Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza
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Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza

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Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza Presentation Transcript

  • 1. POLITECNICO DI MILANO Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Γ -convergenza Relatore: Prof. Franco Tomarelli Tesi di laurea di: Alfonso Fascì Anno Accademico 2009-2010lunedì 17 gennaio 2011
  • 2. In questo lavoro di tesi: • Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.• Si mostra l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative. • Si costruisce un’approssimazione del problema proposto tramite la minimizzazione di una famiglia di funzionali ellittici, che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori. Tale approssimazione è intesa nel senso della Γ -convergenza.lunedì 17 gennaio 2011
  • 3. Cos’è un’immagine a colori?lunedì 17 gennaio 2011
  • 4. Cos’è un’immagine a colori? 2 Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del pianolunedì 17 gennaio 2011
  • 5. Cos’è un’immagine a colori? 2 Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano • Immagini a colori u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colorilunedì 17 gennaio 2011
  • 6. Cos’è un’immagine a colori? 2 Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano • Immagini a colori u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colori C =???lunedì 17 gennaio 2011
  • 7. Cos’è un’immagine a colori? 2 Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano • Immagini a colori u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colori C =??? (Immagini monocromatiche u : Ω → [0, 1] intensità luminosa )lunedì 17 gennaio 2011
  • 8. Spazi di colori ‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione percettiva della distribuzione di energia fotonica all’interno di uno spettro di riflessione o di emissioni prodotte da un oggetto ’’ S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Spacelunedì 17 gennaio 2011
  • 9. Spazi di colori ‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione percettiva della distribuzione di energia fotonica all’interno di uno spettro di riflessione o di emissioni prodotte da un oggetto ’’ S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Space Storia della colorimetria: • Newton: primo modello di colore. • Thomas Young: ‘‘...la percezione del colore dipende dalla frequenza della radiazione che investe l’occhio e dalla risposta dei sensori presenti nella retina...’’ • Hermann Von Helmholtz 1852: ‘‘ ... radiazioni che generano diversi colori viaggiano senza alcuna azione reciproca e anche se ai nostri occhi appaiono uniti, vengono sempre separati uno dall’altro con mezzi fisici... ’’ • Hermann Gunther Grassmann dimostra (1854) che per ogni colore spettrale esistono altri colori che, se miscelati con il primo nelle giuste proporzioni producono luce bianca. • Maxwell descrive gli spettri di assorbimento dei recettori presenti nella retina.lunedì 17 gennaio 2011
  • 10. Spazi di colori Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?lunedì 17 gennaio 2011
  • 11. Spazi di colori Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale? Teoria del tristimolo • L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L). • I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni elettriche ￿ +∞ ￿ +∞ ￿ +∞ Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ −∞ −∞ −∞ in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento.lunedì 17 gennaio 2011
  • 12. Spazi di colori Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale? Teoria del tristimolo • L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L). • I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni elettriche ￿ +∞ ￿ +∞ ￿ +∞ Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ −∞ −∞ −∞ in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento. ...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalarilunedì 17 gennaio 2011
  • 13. Spazi di colori Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale? Teoria del tristimolo • L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L). • I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni elettriche ￿ +∞ ￿ +∞ ￿ +∞ Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ −∞ −∞ −∞ in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento. ...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari IDEA: esprimere ogni radiazione visibile come somma di tre radiazioni (colori) fondamentali E 1 (λ), E 2 (λ), E 3 (λ) 11 2 2 3 3 I El + I El + I El = Il 1 1 2 2 3 1 I Em + I Em + I E m = Im I 1 Es + I 2 Es + I 3 Es 1 2 3 = Islunedì 17 gennaio 2011
