubungjdaninodejika,01ija0110101111010110AMatrik jaringannya adalah sebagaiberikut
  4. 4. MATRIK-MATRIK KHUSUSMatrik Bujur SangkarA dikatakan matrik bujur sangkar jikajumlah baris dan jumlah kolom Asama. Matrik A dikatakan berordo n)(........................321333323122322211131211nnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAijnnnnnijnnnElemen-elemen diagonal utama Aadalah a11, a22, a33, a44 ….CONTOH0110101111010110AMatrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah0, 0, 0, 081.09251283.04.054.0713423425.01251A
  5. 5. Matrik Segitiga AtasA dikatakan matrik segitiga atas, jikaA adalah matrik bujur sangkardimana semua elemen dibawahdiagonal utama 0Matrik Segitiga BawahA dikatakan matrik segitiga atas, jikaA adalah matrik bujur sangkardimana semua elemen diatasdiagonal utama 081.09250283.04.00.07130004200001AElemen-elemen diagonal utama :1, 4, 7, 2, 8Elemen-elemen diatas diagonalutama 0, maka A matrik segitigabawah800002000.700903jihgfedcbaAElemen-elemen diagonal utama :3, 9, -7, 2, 8Elemen-elemen dibawahdiagonal utama 0, maka A matriksegitiga atas
  6. 6. Matrik Diagonal = DA dikatakan matrik diagonal, jika Aadalah matrik bujur sangkar dimanasemua elemen selain diagonalutama 0, dan elemen diagonal utamatak nol. Matrik demikian diberilambang D.Matrik Identitas = IA dikatakan matrik identitas, jika Aadalah matrik bujur sangkar dimanasemua elemen selain diagonalutama 0, dan elemen diagonal utama1. Matrik identitas diberi lambang I.1000040000300002300020002;4002432DDD1000010000100001100010001;1001432III
  7. 7. Transpose Matrik= ATTranspose matrik A ditulis ATadalah sebuah matrik yangdiperoleh dari A dimana baris ATadalah kolam A, dan kolom ATadalah baris A. Bila A berukuran(mxn), AT berukuran (nxm)CONTOH246876546421;276464652841TAAMatrik Simetris, A=ATA dikatakan matrik simetris,bilamana A adalah matrik bujursangkar dimana, AT=ACONTOH730003520002101000161.00001.05543431312;3112AAAMatriktridiagonal
  8. 8. OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)(1) Kesamaan, A=BMatrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakansama ditulis A=B jika hanya jika(1) A dan B berukuran sama(2) Setiap elemen yang seletaknilainya sama, aij = aij ;Contoh : 463512dan643512BAA dan B berukuran sama (2x3),tetapi AB, karena terdapat elemenseletak nilainya tidak sama(2) Perkalian dng skalar, kAPerkalian matrik, A=[aij] dengan skalartak nol k ditulis kA, didefinisikanbahwa setiap elemen A dikalikandengan konstanta tak nol k, yakni :kA=k[aij]= [kaij]Contoh :181291536)6(3)4(3)3(3)5(3)1(3)2(364351233A643512A
  9. 9. (3) Penjumlahan, A+B(1) Matrik, A=[aij] dan B=[bij]dikatakan dapat dijumlahkanditulis A+B bilamana A dan Bberukuran sama.(2) Bilamana, A+B=C, makaelemen matrik C diberikan,cij = aij + bij(elemen yang seletakdijumlahkan)OPERASI ARITMATIK MATRIK (2)Contoh :Diberikan :260511112818121249415238481244281812915344622142-64351232B-3A:maka462214dan643512BA
  10. 10. OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)(4) Perkalian Matrik, AB=C(1) Matrik, A=[aij](m=n) danB=[bij](pxq) dikatakan dapatdikalikan ditulis AB bilamanajumlah kolom A dan jumlahbaris B sama [n=p].(2) Bilamana, AB=C, maka matrikC=[cij](mxq) dimana elemen cijdiberikan oleh :njinjijinkkjikijbabababac ...22111(mxq)(pxq)(mxn) CBA 643512134261BA8131315134261643512ABmaka134261dan643512BAContoh : Diberikan :
