Análise de fluxo de potência em SEP

CESE Transmissão – Análise de Sistemas Elétricos
1
ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM REGIME
PERMANENTE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA
1 – INTRODUÇÃO
O cálculo do fluxo de potência, fluxo de carga, ou em inglês, load flow, em um SEP consiste
essencialmente na determinação do estado de operação desta rede dada sua topologia e uma certa
condição de carga.
Este estado de operação consiste de:
! determinação das tensões e ângulos para todos os barramentos do sistema;
! determinação dos fluxos de potência ativa e reativa através dos ramos do sistema;
! determinação das potências ativas e reativas, geradas, consumidas e perdidas nos diversos
elementos do sistema.
Esta análise de fluxo de potência é um dos estudos mais frequentes realizados em SEP. Ele por si
sópode constituir um estudo próprio ou fazer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo:
! estudo próprio: planejamento da operação, expansão do sistema, etc;
! outros estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimização, de confiabilidade, etc.
Como exemplo de aplicação de simulações de fluxo de potência, pode-se citar:
! estudos para planejamento do SEP, verificando as providências a serem tomadas com o
crescimento do sistema;
! avaliação das condições operativas do SEP, ou seja, analisar as condições operativas da rede em
regime normal e de emergência;
! estudos de avaliação e determinação de medidas corretivas para a operação do sistema em
condições de emergência, como, por exemplo, ajustes de taps de transformadores, condições de
chaveamento de bancos de capacitores, redespacho de geração das unidades do sistema,
sincronização de unidades fora de operação, etc;
! determinação dos limites de transmissão de potência do SEP;
! etc.
Até 1930 todos os cálculos de fluxo de potência eram feitos à mão, o que exigia inúmeras
simplif icações e impossibilitava a análise de grandes sistemas, devido a quantidade de cálculos
matemáticos necessários para a obtenção de resposta, mesmo para pequenos sistemas. Entre 1930
e 1956 foram usados analisadores de rede para resolver problemas de fluxo de potência. Os
analisadores de rede (Netw ork Calculators - Westinghouse ou Netw ork Analysers - GE) são modelos
em miniatura da rede em estudo, onde o comportamento do sistema era determinado pela medida
de grandezas elétricas no modelo. O problema básico da imprecisão e lentidão de cálculo continuou

2
e só pode ser sanado mais modernamemente com a utilização de computadores digitais. As
primeiras tentativas tiveram sucesso limitado, visto que os programas apenas automatizavam os
cálculos dos métodos manuais, usando equações de laços e de malhas, e não explorando
adequadamente a capacidade do computador.
Em 1954, L.A. Dunstan no artigo Digital Load Flow Studies, apresentou uma primeira análise de
redes utilizando computadores digitais. Em 1956, Ward e Hale apresentaram o primeiro programa
de computador, realmente bem sucedido, para solução de fluxo de potência, no artigo Digital
Computer Solution of Power-Flow Problems. O programa apresentado por Ward e Hale utilizava a
formulação nodal do problema e resolvia as equações não lineares que descreviam a rede, por um
método iterativo de New ton modificado. Os programas que imediatamente se seguiram, utilizaram
o método de Gauss-Seidel. Com o sucesso do método de Ward e Hale um grande número de artigos
de Glimm e Stagg, de Brow n e Tinney foram publicados sugerindo modificações nos algoritmos e
incorporando características adicionais aos programas computacionais. Na década de 60, com o
crescimento dos SEP e com a tendência de interligação dos mesmos, através de ligações em alta
tensão, foi aumentado rapidamente o número de ligações e de barramentos representativos do
sistema. As características do método de Gauss-Seidel fazem com que ele não se adapte bem a
sistema representados por um grande número de barras, de forma que se tornou necessário a
pesquisa de um outro método de solução de problemas de fluxo de potência.
Apósváriosanos de pesquisa realizados pela Bonneville Pow er Administration (BPA) foi desenvolvido
um método extremamente bem sucedido de solução das equações de fluxo de potência através do
algoritmo de New ton-Raphson. O método se adaptou muito bem a grandes sistemas, como também
obtinha solução de problemas em que o método de Gauss-Seidel havia falhado.
Atualmente, o método de New ton-Raphson é o mais utilizado para a solução de problemas de fluxo
depotência. Desde sua primeira formulação ele vem sofrendo diversas complementações no sentido
de torná-lo cada vez mais poderoso. Novos métodos, utilizando algoritmos semelhantes ao de
New ton-Raphson também vem sendo desenvolvidos a fim de obter maior rapidez e menor memória
computacional, como por exemplo, os métodos desacoplados.
Apesar de todos estes métodos, a solução do problema do fluxo de potência continua sendo objeto
de muita pesquisa e estudo, visando o desenvolvimento de métodos de solução cada vez mais
poderosos, rápidos e confiáveis.
De uma maneira geral, o problema do fluxo de potência caracteriza-se por ser não linear e portanto
sãonecessários, conforme já comentado e se verá adiante, processos iterativos de cálculo numérico
para resolução do problema (por isso os métodos diretos de análise nodal ou de malhas, usados na
teoria de circuitos não podem ser utilizados). A não linearidade das equações decorre de certas
características da modelagem de alguns componentes do sistema.
Na análise de fluxo de potência interessa-se em obter uma solução do sistema operando em regime
permanente senoidal, por isso a modelagem do sistema é estática, o que significa que as equações
e inequações representativas da rede são algébricas e não diferenciais.

3
2 – SUPOSIÇÕES E APROXIMAÇÕES
Nos cálculos de fluxo de potência comumente são feitas as seguintes simplificações:
! As cargas ativas e reativas nos barramentos do sistema são supostas constantes.
Ascargas embora possam variar significativamente dentro de períodos longos de tempo, o fazem
de maneira lenta e gradual, quase imperceptível dentro de pequenos intervalos de tempo. Logo,
o resultado é obtido em um estudo é válido dentro de um intervalo de tempo razoável. Quando
ocorre variações de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e efetuar uma nova simulação.
Emalgumas situações especiais pode ser necessário modelar algumas características dinâmicas
dascargas. Isto pode acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de outros
componentes do sistema e também de modificações no algoritmo de resolução das equações do
sistema. Por exemplo:
! carga de retificação (fábrica de alumínio, etc);
! carga de metrô, trem, etc;
! outros (efeito corona em linhas de transmissão, etc).
Umaoutra modelagem de cargas pode ser feita através de representação por corrente constante
ou impedância constante.
! Admite-se que a rede opere de maneira equilibrada em suas três fases e, portanto, uma
representação unifilar é suficiente
Esta simplificação não afeta de forma significativa a precisão dos resultados.
Caso ocorra situações de desequilíbrio na rede, tais como:
! linhas não transpostas, ou não totalmente transpostas;
! cargasmonofásicas ou bifásicas de elevada potência, tais como, fornos elétricos, ferrovias, etc,
em corrente alternada;
! faltas assimétricas de um modo geral, tais como defeitos fase-terra, dupla fase, dupla fase-
terra, bem como abertura de condutores;
! estudos mais sofisticados de estabilidade e proteção;
! etc;
seránecessário a análise através de um fluxo de potência trifásico, onde são representados todas
as três fases do sistema.
! Os elementos passivos do sistema são representados com parâmetros concentrados
Com isso é evitado a necessidade de equações diferenciais para representação dos elementos.
No presente curso, a atenção será focalizada no fluxo de potência convencional, onde as três
hipóteses acima são consideradas aceitáveis.

P k
G
Qk
G
( k )
(k)
P k Q k
C C
C
(k)
Y k
4
3 – REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES
3-1 – Geradores
São representados pelas potências ativa e reativa (indutiva ou capacitiva) que devem entregar ao
barramento que estão conectados, como mostra a figura 1.
Figura 1 – Representação do gerador para estudos de fluxo de potência
Estas potências podem ser conhecidas (especificadas) ou então serem obtidas como resultado do
fluxo de potência.
3-2 – Cargas
Sãorepresentadas pelas potências ativa e reativa consumidas, supostas constantes, como ilustrado
na figura 2.
Figura 2 – Representação da carga, como potência constante, para estudos de fluxo de potência
Como exemplo de cargas de potência constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos motores
síncronos e de indução (com restrições) e as parcela reativa dos motores síncronos (sem grande
precisão).
A lgumas cargas podem ser representadas como uma impedância constante, ou seja, por uma
admitância ligada do barramento à referência, como mostra a figura 3.
Figura 3 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
de fluxo de potência

0Y
C
k ' ( P
C
k & jQ
C
k )
V
2
B
V
2
k × SB
(k)
C
kI
0I
C
k ' (P
C
k & j Q
C
k )
VB
VE SB
0S
C
k
' P
C
k % j Q
C
k ' 0Vk
( 0I
C
k
)(
' Vk
I
C
k e
j Nk
Nk ' 2k & (k
0Y
C
k
P
C
k Vk
Q
C
k Vk
SB
VB
0I
C
k
Nk
2k (k
5
Logo:
onde:
- admitância ligada do barramento a referência (pu);
- potência ativa em MW absorvida pela carga a tensão em kV;
- potência reativa em MVAr absorvida pela carga a tensão em kV;
- potência de base em MVA;
- tensão de base em kV.
Comoexemplo de cargas de impedância constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos aquecedores
e das lâmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a parcela reativa nula.
Também outras cargas podem ser representadas como cargas que absorvem corrente constante,
como mostra a figura 4.
Figura 4 – Representação da carga, como corrente constante, para estudos
Logo:
Neste tipo de carga as grandezas consideradas fixas são o módulo da corrente que flui pela
mesma e o defasamento angular dessa corrente em relação a tensão do barramento de
alimentação:
sendo:
onde e são, respectivamente, os ângulos de fase da tensão e da corrente, ambos expressos
em relação à mesma referência.
Como exemplo de carga de corrente constante, pode-se citar, as parcelas ativa das lâmpadas
fluorescentes e de certos tipos de cargas de retificação em escala industrial.

Yi0
= j
b ik
2
= r + jxZik ik ik
Yk0
= j
b ik
2
(i) (k)
Yi0
Yk0
Z ik
= B
B
A - 1
=
B
A - 1
=
(i) (k)
0A ' cosh(0(R)
0B ' 0Zc
senh(0(R)
0Zc '
rik % jxik
j bik
0( ' (rik % jxik) jbik
B
.
B
B
0A 0B 0C 0D
0Zc
˙γ
6
3-3 – Linhas de Transmissão
São representadas pelo seu circuito equivalente, conforme ilustrado na figura 5.
Figura 5 – Representação da linha de transmissão para estudos de fluxo de potência
No caso de linhas de transmissão curtas ( até 40 km), é comum desprezar as susceptâncias
capacitivas no circuito equivalente.
As linhas médias e longas devem ser representadas pelo circuito equivalente completo.
No caso das linhas longas os parâmetros devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem ser
obtidos através dos parâmetros , , e da linha considerada como um quadripolo como pode
ser visto na figura 6.
Figura 6 – Representação da linha de transmissão por um quadripolo
onde:
sendo:
- impedância característica da linha de transmissão (pu);
- constante de propagação da linha de transmissão (rad).
Se a linha possuir reatores, é comum representá-los nos barramentos terminais da mesma, como se
fossem reatores de barra, como mostra a figura 7.

