Referat aspiranta
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Referat aspiranta

on

  • 476 views

ВІДГУК ...

ВІДГУК

на оглядовий реферат аспіранта
Інституту Теоретичної Фізики ім. Боголюбова
Халченкова Олександра Вікторовича

Рецензований реферат відповідає науковій спеціальності
01.04.02 –теоретична фізика

В рефераті висвітленні базові принципи простору Фока-Баргмання та метод побудови термодинамічних функцій з використанням особливостей цього простору. Розглянуті питання і матеріали є актуальними і будуть використані у подальшій науково-дослідній роботі аспіранта.
Реферат виконано на належному науковому рівні. Його автор заслуговує на позитивну оцінку.

Рецензент:
Доктор фіз.-мат. наук,
Професор Філіппов Г.Ф.

Statistics

Views

Total Views
476
Views on SlideShare
476
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
1
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Referat aspiranta Referat aspiranta Document Transcript

  • Çìiñò 1 Âñòóï 2 2 Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàííà 3 2.1 Îñíîâíi âèçíà÷åííÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Îäíîìiðíèé îñöèëÿòîð. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Ìàòðèöÿ ùiëüíîñòi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Òðèâèìiðíèé âèïàäîê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Iäåàëüíèé ãàç. 7 3.1 Çíàõîäæåííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè äëÿ iäåàëüíîãî ãàçó ç Ôåðìi- ÷àñòèíîê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Íåâçà¹ìîäiþ÷i ÷àñòèíêè â ïîòåíöiéíîìó ïîëi îñöèëÿòîðà 12 4.1 Ïîáóäîâà òåðìîäèíàìiêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Ïðîñòi ïðèêëàäè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Âèñíîâîê 19 1
  • 1 Âñòóï Êâàíòîâà ñòàòèñòè÷íà ôiçèêà - öå îäèí ç îñíîâíèõ ðîçäiëiâ òåîðåòè÷íî¨ ôiçèêè.  äàíûé ìîìåíò iñíó¹ áåçëi÷ ñïîñîáiâ âèâ÷åííÿ íàâêîëèøíüîãî ñâiòó ç âèêîðèñòàííÿì ñòàòèñòè÷íèõ ìåòîäiâ i êâàíòîâèõ âëàñòèâîñòåé ðå÷îâèíè. Àëå, ÿê ïðàâèëî, âñi âîíè çâîäÿòüñÿ äî ðîçïîäiëiâ Áîçå- Ýéíøòåéíà, àáî Ôåðìi-Äiðàêà. Òðàäèöiéíèé øëÿõ äîçâîëÿ¹ âiäïîâiñòè íà áàãàòî ïèòàíü, àëå íå íà óñi. Îñêiëüêè âèêîðèñòîâó¹òüñÿ âåëèêèé êàíîíi÷íèé àíñàìáëü íå âiäîìî ÿê çàëåæàòü âëàñòèâîñòi ñèñòåìè âiä êiëüêîñòi ÷àñòèíîê. Âèíèê๠ïèòàííÿ: ñêiëüêè ÷àñòèíîê ïîòðiáíî äëÿ ïîáóäîâè òåðìîäèíàìiêè? Äåñÿòü, äâàäöÿòü, àáî ÷èñëî Àâîãàäðî... Ó ÿäåðíié ôiçèöi ÷àñòî âèêîðèñòîâó¹òüñÿ âèíÿòêîâî òåðìîäèíàìi÷íå ïîíÿòòÿ - òåìïåðàòóðà. Àëå ìè çíà¹ìî, êiëüêiñòü ÷àñòèíîê ó ÿäðàõ ñòðîãî ôiêñîâàíà i ñóòò¹âî ìåíøå íåñêií÷åííîñòi, íàâiòü ÷èñëà Àâîãàäðî. Ñó÷àñíà êâàíòîâà ôiçèêà íå ìîæå îáiéòèñÿ áåç òàêîãî ïîíÿòòÿ, ÿê ñïií. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäië Ôåðìi-Äiðàêà ìîæåìî âðàõóâàòè ñïií, àëå ñêëàäíî ââåñòè ïîâíèé ñïií ñèñòåìè ÿê íîâó íåçàëåæíó çìiííó. Àëå æ âiäîìî, iñíóþòü ñèñòåìè ç íóëüîâèì ïîâíèì ñïiíîì, ìîæíà ñòâîðèòè óìîâè ïðè ÿêèõ ðiçíi íàïðÿìêè ñïiíà áóäóòü íå ðiâíîéìîâiðíèìè. Âèâ÷àòè öi ñèñòåìè ñòàíäàðòíèìè ìåòîäàìè íå ïðîñòî. Ùîá âiäïîâiñòè íà ïîñòàâëåíi ïèòàííÿ ìè ñïðîáóâàëè ïîáóäóâàòè êâàíòîâó ñòàòèñòèêó çîâñiì íîâèì ñïîñîáîì. Ìè âèêîðèñòîâó¹ìî êàíîíi÷íèé àíñàìáëü, i âèçíà÷åíó ó ôàçîâîìó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà 2
  • àíòèñèìåòðè÷íó âiäíîñíî ïåðåñòàíîâêè ôåðìiîíiâ õâèëüîâó ôóíêöiþ. Íîâèé ïiäõiä ìè ïåðåâiðèìî íà ñàìié âàæëèâié, i íàéïðîñòiøié çàäà÷i - ñèñòåìi ôåðìiîíiâ â ïîëi îñöèëÿòîðíîãî ïîòåíöiàëó. Öÿ çàäà÷à ðîçãëÿäà¹òüñÿ â óñiõ ïiäðó÷íèêàõ ïî ñòàòèñòè÷íié ôiçèöi, òîìó ìîæíà áóäå ïîðiâíÿòè ðåçóëüòàòè é îöiíèòè íà ñêiëüêè íàø ïiäõiä çàñëóãîâó¹ óâàãó . 2 Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàííà 2.1 Îñíîâíi âèçíà÷åííÿ. Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàííà - öå ïðîñòið öiëèõ ôóíêöié. Íåõàé ìè ìà¹ìî îäíîìiðíó õâèëüîâó ôóíêöiþ ψ(x) äèñêðåòíîãî àáî íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà. Òîäi ¨¨ îáðàç φ(R) ó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê iíòåãðàëüíå ïåðåòâîðåííÿ ç ÿäðîì x2 √ R2 Φ(R, x) = π −1/4 exp − + 2Rx − . (1) 2 2 Îñòàíí¹ ÿâëÿ¹ ñîáîþ äîáðå âiäîìó îðáiòàëü Áëîõà-Áðiíêà. Òàêèì ÷èíîì, ∞ φ(R) = Φ(R, x)ψ(x)dx. (2) −∞ Íåçàëåæíà çìiííà R îáðàçó φ(R) ïðèéì๠âñi ìîæëèâi êîìïëåêñíi çíà÷åííÿ, ùî âiäïîâiäàþòü òî÷êàì êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè, à φ(R) - öiëà ôóíêöiÿ (àíàëiòè÷íà óñþäè â êîìïëåêñíié ïëîùèíi çà âèíÿòêîì íåñêií÷åííî äàëåêî¨ òî÷êè). Íåçàëåæíèìè çìiííèìè äëÿ öüîãî ïðîñòîðó ñëóæàòü óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè é iìïóëüñè ξi i ηi . Àëå, ÿê ïðàâèëî, çðó÷íiøå âèêîðèñòîâóâàòè êîìáiíîâàíi çìiííi ξ + iη ξ − iη R= √ , S= √ 2 2 3
  • Ìè áà÷èìî, ùî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ Φ(R, x) ¹ ôàçîâà ïëîùèíà: −∞ < ξ, η < ∞. Îðáiòàëü Áëîõà-Áðiíêà (1) çàäîâiëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ xΦ(R, x) = xΦ(R, x), ˆ (3) äå x - îïåðàòîð êîîðäèíàòè, ùî ó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà ì๠òàêèé ˆ âèãëÿä: 1 ∂ x = √ (R + ˆ ), (4) 2 ∂R à x - âëàñíå çíà÷åííÿ öüîãî îïåðàòîðà. Çâè÷àéíî, −∞ < x < ∞, òîìó îðáiòàëi (1) íàëåæàòü íåïåðåðâíîìó ñïåêòðó âëàñíèõ çíà÷åíü x. Âîíè îðòîíîðìîâàíi ç ìiðîþ Áàðãìàííà exp{−RR∗ }. ∞ ∞ dξdη Φ(R∗ , )Φ(R, x) exp{−RR∗ } = δ(x − x ). (5) −∞ −∞ 2π Íàñòóïíèé ïðèêëàä îïåðàòîð iìïóëüñó. ˆ −i ∂ k = √ (R − ). (6) 2 ∂R Ðîçâ'ÿçàâøè ðiâíÿííÿ ˆ kΦ(R, k) = kΦ(R, k); (7) çíàéäåìî âëàñíi ôóíêöi¨ îïåðàòîðà iìïóëüñó. k2 √ R2 Φ(R, k) = π −1/4 exp − − i 2Rk + . (8) 2 2 4
  • Äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâå ñïiââiäíîøåííÿ dξdη Φ(R∗ , k)Φ(R, k ) exp{−RR∗ } = δ(k − k ), (9) 2π Ìîæåìî çðîáèòè âàæëèâèé âèñíîâîê: õâèëüîâi ôóíêöi¨ â ïðîñòîði Ôîêà- Áàðãìàíà îðòîíîðìîâàíi ç ìiðîþ Áàðãìàíà exp{−RR∗ }.  öüîìó ðîçäiëi, äëÿ ñïðîùåííÿ ðîçðàõóíêiâ, ìè ââàæàëè, ùî ïîñòiéíà Ïëàíêà , ìàñà ÷àñòèíêè m i îñöèëÿòîðíà äîâæèíà r0 ðiâíi îäèíèöi.  òèõ âèïàäêàõ, êîëè íå ãóáèòüñÿ ôiçè÷íèé çìiñò, ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ áåçðîçìiðíèìè çìiííèìè i ââàæàòèìåìî ñòàëi ðiâíèìè îäèíèöi. 2.2 Îäíîìiðíèé îñöèëÿòîð. ßê ïðèêëàä ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî îäíîìiðíèé îñöèëÿòîð. Ó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà ãàìiëüòîíiàí ì๠âèãëÿä: ˆ ∂ 1 Hosc = R + . (10) ∂R 2 Îðòîíîðìîâàíi ç ìiðîþ Áàðãìàííà âëàñíi ôóíêöi¨ Φn (R) ãàìiëüòîíiàíà (10), ùî ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ðiâíÿííÿ ˆ Hosc Φn (R) = En Φn (R); ìàþòü òàêèé âèãëÿä 1 Φn (R) = √ Rn , (11) n! äå n - öiëå ÷èñëî (öå âèïëèâ๠ç âèçíà÷åííÿ ïðîñòîðó Ôîêà-Áàðãìàíà). Òîäi åíåðãiÿ â ñòàíi ç n êâàíòàìè çáóäæåííÿ 1 En = n + . (12) 2 5
  • ßê áà÷èìî ìè îäåðæàëè âiäîìèé ðîçâ'ÿçîê  ïðàâèëüíèé åíåðãåòè÷íèé ñïåêòð. Óìîâà íîðìóâàííÿ dξdη Φn (R∗ )Φn (R) exp{−RR∗ } = δn,n ; 2π 2.3 Ìàòðèöÿ ùiëüíîñòi. ˆ ˆ ˆ Ìè ìà¹ìî òðè ïîâíi íàáîðè áàçèñíèõ ôóíêöié - äëÿ îïåðàòîðiâ x, k i Hosc , ìè ìîæåìî ïåðåêîíàòèñÿ â ñïðàâåäëèâîñòi íàñòóïíèõ òîòîæíîñòåé: ∞ ∞ Φ(R∗ , x)Φ(R, x)dx = Φ(R∗ , k)Φ(R, k)dk = −∞ −∞ ∞ = Φn (R∗ )Φn (R) = exp{RR∗ }. (13) n=0 Ôiçè÷íèé çìiñò ¨õ ïðîñòèé. Åêñïîíåíòà exp{RR∗ } ¹ ìàòðèöåþ ùiëüíîñòi, ùî ì๠äiàãîíàëüíèé âèãëÿä ó êîæíîìó ç òðüîõ ïðåäñòàâëåíü - ó ïðåäñòàâëåííi õâèëüîâèõ ôóíêöié ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, ó ïðåäñòàâëåííi ïëîñêèõ õâèëü i â ïðåäñòàâëåííi âëàñíèõ ôóíêöié îïåðàòîðà êîîðäèíàòè. Ìè ìîãëè á ðîçãëÿíóòè áiëüø ñêëàäíèé ãàìiëüòîíiàí i çíàéòè éîãî âëàñíi ôóíêöi¨ â ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà. Àëå i òîäi îäåðæàëè á äiàãîíàëüíèé ðîçêëàä ìàòðèöi ùiëüíîñòi ïî öèõ âëàñíèõ ôóíêöiÿõ. Íàäàëi, ìè ÷àñòî áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè òîé ôàêò, ùî ìàòðèöÿ ùiëüíîñòi ìiñòèòü ïîâíèé áàçèñ õâèëüîâèõ ôóíêöié. 6