  • 14. Spazi di colori Spazio CIE-XYZ (International Commission on Illumination, 1931) • costruito in seguito ad una campagna sperimentale condotta da W. David Wright and John Guild impiegando come radiazioni fondamentali tre colori primari ‘‘virtuali’’, cioè non rappresentabili in natura. • primo spazio di colore completo, nel senso che rappresenta tutti i colori visibili e assunto come modello di riferimento. Altri spazi: RGB, CMYK,...lunedì 17 gennaio 2011
  • 15. Spazi di colori Spazio RGB • deriva dalla necessità di rappresentare il colore sui monitor. • le radiazioni fondamentali sono visibli il rosso, il verde e il blu. Altri spazi: CMYK, HSV,...lunedì 17 gennaio 2011
  • 16. Distanza percepita OSSERVAZIONE: senza altre precisazioni C è semplicemente 3 un sottoinsieme C ⊂ Rlunedì 17 gennaio 2011
  • 17. Distanza percepita OSSERVAZIONE: senza altre precisazioni C è semplicemente metrica euclidea 3 un sottoinsieme C ⊂ Rlunedì 17 gennaio 2011
  • 18. Distanza percepita OSSERVAZIONE: senza altre precisazioni C è semplicemente metrica euclidea 3 un sottoinsieme C ⊂ Rlunedì 17 gennaio 2011
  • 19. Distanza percepita OSSERVAZIONE: senza altre precisazioni C è semplicemente metrica euclidea 3 un sottoinsieme C ⊂ Rlunedì 17 gennaio 2011
  • 20. Distanza percepita OSSERVAZIONE: senza altre precisazioni C è semplicemente metrica euclidea 3 un sottoinsieme C ⊂ R !!!lunedì 17 gennaio 2011
  • 21. Distanza percepitalunedì 17 gennaio 2011
  • 22. Distanza percepita IDEA: distorcere lo spazio XY Z con una trasformazione biettiva, continua, non lineare 3 3 φ:R →Rlunedì 17 gennaio 2011
  • 23. Distanza percepita IDEA: distorcere lo spazio XY Z con una trasformazione biettiva, continua, non lineare 3 3 φ:R →R e definire la distanza percepita fra due punti (X0 , Y0 , Z0 ) e (X1 , Y1 , Z1 ) come |φ(X1 , Y1 , Z1 ) − φ(X1 , Y1 , Z1 )|lunedì 17 gennaio 2011
  • 24. Distanza percepita: due esempi Esperimento di MacAdam • Un osservatore tenta di riprodurre un colore dato mescolando 3 sorgenti primarie. • A causa della limitata sensibilità dellocchio, il colore ottenuto non è identico al campione. • Si ripete più volte lesperimento, e si misura la dispersione..lunedì 17 gennaio 2011
  • 25. Distanza percepita: due esempi Spazio CIE-Lab (1976) Si definisce una funzione φ : [0, +∞) → [0, +∞) che 3 3 trasforma gli ellissoidi di MacAdam in sferelunedì 17 gennaio 2011
  • 26. Distanza percepita: due esempi Metrica di Stiles Non linearità dell’occhio (legge di Weber): δI δP = I Stiles propone la metrica indotta dalla trasformazione : ψr (r, g, b) = ψr (r) = αr ln(δr + r) ψg (r, g, b) = ψg (g) = αg ln(δg + g) ψb (r, g, b) = ψb (b) = αr ln(δb + b)lunedì 17 gennaio 2011
  • 27. Spazi di colori e varietà Riemanniane Approccio alternativo alle trasformazioni globali:lunedì 17 gennaio 2011
  • 28. Spazi di colori e varietà Riemanniane Approccio alternativo alle trasformazioni globali: • modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3.lunedì 17 gennaio 2011
  • 29. Spazi di colori e varietà Riemanniane Approccio alternativo alle trasformazioni globali: • modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3. • distorsione solo locale.lunedì 17 gennaio 2011
  • 30. Spazi di colori e varietà Riemanniane Approccio alternativo alle trasformazioni globali: • modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3. • distorsione solo locale. Riemann, Helmoltz, Scrhodinger, Stiles , Ashtekar,...lunedì 17 gennaio 2011
  • 31. Una definizione di spazio di colori Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui:lunedì 17 gennaio 2011
  • 32. Una definizione di spazio di colori Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui: • C ⊂ R3 è un insieme chiuso e limitato. • g:R →R 3 3×3 è un campo di matrici che verifica: (1) gij (x) = gji (x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3 (2) gij ∈ C ∞ (R3 ) per ogni i, j = 1, . . . , 3 (3) esistono 0 < m < M < +∞ tali che per ogni x, y ∈ R3 2 2 2 3 m |x| ≤ ￿x, g(y)x￿ ≤ M |x|lunedì 17 gennaio 2011
