20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

16,279
-1

Published on

Teorema Pythagoras, Pythagorean's Theorem

Published in: Education
0 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
16,279
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
620
Comments
0
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

  1. 1. Pembuktian Teorema Pythagoras PENDAHULUAN Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana. Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid. Segitiga Siku-Siku yang dibentuk dari seutas tali Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui. Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?” Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer..Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi: Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Kelompok 1 Geometri
  2. 2. Pembuktian Teorema Pythagoras 1. Pembuktian Teorema Pythagoras Euclid Gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A. Kemudian buat garis sejajar BD melalui titik A. garis tersebut akan memotong BC di titik K dan memotong DE di titik L. Lalu tarik garis FC dan AD, seperti gambar berikut. ∠GAB dan ∠BAC adalah siku-siku sehingga garis G, A, C adalah kolinear begitu juga dengan garis B, A, H. ∠FBA dan ∠CBD adalah siku-siku, ∠FBA + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC sehingga ∠FBC = ∠ABD Kelompok 1 Geometri
  3. 3. Segitiga FBC = segitiga ABD Perhatikan persegi ABGF dan segitiga FBC memiliki panjang alas dan tinggi yang sama yaitu FB dan AB Luas persegi ABGF = 2 x luas ∆ FBC FB x AB = 2 (½ x FB x AB), karena FB = AB AB2 = AB2 Perhatikan juga persegi panjang BDLK dan segitiga ABD. Persegi panjang alas dan tinggi yang sama yaitu BD dan BK. Luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ ABD Kita ketahui ∆ ABD = ∆ FBC Sehingga luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ FBC BD x BK = 2 (½ x BD x BK) BD x BK = AB2 Sehingga luas segitiga ABGF = luas persegi BDLK Sama halnya juga dengan luas KLEC = luas ACIH yaitu AC2 AB2 + AC2 = (BD x BK) + (KL x KC) KL = BD, sehingga AB2 + AC2 = (BD x BK) + (BD x KC) = BD ( BK + KC) = BD x BC = BC2 Dengan demikian terbukti bahwa AB2 + AC2 = AC2 Terbukti 2. Pembuktian oleh Astronom India Bhaskara (1114 – 1185) Langkah pertama buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c Kelompok 1 Geometri
  4. 4. Pembuktian aljabar ini merupakan pembuktian teorema Pythagoras dengan menggunakan 4 segitiga siku-siku yang sama dengan panjang sisi a, b dan c. Segitiga siku-siku disusun dengan sisi c diletakkan diluar sehingga menjadi persegi dengan luas c2 sebagai berikut. Luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi = ½ ab, Sedangkan luas persegi kecil yang berada di dalam segitiga siku-siku adalah (b - a)2. Jadi diketahui bahwa luas persegi ABCD adalah 4 x luas segitiga siku-siku + luas persegi kecil. c2 = 4 x + = Jadi terbukti 3. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Segitiga yang Sebangun (Pembuktian Baskhara yang kedua) Pembuktian ini berdasarkan perbandingan dari dua segitiga yang sebangun. Buat segitiga siku-siku ABC , dengan sudut siku-siku di C Kelompok 1 Geometri
  5. 5. Kemudian buat garis tinggi melalui titik C memotong garis AB di titik D Segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC, begitu juga dengan segitiga CDB sebangun dengan segitiga ABC. Perhatikan segitiga ABC dan segitiga ADC. Perbandingan segitiga ABC dengan segitiga ADC, diperoleh ……… (1) Perhatikan segitiga ABC dan segitiga CDB Perbandingan segitiga ABC dengan segitiga CDB, diperoleh ……… (2) Dari persamaan 1 dan 2, maka diperoleh because terbukti Kelompok 1 Geometri