  • 2.4 Òðèâèìiðíèé âèïàäîê. Ðàçãëÿíåìî ïîïåðåäíi çàäà÷i â òðèâèìiðíîìó âèïàäêó. Òîäi R - òðèâèìiðíèé êîìïëåêñíèé âåêòîð. Îïåðàòîð êîîðäèíàòè: 1 ˆ = √ (R + r R ); 2 à ðiøåííÿìè ðiâíÿííÿ ˆ(R)Φ(R, r) = rΦ(R, r); r ¹ òðèâèìiðíà îðáiòàëü Áëîõà-Áðiíêà: r2 √ R2 Φ(R, r) = π −3/4 exp{− + 2(Rr) − }; 2 2 Àíàëîãi÷íî ìîæåìî ïåðåéòè äî òðèâèìiðíîãî îïåðàòîðà iìïóëüñó, i äî òðèâèìiðíîãî îñöèëÿòîðà. 3 Iäåàëüíèé ãàç. Ïîêàæåìî îñíîâíi åòàïè ïîáóäîâè ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè íà ïðèêëàäi ñèñòåìè âiëüíèõ ÷àñòèíîê. ßêùî â íàñ ¹ N ÷àñòèíîê, òî õâèëüîâà ôóíêöiÿ ñèñòåìè, öå äîáóòîê îäíî÷àñòèíêîâèõ õâèëüîâèõ ôóíêöié. Äëÿ áîçîíiâ, öåé äîáóòîê ïîòðiáíî ñèìåòðèçóâàòè, à äëÿ ôåðìiîíiâ àíòèñèìåòðèçóâàòè.  öié ðîáîòi íàñ öiêàâèòü ôåðìi-ñòàòèñòèêà. Õâèëüîâà ôóíêöiÿ ôåðìi-ñèñòåìè ì๠âèãëÿä äåòåðìiíàíòà Ñëåéòåðà. Ó âèïàäêó âiëüíèõ ÷àñòèíîê: 1 Ψ = √ Det{Φ(Ri , kj )}; (14) N! √ Ìíîæíèê 1/ N ! ç'ÿâëÿ¹òüñÿ â ðåçóëüòàòi íîðìóâàííÿ. 7
  • Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè Z íåîáõiäíî ïiäñóìóâàòè (àáî ïðîiíòåãðóâàòè ó âèïàäêó íåïåðâíîãî ñïåêòðà) ïî âñiõ êâàíòîâèõ ÷èñëàõ k. Âèçíà÷èìî ñòàòèñòè÷íó ñóìó â ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàíà â òàêîìó âèãëÿäi: N ˆ dN ξ dN η Z= exp{− (R∗ Rj )}Ψ∗ j exp{−β H}Ψ dk1 dk2 ...dkN ; j=1 (2π)3N Ó öüîìó âèðàçi îïåðàòîð Ãàìiëüòîíà íå äi¹ íà íåçàëåæíó çìiííó S = R∗ . òîìó ìè ìîæåìî çìiíèòè ïîðÿäîê iíòåãðóâàííÿ. N N N Z= exp{− ˆ d ξd η (R∗ Rj )} exp{−β H} Ψ∗ Ψdk1 dk2 ...dkN ; j j=1 (2π)3N Îñòàííié iíòåãðàë (iíòåãðàë ïåðåêðèòòÿ) âiäïîâiäíî äî òåîðåìè Âiêà i ôîðìóëè (14) äîðiâíþ¹: 1 ... Ψ∗ Ψdk1 dk2 ...dkN = Det{exp(R∗ Rl )}, i N! Ïiäñòàâèâøè öåé âèðàç â ïîïåðåäíié, îäåðæèìî ôîðìóëó, çà äîïîìîãîþ ÿêî¨ ìè áóäåìî øóêàòè ñòàòèñòè÷íó ñóìó. N 1 ˆ dN ξ dN η Z= exp{− (R∗ Rj )} exp{−β H}Det{exp(R∗ Rl )} j i (15) N! j=1 (2π)3N 3.1 Çíàõîäæåííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè äëÿ iäåàëüíîãî ãàçó ç Ôåðìi-÷àñòèíîê. ßê âiäîìî, ïðè äîñëiäæåííi iäåàëüíîãî ãàçó ìè âèêîðèñòîâó¹ìî òàêi âåëè÷èíè: m - ìàñà ÷àñòèíîê, V - îá'¹ì ñèñòåìè, N - êiëüêiñòü ÷àñòèíîê, 8
  • à òàêîæ ôóíäàìåíòàëüíi ñòàëi. Ñòàòèñòè÷íà ñóìà âåëè÷èíà áåçðîçìiðíà. Òîìó íåîáõiäíî çíàéòè áåçðîçìiðíó êîìáiíàöiþ ç âiäîìèõ ïàðàìåòðiâ (m, N, V, T ). Íàéïðîñòiøà êîìáiíàöiÿ: 3 N 2π 2 2 y= ; V mT ˆ¨ ìè âiçüìåìî çà çìiííó âiä ÿêî¨ ïîâèííà çàëåæàòè ñòàòèñòè÷íà ñóìà. Áóäåìî øóêàòè ¨¨ â òàêîìó âèãëÿäi: Z = Z(N, y); Äëÿ ñïðîùåííÿ çàïèñó ââàæà¹ìî, ùî m i äîðiâíþþòü îäèíèöi. Òîäi 3 N 2π 2 y= ; V T Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê - ñïií óñiõ ÷àñòèíîê ñïðÿìîâàíèé îäíàêîâî (íåì๠íåîáõiäíîñòi âðàõîâóâàòè ñïiíîâi ôóíêöi¨). Äåòåðìiíàíò ó ôîðìóëi (15) ñêëàäà¹òüñÿ ç N ! äîäàíêiâ. Àëå, òîìó ùî ÷àñòèíêè òîòîæíi, íåì๠íåîáõiäíîñòi âðàõîâóâàòè êîæåí äîäàíîê îêðåìî. Ïîòðiáíî çíàòè ñêiëüêè äîäàíêiâ ç ïåâíèì òèïîì ïåðåñòàíîâêè. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ïåðøèé äîäàíîê - äîáóòîê äiàãîíàëüíèõ åëåìåíòiâ äåòåðìiíàíòà (ïåðåñòàíîâîê íåìà¹). Ç îãëÿäó íà òîòîæíiñòü ÷àñòèíîê, îäåðæèìî: N ∗ ˆ dξ dη ∗ exp{−RR } exp{−β H} exp{RR } ; (16) (2π)3 ˆ ˆ äå H = k 2 /2. Çíàþ÷è ÿâíèé âèãëÿä ìàòðèöi ùiëüíîñòi îäåðæèìî: ˆ k2 exp{−β } exp{RR∗ } = 2 9