  • 33. Una definizione di spazio di colori Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui: • C ⊂ R3 è un insieme chiuso e limitato. • g : R3 → R3×3 è un campo di matrici che verifica: (1) gij (x) = gji (x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3 (2) gij ∈ C ∞ (R3 ) per ogni i, j = 1, . . . , 3 (3) esistono 0 < m < M < +∞ tali che per ogni x, y ∈ R3 m2 |x|2 ≤ ￿x, g(y)x￿ ≤ M 2 |x|3 Indicheremo con dg (·, ·) la metrica indotta su C e definita ∀x, y ∈ C come: ￿￿ 1 ￿ dg (w, z) = inf 0 |γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z ˙ } |γ(y)x| = ￿x, g(y)x￿ 2lunedì 17 gennaio 2011
  • 34. Il modello proposto: esistenza di una soluzione debole e proprietà qualitative delle minimizzanti.lunedì 17 gennaio 2011
  • 35. Classificazione di immagini a colori • Processo di partizione di unimmagine in regioni significative ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture).lunedì 17 gennaio 2011
  • 36. Classificazione di immagini a colori • Processo di partizione di unimmagine in regioni significative ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture). • Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.lunedì 17 gennaio 2011
  • 37. Classificazione di immagini a colori • Processo di partizione di unimmagine in regioni significative ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture). • Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.lunedì 17 gennaio 2011
  • 38. Classificazione di immagini a colori La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:lunedì 17 gennaio 2011
  • 39. Classificazione di immagini a colori La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi: • Si fissano un numero finito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in unimmagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione).lunedì 17 gennaio 2011
  • 40. Classificazione di immagini a colori La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi: • Si fissano un numero finito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in unimmagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione). • Si determina una partizione di Ω costituita da un numero finito di porzioni ( ≤ l ) in mdo che ogni porzione Ui sia associata al colore αi.lunedì 17 gennaio 2011
  • 41. Classificazione di immagini a colori La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi: • Si fissano un numero finito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in unimmagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione). • Si determina una partizione di Ω costituita da un numero finito di porzioni ( ≤ l ) in mdo che ogni porzione Ui sia associata al colore αi. Poichè Ui potrebbe avere una frontiera topologica ∂Ui ∩ Ω molto frastagliata si cerca di ottenere bordi ∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω regolari e che soddisfino un principio dinterfaccia minima. Dobbiamo inoltre penalizzare la distanza dal dato z.lunedì 17 gennaio 2011
  • 42. Il modello proposto Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.lunedì 17 gennaio 2011
  • 43. Il modello proposto Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata. Assegnati: • ∞ un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)lunedì 17 gennaio 2011
  • 44. Il modello proposto Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata. Assegnati: • ∞ un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C) • un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ Clunedì 17 gennaio 2011
  • 45. Il modello proposto Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata. Assegnati: • ∞ un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C) • un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C • il parametro positivo β > 0lunedì 17 gennaio 2011
  • 46. Il modello proposto Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata. Assegnati: • ∞ un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C) • un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C • il parametro positivo β > 0 Ci proponiamo di determinare una partizione U = {Ui }i=1,...,l di Ω che minimizzi il funzionalelunedì 17 gennaio 2011
  • 47. Il modello proposto Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata. Assegnati: • ∞ un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C) • un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C • il parametro positivo β > 0 Ci proponiamo di determinare una partizione U = {Ui }i=1,...,l di Ω che minimizzi il funzionale 1 l ￿ ￿￿ l E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx 2 i,j=1 Ui i=1 i￿=jlunedì 17 gennaio 2011