  6. 6. 4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden James Garfield Pertama kita buat segitiga yang identik dengan panjang sisi a, b dan c. c sebagai sisi miring Kemudian sisi a disusun dan bertemu dengan sisi b sehingga membentuk satu garis seperti gambar berikut: Kemudian membentuk trapesium seperti gambar berikut: Kelompok 1 Geometri tarik garis sehingga
  7. 7. Trapesium terbentuk dari 3 segitiga siku-siku sehingga luas trapesium sama dengan luas segitiga penyusunnya dikalikan 2 Terbukti 5. Pembuktian Thabit Ibn Qurra Buat persegi dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan seperti gambar berikut. Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu Persegi di atas kita gabungkan,kemudian buat garis sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, di mana sisi c menjadi sisi miring. Kelompok 1 Geometri
  8. 8. Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yatu sampingkanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar di bawah ini ∠GAB dan ∠BAC adalah siku-siku sehingga garis G, A, C adalah kolinear begitu juga dengan garis B, A, H. ∠FBA dan ∠CBD adalah siku-siku, ∠FBA + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC sehingga ∠FBC = ∠ABD Segitiga FBC = segitiga ABD Perhatikan persegi ABGF dan segitiga FBC memiliki panjang alas dan tinggi yang sama yaitu FB dan AB Luas persegi ABGF = 2 x luas ∆ FBC FB x AB = 2 (½ x FB x AB), karena FB = AB AB2 = AB2 Perhatikan juga persegi panjang BDLK dan segitiga ABD. Persegi panjang alas dan tinggi yang sama yaitu BD dan BK. Luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ ABD Kita ketahui ∆ ABD = ∆ FBC Sehingga luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ FBC BD x BK = 2 (½ x BD x BK) BD x BK = AB2 Sehingga luas segitiga ABGF = luas persegi BDLK Sama halnya juga dengan luas KLEC = luas ACIH yaitu AC2 AB2 + AC2 = (BD x BK) + (KL x KC) KL = BD, sehingga AB2 + AC2 = (BD x BK) + (BD x KC) = BD ( BK + KC) = BD x BC = BC2 Sehingga terbukti bahwa AB2 + AC2 = AC2 Terbukti Kelompok 1 Geometri
  9. 9. 6. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Segitiga Sama Sisi Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c. Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b dan c di setiap sisisisinya sehingga akan tampak seperti gambar berikut. Dari gambar di atas, diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan jumlah segitiga sama-sisi lainnya. Untuk segitiga dengan panjang sisi k, l, dan m maka luas segitiga tersebut adalah dengan Kelompok 1 Geometri
  10. 10. dengan Karena luas segitiga sama sisi pada sisi c (sisi miring) sama dengan jumlah dari luas segitiga sama sisi pada sisi a dan b, maka: = terbukti Kelompok 1 Geometri ……… di kalikan dengan
  11. 11. 7. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Identitas Trigonometri Pythagoras Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c seperti gambar berikut. Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan cosines sudut Ɵ yaitu sebagai berikut. Hubungan antara sinus dan cosines dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa terbukti Kelompok 1 Geometri
  12. 12. 8. Pembuktian dengan Persamaan Differensial Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut. b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus terhadap sisi mirirng) dan segitiga ABC seperti gambar berikut. Oleh karena itu rasio atau perbandingan antara sisi-sisi pada segitiga tersebut harus sama, yaitu: Dapat di tulis sebagai berikut Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c. Artinya, a=c. Maka konstanta = c2 = a2 Sehingga Kelompok 1 Geometri terbukti