  11. 11. Soal Latihan12212312dan13222141;324213).1( CababBAHitunglah(a). AB ; BC dan CA(b). (AB)C = A(BC)(c). (BC)(A)=B(CA)(d). (CA)B = C(AB)abbbabaCbaababbaBbaabbaA12212112211111232321;244231).2(
  12. 12. DETERMINAN MATRIKFungsi determinan matrik bujursangkar A dinyatakan dengandet(A)=|A|, didefinisikan sebagaijumlahan hasil kali elementerelemen-elemen bertanda AKasus n=1A=[a], det(A) =|a| = aKasus n=210)6(412-34bc-addet(A)dcba|A|maka,dcbaAKasus, n=3, Metode Sarrus323122211211333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa|A|:|A|det(A)Sarrus,metodedenganaaaaaaaaaA(–) (–) (–) (+) (+) (+)7412248916423121432aaaaaaaaa-aaaaaaaaa312213332112322311322113312312332211
  13. 13. METODE EKSPANSI LAPLACEAndaikan, A=[aij] (nxn) adalahmatrik bujur sangkar berordo (nxn).(1). Minor elemen matrik A baris ke-idan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mijdidefinisikan sebagai determinanmatrik berordo (n-1)x(n-1) yangdiperoleh dari A dengan caramenghilangkan baris ke-I dankolom ke-j(2). Kofaktor elemen matrik A bariske-i kolom ke-j ditulis C-ijdidefinisikan sebagai :ijjiij MC  )1(CONTOH :63-4523212-A173-4231)(M)1(C:untukdan-12(-1)(12)M(-1)C12)6(663-21M13311321122121M21 baris ke-2dan kolom ke-1dihilangkan
  14. 14. CONTOH : Minor124-52-32425-134132-A124-52-32425-134132-AM23 determinan matrik berordo(3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3dari matrik A dihilangkanM32 determinan matrik berordo(3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2dari matrik A dihilangkan134(-16)-12-40-(-64)(-30)(-4)14-52-24432-M23149(-8)-3-(-100)-24011012525-3412-M32
  15. 15. DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACEAndaikan, A=[aij] (nxn) adalahmatrik bujur sangkar berordo (nxn),dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktorelemen matrik A baris ke-i kolomke-j.)i-kebariskofaktorEkspansi(Ca...CaCan1,2,...,i;Cadet(A)).2(oleh,diberikanAmatrikdeterminan2nUntuk,aa|A|det(A)1,nUntuk).1(inini2i2i1i1n1kikik1111)j-kekolomkofaktorEkspansi(Ca...CaCan1,2,...,j;Cadet(A)).3(njnj2j2j1j1jn1kkjkj CONTOHHitung det (A)dengan ekspansikofaktor1494(31)1(-7)--2(-9)255-3415231-1225-(-2)MaMa-MaCaCaCa12525-3412-det(A)131312121111131312121111
  16. 16. CONTOHHitunglah determinan matrik AEkspnasi kofaktor baris4165324454237612A19()7()6()()21652444237-46534452364153245431-4163245422Ma-MaMa-MaCaCaCaCadet(A)14141313121211111414131312121111CONTOHHitunglah determinan matrik AEkspansi kofaktor kolom4165324454237612A196()4()-2()-1()324543762641554376244153247622415324543-1MaMa-MaM-aCaCaCaCadet(A)42423232222212124242323222221212
  17. 17. DETERMINAN : METODE CHIOAndaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka :aaaa...aaaaaaaa...aaaa......aaaa...aaaaaaaaaaaa...aaaaaaaa)(a1det(A)nnn11n11n2n11211n2n11211iji11j113n311n1133311311323112112n211n1123211311222112112-n11Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinandengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pulamenggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.