  • 48. Il modello proposto 1 l ￿ ￿￿ l E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx 2 i,j=1 Ui i=1 i￿=jlunedì 17 gennaio 2011
  • 49. Il modello proposto l 1 ￿ dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) 2 i,j=1 i￿=j dg ( b , r ) lunghezza del bordo della Ur partizione pesata con la distanza percepita fra i colori Ub relativi agli elementi della partizione. Uv dg ( b , v ) ￿￿ l dg ( v , r ) β |dg (z(x), αi )|2 dx i=1 Uilunedì 17 gennaio 2011
  • 50. Il modello proposto l 1 ￿ dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) 2 i,j=1 i￿=j ￿￿ l β |dg (z(x), αi )|2 dx fidelity term: energia di area che i=1 Ui misura la distanza percepita dal dato zlunedì 17 gennaio 2011
  • 51. Il modello proposto 1 ￿ l ￿￿ l E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx 2 i,j=1 Ui i=1 i￿=j energia di linea energia di arealunedì 17 gennaio 2011
  • 52. Il modello proposto 1 ￿ l ￿￿ l E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx 2 i,j=1 Ui i=1 i￿=j energia di linea energia di area ... questo problema rientra nella classe dei Problemi con discontinuità libera: minimizzazione di funzionali che contengono energie di volume ed energie di superficie E. De Giorgi. Free discontinuity problems in calculus of variations.lunedì 17 gennaio 2011
  • 53. Formulazione debolelunedì 17 gennaio 2011
  • 54. Formulazione debole Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita ￿ ￿ { U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) < +∞ }lunedì 17 gennaio 2011
  • 55. Formulazione debole Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita ￿ ￿ { U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) < +∞ }lunedì 17 gennaio 2011
  • 56. Formulazione debole Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita ￿ ￿ { U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) < +∞ }lunedì 17 gennaio 2011
  • 57. Formulazione debole Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita ￿ ￿ { U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) < +∞ } Partizioni di Caccioppoli E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)lunedì 17 gennaio 2011
  • 58. Formulazione debole Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita ￿ ￿ { U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) < +∞ } Partizioni di Caccioppoli E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω) l ￿ {U = {U } i i=1,...,l : P (Ui , Ω) < +∞ } i=1lunedì 17 gennaio 2011
  • 59. Formulazione debole Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita ￿ ￿ { U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) < +∞ } Partizioni di Caccioppoli E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω) l ￿ {U = {U } i i=1,...,l : P (Ui , Ω) < +∞ } i=1 ||| { BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω }lunedì 17 gennaio 2011
  • 60. Formulazione debole Partizioni di Caccioppoli 2 1 ∗ E⊂R P (E, Ω) P (E, Ω) = H (∂ E ∩ Ω) { BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω }lunedì 17 gennaio 2011
  • 61. Formulazione debole Partizioni di Caccioppoli 2 1 ∗ E⊂R P (E, Ω) P (E, Ω) = H (∂ E ∩ Ω) { BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω } l ￿ z E (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] u= αi χUi ∈ BV (Ω, K) i=1 l ￿ ￿ 1 z E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 2 i,j=1 Ω i￿=jlunedì 17 gennaio 2011
  • 62. Formulazione debole l ￿ z E (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] u= αi χUi ∈ BV (Ω, K) i=1 l ￿ ￿ 1 z E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 2 i,j=1 Ω i￿=j Teorema 7.42 z Il funzionale E (u) ammette l’esistenza di un minimo con energia finita.lunedì 17 gennaio 2011
  • 63. Soluzioni forti • 2 Dato E ⊂ R la sua frontiera ridotta ∂ ∗ E potrebbe non essere chiusa, quindi per ottenere la soluzione del problema forte bisogna considerare la chiusura ￿ ∗ ∪ i ∂ Ui ∩ Ω • 2 Poichè esistono sottoinsiemi E ⊂ R di perimetro finito con frontiera topologica ∂E che ha misura di Hausdorff monodimensionale infinita, una soluzione debole potrebbe avere energia infinita nella formulazione forte ! • E’ necessario uno studio variazionale delle soluzioni: G.P. Leonardi e I. Tamanini, Metric space of partitions and Caccioppoli partitions, 2002 G.P. Leonardi, Infiltrations in immiscible fluids systems, 2001lunedì 17 gennaio 2011