Qk
R
iQR
(i) (k)
Z ik
(i) (k)
(i) (k)
Z ik
p : p
i k
(i) (k)
i0Y Yk0
Yik
B
0Zik
7
Figura 7 – Representação da linha de transmissão com reatores em seus extremos
Este procedimento evita tornar assimétrico o circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer caso
os reatores forem diferentes nas duas extremidades da linha (ou só existissem em uma delas) e
fossem incorporados à susceptância shunt da linha, e facilita a obtenção do fluxo reativo consumido
pelos reatores (o que não ocorre caso os reatores sejam incorporados à linha).
3-4 – Transformadores de 2 enrolamentos
Normalmente, são representados pela sua impedância de dispersão.
Se o transformador não apresenta taps, coloca-se simplesmente a impedância de dispersão entre
os barramentos terminais do transformador, como mostrado na figura 8, onde é sua impedância
de dispersão em pu referida à potência de base.
Figura 8 – Representação do transformador para estudos de fluxo de potência
Se o transformador apresenta somente taps variáveis em fase, a representação do mesmo está
apresentado na figura 9, sendo seu modelo mostrado na figura 10.
Figura 9 – Representação do transformador com taps para estudos de fluxo de potência
Figura 10 – Modelo do transformador com taps em fase

0Yik '
1
pi pk
0Zik
0Yi0 ' 0Yik
pk & pi
pi
0Yk0
' 0Yik
pi
& pk
pk
pi '
Vtap i
VBi
pk '
Vtap k
VBk
1: p + jq Zik
(i) (k)
0Ii
0Ik
'
1
0Zik
&
p & j q
p 2
% q2
1
0Zik
&
p % j q
p 2
% q2
1
0Zik
1
p2
% q 2
1
0Zik
0Vi
0Vk
0Zik
Vtap i
Vtap k
VBi
VBk
B
8
sendo:
onde:
- impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
- tensão de base do barramento (i);
- tensão de base do barramento (k).
Pode-se observar no modelo acima que ao se elevar o tap do transformador do lado k (p > 1), pork
exemplo, para aumentar a tensão deste barramento, acarretará que a susceptância do barramento
(k) para a terra resulta em um valor positivo (capacitivo) e do barramento (i) para a terra um valor
negativo (indutivo), tendendo a aumentar a tensão do barramento (k) e a diminuir a do barramento
(i), o que está de acordo com o esperado.
A figura 11 mostra o transformador com taps variáveis em fase e quadratura (ou só em quadratura).
Figura 11 – Representação do transformador com taps em fase e quadratura,
para estudos de fluxo de potência
Neste caso não é possível a determinação de um circuito equivalente, sendo o transformador
representado na forma matricial:

(i) (k)
(j)
( fic )Z
Z
Zi-fic k-fic
j-fic
0Zi&fic '
1
2
( 0zik % 0zji & 0zkj)
0Zj&fic '
1
2
( 0zji % 0zkj & 0zik)
0Zk&fic '
1
2
( 0zkj % 0zik & 0zji)
0Zik
0zik
0zkj
0zji
0zik
0zkj
0zji
9
onde:
- impedância de dispersão do transformador em pu referida à potência de base;
p - tap em fase do transformador do enrolamento do lado k;
q - tap em quadratura do transformador do enrolamento do lado k.
3-5 – Transformador de 3 enrolamentos
Os transformadores de 3 enrolamentos podem ser representados por seu equivalente em triângulo
ou em estrela.
A representação pelo equivalente em estrela acarreta o aparecimento de um nó fictício entre os
barramentos terminais do transformador, como pode ser visto na figura 12.
Figura 12 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em estrela,
sendo:
onde:
- impedância i-k do transformador referida à potência de base (pu);
- impedância k-j do transformador referida à potência de base (pu);
- impedância j-i do transformador referida à potência de base (pu).
As impedâncias , e são obtidas de ensaios de curto-circuito realizados nos três
enrolamentos do transformador. Todas a impedâncias devem estar em pu ou então referidas ao
mesmo lado do transformador.
Nestarepresentação o transformador de três enrolamentos é representado por três transformadores
de dois enrolamentos e se o mesmo apresentar taps variáveis eles podem ser representados da
maneira vista na seção precedente.
Uma outra maneira de representar o transformador de três enrolamentos é através de um circuito

Z ik
jiZ Zkj
(j)
(i) (k)
0Zik '
0Zi&fic. 0Zk&fic % 0Zi&fic. 0Zj&fic % 0Zj&fic. 0Zk&fic
0Zj&fic
0Zkj '
0Zi&fic
0Zji '
0Zk&fic
(i) (k)
Yk0
ikY
YkjYji
1
2
Yi01
Yi03
2j0Yj0Y
3
Yk0
(j)
10
ligado em triângulo. Nesta representação não é necessário a criação do barramento fictício, como
pode ser observado na figura 13.
Figura 13 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo,
Asimpedâncias entre os barramentos terminais do transformador podem ser obtidas dos valores da
representação em estrela:
deve-se observar que estas admitâncias são diferentes das obtidas no ensaio do transformador.
Se o transformador apresentar taps variáveis em fase, tem-se o equivalente mostrado na figura 14.
Figura 14 – Representação do transformador de 3 enrolamentos, em triângulo,
com taps variáveis em fase

0Yik '
1
pi . pk . 0Zik
0Yi01
' 0Yik
pk & pi
pi
0Yk01
' & 0Yi01
pi
pk
0Ykj '
1
pk . pj . 0Zkj
0Yk02
' 0Ykj
pj & pk
pk
0Yj02
' & 0Yk02
pk
pj
0Yji '
1
pj .pi . 0Zji
0Yj03
' 0Yji
pi & pj
pj
0Yi03
' & 0Yi03
pj
pi
pi '
Vtap i
VBi
pj '
Vtap j
VBj
pk
'
Vtap k
VBk
Vtap i
Vtap k
Vtap j
VBi
VBk
VBj
11
sendo:
onde:
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado i;
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado k;
- tensão nominal do enrolamento (tap) do lado j;
- tensão de base do barramento (i);
- tensão de base do barramento (k);
- tensão de base do barramento (j);
3-6 – Compensadores Síncronos
Sãorepresentados como geradores síncronos com a potência ativa zerada, como indicado na figura
15.

Q k
S
0.0
(k)
S
0S
S
k ' j Q
S
k
(k)
MAX
MIN
I
MAXMIN
Q
I MIN
B
BMAX
LIMITE DE
CORRENTE
V
VMIN
V
I MAX
Q
FAIXA DE
CONTROLE
VREF
S
S
k
Q
S
k
12
Figura 15 – Representação da carga, como impedância constante, para estudos
Tem-se:
onde:
- potência complexa em MVA (ou pu) gerada;
- potência reativa em MVAr (ou pu) gerada.
3-7 – Compensadores Estáticos
Existem vários tipos de compensadores estáticos, como por exemplo:
! capacitores e reatores chaveáveis mecanicamente;
! reatores saturáveis;
! capacitores e reatores controlados (tiristores);
! etc.
Um modelo básico simplificado de um compensador estático e de sua característica estão
apresentados na figura 16.
Figura 16 – Representação do compensador estático para estudos de fluxo de potência
Quandoocompensador estático está funcionando dentro de sua faixa de controle ele é representado
por uma reatância (X ) alocada entre o barramento do sistema no qual o compensador estáCE
conectado e um barramento auxiliar com tensão fixa no valor a ser controlado. A reatância X variaCE
tipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das características dos componentes e da faixa de ajuste.

CEjX
CE
V
(k)
REF
MAX
MIN
jB V
I= jB SE >I MAX
= jB SE <VMIN
(k)
ICE > IMAX Y B ' BMIN '
QMAX
V
2
MAX
VCE < VMIN Y B ' BMAX '
QMIN
V
2
MIN
13
S e X f or igual a zero o compensador é representado como um síncrono, fixando a tensão doC E
barramento no qual está conectado. Este modelo está apresentado na figura 17.
Figura 17 – Representação do compensador estático, dentro de sua faixa de controle,
Quandoo ponto de operação está fora da região de controle o compensador estático é representado
como um elemento shunt com uma susceptância (B), que depende do ponto de operação (item 9),
como mostrado na figura 18.
Figura 18 – Representação do compensador estático, fora de sua faixa de controle,
Para:
Dependendo do tipo de estudo a ser feito o compensador pode ser representado da mesma maneira
que os compensadores síncronos.
3-8 – Capacitores Série
São representados como uma reatância negativa, como pode ser visto na figura 19.
Eventualmente os capacitores série também podem ser representados englobando sua reatância à
reatância do circuito B equivalente da linha de transmissão. Esta representação além de não ser
muito correta, tem o inconveniente de não possibilitar obter a tensão nos terminais do capacitor.

-jX C(i) (k)
(k)(k)
REATOR CAPACITOR ( )( )
Qk
R
Qk
C
Qk
SB
' bk
.
Vk
VB
2
Y bk
'
Qk(pu )
V
2
k(pu)
bk ' Qk(pu )n
Qk(pu )
Vk(pu )
bk
Vk(pu)
14
Figura 19 – Representação do capacitor série para estudos de fluxo de potência
3-9 – Capacitores e Reatores de Barra
São representados pela potência reativa fornecida por eles, sob tensão nominal, no barramento no
qual estão conectados, como mostra a figura 20.
Figura 20 – Representação do reator e capacitor de barra para estudos
Nocaso de capacitores a potência reativa fornecida é considerada positiva e no caso de reatores é
considerada negativa.
Apesar dos capacitores e reatores apresentarem uma perda de potência ativa, que é traduzido pelo
seu fator de qualidade, ela é desprezada nos estudos de fluxo de potência.
Como a potência fornecida por tais elementos é função do quadrado da tensão (impedância
constante) ela não fica constante durante a operação do sistema. Por esta razão, quando se fornece
apotência nominal do elemento se fornece também a tensão para o qual esta potência está referida,
possibilitando obter a susceptância do elemento, valor este constante. Para uma condição qualquer
de tensão, tem-se:
onde:
- potência reativa fornecida pelo elemento ao barramento no qual está conectado (pu);
- módulo da tensão no barramento (pu);
- susceptância do elemento (pu);
Na condição nominal de operação do elemento, tem-se que a tensão é igual a 1.0 pu, logo:

jb k
(k)
(k)
C
Vk
.
.
.
.Sk
kp
kq
ki
S
S
S
G
Sk
T
Sk}
0S
G
K & 0S
C
k & 0S
T
k ' 0
bk
jbk
[ 0YN]
0S
G
k
0S
C
k
0S
T
k
15
A susceptância será conectada entre o barramento (k) e a terra, como mostra a figura 21.
Figura 21 – Modelo do reator e capacitor de barra
O valor de é adicionado apenas ao elemento da matriz relativo ao barramento (k).
4 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
Teoricamente existem uma infinidade de maneiras de descrição analítica das redes elétricas, a partir
das leis de Kirchhoff para os nós e malhas, e das relações entre a tensão e corrente na resolução
defluxo de potência. Mas, na prática, todos os métodos atuais de solução de fluxo de potência usam
aanálisenodal na sua formulação, com a diferença que são consideradas as potências injetadas nos
nós (barras) do sistema, ao invés das correntes.
Seja um barramento qualquer de um SEP mostrado na figura 22.
Figura 22 – Barramento de um SEP
onde:
- potência complexa gerada no nó (k);
- potência complexa consumida no nó (k);
- potência complexa transferida do nó (k) para os demais nós da rede (incluindo a terra) através
do sistema de transmissão.
O equilíbrio de potências (Primeira Lei de Kirchhoff) no nó (k) do sistema pode ser dado por:

[ 0YN][ 0VN] ' [ 0IN]
0S
I
k
' 0S
G
k
& 0S
C
k
0S
I
k ' 0S
T
k
0S
I
k
' 0Vk
0I
(
k
Y 0Ik
'
( 0S
I
k
)(
0V
(
k
[ 0IN
] '
0S
I
N
0VN
(
'
0S
G
N
& 0S
C
N
0VN
(
0S
G
N & 0S
C
N
0VN
(
' [ 0YN ][ 0VN ]
[ 0YN
]
[ 0VN]
[ 0IN]
[ 0VN] [ 0IN]
[ 0YN]&1
[ 0IN]
0S
I
k
0S
G
k
0S
C
k
0Vk
[ 0IN]
16
Como já visto, a equação nodal de uma rede de n nós, em termos da matriz é dado por:
onde:
- matriz de admitância nodal do sistema, de ordem n x n;
- vetor das tensões nodais do sistema, contendo n elementos;
- vetor das correntes injetadas nos nós do sistema, contendo n elementos.
Como já comentado o objetivo fundamental do cálculo de um fluxo de potência é a determinação das
tensõesnodais (dos barramentos) do sistema, ou seja, o vetor . Se o vetor fosse conhecido,
o problema estaria resolvido (bastaria multiplicar por ). Ocorre, no entanto, que não é
conhecido, uma vez que as gerações e cargas são representadas através de potências. A potência
complexa injetada em um barramento (k) de um sistema, denominada , é dada pela diferença
entre a potência complexa gerada no barramento (k), , e a potência complexa consumida neste
barramento , valores estes constantes.
Logo:
Tem-se que esta potência complexa injetada é exatamente a potência disponível para ser transmitida
aos demais barramentos do sistema:
A potência injetada relaciona-se com a corrente complexa injetada no nó (k), por:
onde é a tensão do nó (k).
Usando a equação acima para cada barramento do sistema pode-se obter o vetor em função
das potências injetadas e das tensões nos barramentos:
Embora as equações anteriores sejam lineares, a introdução da equação acima leva a um modelo
não linear.
Finalmente:

( 0S
G
k & 0S
C
k )(
0V
(
k
' j
n
j ' 1
0Ykj
0Vj
Re
( 0S
G
k & 0S
C
k )(
0V
(
k
' Re j
n
j ' 1
0Ykj
0Vj
Im
( 0S
G
k & 0S
C
k )(
0V
(
k
' Im j
n
j ' 1
0Ykj
0Vj
P
G
k
Q
G
k
P
C
k
Q
C
k
Vk
2k
17
Para um barramento qualquer:
Pode-se notar que a cada barramento do sistema corresponde uma equação complexa. Estas
equações podem ser separadas em suas partes real e imaginária, cada uma delas dando origem a
duas equações resultantes reais. Assim para o nó (k) resulta:
Logo, um sistema com n barramentos será modelado por 2n equações reais, não lineares.
Pode-se observar que cada barramento do sistema fica caracterizado por seis grandezas:
! a potência ativa gerada, ;
! a potência reativa gerada, ;
! a potência ativa consumida, ;
! a potência reativa consumida, ;
! o módulo da tensão, ;
! o ângulo de fase da tensão, .
Como no fluxo de potência convencional as cargas ativas e reativas (potência consumidas) são
supostas conhecidas, restam em cada barramento (nó), 4 variáveis a serem determinadas: as
potências ativa e reativa geradas e o módulo e ângulo de fase da tensão. Logo, o número total de
variáveis do problema é, então 4n.
Então para tornar possível uma solução das equações acima, e conseqüentemente do fluxo de
potência, tem-se que especificar a priori, para cada barramento (nó) do sistema, duas das quatro
variáveis, a fim de reduzir o número de incógnitas ao número de equações.
À primeira vista, pode parecer que o mais lógico seria especificar os valores das potências ativas e
reativas geradas em cada barramento, deixando como incógnitas o módulo e o ângulo de fase da
tensão, já que o objetivo básico do fluxo de potência é a determinação das tensões dos barramentos
do sistema. Isto, no entanto, não é possível de ser feito porque em todo sistema elétrico operando
em estado permanente (situação do fluxo de potência) deve existir equilíbrio entre a geração, o