  18. 18. CONTOHHitunglah, det(A) dari :Jawab :Karena, a11= –2, dan n=3, maka :12525-3412-A1492298)144154(2122-9-16-7211542-2512-2342-5-312-(-2)1det(A)2-34165324454237612ACONTOHHitunglah, det(A) dari :Jawab :Karena, a11= 2, dan n=4, maka :19476492410005042222041)7727()7028()4422()4020()1(1x412728722204111014135)-(830)-(25)-(1228)-(624)-(44)-(821)-(1018)-(83)-(4(2)1det(A)232-4
  19. 19. SIFAT-SIFAT DETERMINAN(1). Jika A matrik bujur sangkarmakadet(A) = det(AT)Contoh :623154432A614253342ATMenurut sifat (1), maka :det(A) = det(AT) = –42(2). Jika A dan B adalah matrik bujursangkar yang berordo sama makadet(AB) = det(A) det(B)Contoh :8det(B)60det(A)2003-2021-2Bdan602051002A480860)det()det(det(AB)162413924242003-2021-2602051002ABBA
  20. 20. (3). Jika A matrik bujur sangkar yangmemuat baris atau kolom dimanaelemennya 0 atau sebanding, makadet(A) = 0Contoh :SIFAT-SIFAT DETERMINAN023054032A614000342ABaris-2 matrik Aelemennya 0,maka det(A)=0Kolom-3 matrikA elemennya 0,maka det(A)=0(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah)yang berordo (nxn) dimanaelemen diagonal utama tak nol,maka :det(A) = a11a22a33 … annContoh :4000350054307612AA matrik segitiga atas, maka :det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120
  21. 21. (5). Jika A dan B matrik bujur sangkaryang berordo sama. Jika matrik Bdiperoleh dari A dengan caramengalikan sembarang baris(kolom) dengan konstanta k taknol, maka :det(B) = k det(A)Operasi elementarnya adalah :Hi  k Hi : Baris ke-i baru =kx baris ke-i lamaKj  k Kj : Kolom ke-j baru =kxkolom ke-j lamaSIFAT-SIFAT DETERMINANCONTOH :18312642342B614321342A det(A)=21H2  2 H2 k1= 2H2  3 H2 k2=3det(B) = k1 k2 det (A)= (2) (3) 21= 126
  22. 22. (6). Jika A dan B matrik bujur sangkaryang berordo sama. Jika matrik Bdiperoleh dari A dengan caramenukarkan semua elemensembarang baris (kolom) , maka :det(B) = – det(A)Operasi elementarnya adalah :Hi  Hj : Baris ke-i baru =baris ke-j lamaKi  Kj : Kolom ke-i baru =kolom ke-j lamaSIFAT-SIFAT DETERMINANCONTOH :231164432C321614342B614321342Adet(A)=21H2  H3K2  K3det(B)= –det(A)= –21det(C)= –det(B)= –(–21)=21
  23. 23. (7). Jika A dan B matrik bujur sangkaryang berordo sama. Jika matrik Bdiperoleh dari A dengan caramengalikan sembarang baris(kolom) dengan konstanta k taknol dan hasilnya dijumlahkanpada baris (kolom) yang lain,maka :det(B) = det(A)Operasi elementarnya adalah :Hi  Hi+kHj :Baris ke-i baru = Baris ke-i lama+ k baris ke-j lamaKj  Kj+k Kj :Kolom ke-j baru = kolom ke-jlama + k kolom ke-i lamaSIFAT-SIFAT DETERMINAN4003-2-0321C2-4-03-2-0321B723322321ACONTOH :a11 = pivota21 dan a31direduksi menjadi0H2  H2 – 2 H1H3  H3 – 3 H1a22 = pivota32 = direduksi – 0H3  H3 – 2H2Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8
  24. 24. Matrik Awal2 2 4 0 403 2 0 12 4 6 32 4 4 6Iterasi 1 PIVOT = a112 2 4 00 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H10 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H10 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1Iterasi 2 PIVOT=a222 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2Iterasi 3 PIVOT=a332 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 50 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3
  25. 25. Matrik Awal2 4 8 8 84 4 6 8 24 4 7 7 54 8 14 14 82 2 6 9 12CONTOH :Iterasi 12 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H10 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H10 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H10 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1Iterasi 22 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H20 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2Iterasi32 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3Iterasi42 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -20 0 0 0 -2H5=H5-(a54/a44)H4