  • ˆ k2 √ R2 + R∗2 −3/2 2 ∗ π exp − β − k − i 2(R − R , k) + dk 2 2 Ïiäñòàâèìî â (16) i ïðîiíòåãðó¹ìî ïî çìiííié ôàçîâîãî ïðîñòîðó. 1 √ R2 + R∗2 dξ dη exp −k2 − i 2(R − R∗ , k) + exp{−RR∗ } = π 3/2 2 (2π)3 1 ˜ η dξ d˜ V exp{−(k − η )2 ˜ = ; π 3/2 (2π)3 (2π)3 äå V - õàðàêòåðèçó¹ ëiíiéíi ðîçìiðè ñèñòåìè. Çàëèøèëîñÿ ïðîiíòåãðóâàòè ïî k : V ˆ k2 1 3/2 T 3/2 exp{−β }dk = V =V (2π)3 2 2πβ 2π Ïîâåðòàþ÷èñü äî ðîçìiðíèõ âåëè÷èí, i çãàäàâøè ïðî íîðìóþ÷èé ìíîæíèê, îäåðæèìî ñòàòèñòè÷íó ñóìó. Ó ïåðøîìó íàáëèæåííi âîíà âèãëÿäà¹: 1 N mT 3 1 N N Z≈ V 2 N/2 = N! 2π N! y ˆ2 ˆ2 ki + kj exp −β exp{R∗ Rj + R∗ Ri } = i j 2 1 R2 + R2 + R∗2 + R∗2 i j i j dki dkj exp × π3 2 β √ √ × exp − ˆi ˆj + 1 (k2 + k2 ) − i 2(Rj − R∗ , ki ) − i 2(Ri − R∗ , kj ) . i j 2 Ïðîiíòåãðóâàâøè ïî ôàçîâèì çìiííèì âåêòîðiâ Ri , Rj , à òàêîæ ïî òðèâèìiðíîìó ïðîñòîði âåêòîðiâ ki , kj îäåðæèìî N (17) 23/2 y. 10
  • Ùîá îäåðæàòè äðóãèé äîäàíîê ïîòðiáíî (17) äîìíîæèòè íà ìíîæíèêè áåç ïåðåñòàíîâîê. Íîâå çíà÷åííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè: N N −1 1 N N (N − 1) N Z= − + ... N! y 25/2 y Iíøi äîäàíêè ìîæíà îäåðæàòè ïîäiáíèì ÷èíîì. Êëàñèôiêàöiÿ iíøèõ äîäàíêiâ äàíà â [2]. Òàêîæ òàì çàçíà÷åíà êiëüêiñòü ïåðåñòàíîâîê êîæíîãî òèïó. Ç ïîïåðåäíiõ ðîçðàõóíêiâ áà÷èìî: ó ðåçóëüòàòi iíòåãðóâàííÿ ìíîæíèêà ùî âiäïîâiä๠ïåðåñòàíîâöi N ÷àñòèíîê, îäåðæèìî: N n3/2 y Çàïèøåìî îñòàòî÷íèé âèðàç äëÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè. N 1 N (N − 1) (N − 1)(N − 2) N − 3 1 Z= 1− 5/2 y+ 5/2 + 5/2 y 2 − N! y 2 N 2!4 3 (N − 1)(N − 2)(N − 3) (N − 4)(N − 5) N −4 1 − 2 5/2 + 5/2 5/2 + 5/2 y 3 + N 3!8 2 3 4 N! +... + (−1)N N −2 (N − 1−3/2 + (2N − 4)−3/2 + ... y N −2 + N (N − 1)! N −1 +(−1)N −1 √ y . (18) N N −1 N Ìè îäåðæàëè ñòàòèñòè÷íó ñóìó (18) ÿê ôóíêöiþ ÷èñëà ÷àñòèíîê N , i áåçðîçìiðíî¨ âåëè÷èíè y , ùî çàëåæèòü âiä âèáîðó ÷àñòèíîê i âiä ¨õíüî¨ êiëüêîñòi. Êîæåí äîäàíîê âiäïîâiä๠âèçíà÷åíîìó òèïó ïåðåñòàíîâêè, ñõåìi Þíãà. Äîêëàäíî ïðî öå â [2] Çíàþ÷è ñòàòèñòè÷íó ñóìó ìè ìîæåìî ïîáóäóâàòè òåðìîäèíàìiêó: çíàéòè çàëåæíiñòü åíåðãi¨ âiä òåìïåðàòóðè, ðiâíÿííÿ ñòàíó, ... Äîêëàäíî ïðî ïîáóäîâó òåðìîäèíàìiêè äëÿ iäåàëüíîãî ãàçó îïèñàíî â [3]. 11
