Matematika bisnis7
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matematika bisnis7

on

  • 1,769 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,769
Views on SlideShare
1,769
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
44
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Matematika bisnis7 Matematika bisnis7 Presentation Transcript

  • 5. Differential Partial (Turunan Parsil)5.1 Fungsi Beberapa Variabel5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsil5.3 Perbandingan Statik (Comparative Static)5.4 Optimisasi Tanpa Kendala (Unconstrained Optimization)5.5 Optimisasi Terkendala/Terbatas5.6 Pengganda Lagrange
  • 5.1 Fungsi Beberapa VariabelSuatu Model Ekonomi atau Bisnis, seringmembutuhkan beberapa variabel bebas akibatbanyak hal yang mempengaruhi variabel terikattersebut, Z = f ( X 1 , X 2 , ..., X n )Jika variabel terikat Z , berubah yang diakibatkanoleh perubahan dari salah satu variabel bebas(misalnya X 1 ) sedangkan variabel lainnya tidakberubah atau konstan, maka disebut TurunanParsial dari Z terhadap X 1 , dan seterusnya.
  • 5.1 Fungsi Beberapa VariabelNotasinya adalah, ∂z ∂x1ataudapat juga ditulis sebagai z 1 , f 1 jika terhadapturunan X 2 ditulis sebagai, ∂z = Z = f ∂x2 2 2
  • 5.1 Fungsi Beberapa Variabel 2 ∂ z =Z = f 2 xx xx ∂xatau turunan kedua Z terhadap y, ditulis, 2 ∂ z =Z = f 2 yy yy ∂yJika turunan f x terhadap y, ditulis, 2 ∂ z =Z = f ∂yx yx yxatau
  • 5.1 Fungsi Beberapa Variabel 2 ∂ z=Z = f ∂xy xy xyContoh : Carilah turunan parsial kedua dari fungsi berikut(lihat buku 1., hal. 349 & 350) :(a). f(x,y)=5x4 – y2(b). f(x,y)= x2y3 – 10x Carilah turunan Parsil f1, f11, f12 dan f32 dari(c). f(x1,x2,x3) = x1x2 + x13 –x22x3
  • 5.1 Fungsi Beberapa VariabelHubungan antara turunan Parsial dengan turunantotal (dz), dapat dirumuskan sebagai, Δz = ∂z Δx + ∂z Δy ∂x ∂yatau dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂yContoh (lihat buku 1, hal. 352) : Jika z = xy – 5x + 2yPeriksalah ∂z dan ∂z di titik (2, 6) ∂x ∂y
  • 5.1 Fungsi Beberapa Variabel(a) Gunakan rumus taksiran perubahan dalam z , dengan penurunan x dari 2 ke 1.9 dan y naik dari 6 ke 6.1.(b) Periksa taksiran pada bagian (1) denganmengevaluasi pada (2, 6) dan (1.9, 6.1)Jika sebuah fungsi dengan z = f(x, y) = konstanmaka dy f =− x dx f yDisebut turunan implisit.
  • 5.1 Fungsi Beberapa VariabelContoh (lihat buku 1, hal. 353) :Gunakan turunan implisit untuk mencari dy/dxdari fungsi, y3 + 2xy2 – x =5JawabDiketahui f(x, y) = y3 + 2xy2 – x, fx = 2y2 – 1 dan fy = 3y2 +4xyJadi dy  f x  2y  2 − 1  − 2y 2 + 1 = − = − = dx f   3y 2 + 4xy  3y 2 + 4xy y  
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialElastisitas Permintaaan :Andaikan kuantitas barang (Q ) dipengaruhi olehP , dan alternatif harga P A dan pendapatanKonsumen Y , Q = f (P,P A ,Y)Maka Elastisitas harga Permintaan didefinisikansebagai, E p =− Perubahan persentase dalam Q Perubahan persentase dalam P
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial E p =− P x ∂Q Q ∂PSementara Elastisitas harga alternatif Permintaandidefinisikan sebagai, p A ∂Q Ep = x A Q ∂p AJika (∂Q/∂PA) > 0, maka |EpA |> 0, dimanapermintaan Elastis terhadap harga.
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialJika (∂Q/∂PA) < 0, maka |EpA |< 0, dimanapermintaan tidak Elastis terhadap harga. Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan,dapat dirumuskan sebagai, E =− Perubahan persentase dalam Q Y Perubahan persentase dalam YDengan, EY = Y x ∂Q Q ∂Y
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial Jika (∂Q/∂Y) > 0, maka |EY |> 0, dimanapendapatan Elastis terhadap harga. Jika (∂Q/∂Y) < 0, maka |EY |< 0, dimanapendapatan tidak Elastis terhadap harga.(lihat Contoh buku 1 hal. 358),Contoh : Diberikan fungsi permintaan Q = 100 – 2P + P A + 0. 1Y dimana P =10, P A = 12 dan Y = 1000carilah