  • 64. Proprietà qualitative delle minimizzanti dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g ) dg ( r , g ) < dg ( r , v ) + dg ( v , g )lunedì 17 gennaio 2011
  • 65. Proprietà qualitative delle minimizzanti dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g ) ⇓ dg ( r , g ) < dg ( r , v ) + dg ( v , g )lunedì 17 gennaio 2011
  • 66. Proprietà qualitative delle minimizzanti dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g ) ⇓ dg ( r , g ) < dg ( r , v ) + dg ( v , g ) dipende dal termine di fedeltà, dalle misure degli insiemi e dalla struttura della metricalunedì 17 gennaio 2011
  • 67. Approssimazione via Γ-convergenzalunedì 17 gennaio 2011
  • 68. Problemi con discontinuità libera • Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della presenza di energie di superficie e di volumelunedì 17 gennaio 2011
  • 69. Problemi con discontinuità libera • Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della presenza di energie di superficie e di volume • Sostituizione del funzionale con una famiglia di funzionali che contengano solo energie di volume (quindi più trattabili numericamente) che convergano ‘‘in un certo senso’’ al problema di partenza.lunedì 17 gennaio 2011
  • 70. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni) • Definizione F, F￿ : X → R ∪ {+∞} F = Γ- lim F￿ + se ∀x ∈ X, ￿ j → 0+ ￿→0 (disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim inf F￿j (xj ) j (disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim sup F￿j (xj ) jlunedì 17 gennaio 2011
  • 71. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni) • Definizione F, F￿ : X → R ∪ {+∞} F = Γ- lim F￿ + se ∀x ∈ X, ￿ j → 0+ ￿→0 (disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim inf F￿j (xj ) j (disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim sup F￿j (xj ) j • Proprietà fondamentale + ￿ ￿ Se F = Γ- lim F￿ , ￿j → 0 e u￿j ∈ argmin F￿j ` una successione precompatta, + e ￿→0 allora ∀ per ogni sottosuccessione convergente u￿jk u ￿ jk → u 0 F￿jk (u￿jk ) → F (u0 ) ￿ ￿ e u0 ∈ argmin F .lunedì 17 gennaio 2011
  • 72. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni) Γ-convergenza + equicompatezzalunedì 17 gennaio 2011
  • 73. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni) Γ-convergenza + equicompatezza ⇓ Convergenza dei minimilunedì 17 gennaio 2011
  • 74. Approssimazione via Γ-convergenza Per ora teniamo da parte il fidelity term e consideriamo E(u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ l 1 1 ∗ ∗ E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω) 2 i,j=1 i￿=jlunedì 17 gennaio 2011
  • 75. Modelli di transizione di fase Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )lunedì 17 gennaio 2011
  • 76. Modelli di transizione di fase Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids ) Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . / [C1 ,C2 ]lunedì 17 gennaio 2011
  • 77. Modelli di transizione di fase Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids ) Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . / [C1 ,C2 ]lunedì 17 gennaio 2011
  • 78. Modelli di transizione di fase Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids ) Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ / [C1 ,C2 ] ￿ ￿ sia d ∈ R , m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|} Ω e si considerino i funzionali F￿ : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞]lunedì 17 gennaio 2011
  • 79. Modelli di transizione di fase Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids ) Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ / [C1 ,C2 ] ￿ ￿ sia d ∈ R , m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|} Ω e si considerino i funzionali F￿ : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ l ￿ 1 1 2 F￿ (u) = ( W (u) + ￿|Du| ) dx F (u) = θW (αi , αj )Hm−1 (∂ ∗ Si ∩ ∂ ∗ Sj ∩ Ω) Ω ￿ 2 i,j=1 ￿ 1 ￿ i￿=j θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm )v(0) = w, v(1) = z}. ˙ 0lunedì 17 gennaio 2011
  • 80. Modelli di transizione di fase Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids ) Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ / [C1 ,C2 ] ￿ ￿ sia d ∈ R , m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|} Ω e si considerino i funzionali F￿ : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ l ￿ 1 1 2 F￿ (u) = ( W (u) + ￿|Du| ) dx F (u) = θW (αi , αj )Hm−1 (∂ ∗ Si ∩ ∂ ∗ Sj ∩ Ω) Ω ￿ 2 i,j=1 ￿ 1 ￿ i￿=j θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm )v(0) = w, v(1) = z}. ˙ 0 Allora F (u) = Γ − lim F￿ (u) ￿→0 rispetto alla topologia forte di L1 (Ω, Rm ).lunedì 17 gennaio 2011