  • 4 Íåâçà¹ìîäiþ÷i ÷àñòèíêè â ïîòåíöiéíîìó ïîëi îñöèëÿòîðà Ãàìiëüòîíiàí i õâèëüîâi ôóíêöi¨ öi¹¨ çàäà÷i âêàçóâàëèñÿ â ïîïåðåäíiõ ðîçäiëàõ. Ïîáóäîâà ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè âèêîíó¹òüñÿ òàê ñàìî, ÿê i äëÿ ïîïåðåäíüî¨ çàäà÷i. ™äèíà iñòîòíà âiäìiííiñòü - ñïåêòð îñöèëÿòîðà äèñêðåòíèé, òîìó çàìiñòü iíòåãðóâàííÿ áóäå ïiäñóìîâóâàííÿ. ßê i ðàíiø ñòàòèñòè÷íó ñóìó çíàõîäèìî çà äîïîìîãîþ âèðàçó (15) Ìè íå áóäåìî ïîâòîðþâàòè ïîïåðåäíi ðîçðàõóíêè, à âiäðàçó âêàæåìî çíà÷åííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè. Ó çàãàëüíîìó âèãëÿäi ¨¨ ìîæåìî ïðåäñòàâèòè, ÿê 1 z −3N Z= 2 sinh exp N f (z), (19) N! 2 äå ôóíêöiÿ f (z) âiäiãð๠êëþ÷îâó ðîëü ó âñiõ íàñòóïíèõ ðîçðàõóíêàõ. ˆ¨ âèãëÿä çàëåæèòü âiä âèáîðó ñèñòåìè, à òàêîæ âiä áåçðîçìiðíî¨ çìiííî¨, 2 2 ω x z= = = 1/3 , x = T ma2 T N 1/3 N ma2 T îáåðíåíî ïðîïîðöiéíié òåìïåðàòóði i ïèòîìîìó îá'¹ìó v ó ñòóïåíi 2/3. Iíîäi çðó÷íiøå àíàëiçóâàòè ðåçóëüòàòè çíàþ÷è, ùî ω z= . T Äîðå÷íî âiäðàçó æ çâåðíóòè óâàãó íà òå, ùî ìàëèì çíà÷åííÿì x âiäïîâiä๠îáëàñòü êëàñè÷íî¨ ñòàòèñòèêè i êâàíòîâèõ ïîïðàâîê äî íå¨, à âåëèêèì çíà÷åííÿì x (x > 5) - êâàíòîâà ñòàòèñòèêà. Ïåðåõiä äî ìåæi êâàíòîâî¨ ñòàòèñòèêè ìîæëèâî çäiéñíèòè àáî çìåíøóþ÷è òåìïåðàòóðó ïðè 12
  • çàäàíîìó ïèòîìîìó îá'¹ìi àáî çìåíøóþ÷è ïèòîìèé îá'¹ì ïðè çàäàíié òåìïåðàòóði. ßêùî, íàïðèêëàä äëÿ åëåêòðîíiâ, êâàíòîâà ñòàòèñòèêà âiäïîâiä๠òåìïåðàòóði ïîðÿäêó îäíîãî êåëüâiíà, òî äëÿ àòîìiâ 3 He, ìàñà ÿêèõ íà òðè ïîðÿäêè áiëüøå, âîíà âèìàã๠çíèæåííÿ òåìïåðàòóðè äî ìiëiêåëüâiíà ïðè çáåðåæåííi ïèòîìîãî îá'¹ìó àáî æ âiäïîâiäíîãî çìåíøåííÿ ïèòîìîãî îá'¹ìó. Çðîçóìiëî, ôóíêöiÿ f (z) çàëåæèòü âiä ÷èñëà ÷àñòèíîê N. Ùîá óÿâèòè ñîái õàðàêòåð öi¹¨ ôóíêöi¨, çàïèøåìî ¨¨ äëÿ N Ôåðìi ÷àñòèíîê ó âèãëÿäi 3 1 N (N − 1) 22 sinh2 z/2 f (z) = ln 1 − + ...+ N 2 2 sinh 2z/2 3 n 2N sinhN z/2 +(−1) (N − 1)! . (20) 2 sinh N z/2 Ïåðøi äîäàíêè ðÿäó ïiä çíàêîì ëîãàðèôìó âiäïîâiäàëüíi çà êâàíòîâi âèïðàâëåííÿ, îñòàííi äîäàíêè ¹ ãîëîâíèìè â àñèìïòîòè÷íié êâàíòîâié îáëàñòi, äå ìàëà òåìïåðàòóðà àáî ìàëèé ïèòîìèé îá'¹ì. 4.1 Ïîáóäîâà òåðìîäèíàìiêè Çíàþ÷è ñòàòèñòè÷íó ñóìó (19) ìîæåìî çíàéòè âiëüíó åíåðãiþ: 1 z −3N F = −T ln Z = −T ln 2 sinh − N! 2 N (N − 1) z −T ln 1 − tanh3 ... = 2 2 z N (N − 1) z = T ln N ! + 3N T ln 2 sinh − T ln 1 − tanh3 + ... = 2 2 2 13
  • z = T ln N ! + 3N T ln 2 sinh − N T fN (z); (21) 2 Çíàéäåìî iíøi òåðìîäèíàìi÷íi âåëè÷èíè. Òèñê, ∂F 2N T z z z d P =− = coth − fN (z) . (22) ∂V V 2 2 3 dz Åíòðîïiÿ, ∂F z S=− = − ln N ! − 3N ln 2 sinh + N fn (z)+ ∂T 2 d z d +3N z ln 2 sinh − N z fN (z) (23) dz 2 dz Åíåðãiÿ, ∂F z z 1 d E = F + TS = F − T = 3N T coth − · z fN (z) . (24) ∂T 2 2 3 dz Õiìi÷íèé ïîòåíöiàë E − TS + PV µ= = N T z = ln N ! + 3T ln 2 sinh − T fN (z)+ N 2 z z 1 d +2T coth − · z fN (z) . (25) 2 2 3 dz Íàðåøòi òåïëî¹ìíiñòü ∂E CV = = ∂T V 1 1 1 d2 = 3N z 2 + fN (z) (26) 4 sinh2 z 2 3 dz 2 14