0S
G
T & 0S
C
T & 0S
P
T ' 0
0S
G
k Y conhecida
0Vk Y a ser determinada
0S
G
T
0S
C
T
0S
P
T
P
G
k Q
G
k
18
consumo e as perdas de energia. Este equilíbrio é dado por:
onde:
- potência complexa total gerada;
- potência complexa total consumida;
- potência complexa total perdida.
Emboraas cargas ativas e reativas sejam conhecidas a priori, as perdas ativas e reativas do sistema
sóficamconhecidas se forem conhecidas as tensões de todos os barramentos do sistema, o que só
ocorre após a solução do fluxo de potência. Conseqüentemente não se pode especificar os valores
detodas as potências ativas e reativas geradas no sistema, pelo menos uma potência ativa e reativa
devem ficar sem especificação para que as perdas do sistema possam ser supridas.
Dependendo de quais variáveis são especificadas e quais são consideradas como incógnitas, pode-
se definir três tipos de barramentos (nós):
! Barramentos (Nós) de Carga ou Tipo PQ
Sãobarramentos (nós) onde as potências ativa e reativas geradas são especificadas e o módulo
e o ângulo da tensão são as variáveis a serem determinadas na solução do fluxo de potência:
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos de suprimento a consumidores;
S barramentos de chaveamento;
S barramentos fictícios criados para representar certos pontos de interesse no fluxo de carga,
embora f isicamente não sejam barramentos propriamente ditos, como, por exemplo, pontos
intermediários entre as barras terminais da linha de transmissão, nós criados por circuitos
equivalentes de transformadores, etc.
Nocaso de haver geradores conectados a este tipo de barramento, fixa-se também as potências
ativas e reativas geradas, e . Este tipo de procedimento é usado, normalmente, para
pequenos geradores do sistema.
! Barramentos (Nós) de Geração ou Tipo PV ou de Tensão Controlada
São barramentos (nós) onde a potência ativa e o módulo da tensão são especificados, ficando
como incógnitas a potência reativa gerada e o ângulo de fase da tensão:

P G
k e * 0Vk* Y conhecidos
Q
G
k e 2k Y a serem determinados
0Vk Y conhecida
0S
G
k Y a ser determinada
P
C
k % j Q
C
k
(P
G
k % P
C
k )
Q
C
k
19
Normalmente são considerados como nós deste tipo:
S barramentos do sistema onde estão conectados geradores;
S barramentos do sistema onde estão conectados compensadores síncronos e compensadores
estáticos.
Na realidade, um barramento no qual esteja conectado uma máquina síncrona tanto pode ser
considerado como barramento tipo PV como tipo PQ, dependendo de se especificar o módulo da
tensão ou a potência reativa gerada, respectivamente. Prefere-se especificar o módulo da tensão
(tipoPV) por que a faixa de valores aceitáveis para o módulo da tensão de um barramento é muito
mais restrita do que a dos valores de potência reativa gerada pelos geradores e síncronos.
Caso exista uma carga neste barramento, utiliza-se o valor durante a
solução e o valor somente é utilizado após a obtenção do fluxo de potência, pois a potência
reativa total injetada é uma das incógnitas a serem obtidas.
! Barramento(Nó)de Referência ou Oscilante ou Compensador ou de Balanço ou "Swing"
ou "Slack" ou de Folga
É um barramento (nó) onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são especificados e as
potências ativas e reativas geradas são as variáveis a serem determinadas:
Este barramento tem duas funções principais:
S permitir que pelo menos uma potência gerada, ativa e reativa, não sejam especificadas, de tal
modo que as perdas ativas e reativas do sistema que também são incógnitas e só serão
conhecidas no final da solução, possam ser incluídas no balanço de potência do sistema, após
a solução do fluxo de potência;
S f ornecer uma referência para os ângulos de fase das tensões dos demais barramentos do
sistema. Normalmente, as equações usadas nos métodos de solução são escritas em função
das diferenças de ângulo de fase das tensões em barramentos adjacentes, por isso, torna-se
necessário fixar um desses ângulos para que os demais possam ser determinados (pois uma
mesma distribuição de fluxos no sistema pode ser obtida ao adicionar uma constante qualquer
a todos os ângulos de fase dos barramentos do sistema, o que mostra a indeterminação nas
variáveis angulares, tornando necessária a adoção de uma referência angular). Usualmente,
fixa-se o valor zero para o ângulo de fase da tensão do barramento oscilante, embora não seja

[ 0YN]
20
obrigatório.
O barramento oscilante não é (a não ser em casos especiais) a referência para os módulos das
tensões. Como visto na formação da matriz , esta referência é, geralmente, a terra.
Emum sistema totalmente conexo, ou seja, que não apresenta subsistemas desconexos, apenas
umbarramento oscilante é especificado, mas se o sistema for constituído por vários subsistemas
desconexos ou interligados apenas em corrente contínua, haverá necessidade de tantos
barramentos oscilantes quantos forem os subsistemas.
A escolha da barra oscilante deve ser feita entre os nós de geração do sistema, e deve ser
escolhido, se possível, um nó com potência suficiente para atender os requisitos de potência
necessários. Também, a fim de evitar grandes diferenças entre os valores dos ângulos de fase
de barramentos situados nos extremos do sistema deve escolher um barramento, do ponto de
vista elétrico, o mais central possível.
Os três tipos de barras acima são as mais freqüentes e mais importantes que aparecem na
formulação do fluxo de potência. Existem algumas situações particulares, como:
! controle de intercâmbio entre áreas;
! controle de tensão de uma barra de carga através do módulo da tensão de uma barra remota ou
de taps de transformadores (LTC);
! barra de tensão controlada com limites de geração reativa especificada, ou barra de carga com
controle de tensão;
! etc;
nosquais são feitos formulações especiais ou mudanças de um tipo de barramento em outro durante
o processo de resolução do fluxo de potência.
Do que foi analisado até o presente momento, pode-se concluir que o cálculo do fluxo de potência
exige a solução de um sistema de equações algébricas não lineares. Os recursos matemáticos para
resolução de equações não lineares são poucos e além disso tem-se o fato de geralmente não ser
possível dizer se um sistema de equações não lineares tem ou não solução, se a solução obtida é
única ou se existem várias outras soluções matematicamente válidas, se um determinado método
de solução é capaz de obter alguma ou todas as soluções possíveis ou ainda qual solução será
obtida.
Todososproblemas acima ficam atenuados pelo fato de que as faixas de valores que podem assumir
asvariáveis envolvidas no fluxo de potência, praticamente são as mesmas para a grande maioria dos
Sistemas de Potência, o que permite uma análise dos resultados obtidos e procurando-se corrigir as
distorções que aparecem.
Antesdeanalisar os métodos iterativos mais importantes para a resolução do fluxo de potência serão
vistas as expressões que, utilizando os valores de tensão obtidos, permitem o cálculo dos fluxos de
potência ativa e reativa em todos os ramos do sistema, das perdas ativas e reativas em cada ramo
e no sistema como um todo, das potências ativa e reativa geradas no barramento oscilante e das
potências reativas geradas nos barramentos PV. Vale enfatizar que estes cálculos são todos diretos
(não iterativos), uma vez conhecidas as tensões nodais do sistema.

Ski
( k )
Vki
( i )
V
shI
jxik
j
bik
2
rik
j
bik
2
ikS seI
0Sik ' 0Vi
0I
(
ik
0Ski ' 0Vk
0I
(
ki
0Iik ' 0Ise % 0Ish
0Ise
'
0Vi
& 0Vk
ri k % jxik
' ( 0Vi
& 0Vk
) 0yik
' ( 0Vi
& 0Vk
)(& 0Yik
)
0Ish ' j
0Vi
bi k
2
0Vi
0Vk
rik
xik
bik
0Sik
0Iik
0Ski
0Iki
0Ii k
0Ise
0Ish
21
! Cálculo dos Fluxos de Potência Ativa e Reativa dos Ramos
Seja a figura 23 que ilustra um ramo representado por uma linha de transmissão ligando dois
barramentos (i) e (k) de um sistema.
Figura 23 – Ramo representativo da linha de transmissão
onde:
- tensão complexa do barramento (i);
- tensão complexa do barramento (k);
- resistência série total da linha, em módulo;
- reatância série total da linha, em módulo;
- susceptância shunt total da linha, em módulo.
Tem-se:
onde e são a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (i), fluem pelo
ramo i-k em direção ao barramento (k). Da mesma forma pode-se escrever:
onde e são, agora, a potência complexa e a corrente que, saindo do barramento (k), fluem
pelo ramo i-k em direção ao barramento (i).
Da figura observa-se que a corrente desmembra-se em duas componentes, uma que flui
pelo elemento série do ramo i-k, denominado de e outra que flui pelo elemento shunt que
está do lado do barramento (i) em direção a terra, denominada por . Logo:
As componentes acima são dadas por:

0Iik ' ( 0Vi & 0Vk)(& 0Yik ) % j
0Vibik
2
0Sik ' 0Vi ( 0Vi & 0Vk )(& 0Yik ) % j
0Vibik
2
(
' ( 0Vi
0V
(
i & 0Vi
0V
(
k )(& 0Y
(
ik) & j
0Vi
0V
(
i bik
2
Pik
' Re 0Sik
Qik ' Im 0Si k
Pik ' ViVk (Gik cos2ik % Biksen 2ik ) & GikV
2
i
Qik ' ViVk (Gik sen2ik & Bikcos2ik ) % Bik &
bik
2
V
2
i
Pki ' VkVi (Gik cos2ki % Bkisen 2ki ) & GikV
2
k
Qki ' Vk Vi (Gik sen2ki & Bikcos2ki ) % Bik &
bik
2
V
2
k
0Yik
[ 0YN
]
0Si k
Vi Vk 2i k ' 2i & 2k
Pki Qk i
[ 0YN
]
22
onde é o elemento ik da matriz . Daí, tem-se
Portanto:
As potências ativa e reativa que compõe a potência complexa acima, são dadas por:
Desenvolvendo a expressão acima da potência complexa e tomando suas partes real
e imaginária obtém-se:
onde e são os módulos das tensões dos barramentos (i) e (k) e é a diferença
entre os ângulos de fase das tensões nas barras (i) e (k).
Para obtenção de e , basta trocar os índices i e k dos módulos e ângulos de fase das
tensões nas expressões acima. Daí:
No caso de haver várias linhas de transmissão, em paralelo, ligando os barramentos (i) e (k) do
sistema, como ilustra a figura 24, tem-se que a matriz conterá, nas posições i-k e k-i, a
admitância equivalente (com sinal trocado) de todos os ramos série em paralelo, o que significa
a perda das características próprias de cada uma das linhas de transmissão do sistema.
Normalmente, nos cálculos de fluxo de potência, deseja-se determinar os fluxos de potência ativa
e reativa em cada um dos circuitos em paralelo, o que acarreta a não possibilidade de utilização
direta das expressões acima. Nesse caso deve-se calcular os fluxos de potência utilizando os
parâmetros físicos das linhas (resistência, reatância e susceptância).