  13. 13. 9. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Menggunakan Segitiga Sembarang oleh Thabit Ibn Qurra Pertama gambar segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c. ∠ ACB = 900. AB = c, AC = b, dan BC = a. Buat titik D dan C memotong AB sehingga AD = AE = b. Kemudian buat lingkaran yang dengan titik pusat A, jari-jari b dan lingkaran menyinggung titik C. Karena diameter lingkaran adalah DE (sisi miring segitiga siku-siku) dan sudut siku-siku menyinggung lingkaran maka ∠DCE = 900. Sehingga ∠BCD = ∠ACE. Karena segitiga ACE segitiga sama kaki maka ∠ACE = ∠AEC. Kelompok 1 Geometri
  14. 14. Segitiga DBC dan BEC memiliki sudut yang sama di ∠CEB. Sebelumnya juga diketahui bahwa ∠BCD = ∠ACE sehingga segitiga DBC dan BEC adalah sebangun. Oleh karena it, diperoleh perbandingan: terbukti 10. Pembuktian dari Pappus Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi. Buat Sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajaran genjang CADE (di sisi CA) dan sebarang jajaran genjang CBFG (di sisi BC). Kemudian Perpanjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian Lukis Al dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC. Kelompok 1 Geometri
  15. 15. Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C) serta jajaran genajng di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar. Makan akan terbukti bahwa luas CADE + Luas CBFG = Luas ABML b2 + a2 = c2 terbukti 11. Pembuktian dari Leonardo Da Vinci Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHJ kongruen dengan ABC. Maka segiempat ABHJ, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen. Kelompok 1 Geometri
  16. 16. 12. Bukti dari Sekolah Pythagoras Bukti dari sekolah phytagoras tersaji pada diagram di bawah. 13. Bukti Menggunakan Transformasi Misal Segitiga ABC siku-siku di C. Putar segitiga ABC sebesar 900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi di titik C. Segitiga A1B1C1 berhimpit dengan segitiga ABC. Kelompok 1 Geometri
  17. 17. 14. Bukti dengan “Putaran” Perhatikan gamb ar perputan di bawah Kelompok 1 Geometri
  18. 18. 15. Pembuktian dengan Dasar Perbandingan Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. Lalu bentuk dua segitiga dengan ABC seperti pada gambar pada segitigasegitiga sebangun, dari konstruksi gambar di atas jelas terlihat bahwa c2 = a2 + b2 . Terbukti 16. Pembuktian dengan Jajaran Genjang Kelompok 1 Geometri
  19. 19. 17. Pembuktian 17 dengan Kontruksi 18. Pembuktian 18 Konstruksi Kelompok 1 Geometri
  20. 20. 19. Pembuktian John Kawamura Pembuktian ini dilakukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis, guru geometri nya di Head-Rouce School, Oakland, CA Kelompok 1 Geometri
  21. 21. Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama dengan c ² / 2. Sehingga c²/2 = Luas (ABCD) = Luas (BCD) + Luas (ABD) = a·a/2 + b·b/2 2 c = a2 + b2 terbukti 20. Pembuktian Tao Tong Biarkan ABC dan segitiga BED menjadi hak yang sama, dengan E pada AB. Kami akan mengevaluasi daerah ΔABD dalam dua cara: Luas(ΔABD) = BD·AF/2 = DE·AB/2. Menggunakan notasi seperti yang ditunjukkan dalam diagram kita mendapatkan c Kelompok 1 Geometri
  22. 22. (c - x) / 2 = b · b / 2. x = CF dapat ditemukan dengan mencatat kesamaan (BD AC) segitiga BFC dan ABC: x = a²/c. Kedua formula dengan mudah b Daftar Pustaka Bogomolny, A. 2013. Pythagorean Theorem and its many proofs : from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml, diakses 10 Oktober 2013 Head, Angel. 2013. Pythagorean Theorem. http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/emt668.student.folders/HeadAngela/ess ay1/Pythagorean.html diakses 11 Oktober 2013 Kristanto, Y. 2013. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Luas Segitiga Sama Sisi. http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/04/membuktikan-teoremapythagoras-dengan-menggunakan-luas-segitiga-sama-sisi/ diakses 11 Oktober 2013 Wikipedia. 2013. Pythagorean Theorem. http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem diakses 10 Oktober 2013 Kelompok 1 Geometri

×