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Grafos/EjerciciosPropuestos

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  • 1. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. GRAFOS. (EJERCICIO 1)
  • 2. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. GRAFOS. (EJERCICIO 1) DETERMINAR:
    • Matriz de Adyacencia.
    • Matriz de Incidencia.
    • ¿Es conexo?. Justifique su respuesta.
    • ¿Es simple?. Justifique su respuesta.
    • ¿Es regular?. Justifique su respuesta.
    • ¿Es completo?. Justifique su respuesta.
    • Demostrar una cadena simple de grado 6.
    • Demostrar un ciclo no simple de grado 5.
    • Demostrar árbol generador aplicando algoritmo de constructor.
    • Subgrafo parcial.
    • Demostrar si es eulerinano, aplicando el algoritmo de fleury.
    • Demostrar si es hamiltoniano
  • 3. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones:
    • Matriz Adyacencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas.
    • Pasos:
    • a) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices que posee el Grafo, tanto en las filas como las columnas.
    • b) Se buscan las relaciones adyacentes o incidencias que lleguen a un mismo vértices.
    • b.1) Lazos o aristas paralelas tienen valor de 2.
    • b.2) Incidencias o relaciones en los vértices tienen valor de 1.
    • b.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.
    1 0 1 0 0 1 1 0 V7 0 1 1 1 1 1 1 0 V8 1 1 0 1 0 0 1 1 V6 1 0 1 0 1 1 0 1 V5 1 0 0 1 0 1 0 1 V4 1 1 0 1 1 0 1 1 V3 0 1 0 1 1 1 0 1 V2 1 1 1 0 0 1 1 0 V1 V8 V7 V6 V5 V4 V3 V2 V1
  • 4. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones:
    • Matriz Incidencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas.
    • Pasos:
    • a) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices y N cantidad de aristas que posee el Grafo. En las filas se colocan los vértices y el columnas se colocan las aristas.
    • b) Se buscan las relaciones o incidencias entre vértices y aristas.
    • b.1) Lazos o aristas paralelas con respecto al vértices tienen valor de 1
    • b.2) Incidencias o relaciones en los vértices y aristas tienen valor de 1.
    • b.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.
    1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 V7 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 V8 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 V6 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 V3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 V2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 V1 a20 a19 a18 a17 a16 a15 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
  • 5. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: 3) ¿Es Conexo?: Es cuando existe un camino entre cualquier par de nodos. . SI es conexo, porque en el grafo siguiente podemos ubicar varios caminos. Camino 2 : V1,V4,V3. Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 3 : V1,V3,V2.
  • 6. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: 4) ¿Simple?: Es cuando un grafo no contiene lazos, ni aristas paralelas, ni aristas dirigidas. . NO es simple, porque en el grafo contiene aristas paralelas, falla una condición, por ende ya es no simple. Ejemplos de aristas paralelas, lazos y aristas dirigidas . Aristas paralelas y lazos. Aristas paralelas y dirigidas. POR ENDE EL GRAFO NO ES SIMPLE Grafo con sus vértices y aristas. SE OBTIENEN AMBOS CON ARISTAS PARALELAS. "NO ES SIMPLE".
  • 7. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: 5) ¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia . Grado de un vértice es : El número de aristas que inciden en el vértice. Los grados o valencia del grafo se calculan así: 1) Ubicamos la tabla de incidencia del grafo, que nos indicará la cantidad de aristas que inciden en cada vértice para ubicar su grado y se suman todas las aristas correspondiente a cada vértice. . No es regular, porque los vértices tienen distintos grados o valencias. =5 =5 =6 =4 =5 =5 =4 =6 Son diferentes los grados, de acuerdo a la suma de las aristas. GRADOS 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 V7 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 V8 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 V6 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 V3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 V2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 V1 a20 a19 a18 a17 a16 a15 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
  • 8. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: 6) ¿Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. grafos. No posee aristas paralelas ni sub. grafos. Posee aristas paralelas y sub. Grafos, como lo hemos demostrado anteriormente. GRAFO COMPLETO NO ES GRAFO COMPLETO En conclusión podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos.
  • 9. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque. 7) Demostrar una cadena simple de grado 6: Es una cadena con todas sus aristas distintas. 1) Ubicamos la Matriz de Incidencia para ubicar una cadena de grado 6: Tenemos dos de grado 6 con el vértice V3 y V8. 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 V7 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 V8 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 V6 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 V3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 V2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 V1 a20 a19 a18 a17 a16 a15 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 =6 =6 GRADOS
  • 10. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: 8) Demostrar un ciclo no simple de grado 5: Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple. No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado. 10) Subgrafo parcial Camino 2 : V1,V4,V3. Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 3 : V1,V3,V2. GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque.
  • 11. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 1) Soluciones: 11) Demostrar si es euleriano, aplicando el algoritmo de fleury. ¿Cuándo es un grafo euleriano? Un grafo no dirigido y conexo es eulerinano si todos sus vértices poseen valencia o grados par. El grafo no es euleriano , posee vértices de valencia o grados impar. 12) Demostrar si es hamiltoniano: Un grafo es hamiltoniano si todos los vértices tienen valencia o grado mayor o igual n/2, donde "n" es el número de vértices del grafo. Esta condición es necesaria pero no suficiente, por lo que si existe al menos un vértice que no cumpla la relación, no sabemos si el grafo es hamiltoniano . Para cada vértice "V" comprobamos la relación: grado(V) >= 8/2. Vertice v1: 5 >= 8/2 = 4. Vertice v2: 5 >= 8/2 = 4. Vertice v3: 6 >= 8/2 = 4. Vertice v7: 4 >= 8/2 = 4. Vertice v8: 6 >= 8/2 = 4. Vertice v4: 4 >= 8/2 = 4. Vertice v6: 5 >= 8/2 = 4. Vertice v5: 5 >= 8/2 = 4. EL grafo es hamiltoniano , pues todos los vértices tienen valencia mayor o igual que 4 . GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque.
  • 12. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque.
  • 13. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto I Amanda Luque.
    • Encontrar matriz de conexión
    • ¿Es simple?. Justifique la respuesta.
    • Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
    • Encontrar un ciclo simple.
    • Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.
    • Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.
  • 14. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque.
    • Encontrar matriz de conexión: En la matriz se enumeran vértices y aristas).
    0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 V6 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 V3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 V2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 V1 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
  • 15. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: 2) ¿Simple?: Es cuando un grafo no contiene lazos, ni aristas paralelas, ni aristas dirigidas. . NO es simple, porque en el grafo contiene aristas dirigidas y paralelas, falla una condición, por ende ya es no simple. Ejemplos de aristas paralelas, lazos y aristas dirigidas . Aristas paralelas y lazos. Aristas paralelas y dirigidas. POR ENDE EL GRAFO NO ES SIMPLE Contiene Aristas paralelas y dirigidas.
  • 16. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque. 3) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5. Cadena simple : Es aquella que no repite aristas. Cadena Elemental : Es aquella que no repite vértices, Cadena no simple no elemental: Es aquella que repite vértices y artistas. No se puede ubicar ninguna, ya que no es doblemente dirigidos para realizar en camino para repetir ambas. 4) Encontrar un ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. NO REPITE NI VERTICES NI ARISTAS. a1 a2 a8
  • 17. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque. 6) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra. ¿DIJKSTRA? con sus ponderaciones.
  • 18. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque.
    • 6) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.
    • Pasos:
    • Ubicar el vértice de inicio.
    • Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que este directamente a él.
    • Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:
    [3,1] Símbolo de la Iteración o estudio de distancia. Ponderación de la arista + lo que precede. Vértice Estudiado (1,1 ) # de la iteración
  • 19. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque. 4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior que esta directamente al vértice estudiado. 5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando. 6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge cualquiera de la dos. PASOS APLICADO AL GRAFO:
  • 20. E.D II GRAFOS. (EJERCICIO 2) Soluciones: GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque. [0,](0) [2,2](1) [3,2](1) [3,2](1) [3,2](1) [4,2](1) DISTANCIAS: dv2 a v1: 2 dv2 a V3: 3 dv2 a V5: 3 dv2 a v4: 4 dv2 a v6: 3
  • 21. E.D II GRAFOS Ejercicio Propuesto II Amanda Luque. GRACIAS. Espero le sea de gran utilidad.

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