( k )
iV
( i )
jxik
1rik
1
j
b ik
2
1
j
b ik
2
1
jxik
nrik
n
j
b ik
2
n
j
b ik
2
n
jxik
2
rik
2
j
b ik
2
2
j
b ik
2
2
Vk
Gik ' &
rik
r
2
ik % x
2
ik
Bik '
xik
r
2
ik % x
2
ik
Pik
'
1
r
2
ik % x
2
ik
Vi
Vk
( xik
sen 2ik
& rik
cos2ik
) % V
2
i rik
Qik '
1
r
2
ik % x
2
ik
&ViVk ( xik cos2ik % rik sen2ik % V
2
i xik & V
2
i
bik
2
Pki '
1
r
2
ik % x
2
ik
Vk Vi ( xiksen 2ki & rikcos2ki ) % V
2
k rik
Qki
'
1
r
2
ik % x
2
ik
&Vk
Vi
( xik
cos2ki
% rik
sen2ki
% V
2
k xik
& V
2
k
bik
2
23
Figura 24 – Linhas de transmissão em paralelo
Tem-se que:
Substituindo nas expressões anteriores, obtém-se as seguintes expressões:

Pik
' Vi
Vk
( Gik
cos2i k
% Bik
sen2ik
) & Gik
V2
i
Qik
' Vi
Vk
( Gik
sen2ik
& Bik
cos2ik
) % Bik
V2
i
Pki
' Vk
Vi
( Gki
cos2k i
% Bki
sen2ki
) & Gki
V2
k
Qki ' VkVi ( Gkisen2ki & Bki cos2ki ) % Bki V2
k
Pik ' &Pki '
Vi Vksen2ik
xt
Qik ' &
ViVk cos2ik
xt
%
V
2
i
xt
Qki ' &
VkVi cos2ki
xt
%
V2
k
xt
Pik
' (p2
% q2
)gik
V2
i & Vi
Vk
p(gik
cos2ik
% bik
sen2ik
) % Vi
Vk
q(gik
sen2ik
& bik
cos2ik
)
Qik
' & (p2
% q2
)bik
V2
i & Vi
Vk
p(gik
sin2i k
& bik
cos2ik
) & Vi
Vk
q(gik
cos2ik
% bik
sen2ik
)
Pki ' gikV
2
k & ViVk p(gikcos2k i % bik sen2ki) & Vi Vk q(giksen2ki & bik cos2ki)
Qki ' & bikV
2
k & Vi Vk p(giksin2ki & bikcos2ki) & ViVk q(gikcos2ki % bik sen2ki)
bi k
24
Nocaso do ramo que liga os barramentos (i) e (k) ser um transformador, sem taps ou com taps
nos seus valores nominais, as expressões para cálculo dos fluxos de potência ativa e reativa
podem ser obtidas de maneira idêntica às obtidas para as linhas de transmissão (inclusive podem
ser usadas as mesmas expressões, só que zerando o termo ).
Para transformadores com tap na posição nominal tem-se:
Como normalmente desprezam-se as perdas nos transformadores:
onde x é a reatância de dispersão do transformador .t
Para transformadores com taps fora do nominal (em fase ou quadratura), tem-se:
Desprezando as perdas no transformador:

Pik
'
Vi
Vk
(p2
% q2
) xt
[psen2ik
% qcos2ik
]
Qik
'
V
2
i
xt
&
Vi
Vk
(p2
% q2
) xt
( pcos2ik
& qsen2i k
)]
Pk i
'
Vi
Vk
(p2
% q2
)xt
[psen2k i
& qcos2k i
]
Qk i
'
1
(p2
% q2
)xt
[V2
k
& Vi
Vk
(pcos2k i
% qsen2k i
)]
Pik
' pGik
V2
i
% Vi
Vk
(Gik
cos2ik
% Bik
sen2ik
)
Qik
' pBik
V2
i
% Vi
Vk
(Gik
sin2ik
& Bik
cos2ik
)
Pk i
' &
Gik
p
V2
k
% Vi
Vk
(Gik
cos2k i
% Bik
sen2k i
)
Qk i
'
Bik
p
V2
k
% Vi
Vk
(Gik
sin2k i
& Bik
cos2k i
)
Pik
'
Vi
Vk
pi
p2 xt
sen2ik
Qik
'
V
2
i
p2
i
xt
&
Vi
Vk
pi
pk
xt
cos2ik
Pk i
'
Vi
Vk
pi
pk
xt
sen2k i
Qk i
'
V2
k
p2
k
xt
&
Vi
Vk
pi
pk
xt
cos2k i
25
Se o transformador só apresenta taps em fase, ou seja, q = 0, tem-se:
A expressão geral para um transformador sem perdas e com taps nos enrolamentos do lado i (p)i
e k (p ) é a seguinte:k
Se o elemento que liga os barramentos (i) e (k) for um capacitor série, tem-se:

Pik
' &Pk i
' &
Vi
Vk
sen2ik
xC
Qik
'
Vi
Vk
cos2ik
xC
&
V2
i
xC
Qk i
'
Vk
Vi
cos2k i
xC
&
V
2
k
xC
Pi0 ' 0
Qi 0 '
V2
i
xsh
'
Vi
Vnom
2
Qnom
% Y capacitor
& Y reator
)Pik
' Pik
& (&Pk i
) ' Pik
% Pk i
)Qik
' Qik
& (&Qk i
) ' Qik
% Qk i
xC
)Pik
)Qik
)Pi k
)Qik
26
onde a reatância entra em módulo.
Finalmente para capacitorese reatoresde barra (shunt) ligados no barramento (i), tem-se:
! Cálculo das Perdas Ativas e Reativas no Sistema
As perdas ativas e reativas em um ramo i-k de um sistema são dadas pelas diferenças entre as
potências ativas e reativas que saem do barramento (i) e as que chegam ao barramento (k). Como
aspotências que chegam ao barramento (k) vindas do barramento (i) são dadas pelo negativo das
potências que saem do barramento (k) em direção ao barramento (i), tem-se
:
onde:
- perda de potência ativa no ramo i-k;
- perda de potência reativa no ramo i-k.
O valor de é sempre positivo indicando que para a potência ativa sempre ocorre uma
dissipação no ramo, a menos que a resistência entre os barramentos (i) e (k) seja nula quando,
então a perda ativa é zero. Para o caso de , pode-se encontrar valores negativos, indicando
que na realidade ocorreu um ganho de potência reativa no ramo i-k (o que ocorre com os bancos
de capacitores série e com as linhas de transmissão com um carregamento abaixo de sua
potência característica).
As perdas totais do sistema são dadas pela soma das perdas em todos os ramos. No caso da
potência ativa, a perda total obtida por esta soma é igual (a menos de uma certa tolerância
compatível com a tolerância de convergência do processo iterativo) à soma das potências ativas
injetadas nos barramentos, ou seja, à diferença entre a geração ativa total do sistema e o

)Ptotal
' j
n
j ' 1
PI
j
' j
n
j ' 1
P G
j
& PC
j
)Qtotal
' j
n
j ' 1
Q
I
j
% Q
sh
j
' j
n
j ' 1
Q
G
j
& Q
C
j
% Q
sh
j
0S
G
j
' 0S
C
j
% 0S
T
j
' 0S
C
j
% 0Vj j
n
k ' 1
0Vk
0Yjk
(
(j ' 1,2, ...., n)
PG
j
' P C
j
% P T
j
' P C
j
% Re 0Vj j
n
k ' 1
0Vk
0Yjk
(
QG
j
' Q C
j
% Q T
j
' QC
j
% Im 0Vj j
n
k ' 1
0Vk
0Yj k
(
PG
j
' P C
j
% j
n
k ' 1
Pjk
Q
G
j
' Q
C
j
% j
n
k ' 0
Qjk
Qs h
j
PT
j
Q T
j
27
consumo total de potência ativa (cargas). Então:
Nocaso da potência reativa, a presença de eventuais capacitores ou reatores de barra deve ser
levada em conta no cálculo da perda total.
onde é a potência reativa gerada pelo capacitor ou reator shunt porventura existente no
barramento (j).
! Cálculo das Potências Ativas e Reativas Geradas
Aspotências ativa e reativas geradas nos barramentos do sistema podem ser obtidas diretamente
das equações de equilíbrio de potência nos nós (barramentos). Tem-se:
Separando as expressões acima em suas componentes real e imaginária, obtém-se:
como e são dados pelas somas de todos os fluxos ativos e reativos, respectivamente, que
saemdo barramento (j) em direção a todos os barramentos ligados a ele (incluindo a terra através
dos elementos shunt, no caso da potência reativa), tem-se ainda:

(k)
Vk
( a )
(k)
Vk
( b ) ( c )
(k) Vk
28
onde a terra é denotada como barramento (0).
Estas expressões devem ser utilizadas para obter as potências ativa e reativa geradas pelo
barramento oscilante e a potência reativa geradas pelas barras PV.
Deve-se lembrar que as expressões acima foram obtidas considerando-se a seguinte convenção de
sinais:
(a)as injeções de potência são positivas quando entram nos barramentos e negativa quando saem
dos barramentos;
(b)os fluxos de potência são positivos quando saem do barramento e negativos quando entram;
(c)os fluxos nos elementos shunt dos barramentos são positivos quando entram no barramento e
negativo quando saem.
A figura 25 ilustra esta convenção de sinais.
Figura 25 – Convenção de sinais para o fluxo de potência nos elementos do SEP
5 – MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA
Como visto no item anterior as equações do fluxo de potência são não lineares, o que exige um
processo iterativo para resolve-las. A literatura técnica registra um sem número de métodos
computacionais para o cálculo iterativo das tensões nodais, a partir das equações já descritas.
Apenasalguns poucos, no entanto, chegaram a ter qualquer uso prático em programas de uso geral.
Qualquer que seja o método escolhido, cinco propriedades principais são requeridas para sua
utilização:
! Alta velocidade computacional. Isto é especialmente importante quando se trabalha com grandes
sistemas, com aplicações em tempo real (on-line), com múltiplos casos de fluxo de potência, em
análise de contingências, etc;
! Baixos requisitos de memória computacional. Isto é importante para grandes sistemas e para uso
de pequenos computadores que apresentam uma pequena capacidade de memória como, por
exemplo, nos computadores para aplicações on-line.
! Confiabilidade e segurança da solução obtida. O resultado obtido deve inspirar confiança.

a)
Quanto as
equações
da rede
Equações
nodais
Matriz Admitância [ 0YN
]
Matriz Impedância [ 0ZN
]
Equações
de malha
Matriz Admitância [ 0YM
]
Matriz Impedância [ 0ZM
]
b)
Quanto ao
método de
solução
Método de Gauss
Método de Gauss&Seidel
Método da Relaxação
Método das Secantes
Método de Newton&Raphson
Método Misto (Gauss&Seidel e Newton&Raphson)
[ 0YN
] [ 0ZN
]
[ 0YN
]
[ 0ZN
]
29
! Versatilidade. É importante que o método seja versátil para representar e resolver além dos
problemas convencionais, diferentes ajustes nos sistema, diferentes representações dos
componentes e ser susceptível a incorporar processos mais complicados.
! Simplicidade. O algoritmo de resolução deve ser de fácil codificação computacional.
Os métodos para resolução das equações do fluxo de potência podem ser divididos quanto as
equações da rede utilizada e quanto ao tipo de solução iterativa para a determinação das grandezas
da rede. Pode-se citar:
Em geral, pela facilidade de aplicação e construção são utilizadas as equaçõesnodaiscom a
matriz (mais comum) e a matriz .
Em cada um dos métodos acima existem algumas variantes e opções visando melhorar a
convergência, minimizar o número de cálculos e memória computacional utilizada.
Inicialmente chegou a ser bastante usado o Método de Gauss-Seidel (versão melhorada do
Método de Gauss) que, na sua versão que trabalha com a matriz , apresenta as vantagens
de ser de implementação computacional muito fácil e ocupar muito pouca memória de
computador. No entanto, este método tem as desvantagens de gastar muito tempo para chegar
à solução e, mais grave, apresentar baixa confiabilidade de convergência.
Na tentativa de melhorar a confiabilidade, foi desenvolvida uma versão do método que trabalha
com a matriz . Em parte, o objetivo foi conseguido (maior confiabilidade de convergência),
porém as custas de uma maior dificuldade de implementação e gastos computacionais de tempo
e memória bem maiores.
Com a evolução da tecnologia dos computadores principalmente no que conserne ao aumento de
capacidade de memória, o Método de Newton-Raphson surgiu com uma boa opção e começou
ser bastante investigado. Nos dias de hoje, praticamente todos os programas de uso geral para

30
a solução de fluxos de potência utilizam diferentes variações do Método de New ton-Raphson.
Essemétodo foi desenvolvido em sua formulação clássica no fim da década de sessenta. Apesar
de ser de implementação não muito simples, ele apresenta gastos computacionais de tempo e
memória bastantes razoáveis. Mais importante, porém, e a sua grande confiabilidade de
convergência que veio permitir o seu uso generalizado, mesmo em sistemas antes considerados
dif íceis, embora reconheça-se que em alguns tipos de aplicações o método de Gauss-Seidel
possa ser mais eficiente. Mais modernamente, surgiram formulações alternativas, baseadas no
método de New ton-Raphson que, sem perda significativa da confiabilidade, proporcionam uma
maioreficiência computacional e são indicadas em situações onde o aspecto de tempo de solução
torna-se predominantemente importante.
O Método da Relaxação pode-se dizer que é uma variante do método de Gauss-Seidel. Já o
Método da Secante deriva-se do método de New ton-Raphson. O Método Misto apresenta
combinações dos métodos anteriores, como por exemplo, iniciar o processo iterativo com o
método de Gauss-Seidel passando posteriormente para o método de New ton-Raphson.
Deve-se ter em mente que apesar do grande desenvolvimento dos computadores digitais no que se
ref ere aos aumentos de velocidade de processamento e de capacidade de memória é ainda de
grande importância se ter um método eficiente para a resolução do problema do fluxo de potências
no que tange à redução do tempo de processamento e da memória requerida.
Esta importância decorre tanto do fato de que cada vez mais os Sistemas de Potência estão
crescendo vertiginosamente, apresentando um grande aumento no número de barramentos
representados e no número de ligações entre estes barramentos exigindo computadores com
maiores capacidades de memória como também do fato de se ter necessidade do controle mais
direto do sistema, necessitando daí um método mais rápido.
Também a convergência do processo iterativo que existe na solução do fluxo de potência pode ficar
comprometida nas redes modernas pois além de complexas estas redes às vezes possuem
capacitores série (reatâncias negativas), cargas bastante pesadas, transformadores de três
enrolamentos, além de, mais recentemente, também a representação de elos de corrente contínua,
compensadores estáticos variáveis, cargas variando com a tensão, representação de motores de
indução, etc, situações que normalmente prejudicam a convergência.
5-1 – Método de Newton-Raphson
O método de New ton-Raphson ou simplesmente método de New ton é um método numérico para a
determinação de raízes reais de equações não lineares mais sofisticado. Não só, na maioria dos
casos, ele não oferece riscos de divergência, como também, como regra geral, a convergência por
eleproporcionada é muito mais rápida do que nos métodos visto anteriormente. O método de New ton
é um método de interpolação e a idéia da resolução de equações não lineares por este método veio
de I.New ton, sendo posteriormente alterada por J.Raphson.