  • 81. Approssimazione via Γ-convergenza IDEA: modificare la famiglia di funzionali ￿ 1 2 F￿ (u) = ( W (u) + ￿|Du| ) dx Ω ￿ in modo che il Γ-limite sia ￿ l 1 1 ∗ ∗ E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω) 2 i,j=1 i￿=jlunedì 17 gennaio 2011
  • 82. Approssimazione via Γ-convergenza IDEA: modificare la famiglia di funzionali ￿ 1 2 F￿ (u) = ( W (u) + ￿|Du| ) dx Ω ￿ in modo che il Γ-limite sia ￿ l 1 1 ∗ ∗ E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω) 2 i,j=1 i￿=j Problemi: • Bisogna introdurre nei funzionali l’effetto della metrica. • E’ necessario un secondo passaggio al limite.lunedì 17 gennaio 2011
  • 83. Approssimazione via Γ-convergenza Teorema 9.1lunedì 17 gennaio 2011
  • 84. Approssimazione via Γ-convergenza Teorema 9.1 Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . / [C1 ,C2 ]lunedì 17 gennaio 2011
  • 85. Approssimazione via Γ-convergenza Teorema 9.1 Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . / [C1 ,C2 ] Si consideri la famiglia di funzionali F￿ : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ ￿l l 1 1 ￿ F￿ (u) = [ W (u)+￿ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω) Ω ￿ j=1 2 i,j=1 i￿=jlunedì 17 gennaio 2011
  • 86. Approssimazione via Γ-convergenza Teorema 9.1 Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . / [C1 ,C2 ] Si consideri la famiglia di funzionali F￿ : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ ￿l l 1 1 ￿ F￿ (u) = [ W (u)+￿ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω) Ω ￿ j=1 2 i,j=1 i￿=j ￿ 1 ￿ θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z} ˙ 0lunedì 17 gennaio 2011
  • 87. Approssimazione via Γ-convergenza Teorema 9.1 Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione continua tale che (1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl }, (2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m . / [C1 ,C2 ] Si consideri la famiglia di funzionali F￿ : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ ￿l l 1 1 ￿ F￿ (u) = [ W (u)+￿ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω) Ω ￿ j=1 2 i,j=1 i￿=j ￿ 1 ￿ θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z} ˙ 0 Allora F (u) = Γ − lim F￿ (u) ￿→0 rispetto alla topologia forte di L (Ω, R ). p mlunedì 17 gennaio 2011
  • 88. Approssimazione via Γ-convergenza Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione ￿ 1 ￿ θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z} ˙ 0lunedì 17 gennaio 2011
  • 89. Approssimazione via Γ-convergenza Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione ￿ 1 ￿ θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z} ˙ 0 ...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.lunedì 17 gennaio 2011
  • 90. Approssimazione via Γ-convergenza Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione ￿ 1 ￿ θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z} ˙ 0 ...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale. Wδ : R3 → [0, +∞] dipendente dal parametro positivo 0 < δ < δ = min{|α− β| : α, β ∈ K, α ￿= β}/2 definito come ￿ ￿ ￿￿ 2 1+δ dist(x, K) Wδ (x) = ψ x ∈ R3 2 δ in cui dist(x, K) = min{|x − α| : α ∈ K} ` la distanza euclidea del punto e x ∈ R3 dall’insieme K e ψ : [0, +∞] → [0, +∞] ` definita come e ￿ −x2 /(1−x2 ) 1−e se 0 ≤ x ≤ 1 ψ(x) = 1 se x > 1.lunedì 17 gennaio 2011
  • 91. Approssimazione via Γ-convergenza ￿ 2 Wδ = 1 + δ δ αi ￿ 0 ≤ 2 Wδ ≤ 1 + δ δ αj ￿ ￿ 0 ≤ 2 Wδ ≤ 1 + δ 0 ≤ 2 Wδ ≤ 1 + δlunedì 17 gennaio 2011
  • 92. Approssimazione via Γ-convergenza Lemma 10.1 Siano w, z ∈ K, ￿￿ 1 ￿ dg (w, z) = inf 0 ˙ } |γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z ￿￿ 1 ￿ θδ (w, z) = inf 0 2 Wδ (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z ˙ } Allora per δ sufficientemente piccolo vale la disuguaglianza dg (w, z) ≤ θδ (w, z) + o(δ) e dg (w, z) = lim θδ (w, z). δ→0lunedì 17 gennaio 2011
  • 93. Approssimazione via Γ-convergenza Definendo la famiglia a due parametri ￿ 2 ￿ 1 2 E￿,δ (u) = [ Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u| ] dx Ω ￿ j=1 usando il teorema 9.1 e il lemma 10.1 abbiamo ￿ ￿ Γ- lim+ Γ- lim E￿,δ (u) = E(u) + δ→0 ￿→0 rispetto alla topologia forte di L (Ω, R ).p 3lunedì 17 gennaio 2011