  • 4.2 Ïðîñòi ïðèêëàäè Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìè, ùî ñêëàäàþòüñÿ ç âèçíà÷åíîãî ÷èñëà ÷àñòèíîê, íåõàé N = 2, òîäi 1 z f2 (x) = ln 1 − tanh3 . (27) 2 2 Ùîá îöiíèòè öþ ôîðìóëó ðîçãëÿíåìî àñèìïòîòè÷íèé ðåæèì: T → 0, âiäïîâiäíî z → ∞. Ðîçêëàäåìî ãiïåðáîëi÷íi ôóíêöi¨ â ðÿä ïî exp(−z) i çíàéäåìî åíåðãiþ çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè (24) z 4 + 3 exp(−z) + 7 exp(−2z) + exp(−3z) + exp(−4z) E = 6T · · → 2 3 − 2 exp(−2z) − exp(−4z) 2z 3 6T · 1+ exp(−z) + ... → 4T z; (28) 3 4 Ìè çíà¹ìî, ùî z = ω/T , òîìó ïðè àáñîëþòíîìó íóëi åíåðãiÿ ñèñòåìè äîðiâíþ¹ 4 ω . Òàê i ïîâèííî áóòè: ñïiíè äâîõ ÷àñòèíîê ïàðàëåëüíi i òîìó ¨õíÿ ñóìàðíà åíåðãiÿ 3 5 + ω = 4 ω. 2 2 Çâåðíåìî óâàãó, çà äîïîìîãîþ ïîïåðåäíüî¨ ôîðìóëè, ìè ìîæåìî ëåãêî çíàéòè ïåðøó, äðóãó, i.ò.ä. ïîïðàâêè, òîáòî ëåãêî çíàéòè åíåðãiþ ñèñòåìè â îêîëi àáñîëþòíîãî íóëÿ. Î÷åâèäíî, ùî â ìåæi ìàëèõ òåìïåðàòóð òåïëî¹ìíiñòü ∂E 3 1 CV = = √ 2 exp − √ + ... (29) ∂T V a2 T 3 2 a2 T 3 2 15
  • Ïðè T → ∞, z → 0, âèðàç ïiä ëîãàðèôìîì ïðÿìó¹ äî îäèíèöi, i òîäi E → 6T. Îñêiëüêè åíåðãiÿ êîæíî¨ ÷àñòèíêè â êëàñè÷íié îáëàñòi äîðiâíþ¹ 3T , ìè îäåðæàëè âiðíèé ðåçóëüòàò. ßêùî N = 3, òî 3 1 z (2 sinh z/2)3 f3 (x) = ln 1 − 3 tanh3 + 2 . (30) 3 2 2 sinh 3z/2 ßê i ó âèïàäêó f2 (x), âèðàç ïiä çíàêîì ëîãàðèôìó f3 (x) ïðÿìó¹ äî íóëÿ, ÿêùî z → ∞, ùî âêàçó¹ íà âiðíó ïîâåäiíêó ïðè âåëèêèõ òåìïåðàòóðàõ. Ïðè T → 0, 15 3 5 7 E(T → 0) = ω= + + ω, 2 2 2 2 ìè áà÷èìî ÷àñòèíêè çàéìàþòü íàéíèæ÷i ñòàíè, ùî äîïóñêàþòüñÿ ïðèíöèïîì Ïàóëi. Ïðèâåäåìî ïðèêëàäè ôóíêöié fN (z) äëÿ ðiçíèõ çíà÷åíü N . Ïðè N = 4, 3 1 z (2 sinh z/2)3 f4 (x) = ln 1 − 6 tanh3 + 8 + 4 2 2 sinh 3z/2 3 3 (2 sinh z/2)4 (2 sinh z/2)4 +3 −6 . (31) (2 sinh z)2 2 sinh 4z/2 Ïðè N = 5, 3 1 z (2 sinh z/2)3 f5 (x) = ln 1 − 10 tanh3 + 20 + 5 2 2 sinh 3z/2 16
  • 3 3 (2 sinh z/2)4 (2 sinh z/2)4 +15 − 30 − (2 sinh z)2 2 sinh 4z/2 3 3 3 (2 sinh z/2)3 (2 sinh z/2)2 (2 sinh z/2)5 −20 + 24 . (32) 2 sinh 3z/2 2 sinh 2z/2 2 sinh 5z/2 Íàðåøòi, ÿêùî N = 6, òå 3 1 z (2 sinh z/2)3 f6 (x) = ln 1 − 15 tanh3 + 40 + 6 2 2 sinh 3z/2 3 3 (2 sinh z/2)4 (2 sinh z/2)4 +45 − 90 − (2 sinh z)2 2 sinh 4z/2 3 3 (2 sinh z/2)3 (2 sinh z/2)2 z −120 − 15 tanh9 + (2 sinh 3z/2)2 2 sinh 2z/2 2 3 3 (2 sinh z/2)5 (2 sinh z/2)4 z +144 + 90 tanh3 + 2 sinh 5z/2 2 sinh 4z/2 2 3 3 (2 sinh z/2)6 (2 sinh z/2)6 +40 − 120 . (33) (2 sinh 3z/2)2 2 sinh 6z/2 Âiäçíà÷èìî, ùî êîæíà ç öèõ ôóíêöié ì๠âiðíó ïîâåäiíêó â àñèìïòîòè÷íèõ ðåæèìàõ: ïðè ìàëèõ i âåëèêèõ òåìïåðàòóðàõ. Îòðèìàíi íàìè ðåçóëüòàòè çáiãàþòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè îòðèìàíèìè çà äîïîìîãîþ iíøèõ òåîðié. ßê ìiíiìóì, ïåðøi êâàíòîâi ïîïðàâêè çáiãàþòüñÿ ç òèìè, ùî äàíî â ïiäðó÷íèêó Ëàíäàó [4], i îòðèìàíi çà äîïîìîãîþ âåëèêîãî êàíîíi÷íîãî àíñàìáëþ. Öå äîâîäèòü âiðíiñòü íàøîãî ìåòîäó. Çà äîïîìîãîþ êîìï'þòåðà ìè ìîæåìî çíàéòè ôóíêöi¨ ç äîâiëüíèì çíà÷åííÿì N . Àëå êiëüêiñòü äîäàíêiâ ó íèõ äîðiâíþ¹ êiëüêîñòi ðiçíèõ ïåðåñòàíîâîê ÷àñòèíîê, òîáòî êiëüêiñòü ñõåì Þíãà äëÿ ãðóïè ñêëàäà¹òüñÿ ç N åëåìåíòiâ. 17
  • Íàïðèêëàä äëÿ N = 20 òàêèõ ïåðåñòàíîâîê 627. Öi âèðàçè çàíàäòî ãðîìiçäêi ùîá ïðèâîäèòè ¨õ ó äàíié ðîáîòi, àëå ç íèìè ëåãêî ìîæíà ïðàöþâàòè çà äîïîìîãîþ ñó÷àñíîãî êîìï'þòåðà. Ïîâåäiíêà ñèñòåì ç ðiçíîþ êiëüêiñòþ ÷àñòèíîê, â çàëåæíîñòi âiä âåëè÷èíè ïðîïîðöiéíî¨ äî òåìïåðàòóðè ïîêàçàíà íà ìàë.1 i ìàë.2. ßê áà÷èìî ìè îòðèìàëè ïðàâèëüíó àñèìïòîòèêó ïðè ìàëèõ i âåëèêèõ òåìïåðàòóðàõ. Òîìó ìîæåìî ñìiëèâî ñïîäiâàòèñÿ, ùî íàø ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâèé ïðè áóäü-ÿêèõ òåìïåðàòóðàõ. 18
  • 5 Âèñíîâîê Ìè ðîçãëÿíóëè ìåòîä ïîáóäîâè òåðìîäèíàìiêè ç âèêîðèñòàííÿì îñîáëèâîñòåé ïðîñòîðó Ôîêà-Áàðãìàííà. Îòðèìàëè áåçñóìíiâíî ïðàâèëüíi ðåçóëüòàòè ïðè âåëèêèõ i ìàëèõ òåìïåðàòóðàõ, à òàêîæ íåì๠ïiäñòàâ ñóìíiâàòèñÿ â òî÷íîñòi ðåçóëüòàòiâ ïðè ïðîìiæíèõ òåìïåðàòóðàõ. Ç'ÿâèëàñü ìîæëèâiñòü âèâ÷àòè ïîâåäiíêó ñèñòåì â óìîâàõ, ïðè ÿêèõ ðiçíi íàïðÿìêè ñïiíà íå ðiâíîïðàâíi. Íà âiäìiíó âiä êëàñè÷íîãî ïiäõîäó â íàøèõ ðîçðàõóíêàõ âèêîðèñòîâóâàâñÿ íå âåëèêèé êàíîíi÷íèé, à êàíîíi÷íèé àíñàìáëü. Öå äîçâîëÿ¹ äîñëiäèòè ñèñòåìè, ùî ñêëàäàþòüñÿ ç îáìåæåíî¨ êiëüêîñòi ÷àñòèíîê. Ìè ïîêàçàëè ùî äëÿ ïîáóäîâè òåðìîäèíàìiêè íå îáîâ'ÿçêîâî ïîòðiáíà âåëèêà êiëüêiñòü ÷àñòèíîê. Âñi ôóíêöi¨ ç ÿêèìè ìè ïðàöþâàëè äîñèòü øâèäêî âèõîäÿòü íà ñâîþ òåðìîäèíàìi÷íó ãðàíèöþ. 19
  • Ëiòåðàòóðà [1] Ã.Ô.Ôiëiïïîâ, Ñ.Â.Êîðåííîâ, À.Ì.Ñè÷åâà, Ê.Êàòî Ïðîñòðàíñòâî Ôîêà-Áàðãìàíà è êëàññè÷åñêèå òðà¹êòîðèè 2001 [2] Õàìåðìåø Òåîðiÿ ãðóï (Íàóêà, Ìîñêâà 1985) [3] Õàë÷åíêîâ Îëåêñàíäð Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàíà i êâàíòîâà ñòàòèñòèêà (âèïóñêíà êâàëiôiêàöiéíà ðîáîòà áàêàëàâðà) (Êè¨â 2002). [4] Ëàíäàó, Ëèôøèö Ñòàòèñòè÷íà ôiçèêà, Èçâ. Àêàä. Íàóê ÑÑÑÐ, ñåð. ôèç. 39, 535 (1975). [5] Êåðçîí Õóàíã Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ñòð. 485. [6] Ð. Ôåéíìàí Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ñòð. 276 [7] Äàâûäîâ Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà Ìîñêâà 1981 [8] Ëàíäàó, Ëèôøèö Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Èçâ. Àêàä. Íàóê ÑÑÑÐ, ñåð. ôèç. 39, 535 (1975). beginthebibliography 99 20