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial(a) Elastisitas Harga Permintaan(b) Elastisitas Harga silang Permintaan(c) Elastisitas Pendapatan terhadap Permintaan Apakah subtitusi alternatif terbaik ataukomplementer?Jawab : Kita mulai menghitung nilai dari Q dimana,P=10, PA= 12 dan Y = 1000, maka persamaannya Q= 100 – 2(10)+12+0.1(1000) = 192.
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial(a) Elastisitas harga permintaan, turunan parsial persamaan Q terhadap P, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka ∂Q = −2 ∂P dimana, E p = − P x ∂Q = − 10 x( −2)=0.10 Q ∂P 192
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial(b) Elastisitas harga silang permintaan, yaitu turunan parsial persamaan Q terhadap P A , dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka ∂Q =1 ∂P A dimana, P ∂Q 12 Ep = x = A x1 =0.06 Q ∂P 192 A A
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial(c) Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan, yaitu turunan parsial persamaan Q terhadap Y, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka ∂Q =0.1 ∂Y dimana, E = Y x ∂Q = 1000 x 0.1 =0.52 Y Q ∂Y 192 Lihat buku 1, hal. 359 coba kerjakan soalnya!
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialUtility (Kegunaan) Untuk mengetahui perilaku konsumen terhadapsuatu barang, dapat dianalisis menggunakankonsep Utility, seberapa perlu konsumenterhadap suatu barang. Andaikan ada dua barangG1 dan G2, konsumen memilih x1 pada G1 dan x2pada G2, maka variabel U sebagai fungsi dari x1dan x2 dapat ditulis sebagai U = U ( x1, x2)Contoh :
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialU ( 3, 7) = 20 dan U ( 4, 5) = 25,Ada Empat pilihan yaitu memilih 3 di G1 dan 7 diG2 atau dapat juga memilih 4 di G1 dan 5 di G2.Turunan Parsial pertama dari fungsi utility, dapatditulis sebagai, ∂U dan ∂U ∂x 1 ∂x 2Laju perubahan U akibat xi disebut UtilitasMaginal dari x i .
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialJika xi berubah sekecil apapun, danmempengaruhi U, maka berlaku, ΔU ≈ ∂U Δx ∂xi iJika x1 dan x2 keduanya berubah mengakibatkan,Perubahan Utilitas menjadi ΔU ≈ ∂U Δx + ∂U Δx ∂x 1 1 ∂x 2 i
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialContoh : (Lihat buku 1, contoh hal. 360 - 361)Diberikan fungsi utility, U = x11/4 x23/4,Tentukan nilai utilitas marginal dari, ∂U dan ∂U ∂x1 ∂x 2Dimana x1 = 100, dan x2 = 200. Taksirlahperubahan utilitas menurun xi dari 100 ke 99 danutilitas naik dari 200 ke 201.
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialJawab :Fungsi utility, U = x11/4 x23/4, ∂U = 1 x - 3/4 x 3/4 dan ∂U = 4 x x 3 1/4 - 1/4 ∂x 4 1 1 2 ∂x2 1 2Dengan x1 = 100, dan x2 = 200. ∂U = 1 (100 ) (200 ) =0.42 - 3/4 3/4 ∂x 4 1
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial∂U = 3 (100 ) (200 ) 1/4 - 1/4 =0.63∂x 4 2Dimana x1 berkurang sebesar 1 unit, ∆x 1 = – 1Dan x2 bertambah sebesar 1 unit ∆x 2 = 1,Sehingga, ΔU ≈ ∂U Δx + ∂U Δx ∂x ∂x 1 1 2 iJadi, perubahan utilitasnya adalah : ΔU ≈ 0.42  - 1 + 0.631 =0.21      
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialKurva Indefferens dapat ditentukan daripersamaan implicit terhadap fungsi utilitasberikut : U ( x1, x2) = U 0Turunan Implisit dapat ditentukan denganRumus : dy = − f x dx f y ∂USehingga, MRCS = − dx = ∂x2 1 dx ∂U 1 ∂x 2
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialContoh (lihat buku 1, hal. 364) :Diberikan fungsiU = x11/2 x21/2 , Carilah MRCS dalam bentukvariabel x1 dan x2, dititik (300, 500), dimana x1turun 3 unit, dan x2 beriringan naik.Jawab :∂U = 1 xx dan ∂U = 2 x x - 1/2 1 1/2 1/2 - 1/2∂x 2 1 1 ∂x 2 2 1 2 −1/ 2 1x x x 1/ 2MRCS = − 2 =x x = −1 1 1 2 2 −1/ 2 1 2 1x x 1/ 2 2 x 2 2 1
  • 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas Parsial MRCS = 500 = 5 300 3Sehingga, U ( 300, 500) = (300)1/2(500)1/2=387.3Jika x1 turun 3 unit maka x2 naik 5 unit. 5 x 3 =5 3Jadi, U ( 297, 505) = (297)1/2(505)1/2=387.28