f1
(x1
, x2
, ... , xk
, ... , xn
) ' 0
f2
(x1
, x2
, ... , xk
, ... , xn
) ' 0
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(x1, x2, ... , xk
, ... , xn
) ' 0
.
.
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(x1, x2, ... , xk
, ... , xn
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1 % )x
i
1, x
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2 % )x
i
2, ... , x
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k
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k
, ... , x
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k
, ... , x
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k
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% )x i
n
) ' 0
.
.
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1 % )x i
1, xi
2 % )xi
2, ... , xi
k
% )xi
k
, ... , x i
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% )xi
n
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f(x1 % )x1, x2 % )x2, ... , xk
% )xk
, ... , xn
% )xn
) ' f(x1, x2, ... , xk
, ... , xn
) %
% )x1
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M x1
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M f
M x2
% ... % )xk
M f
M xk
% ... % )xn
M f
M xn
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M x1
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M
M x2
% ... % )xk
M
M xk
% ... % )xn
M
M xn
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% .......... %
%
1
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)x1
M
M x1
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M xk
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M
M xn
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, ... , xn
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2, ... , x i
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, ... , x i
n
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1, )xi
2, ... , )xi
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, ... , ∆x
i
n,
x i
1, x i
2, ... , x i
k
, ... , x i
n
(x1
, x2
, ... , xk
, ... , xn
)
31
Seja resolver o sistema de equações a seguir:
Seja um vetor das variáveis que constituem uma aproximação a uma
dasraízes do sistema acima. Assumindo que sejam as correções
necessárias para que , correspondam a solução deste sistema, tem-se que:
O teorema de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis em torno de um ponto
, diz que:

Rm
x1, x2, ... , xk
, ... , xn
'
1
(m% 1)!
)x1
M
M x1
% )x2
M
M x2
% ... % )xk
M
M xk
% ... % )xn
M
M xn
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% 2)x1
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% 2)x2
, ... , xk
% 2)xk
, ... , xn
% 2)xn
), (0 < 2 < 1)
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1, xi
2, ... , xi
k
, ... , x i
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M x2
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M f1
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% ... % )xi
n
M f1
M xn
' 0
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1, xi
2, ... , xi
k
, ... , x i
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) % )x i
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Mf2
M x1
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2
M f2
M x2
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n
M f2
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M x1
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M xk
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M xn
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.
.
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1, x i
2, ... , xi
k
, ... , xi
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) % )xi
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M x1
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M fn
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(x1, x2, ... , xk
, ... , xn
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1, x i
2, ... , x i
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, ... , x i
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1 , )x i
2, ... , )xi
k
, ... , )xi
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(xi
1, xi
2, ... , x i
k
, ... , x i
n
)
x
i
1
fk
(x i
1 , x i
2 , ... , xi
k
, ... , xi
n
)
32
onde a função f deve ter derivadas parciais contínuas até ordem (m + 1) inclusive e que todas as
derivadas de f que aparecem são calculadas no ponto . R é o erro quem
depende da mais alta derivada considerada:
Dependendo da aproximação desejada para a função f é que se escolhe o valor de m a partir do qual
as derivadas de ordem superior a m da função serão desprezadas.
Expandindo a série de equações anteriores pela fórmula de Taylor e se os valores de
estão perto da solução, tem-se que são
relativamente pequenos e todos os termos de potência acima de 2 podem ser desprezados. A série
de equações resulta em:
onde as derivadas parciais são calculadas no ponto .
O processo acima "linearizou" o sistema de equações que originalmente era não linear. A
interpretação geométrica deste processo para somente uma equação é equivalente a substituir um
pequenoarco da curva f(x ) = 0 por uma reta tangente, traçada a partir do ponto . Para o sistema1
de equações consiste em traçar um "plano tangente" à superfície .

f1 (x1, x2, ... , xk
, ... , xn
)
f2
(x1
, x2
, ... , xk
, ... , xn
)
.
fk
(x1, x2, ... , xk
, ... , xn
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.
.
fn
(x1, x2, ... , xk
, ... , xn
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M x1
M f1
M x2
...
M f1
M xk
......
M f1
M xn
M f2
M x1
M f2
M x2
...
M f2
M xk
......
M f2
M xn
. . ... . ...... .
Mfk
M x1
M fk
M x2
...
M fk
M xk
......
M fk
M xn
. . ... . ...... .
. . ... . ...... .
M fn
M x1
M fn
M x2
...
M fn
M xk
......
M fn
M xn
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f i
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)x i
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f i
k
Ji
)xi
k
33
Colocando as equações acima em uma forma matricial, pode-se escrever:
ou seja
onde:
- vetor que contem os valores numéricos das equações f(x);
- matriz quadrada de ordem n que contem valores numéricos das derivadas parciais de
primeira ordem de todas as equações f(x), com relação a todas as incógnitas x, calculadas
na iteração i. Esta matriz é denominada matriz jacobiana das funções f(x), e seus
elementos são definidos por:
- vetor das variações de todas incógnitas x na iteração i.
Logo:
onde os elementos das matrizes e são obtidos pela substituição dos valores atuais (iteração
i) das incógnitas x.
A solução para cada pode ser obtida pela aplicação de qualquer método para solução de
sistemas de equações lineares (Gauss, Gauss-Jordan, inversão de matrizes, triangularização e
substituição de trás para frente, etc).
Os novos valores das variáveis x são então calculadas.

a
0
1
b
x x1
xb
f(x)
0
xa
x x
f(x)
0
xb
x1
a b
x1
0
xa
0
x x2
=
x
f(x)
1
x 3
x=
0
x x1
x2 3
x
f(x)
x
x
(i %1)
k ' x
i
k % "k
)x
i
k
)xi
k
"k
Ji
[J]
34
Oprocesso é repetido até que entre duas iterações sucessivas a diferença para as funções f sejam
menores que uma tolerância especificada. A este tipo de convergência diz-se absoluta. Pode-se
adotar uma convergência que verifique a variação dos valores de x , ou seja, os valores de .k
Neste caso os valores das funções f dependerão dos parâmetros das funções f , f , ... , f .1 2 k
Pode-se notar que o número de iterações até a convergência, como também a possibilidade de
ocorrer a convergência dependerá dos valor inicial adotado. A figura 26 ilustra esta situação.
Figura 26 – Situações de dificuldade de convergência do método de New ton-Raphson
Observa-se desta figura que o método de New ton-Raphson não é muito indicado para resolver
equaçõescuja curva, próxima do ponto de interseção com os eixos das variáveis, é quase horizontal,
pois neste caso a derivada da função poderá dar um número muito grande levando a erros.
Normalmente, o método de New ton-Raphson funciona bem com funções contínuas convexas.
Também, se a obtenção da derivada das funções f for muito complicada ou sujeita a erros, é
desaconselhável a utilização deste método (pode usar, por exemplo, o método da secante, próximo
ao de New ton). Finalmente, existem situações no qual o método de New ton-Raphson não traz bons
resultados, como mostra a figura 27.
Figura 27 – Situações não aconselhadas para a utilização do método de New ton-Raphson
No método de New ton-Raphson pode-se usar fatores de aceleração, ou seja:
sendo ofator de aceleração, que inclusive pode ser variável para cada equação k. Existem outros
métodos para acelerar o processo, mas o mais simples e mais utilizado é o da extrapolação linear.
Como af irmado a matriz deve ser atualizada a cada iteração. Uma variante do método de
Newtonéobtida considerando-se a matriz constante durante algumas iterações. Nesta variante,

f(x)
x
f(x )
01x x
0
f(x )1
f(x)
x
f(x )
01x x
0
f(x )1
x(i % 1)
k
' x i
k
&
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1, x i
2, ... , x i
k
, ... , x i
n
)
M fk
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I
k
0Vk
(
' j
n
j ' 1
0Yk j
0Vj
35
o número de iterações para uma dada tolerância de convergência, em geral, é maior que no método
original, mas cada uma das iterações se torna mais rápida pois a matriz jacobiana não precisa ser
recalculado a cada passo. A figura 28 ilustra algumas situações para uma função x qualquer.
Figura 28 – Manutenção da matriz jacobiana durante alguns passos
Um outra variante do método de New ton, consiste em considerar em cada equação somente uma
variável,mantendo as demais fixas, ou seja, cada equação é função de cada uma das variáveis. Com
isto é eliminado a matriz jacobiana, e a equação genérica para uma função f qualquer fica:k
O método de solução de fluxos de potência com a utilização do método de New ton-Raphson foi
descrito pela primeira vez em 1959, em um artigo de J.E.Van Ness publicado no AIEE. Embora o
método se revelasse promissor, já que conseguia resolver problemas impossíveis de serem
resolvidos pelo método de Gauss-Seidel, com um pequeno número de iterações, a solução era lenta
e exigia uma grande memória para o armazenamento da matriz jacobiana e solução do sistema de
equações lineares. Até 1967, o método ficou em dúvida se era vantajoso com relação ao método de
Gauss-Seidel. A partir deste ano, após a publicação de uma série de artigos da BPA (Boneville Pow er
Administration) relatando os progressos feitos na aplicação do método de New ton-Raphson ele tomou
odevidoimpulso e hoje se constitui praticamente a base de todos os programas de fluxo de potência.
A aplicação do método de New ton-Raphson a solução de fluxos de carga consiste em definir um
sistema de equações a ser resolvido, que é definido a partir das potências injetadas nos nós do
sistema.
A equação que expressa o equilíbrio de potências em uma barra (k) qualquer da rede, é dada por:

SI
k
(
' 0V(
k j
n
j ' 1
0Yk j
0Vj
P
I
k
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I
k
' 0V
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n
j ' 1
0Yk j
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P
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2 ' 0V
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0Yk j
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k
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I
k
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n
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n j
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k
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, ... , 0Vn
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, ... , 0Vn
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1 ) & f1 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk
, ... , 0Vn
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2 ) & f2 ( 0V1, 0V2, ... , 0Vk
, ... , 0Vn
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k
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k
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( 0V1, 0V2, ... , 0Vk
, ... , 0Vn
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.
.
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& jQI
n
) & fn
( 0V1, 0V2, ... , 0Vk
, ... , 0Vn
) ' 0
36
Para todas as barras do sistema, tem-se:
ou seja:
ou ainda:

) 0V
i
k
' & J i &1
(PI
k
& jQ I
k
) & f I
k
) 0V
i
k
' & J i &1
)P
I
k & j)Q
I
k
0V
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k
' 0V
i
k
% ) 0V
i
k
*)Pk
* < >P
*)Qk
* < >Q
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i
k
0Vk
J i
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I
k
& j)Q
I
k
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i
k
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) & j(Q
I
k & Q
i
k
calc
)
P
i
kcalc
Q i
kcalc
)Pk
)Qk
ξP ξQ ξ ' ξP ' ξQ
37
Aplicando o método de New ton-Raphson, obtém-se:
onde:
- vetor das variações das tensões na iteração i;
- jacobiano do sistema;
- vetor constituído por termos do tipo:
sendo:
- potência ativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão
disponíveis da iteração anterior;
- potência reativa injetada na barra (k), obtida com valores de tensão
disponíveis da iteração anterior.
Daí:
Osistema acima é constituído de equações complexas, que devem ser desmembradas em equações
reais, para que seja possível sua resolução. Este desmembramento pode ser feito em coordenadas
polares ou cartesianas.
O desmembramento em coordenadas polares dá origem aos métodos desacoplados, e apresenta
a vantagem de trabalhar com módulo e ângulo das tensões, que são variáveis que possuem
significado físico nos sistemas de potência. Já o desmembramento em coordenadas cartesianas, de
acordocom a literatura a respeito, tem se mostrado mais eficiente ao se aplicar o método de New ton-
Raphson. Também, como se verá adiante, o desmembramento das equações em coordenadas
polares possibilita a eliminação das equações dos módulos das tensões das barras tipo PV. No
desmembramento por coordenadas cartesianas perde-se a vantagem desta simplificação.
Ocritério normal para convergência no fluxo de potência é que os erros de potência e/ou
(dependendo do tipo da barra (k)) sejam menores que um erro (ou tolerância) máximo especificado,
ou seja:
onde e são valores empíricos, e normalmente . Os valores do erro máximo
usados na prática variam de sistema para sistema e de problema para problema. Em grandes
sistemas, um erro de 1 MW/MVAr oferece precisão suficiente para a maioria dos estudos práticos
(neste caso em pu, basta fornecer como tolerância o inverso da potência de base do sistema em
estudo). Precisão mais elevada, da ordem de 0.1 MW/Mvar são necessários para estudos especiais,

j
n
j ' 1
)P
2
j
% j
n
j ' 1
)Q
2
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< >P Q
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1 & jQI
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)
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2 & jQ
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* 0V2* * 0Vj
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j(2j & 22)
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* 0Vn
* * 0Vj
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n
& jQI
n
' j
n
j ' 1
* 0Vn
* * 0Vj
*ej(2j & 2n)
(Gn j
% jBn j
)
38
como por exemplo, em estudos de estabilidade. Em pequenos sistemas, o valor do erro pode ser
reduzido. Face a estas incertezas, há uma tendência de se usar pequenos valores de tolerância,
menores que os realmente necessários.
O critério acima é o mais comumente usado. Uma variante utilizada para se testar a convergência
é a seguinte:
Os programas para cálculo de fluxo de potência também podem incluir outros tipos de testes para
verif icar se o método de solução está conduzindo o sistema para a divergência ou para alguma
solução estranha. Um teste razoável é checar após cada iteração se o valor das tensões nos
barramentos estão dentro de uma faixa arbitrária (por exemplo, 0.8 a 1.2 pu), cancelando o
processamento em caso contrário. Com isto pode evitar gastos desnecessários em tempo de
computação e também problemas de overflow ou underflow nas operações matemáticas.
O Método de New ton-Raphson em coordenadas polares consiste em expressar as tensões das
barras em forma polar e as admitâncias do sistema em forma cartesiana, as expressões de equilíbrio
de potência tornam-se:
Separando as partes real e imaginária das equações acima, tem-se:

PI
1 ' j
n
j ' 1
V1 Vj
(G1 j
cos21j
% B1j
sen21j
)
Q I
1 ' j
n
j ' 1
V1 Vj
(G1 j
sen21 j
& B1j
cos21j
)
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I
2 ' j
n
j ' 1
V2 Vj
(G2 j
cos22j
% B2j
sen22j
)
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I
2 ' j
n
j ' 1
V2 Vj
(G2 j
sen22 j
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)
.
PI
k
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n
j ' 1
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Vj
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Vj
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n
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n
j ' 1
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cos2n j
)
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& 2j
Vk
' * 0Vk
*
Vj
' * 0Vj
*
39
onde para uma barra qualquer:
Rearranjando e agrupando adequadamente as equações acima, obtém-se:

P
I
1 & V1 j
n
j ' 1
Vj
(G1 j
cos21 j
% B1j
sen21j
) ' 0
P
I
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n
j ' 1
Vj
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% B2j
sen22j
) ' 0
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n
j ' 1
Vj
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& B1 j
cos21j
) ' 0
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Vj
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sen22 j
& B2 j
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j ' 1
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& Bk j
cos2k j
) ' 0
.
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n
j ' 1
Vj
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, ... , Vn
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, ... ,2n
, V1, V2, ... , Vk
, ... , Vn
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, ... ,2n
, V1, V2, ... , Vk
, ... , Vn
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, ... ,2n
, V1, V2, ... , Vk
, ... , Vn
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(21
, 22
, ... , 2k
, ... ,2n
, V1
, V2
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, ... , Vn
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, ... ,2n
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, ... , Vn
) ' 0
41
Aplicando o método de New ton-Raphson a este conjunto de equações, tem-se:

)2i
1
)2
i
2
.
)2i
k
.
.
)2i
n
)V
i
1
)Vi
2
.
)Vi
k
.
.
)V
i
n
' & J i &1
f i
1
f
i
2
.
f i
k
.
.
f i
n
g
i
1
gi
2
.
gi
k
.
.
g
i
n
)2
i
k
)Vi
k
' & J i &1
)P
i
k
)Qi
k
2(i %1)
k
V(i % 1)
k
'
2i
k
V i
k
%
)2i
k
)Vi
k
J i
'
Hi
N)i
Mi
L)i
Hr s
'
M fr
M 2s
N)
r s
'
M fr
MVs
42
ou seja:
Dai:
A matriz jacobiana, neste caso, constará de 4 submatrizes, da forma:
sendo os elementos que formam cada submatriz::
! submatriz [H]
! submatriz [N']

Mr s
'
M gr
M 2s
L)
r s
'
M gr
M Vs
)2k
)Vk
Vk
Nr s
' Vs
M fr
M Vs
Lr s
' Vs
M gr
M Vs
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Vi
k
' &
Hi
Ni
Mi
Li
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)Pi
k
)Q
i
k
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' PI
r
& Vr j
n
j ' 1
Vj
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cos2r j
% Br j
sen2r j
)
Hr s
L)
r s
Mr s
N)
r s
θ
43
! submatriz [M]
! submatriz [L']
Os índices r e s adotados acima referem-se aos nós do sistema e não propriamente aos eixos da
matriz jacobiana.
Com a finalidade de tornar iguais numericamente os termos e , e simétricos os termos
e da matriz jacobiana, redefine-se o vetor das variações das incógnitas V e , como:
com isso as submatrizes N' e L' passam a ser denominadas N e L e seus elementos redefinidos
como:
! submatriz [N]
! submatriz [L]
Logo:
As equações de definição dos elementos das submatrizes [H], [N], [M] e [L], resultam em:
! submatriz [H]:

Hr s
'
M fr
M2s
' &Vr
Vs
(Gr s
sen2r s
& Br s
cos2r s
)
Hr r
'
M fr
M 2r
' &Vr j
n
j ' 1
j …r
Vj
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cos2r j
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sen2r j
) '
' &Vr j
n
j ' 1
j … r
Vj
(Br j
cos2r j
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sen2r j
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Br r
'
' &Vr j
n
j ' 1
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sen2r j
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n
j ' 1
Vj
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' &Vr
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% Br s
sen2r s
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M fr
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' &Vr j
n
j ' 1
j … r
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% Br j
sen2r j
) % 2Vr
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j ' 1
Vj
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% Br j
sen2r j
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' &Vr j
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sen2r j
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' &V2
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% )P i
r
& PI
r
gr
' QI
r
& Vr j
n
j ' 1
Vj
(Gr j
sen2r j
& Br j
cos2r j
)
44
- elementos de fora da diagonal (r … s):
- elementos da diagonal (r = s):
! submatriz [N]:
! submatriz [M]:

Mr s
'
M gr
M 2s
' Vr
Vs
(Gr s
cos2r s
% Br s
sen2r s
) ' &Nr s
Mr r
'
M gr
M 2r
' &Vr j
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j … r
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M gr
M Vs
' &Vs
Vr
(Gr s
sen2r s
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) ' Hr s
Lr r
' Vr
M gr
M Vr
' &Vr j
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j ' 1
j … r
Vj
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sen2r j
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cos2r j
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Br r
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' &Vr j
n
j ' 1
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(Gr j
sen2r j
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) & Vr
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' &Vr j
n
j ' 1
Vj
(Gr j
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) % V
2
r
Br r
'
' V2
r
Br r
% )Qi
r
& QI
r
)Pi
r
)Qi
r
45
! submatriz [L]:
Os valores e correspondem aos erros (desvios ou"mismatches") de potência ativa e
reativa na barra (r), e são obtidos com as fórmulas já descritas. Cabe lembrar que não se pode obter
o "mismatch" de potência reativa nas barras PV.
Das expressões apresentadas pode-se notar que as submatrizes [H], [N], [M] e [L] apresentam
simetria em relação à diagonal principal e que sempre que as barras (r) e (s) não estiverem
diretamente conectadas, os termos H , M , N e L (e seus simétricos) serão nulos. Estasrs rs rs rs
particularidades e mais as já relatadas nas equações apresentadas permitem economia no tempo
computacional na montagem da matriz jacobiana, além do fato da matriz jacobiana ser uma matriz

M Pk
M Vk
' 0 e
MQk
M Vk
' 0
)Pi
)Qi
' &
Hi
Ni
Mi
Li
)2i
)Vi
Vi
2(i % 1)
V(i % 1)
'
2i
Vi
%
)2i
)Vi
0YN
θk
θk
QI
k
V2
46
esparsa e com estrutura de esparsidade semelhante à estrutura de esparsidade da matriz .
Para se levar em conta os tipos de barras na utilização do método de New ton-Raphson tem-se que:
! barra tipo PQ:
Para uma barra (k) qualquer, tipo PQ, como V e sãodesconhecidos, são necessários duask
equações f e g .k k
! barra tipo PV:
Paraumabarra (k) qualquer, tipo PV, como V é conhecido e é desconhecido, só é necessáriok
uma equação f (a equação correspondente a pode ser desprezada).k
Para as barras tipo PV, como o módulo da tensão não varia, todas as derivadas parciais com
relação a esta tensão serão nulas:
sendo por isto a tensão V eliminada do vetor coluna das incógnitas.k
! barra tipo :
Paraabarra oscilante, como V e 2 são conhecidos, não é necessário nenhuma equação para esta
barra.
5-2 – Métodos Desacoplados
Os SEP apresentam, quando operando em regime normal, um fraco acoplamento entre os fluxos de
potênciaativa e reativa (esta propriedade é mais efetiva para redes em tensões mais elevadas, acima
de230kV).Os fluxos de potência ativa são fortemente influenciados pelo ângulo de fase das tensões
dasbarras e praticamente independentes dos módulos das tensões. Já os fluxos de potência reativa
são fortemente dependentes do módulo das tensões das barras e fracamente influenciados pelos
ângulos de fase dessas tensões. Logo, pequenas variações na tensão não causam variações
significativas na potência ativa e pequenas variações no ângulo não acarretam variações
significativas na potência reativa.
Os métodos desacoplados procuram tirar partido destas propriedades e estão intimamente
relacionados com o método de New ton-Raphson tradicional.
As equações básicas do método de New ton-Raphson em coordenadas polares são as seguintes:

Pot. Ativa
Forte influência de 2
Praticamente independente de V
Pot. Reativa
Forte influência de V
Praticamente independente de 2
Gr s
< < Br s
2r s
Y pequeno Y
cos2r s
• 1
sen2r s
• 0
Nr s
' & Vr
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(Gr s
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% Br s
sen2r s
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' &V2
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R
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% Br s
sen2r s
)
Mr r
' V2
r
Gr r
% )P i
R
& PI
R
)2 )V
)P )Q
θ
47
Os termos e que são as correções no ângulo e na tensão a cada iteração são valores
aproximados (devido ao truncamento no termo de 1ª ordem das equações de fluxo de potência
desenvolvidas segundo o método de Taylor). Como os resíduos e são calculados de
maneira exata, a solução final pode ser obtida com qualquer precisão adotada, simplesmente
prolongando-se o processo iterativo, independente da maior ou menor precisão das correções a cada
iteração.
Os métodos numéricos são mais efetivos quando incorporam em si as propriedades físicas dos
sistemas aos quais são aplicados. Por isso, os métodos desacoplados desenvolvidos para a solução
do fluxo de potência procuram explorar as características de acoplamento P e QV, ou seja:
Este desacoplamento no método de New ton-Raphson traduz nos valores numéricos dos elementos
das submatrizes [M] e [N]. Tem-se que:
Os elementos das submatrizes [N] e [H] são dados por:
Logo, pode observar que:
Os elementos das submatrizes [M] e [L] são dados por:

Lr s
' &Vr
Vs
(Gr s
sen2r s
& Br s
cos2r s
)
Lr r
' V2
r
Gr r
% )Qi
R
& QI
R
Mr s
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)Q i
' &
Hi
0
0 Li
)2i
)Vi
Vi
)Pi
' & Hi
)2i
)Qi
' & Li )V i
V i
)Pi
(V
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k
,2
i
k
) ' & Hi
(V
i
k
,2
i
k
) )2i
)Qi
(Vi
k
,2i
k
) ' & Li
(Vi
k
,2i
k
) )Vi
Vi
2(i % 1)
' 2i
% )2i
V(i % 1)
' V i
% )Vi
)Pi
(V
i
k ,2
i
k ) ' & Hi
(V
i
k ,2
i
k ) )2i
2(i % 1)
' 2i
% )2i
[2k
]
[Vk
]
[2k
] [Vk
]
48
Logo, pode observar que:
Baseado no exposto acima foram desenvolvidos vários métodos para a solução do fluxo de potência
explorando estas características. Estes métodos desacoplados alteram apenas o algoritmo de
resolução, sem afetar o modelo da rede, por isso não afetam a solução final do fluxo de potência.
No Método de New ton-Raphson Desacoplado (Decoupled Newton) despreza-se as submatrizes [M]
e [N] e as equações do fluxo de potência tornam-se:
Daí:
As equações acima são denominadas equaçõesdo fluxo de potência desacopladas.
As equações acima são resolvidas simultaneamente e depois atualizado os valores de e de
, até obter-se a convergência final:
Oesquema mais adequado consiste em resolver as equações do fluxo de potência desacoplado em
alternância, sempre atualizando os valores, ora de , ora de , até obter-se a convergência
final:

)Qi
(Vi
k
,2(i % 1 )
k
) ' & Li
(Vi
k
,2(i % 1)
k
)
)Vi
Vi
V(i % 1)
' V i
% )Vi
[H] ' [V] [H)
]
[L] ' [V] [L))
] ' [V] [L)
] [V]
)Pi
' & V i
H)i
)2i
)Qi
' & V i
L)i
Vi )Vi
Vi
)P i
Vi
' & H)i
)2i
)Q i
Vi
' & L) i
)Vi
H)
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' &Vs
(Gr s
sen2r s
& Br s
cos2r s
)
H)
r r
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L)
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& Br s
cos2r s
)
L)
r r
'
)Q
i
r
& Q
I
r
V2
r
% Br r
θ
49
Pode-se notar que no algoritmo na forma alternada as aproximações feitas (desprezando [M] e [N])
são parcialmente compensadas pela imediata correção das variáveis e V a cada meia iteração.
Emalguns artigos os autores recomendam trocar a segunda equação do fluxo desacoplado por uma
equação de corrente, o qual melhora o processo de convergência.
O método desacoplado pode ainda sofrer uma modificação que, em alguns sistemas, pode
apresentar uma convergência um pouco mais rápida.
As submatrizes [H] e [L] podem ser escritas como:
onde a matriz [V] é uma matriz diagonal cujos elementos são as magnitudes das tensões nodais. As
equações do fluxo desacoplado ficam:
Logo:
onde os elementos destas submatrizes são:

Hr s
' Lr s
' &Vr
Vs
(Gr s
sen2r s
& Br s
cos2r s
)
Hr r
' Q
I
r
& )Q
i
r
% V
2
r
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Lr r
' )Q
i
r
& Q
I
r
% V
2
r
Br r
Gr s
< < Br s
cos2k m
. 1
sen 2k m
. 0
V
2
r
Br r
> > )Qr
& Q
I
r
θ
x
r
50
Com a utilização do desacoplamento tanto a memória computacional exigida na utilização do
algoritmo como o tempo computacional de cada iteração são reduzidos. O número de iterações para
chegar a convergência é, geralmente, maior que o método clássico.
Existem situações nos quais os subsistemas P2 e QV tem velocidades de convergência distintas: um
dos subsistemas converge antes do outro. Nestes casos pode-se iterar somente com o subsistema
ainda não convergido. Para que isto seja possível são adotados índices para indicar se os
subsistemas P e QV estão convergidos. Ao final de cada meia iteração verifica-se se o outro
subsistema está convergido, em caso afirmativo, volta-se a iterar no mesmo subsistema.
Vários algoritmos são possíveis para a resolução alternada das equações do fluxo de potência pelo
método desacoplado, sendo mais indicado resolver sempre as equações desacopladas utilizando
os valores de [2] e [V] mais recentes.
O Método de New ton-Raphson Desacoplado Rápido (Fast Decoupled) é um prolongamento do
método desacoplado e foi desenvolvido por Alsac e Stott.
Seja as expressões dos elementos das submatrizes [H] e [L]:
As seguintes aproximações podem ser introduzidas:
! Em sistemas de transmissão, principalmente em alta tensão, x >> r. Para linhas de transmissão
acima de 230 kV, a relação é maior do que 5, podendo chegar a 20 em linhas de 500 kV. Os
transformadores também apresentam uma resistência desprezível. Logo, para um elemento
qualquer entre as barras (r) e (s):
! Sob condições normais de carregamento, as defasagens angulares entre os barramentos do
sistema apresentam um valor não muito elevado, donde pode-se aproximar:
! Asreatânciasshunt (cargas, reatores, capacitores, shunt de linhas) de um sistema de transmissão
são muito maiores que as reatâncias série (linhas e transformadores). Logo, em pu, em valor
absoluto, pode-se dizer:

Hr s
' Lr s
. Vr
Vs
Br s
Hr r
' Lr r
. V
2
r
Br r
. Vr
Vr
Br r
)P i
' & Vi
B)
Vi
)2i
)Q i
' & Vi
B))
V i )Vi
Vi
)Pi
Vi
' & B)
V i
)2i
)Qi
Vi
' & B))
Vi )Vi
Vi
)Pi
Vi
' & B)
V i
)2i
)Qi
Vi
' & B))
)V i
)Pi
Vi
' & B)
)2i
)Qi
Vi
' & B))
)V i
)2 )V
V
[ 0YN
]
51
Com isso as expressões acima podem ser reescritas como:
Logo as equações desacopladas ficam:
As tensões a esquerda estão relacionadas com os termos )P e )Q. Logo:
As tensões a direita estão relacionadas com os termos e . Logo:
Os termos V a direita de [B’] influenciam os fluxos de potência reativa. Considerando estes termos
como sendo fixos no valor 1 pu, tem-se as equações:
que são as equações do método desacoplado rápido.
Pode-se notar que:
! As submatrizes [B’] e [B”] são elementos da matriz , portanto só dependem dos parâmetros
da rede, não dependendo das variáveis do sistema (módulo e ângulo das tensões das barras);

B)
r s
'
1
xr s
B)
r r
' & j
n
j ' 1
1
xr r
B))
r s
' Br s
B))
r r
' Br r
br s
&
1
xr s
[ 0YN
]
52
! A submatriz [B’] tem dimensão da submatriz [H], portanto de (n - 1) x (n - 1), onde n é o número
de barras do sistema.
! A submatriz [B”] tem dimensão da submatriz [L], portanto de n x n , onde n é o número dePQ PQ PQ
barras PQ do sistema.
O método desacoplado é completado com:
! Omite-se da submatriz [B’] a representação de componentes que afetam predominantemente os
fluxos reativos (reatâncias shunt, taps em fase de transformadores);
! Omite-se da submatriz [B”] a representação de componentes que afetam os fluxos ativos
(taps em quadratura de transformadores);
! Desprezam-se as resistências série no cálculo dos elementos de [B’], aproximando-se por
. Isto não é muito importante mas segundo alguns autores contribui para a convergência.
Com isso os elementos das submatrizes [B’] e [B”] são dados por:
onde B e B são os elementos da matriz de susceptâncias [B] (parte imaginária da matriz ) ers rrr
x é a reatância série da linha de transmissão ou transformador (em módulo).rs
Com tudo isso as submatrizes [B’] e [B”] resultam reais, esparsas e constantes. Dependendo do
método adotado para resolução das equações desacopladas, estas submatrizes necessitam ser
invertidas ou triangularizadas apenas uma vez no começo da solução do fluxo de potência. A
submatriz[B”] é simétrica e, se não existem transformadores defasadores no sistema (ou se existem,
alternativamente), [B’] também resulta simétrica.
A s equações do método desacoplado rápido são resolvidas rapidamente que é um dos maiores
atrativo deste método. Vários algoritmos são possíveis para a resolução das equações do fluxo de
potência desacoplado rápido, sendo mais indicado resolver sempre as equações alternativamente
usando os valores de [2] e [V] mais recentes.

125 MW
50 MVAr
1.04 pu
ALFA-GER
ALFA BETA TETA-GERTETA
1.035 pu
150 MW
GAMA
220 MW
90 MVAr
r
S/km
x
S/km
c
nF/km
R
km
Xd
%
53
6 – EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
Obter o fluxo de potência para o SEP apresentado na figura 40 pelos métodos de New ton-Raphson
e desacoplado rápido. Use uma tolerância de 0.1 MW/Mvar. Os dados do sistema estão
apresentados nas tabelas 1 e 2.
Figura 40 – Diagrama unifilar do SEP para cálculo de fluxo de potência
Tabela 1 – Dados de linhas de transmissão
De - Para
Alfa - Beta 0.055 0.450 8.800 100
Beta - Teta 0.055 0.450 8.800 140
Alfa - Gama (1) 0.060 0.300 7.600 210
Alfa - Gama (2) 0.060 0.300 7.600 210
Gama - Teta 0.060 0.300 7.600 190
Tabela 2 – Dados dos transformadores
De - Para
Tensão S Número
kV/kV MVA Unidades
Alfa Ger - Alfa 16/230 110 13.2 2
Teta Ger - Teta 13.8/230 80 9.6 2

PARA CADA LT
SC
5 = 1.25 + j0.51V = 1.04 0.0o
j0.06
r = 0.0238
x = j0.1191
b/2 = j0.1591
r = 0.0104
x = j0.0851
b/2 = j0.0878(1)
(4) (5)
1.035V2=
G
2P = 1.5
j0.06
r = 0.0146
x = j0.1191
b/2 = j0.1229
r = 0.0216
x = j0.1078
b/2 = j0.1440
(6) (2)
(3)
S
C = 2.2 + j0.9
3
(1) (2) (3)
0YN
'
0.0000 & j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000
0.0000 % j0.0000 0.0000 & j16.6667 0.0000 % j0.0000
0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 5.0143 & j24.6092
0.0000 % j16.6667 0.0000 % j0.0000 &3.2295 % j16.1477
0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000
0.0000 % j0.0000 0.0000 % j16.6667 &1.7848 % j8.9238
(4) (5) (6)
0.0000 % j16.6667 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000
0.0000 % j0.0000 0.0000 % j0.0000 0.0000 % j16.6667
&3.2295 % j16.1477 0.0000 % j0.0000 &1.7848 % j8.9238
4.6452 & j43.9909 &1.4156 % j11.5825 0.0000 % j0.0000
&1.4156 % j11.5825 2.4268 & j19.6452 &1.0112 % j8.2732
0.0000 % j0.0000 &1.0112 % j8.2732 2.7959 & j33.5968
>max ' 0.1 MW/MVAr '
0.1
100
' 0.001 pu
0YN
54
Adotando numeração para os barramentos do sistema apresentado acima e adotando como potência
de base 100 MVA, pode-se montar o seguinte diagrama unifilar em pu apresentado na figura 41.
Figura 41 – Diagrama unifilar com os dados do SEP
Com os dados acima pode-se montar a matriz :
Admitindo a barra (1) como barra oscilante, não será necessário realizar nenhuma iteração para esta
barra.
A tolerância especificada corresponde a:

V0
1 ' 1.040/0.0E pu (barra V2)
V0
2 ' 1.035/0.0E pu (barra PV)
V0
3 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)
V0
4 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)
V0
5 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)
V0
6 ' 1.000/0.0E pu (barra PQ)
)P2 ' P
I
2 & V2 V2 G22 % V6 (G26 cos226 % B26 sen226 ) '
' 1.5 & 0.0 & 1.035[1.035× 0.0000 % 1.000× 0.0000] ' 1.5 pu
)P3
' P I
3 & V3
V3
G33
% V4
(G34
cos234
% B34
sen234
) %
V6
(G36
cos236
% B36
sen236
) '
' 0.0 & 2.2 & 1.000[1.000× 5.0143 % 1.000× (&3.2295) %
% 1.0000× (&1.7848)] ' &2.2 pu
)P4 ' P
I
4 & V4 V1 (G41 cos241 % B41 sen241 ) % V3 (G43 cos243 % B43 sen243 ) %
V4 G44 % V5 (G45 cos245 % B45 sen245 ) '
' 0.0 & 1.000[1.040× 0.0000 % 1.000× (&3.2295) %
% 1.0000× 4.6452 % 1.0000× (&1.4156)] ' 0.0
)P5 ' P
I
5 & V5 V4 (G54 cos254 % B54 sen254 ) % V5 G55 %
V6 (G56 cos256 % B56 sen256 ) '
' 0.0 & 1.25 & 1.000[1.000× (&1.4156) % 1.000× 2.4268 %
% 1.000× (&1.0112)] ' &1.25 pu
)P6 ' P
I
6 & V6 V2 (G62 cos262 % B62 sen262 ) % V3 (G63 cos263 % B63 sen263 ) %
V5 (G65 cos265 % B65 sen265 ) % V6 G66 '
' 0.0 & 1.000[1.035× 0.0000 % 1.000× (&1.7848) %
% 1.000× (&1.0112) % 1.000× 2.7959] ' 0.0
[)P0
k
] [)Q0
k
]
55
Adotando como condição inicial para as tensões das barras os seguintes valores:
pode-se obter os valores dos elementos dos vetores e , a fim de verificar o erro de
potência:

)Q3
' Q I
3 & V3
(&V3
B33
% V4
(G34
sen234
& B34
cos234
) %
V6
(G36
sen236
& B36
cos236
) '
' 0.0 & 0.9 & 1.000[&1.000× (&24.6092) & 1.000× 16.1477 &
& 1.000× 8.9238] ' &0.4377 pu
)Q4 ' Q
I
4 & V4 V1 (G41 sen241 & B41 cos241 ) % V3(G43 sen243 & B43 cos243 ) &
V4 B44 % V5 (G45 sen245 & B45 cos245 ) '
' 0.0 & 1.000[&1.040× 16.6667 & 1.000× 16.1477 &
& 1.000× (&43.9909) & 1.000× 11.5825] ' 1.0727 pu
)Q5 ' Q
I
5 & V5 V4 (G54 sen254 & B54 cos254 ) & V5B55 %
V6 (G56 sen256 & B56 cos256 ) '
' 0.0 & 0.5 & 1.000[&1.000× 11.5825 & 1.000× (&19.6452) &
& 1.000× 8.2732] ' &0.2895 pu
)Q6 ' Q
I
6 & V6 V2 (G62 sen262 & B62 cos262 ) % V3(G63 sen263 & B63 cos263 ) %
V5 (G65 sen265 & B65 cos265 ) & V6 B66 '
' 0.0 & 1.000[&1.035× 16.6667 & 1.000× 8.9238 &
& 1.000× 8.2732 & 1.000× (&33.5968)] ' 0.8502 pu
* )P0
3 * ' 2.2 > 0.001 pu
)Pn
)Qn
fn
gn
56
Comparando o maior valor do erro de potência encontrado acima com o erro tolerado, tem-se:
Com isso o processo iterativo inicia. O primeiro passo é montar a matriz jacobiana. Para isto é mais
fácil montar inicialmente as quatro submatrizes [H], [N], [M] e [L], como indicado a seguir, onde
e representam as funções e do erro de potência.
! Submatriz [H]:

[H] '
M )P2
M22
M )P2
M 23
M)P2
M 24
M )P2
M 25
M )P2
M 26
M )P3
M22
M )P3
M 23
M)P3
M 24
M )P3
M 25
M )P3
M 26
M )P4
M22
M )P4
M 23
M)P4
M 24
M )P4
M 25
M )P4
M 26
M )P5
M22
M )P5
M 23
M)P5
M 24
M )P5
M 25
M )P5
M 26
M )P6
M22
M )P6
M 23
M)P6
M 24
M )P6
M 25
M )P6
M 26
(2) (3) (4) (5) (6)
H0
'
&17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.2500
0.0000 &25.0715 16.1477 0.0000 8.9238
0.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000
0.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.2732
17.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
[M] '
M )Q3
M 22
M )Q3
M 23
M)Q3
M24
M )Q3
M 25
M )Q3
M 26
M )Q4
M 22
M )Q4
M 23
M)Q4
M24
M )Q4
M 25
M )Q4
M 26
M )Q5
M 22
M )Q5
M 23
M)Q5
M24
M )Q5
M 25
M )Q5
M 26
M )Q6
M 22
M )Q6
M 23
M)Q6
M24
M )Q6
M 25
M )Q6
M 26
(2) (3) (4) (5) (6)
M0
'
0.0000 5.0143 &3.2295 0.0000 &1.7848
0.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156 0.0000
0.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112
0.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959
(3)
(4)
(5)
(6)
57
Substituindo os valores (iteração 0), obtém-se:
! Submatriz [M]:

[N] '
V3
M )P2
MV3
V4
M )P2
M V4
V5
M )P2
M V5
V6
M )P2
M V6
V3
M )P3
MV3
V4
M )P3
M V4
V5
M )P3
M V5
V6
M )P3
M V6
V3
M )P4
MV3
V4
M )P4
M V4
V5
M )P4
M V5
V6
M )P4
M V6
V3
M )P5
MV3
V4
M )P5
M V4
V5
M )P5
M V5
V6
M )P5
M V6
V3
M )P6
MV3
V4
M )P6
M V4
V5
M )P6
M V5
V6
M )P6
M V6
(3) (4) (5) (6)
N0
'
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
&5.0143 3.2295 0.0000 1.7848
3.2295 &4.6452 1.4156 0.0000
0.0000 1.4156 &2.4268 1.0112
1.7848 0.0000 1.0112 &2.7959
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
[L ] '
V3
M )Q3
M V3
V4
M )Q3
M V4
V5
M)Q3
M V5
V6
M )Q3
M V6
V3
M )Q4
M V3
V4
M )Q4
M V4
V5
M)Q4
M V5
V6
M )Q4
M V6
V3
M )Q5
M V3
V4
M )Q5
M V4
V5
M)Q5
M V5
V6
M )Q5
M V6
V3
M )Q6
M V3
V4
M )Q6
M V4
V5
M)Q6
M V5
V6
M )Q6
M V6
(3) (4) (5) (6)
L0
'
&24.1469 16.1477 0.0000 8.9238
16.1477 &42.9182 11.5825 0.0000
0.0000 11.5825 &19.4347 8.2732
8.9238 0.0000 8.2732 &32.7466
(3)
(4)
(5)
(6)
58
! Submatriz [N]:
! Submatriz [L]:

J0
'
&17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 &25.0715 16.1477 0.0000 8.9238 &5.0143 3.2295 0.0000 1.7848
0.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000 3.2295 &4.6452 1.4156 0.0000
0.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.2732 0.0000 1.4156 &2.4268 1.0112
17.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470 1.7848 0.0000 1.0112 &2.7959
0.0000 5.0143 &3.2295 0.0000 &1.7848 &24.1469 16.1477 0.0000 8.9238
0.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156 0.0000 16.1477 &42.9182 11.5825 0.0000
0.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112 0.0000 11.5825 &19.4347 8.2732
0.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959 8.9238 0.0000 8.2732 &32.7466
)P0
k
)Q
0
k
' & J0
)2
0
k
)V0
k
V0
k
[ 0YN
]
)20
k
)V0
k
V0
k
)P0
k
)Q0
k
59
Nas submatrizes [H], [M], [N] e [L], pode-se notar o grau de esparsidade, apesar de ser um sistema
pequeno, em comparação com a matriz e também a simetria apresentada pelos valores
numéricos de seus elementos.
! Matriz jacobiana:
A dimensão da matriz jacobiana será 9 x 9, correspondendo a quatro barras tipo PQ e uma barra
tipo PV. Utilizando-se das submatrizes obtidas pode-se montar a seguinte matriz jacobiana, para
a primeira iteração:
Obtida a matriz jacobiana pode-se montar a seguinte equação:
A equação acima, para obtenção dos vetores incógnitas e , pode ser resolvida de
várias maneiras, sendo uma das mais indicadas, inclusive para uso computacional, através da
triangularização de Gauss da matriz jacobiana e a solução do sistema resultante por substituição de
trás para frente. No presente exercício será feito a inversão da matriz jacobiana, visto que sua
dimensão não é muito elevada e em seguida a multiplicação pelo vetor .
Invertendo a matriz jacobiana resulta:

J0 &1
'
&0.2088 &0.0908 &0.0577 &0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043
&0.0908 &0.1078 &0.0577 &0.0715 &0.0908 0.0077 &0.0013 &0.0000 0.0018
&0.0577 &0.0577 &0.0577 &0.0577 &0.0577 0.0000 0.0000 0.0000 &0.0000
&0.0965 &0.0715 &0.0577 &0.1235 &0.0965 &0.0005 &0.0018 0.0059 0.0019
&0.1508 &0.0908 &0.0577 &0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043
0.0014 &0.0077 &0.0000 0.0005 0.0014 &0.0778 &0.0398 &0.0369 &0.0311
0.0045 0.0013 &0.0000 0.0018 0.0045 &0.0398 &0.0482 &0.0375 &0.0206
0.0009 0.0000 &0.0000 &0.0059 0.0009 &0.0369 &0.0375 &0.0867 &0.0322
&0.0043 &0.0018 0.0000 &0.0019 &0.0043 &0.0311 &0.0206 &0.0322 &0.0469
)20
2
)2
0
3
)20
4
)20
5
)2
0
6
)V0
3
V
0
3
)V0
4
V
0
4
)V0
5
V0
5
)V
0
6
V0
6
' & J0 &1
1.5000
&2.2000
0.0000
&1.2500
0.0000
&0.4377
1.0727
&0.2895
0.8502
)2
0
k
)V0
k
V0
k
60
Logo os vetores de variação e ficam:
Resultando em:

)20
2
)2
0
3
)20
4
)2
0
5
)20
6
)V0
3
V
0
3
)V0
4
V
0
4
)V0
5
V
0
5
)V0
6
V
0
6
'
&0.0069
&0.1971
&0.1125
&0.1651
&0.0939
0.0060
0.0393
0.0176
0.0392
21
2 ' 20
2 % )20
2 ' 0.0 & 0.0069 ' &0.0069 rad ' &0.40E
21
3 ' 20
3 % )20
3 ' 0.0 & 0.1871 ' &0.1871 rad ' &10.72E
21
4 ' 20
4 % )20
4 ' 0.0 & 0.1125 ' &0.1125 rad ' &6.45E
21
5 ' 20
5 % )20
5 ' 0.0 & 0.1651 ' &0.1651 rad ' &9.46E
21
6 ' 20
6 % )20
6 ' 0.0 & 0.0939 ' &0.0939 rad ' &5.38E
V1
3 ' V0
3 % )V0
3 ' 1.0 % 0.0060 ' 1.0060 pu
V1
4 ' V0
4 % )V0
4 ' 1.0 % 0.0393 ' 1.0393 pu
V1
5 ' V0
5 % )V0
5 ' 1.0 % 0.0176 ' 1.0176 pu
V1
6 ' V0
6 % )V0
6 ' 1.0 % 0.0392 ' 1.0392 pu
[)P1
k
] [)Q1
k
]
61
ondeosvalores das correções dos ângulos estão em radianos e os valores das correções de tensão
empu.Comestes valores pode-se obter as tensões e ângulos das variáveis para a primeira iteração:
Com os valores acima pode-se obter e , os quais devem ser comparados com a
tolerância de 0.001 pu. O processo iterativo irá continuar até ser obtida a convergência, o qual ocorre
com 3 iterações. A tabela 3 ilustra os valores encontrados a cada iteração.

(2) (3) (4) (5) (6)
[B)
] '
&16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.6667
0.0000 &26.0744 16.7937 0.0000 9.2807
0.0000 16.7937 &45.2159 11.7556 0.0000
0.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.3968
16.6667 9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(3) (4) (5) (6)
[B)
] '
&24.6092 16.1477 0.0000 8.9238
16.1477 &43.9909 11.5825 0.0000
0.0000 11.5825 &19.6452 8.2732
8.9238 0.0000 8.2732 &33.5968
(3)
(4)
(5)
(6)
1.0350/&0.40E 1.0350/&0.74E 1.0350/&0.76E
1.0060/&10.72E 0.9823/&10.83E 0.9819/&10.84E
1.0393/&6.45E 1.0191/&6.52E 1.0187/&6.53E
1.0176/&9.46E 0.9969/&9.54E 0.9966/&9.54E
1.0392/&5.38E 1.0230/&5.62E 1.0229/&5.63E
)Pmax
MW
)Qmax MVAr
[B)
] [B))
]
[B)
]
[ 0YN
)
]
[B))
]
[ 0YN
]
62
Tabela 3 – Valores de cada iteração para o método de New ton-Raphson
Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3
Barra (2)
Barra (3)
Barra (4)
Barra (5)
Barra (6)
7.271 0.052 0.000
Barra (3) (3) (3)
23.088 0.443 0.000
Barra (4) (4) (4)
Pelo método Desacoplado Rápido é necessário montar as submatrizes e ao invés da
matriz jacobiana, sendo que estas são montadas somente uma vez no início do processo iterativo.
A matriz é obtida desprezando os elementos shunt do sistema (no caso, somente as
susceptâncias das linhas de transmissão) e a resistência de todos os elementos. Com isso, montando
a matriz pode-se extrair:
A matriz como não existe transformadores defasadores no sistema, é extraída diretamente
da matriz :

)Pi
V i
' & [B)
] [)2i
]
1.45
&2.20
0.00
&1.25
0.00
' &
&16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.6667
0.0000 &26.0744 16.7937 0.0000 9.2807
0.0000 16.7937 &45.2159 11.7556 0.0000
0.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.3968
16.6667 9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442
)20
2
)2
0
3
)20
4
)20
5
)2
0
6
)20
2 ' &0.0197 rad
)20
3 ' &0.1997 rad
)20
4 ' &0.1200 rad
)20
5 ' &0.1765 rad
)20
6 ' &0.1067 rad
2
1
2 ' 2
0
2 % )2
0
2 ' 0.0000 & 0.0197 ' &0.0197 rad ' &1.1E
2
1
3 ' 2
0
3 % )2
0
3 ' 0.0000 & 0.1997 ' &0.1997 rad ' &11.4E
2
1
4 ' 2
0
4 % )2
0
4 ' 0.0000 & 0.1200 ' &0.1200 rad ' &6.9E
2
1
5 ' 2
0
5 % )2
0
5 ' 0.0000 & 0.1765 ' &0.1765 rad ' &10.1E
2
1
6 ' 2
0
6 % )2
0
6 ' 0.0000 & 0.1067 ' &0.1067 rad ' &6.1E
[)P0
k
]
[)Q0
k
]
63
Oselementos do vetor , nesta primeira iteração, são idênticos aos já obtidos anteriormente,
devido a mesma estimativa inicial adotada para as tensões. Como o erro resultou superior à
tolerância especificada será necessário proceder a correção dos ângulos. No método desacoplado
rápido, na primeira "meia" iteração, os novos valores dos ângulos serão dados por:
Tem-se então:
Resolvendo o sistema de equações lineares acima, obtém-se:
Com isto os novos valores dos ângulos passam a ser:
Os elementos do vetor , utilizando os valores de tensão (módulo da iteração anterior e
ângulo já corrigido nesta "meia" iteração), são:

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