  26. 26. DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINANMatrik bujur sangkar A dikatakandapat didekomposisi, jikaterdapat matrik segitiga bawah Ldan matrik segitiga atas Usedemikian rupa sehingga :A = LUAkibatnya :det(A) = det(L) det (U)CONTOH24)det(1462951642LUA100210321U;422031002LATEKNIK MENGHITUNGDEKOMPOSISI, A=LU(1) Metode Crout, mendekomposisimatrik yang menghasilkan elemendiagonal utama matrik segitiga atasU adalah satu.(2) Metode Doollite, mendekomposisimatrik yang menghasilkan elemendiagonal utama matrik segitigabawah L adalah 1(3) Metode Cholesky mendekomposisimatrik diagonal utama L dan Usama. Metode ini hanya untukmatrik simetris.(4) Metode Operasi Elementer,mendekomposisi matrik menjadisegitiga atas atau segitiga bawah
  27. 27. DEKOMPOSISI : METODE CROUTKasus n=3Rumus perhitungannya :333231232221131211231312333231222111aaaaaaaaa100u10uu1lll0ll00l23321331333322132123231231323212212222111313111212313121211111:5Iterasi:4Iterasi;:3Iterasi;:2Iterasi;;:1IterasiululallulauulalulalaauaaualalalRumus umum untukmencari L dan U denganmetode Crout adalah :n2,...,jj,ilulaun1,...,ii,julalii1i1kikikijij1j1kkjikijij
  28. 28. 16241392424ACONTOH :Hitunglah determinan matrikberikut dengan metodedekomposisiJawab :1445.0-42-:2Iterasi4;2;4:1Iterasi1312312111uulll120(-1.5)-4(1)-16:5Iterasi-1.5102(1)-13-:4Iterasi04(-0.5)--2;10(2)(-0.5)-9:3Iterasi33233222lull480U)det(L)det(det(A)1)det(1001.5-1010.5-1U480)12)(10(4)det(12040102004LJadi,UL
  29. 29. KASUS n=4 : METODE CROUTRumus iterasi perhitungannya adalah :44434241343332312423222114131211342423141312444342413332312221111000100101000000aaaaaaaaaaaaaaaauuuuuullllllllll221421242422132123231241424212313232122122221114141113131112124141313121211111:4Iterasi;:3Iterasi;;:2Iterasi;;;;:1Iterasilulaululauulalulalulalaauaauaaualalalal344324421441444433243214313434234213414343233213313333:7Iterasi:6Iterasi:5Iterasiulululallululauululalululal
  30. 30. CONTOH :Hitunglah determinan matrikberikut dengan metodedekomposisiJawab :6442364210230422A2)1(242)1(24;1)1(32:3Iterasi020;224;122:2Iterasi;2;2;3;2:1Iterasi42322214131241312111llluuullll-1(-1))0(3)(-1u6(-1)3(2)-0u:4Iterasi2423212(0.5)-2(-1)-2(0)-6:7Iterasi5.0102(-1)-2(0)-3:6Iterasi-122(6)-2(2)-4-102(6)-2(2)-6:5Iterasi44344333lull10000.51001-6100211U;2122201022001-30002LJadi,
  31. 31. DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLERumus umum untukmencari L dan U denganmetode Doolittle adalah :n,...,2ii,juulaln1,...,jj,iulauii1j1kikikijij1i1kkjikijijKasus n=3Rumus perhitungannya :333231232221131211332322131211323121aaaaaaaaau00uu0uuu1ll01l00123321331333322123132321321232312212222113131112121131312121111:5Iterasil:4Iterasiu;:3Iterasi;l:2Iterasi;;u:1Iterasiululauuulaulaulauaalaaauaua
  32. 32. KASUS n=4 : METODE DOOLITTLERumus iterasi perhitungannya adalah :44434241343332312423222114131211443433242322141312114342413231210000001010010001aaaaaaaaaaaaaaaauuuuuuuuuullllll221241424222123132321241422413212323122122221141411131311121211414131312121111ll:4Iterasiu;:3Iterasi;;l:2Iterasi;;;;u:1Iterasiuulauulaulauulaulauaalaalaaauauaua344324421441444433234213414343243214313434233213313333:7Iterasi:6Iterasiuu:5Iterasiulululauuululalululaulula
  33. 33. TUGAS II,III dan IV3a1a3b1b1a1a1b1b1b2b1a2a1bba1aAHitunglah det(A) dengan cara :a. Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil)b. Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap)c. Sifat-sifat determinan (reduksi menjadimatrik segitiga)d. Metode CHIOe. Dekomposisi matrik (CROUT danDoolite)412142121112121121211aaabbaaabbaaabbbbbaabbbaaAHitunglah det (A) dengancara :a) sifat-sifat determinanb) Metode CHIOc) Dekomposisi matrik(Crout dan Doolite)

×