2. Definición de función
Una función f es una relación entre dos conjuntos
numéricos A y B, de manera que a cada valor del
conjunto A le hace corresponder un único valor del
segundo, conjunto B.
A
B
f: A→B
2
4
x→f(x)
3
6
2
36
9
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5. Analicemos un ejemplo
Esta curva muestra la audiencia de televisión de un canal
determinado en un día cualquiera, donde la variable
independiente es el tiempo y la variable dependiente son
los televidentes.
a) ¿Cuáles son sus puntos
con más televidentes?
b) ¿En qué momento tuvo
la menor audiencia?
c) ¿En qué intervalos ha
crecido la audiencia?
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6. Dominio y recorrido
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El dominio de la función es el conjunto de valores
que puede tomar la variable independiente x.
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función
de x si y sólo si ninguna recta vertical se interseca
con la curva más de una vez.
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7. Restricciones: del dominio
Restricciones
Las restricciones de dominio se establecen
en los siguientes casos:
Denominador no puede ser nulo
Radicando positivo o nulo, si el índice de raíz
es par
En caso de ser función logaritmo, su
argumento debe ser positivo
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8. Imagen y recorrido
Imagen:
Es el conjunto de valores f(x) que toma la función. La
leemos sobre el eje y
Recorrido:
Es el conjunto de todos los pares (x;f(x)), que
representamos en el plano.
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9. Raíces o puntos de corte con los ejes.
El
eje de abscisas es la recta de
ecuación y=0.
Para hallar los puntos de corte de
una función y=f(x) con el eje de
abscisas, debe ser f(x)=0.
El eje de ordenadas es la recta de
ecuación x=0.
El punto de corte de una función con
el eje de ordenadas, si existe, es
(0,f(0)),
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10. Continuidad. Discontinuidad.
Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar
el lápiz del papel.
Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se
produce una discontinuidad.
En todos los puntos en los que f no está definida se produce una
discontinuidad, un salto de su gráfica.
Se basa en el estudio de los límites.
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11. Asíntotas.
Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de
la función; esto es, la curva correspondiente a la función se acerca
cada vez más a una recta. Pueden ser verticales, horizontales y
oblicuas.
Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales
en aquellos puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).
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12. Paridad o simetrías
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Una función es par si
f(x)=f(-x) para todo x de
su dominio.
Las funciones pares son
simétricas respecto del
eje OY.
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Una función es impar si
f(x)=-f(-x) para todo x de
su dominio.
Las funciones impares
son simétricas respecto
del origen de
coordenadas.
13. Máximos y mínimos relativos.
f(x) tiene un máximo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h)
f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h)
Los máximos y mínimos relativos existen, cuando la función
pasa de ser creciente a decreciente o, a la inversa.
Su presencia se produce
cuando la derivada primera
se anula en algún x0.
Para determinarlo y establecer tipo, se reemplaza
dicho x0 en derivada segúnda.
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14. Crecimiento.
f(x) es
creciente en un intervalo
(X1, X2) cuando lo es para todo x
entre X1 y X2.
En ese intervalo, su derivada es
positiva
f(x) es decreciente en un intervalo
(X1, X2) cuando lo es para todo x de
él.
En ese intervalo, su derivada es
negativa
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15. Punto de inflexión.
Los
puntos de inflexión se producen cuando
una curva pasa de ser cóncava a convexa o
viceversa.
Esto sucede cuando la derivada segunda se
anula en algún x0.
Para determinarlo y establecer tipo, se
reemplaza dicho valor en la derivada tercera.
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