  • 94. Approssimazione via Γ-convergenza Continuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continuelunedì 17 gennaio 2011
  • 95. Approssimazione via Γ-convergenza Continuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue Teorema 10.2 ⇓ Siano Eδ,￿ : H 1,2 (Ω, R3 ) → [0, +∞], E z : BV (Ω, K) → [0, +∞] z ￿ ￿ ￿2 ￿ z 1 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx Ω ￿ j=1 ￿ l ￿ 1 z E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 dx 2 i,j=1 Ω i￿=j Allora ￿ ￿ Γ- lim+ Γ- lim E￿,δ (u) = E z (u) + z δ→0 ￿→0 rispetto alla convergenza forte in L2 (Ω, R3 ).lunedì 17 gennaio 2011
  • 96. Equicompattezza Proposizione 9.9. Sia 1 ≤ p < +∞, F￿ : H 1,2 (Ω, Rm ) → [0, +∞] definito come ￿ ￿ l ￿ ￿ 1 F￿ (u) = W (u) + ￿ 2 |γ(u)Di u| dx Ω ￿ i=1 ￿h una successione di numeri reali che tende a 0 e uh una successione tale che suph F￿h (uh ) < +∞. Allora esiste una successione uh tale che F￿h (˜h ) ≤ ˜ u F￿h (uh ) per ogni j ∈ N e si pu` estrarre una sottosuccessione ukh che converge o ˜ fortemente in Lp (Ω, Rm ).lunedì 17 gennaio 2011
  • 97. Un modello di classificazione e restaurolunedì 17 gennaio 2011
  • 98. Un modello di classificazione e restauro I funzionali approssimanti ￿ ￿ ￿2 ￿ z 1 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx Ω ￿ j=1lunedì 17 gennaio 2011
  • 99. Un modello di classificazione e restauro I funzionali approssimanti ￿ ￿ ￿2 ￿ z 1 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx Ω ￿ j=1 classificazionelunedì 17 gennaio 2011
  • 100. Un modello di classificazione e restauro I funzionali approssimanti ￿ ￿ ￿2 ￿ z 1 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx Ω ￿ j=1 classificazione restaurolunedì 17 gennaio 2011
  • 101. Un modello di classificazione e restauro I funzionali approssimanti ￿ ￿ ￿2 ￿ z 1 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx Ω ￿ j=1 classificazione restauro fidelitylunedì 17 gennaio 2011
  • 102. Un modello di classificazione e restauro I funzionali approssimanti ￿ ￿ ￿2 ￿ z 1 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx Ω ￿ j=1 classificazione restauro fidelity Interpretazione di ￿ come parametro di sfocamentolunedì 17 gennaio 2011
  • 103. Conclusionilunedì 17 gennaio 2011
  • 104. Conclusioni • Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.lunedì 17 gennaio 2011
  • 105. Conclusioni • Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera. • E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti.lunedì 17 gennaio 2011
  • 106. Conclusioni • Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera. • E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti. • E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.lunedì 17 gennaio 2011
  • 107. Conclusioni • Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera. • E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti. • E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori. • E’ stata provata la Γ-convergenza dei funzionali approssimanti al funzionale introdotto.lunedì 17 gennaio 2011
  • 108. Conclusioni • Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera. • E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti. • E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori. • E’ stata provata la Γ-convergenza dei funzionali approssimanti al funzionale introdotto. • I funzionali approssimanti sono molto più trattabili in vista di unapprossimazione numerica.lunedì 17 gennaio 2011
  • 109. Approssimazione via Γ-convergenza Teorema 1 Sia (C, g) uno spazio di colori, K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C un insieme finito di l colori, z ∈ L∞ (Ω, C) un’immagine a colori, β > 0 un parametro positivo. Si consideri la famiglia di funzionali E￿,δ (u) : H 1,2 (Ω, R3 ) → [0, +∞] z ￿ ￿ ￿3 ￿ z 1 2 2 E￿,δ (u) = Wδ (u) + ￿ |γ(u)Dj u| + β|dg (z, u)| dx Ω ￿ j=1 e il funzionale E z (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] ￿ l ￿ 1 E z (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 dx 2 i,j=1 Ω i￿=j Sia δ : [0, +∞] → [0, +∞] una funzione continua e strettamente monotona crescente tale che δ(0) = 0, ￿j una successione di numeri positivi che tende a 0. Allora abbiamo che se u￿j ` una successione costituita da minimizzanti di e z E￿j ,δ(￿j ) si pu` estrarre una sottosuccessione convergente, che indichiamo ancora o con u￿j tale che u ￿j → u 0 fortemente in L2 (Ω, R3 ) E￿j ,δ(￿j ) (u￿j ) → E z (u0 ) z e u0 ∈ argmin(E z ).lunedì 17 gennaio 2011