Programación dinámica

22,144

Published on

Published in: Education, Business
1 Comment
8 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
22,144
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
885
Comments
1
Likes
8
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Programación dinámica"

  1. 1. NNOOTTAASS DDEE CCLLAASSEE:: PPRROOGGRRAAMMAACCIIÓÓNN DDIINNÁÁMMIICCAA COMPENDIADOS POR Alejandro Domínguez Universidad Politécnica de Cartagena, Murcia, España BASADOS EN EL LIBRO DE Hamdy A. Taha Noviembre de 2000
  2. 2. CONTENIDO INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA ..................................................................1 NATURALEZA DE LA PD.......................................................................................................................2 EL PROBLEMA DE LA DILIGENCIA ..................................................................................................5 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 1...................................................................................................................7 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 2...................................................................................................................7 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 3...................................................................................................................8 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 4...................................................................................................................9 RESUMEN DE CÁLCULOS PARA LAS DIFERENTES ETAPAS .........................................................................9 FORMALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS ........................................................................................................9 RECURSIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS ......................................................................11 EL PROBLEMA DE LA DILIGENCIA CON RECURSIÓN HACIA ATRÁS.................................12 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 4.................................................................................................................12 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 3.................................................................................................................13 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 2.................................................................................................................13 CÁLCULOS PARA LA ETAPA 1.................................................................................................................14 RESUMEN DE CÁLCULOS PARA LAS DIFERENTES ETAPAS .......................................................................14 TERMINOLOGÍA Y ESTRUCTURA...................................................................................................15 APLICACIONES SELECTAS DE PD...................................................................................................19 EL MODELO DE VOLUMÉN-CARGA .........................................................................................................21 Ejemplo ...........................................................................................................................................22 EL MODELO DE NÚMERO DE EMPLEADOS ...............................................................................................24 Ejemplo ...........................................................................................................................................24 EL MODELO DE REEMPLAZO DE EQUIPO .................................................................................................26 Ejemplo ...........................................................................................................................................27 EL MODELO DE INVERSIÓN.....................................................................................................................29 Ejemplo ...........................................................................................................................................30 EL PROBLEMA DE LA DIMENSIONALIDAD..................................................................................33 EJEMPLO................................................................................................................................................33 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................................................35
  3. 3. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1 IIINNNTTTRRROOODDDUUUCCCCCCIIIÓÓÓNNN AAA LLLAAA PPPRRROOOGGGRRRAAAMMMAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDIIINNNÁÁÁMMMIIICCCAAA Los problemas de programación lineal tienen una característica en común: son estáticos. Es decir, los problemas se establecen y se resuelven en una situación específica que ocurre en un cierto momento. Cuando un problema está relacionado con variaciones en el tiempo, o con variables que se comporten como tal, debe utilizarse una técnica de investigación de operaciones que incluya al tiempo o a esas variables como elemento. Esta técnica, denominada programación dinámica (PD), es una extensión de la técnica básica de programación lineal.
  4. 4. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 2 NNNAAATTTUUURRRAAALLLEEEZZZAAA DDDEEE LLLAAA PPPDDD La PD fue desarrollada por Richard Bellman y G B Dantzing. Sus importantes contribuciones sobre esta técnica cuantitativa de toma de decisiones se publicaron en 1957 en un libro del primer autor denominado “Dynamic Programming” (Princeton University Press. Princeton, New Jersey). Inicialmente a la PD se le denominó programación lineal estocástica ó problemas de programación lineal con incertidumbre. A través de los años, la PD se ha desarrollado como una técnica cuantitativa para resolver una gran variedad de problemas, algunos de los cuales serán tratados a lo largo de estas notas de clase. La PD se basa en el principio de optimalidad, el cual establece que una política óptima consiste de subpolíticas óptimas. Así, la PD se puede definir como una técnica matemática que resuelve una serie de decisiones secuenciales, cada una de las cuales afecta las decisiones futuras. Esto es de vital importancia puesto que rara vez se puede encontrar una situación operacional donde las implicaciones de una decisión no se extiendan a futuro. Los métodos de la PD se pueden extrapolar a problemas en los cuales el tiempo no es una variable relevante. Por ejemplo, a problemas en los cuales se tiene que tomar una decisión acerca de la asignación de una cantidad fija de recursos entre un cierto número de usos alternativos.
  5. 5. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 3 Este tipo de problemas se puede resolver descomponiéndolos en varios pasos, de tal forma que la decisión final es consecuencia de una serie de decisiones dependientes sobre el tiempo. Aunque este tipo de problemas no contiene al factor tiempo per se, si contiene la característica fundamental de la PD: procesos multietapa de toma de decisiones. Muchos de los problemas tratar en estas notas de clase son de éste tipo. A pesar de esta característica de toma de decisiones secuenciales, los problemas que pueden ser atacados con la PD tienen otras dos propiedades adicionales:  Sólo un número reducido de variables se debe conocer en cualquier etapa con el fin de describir al problema. En efecto, los problemas de la PD se caracterizan por la dependencia de los resultados derivados de decisiones sobre un número reducido de variables.  El resultado de una decisión en cualquier etapa altera los valores numéricos de un número reducido de variables relevantes al problema. La decisión actual ni incrementa ni decrementa el número de factores sobre los cuales depende el resultado. Así, para la siguiente decisión en la secuencia, el mismo número de variables se considera. En un problema de PD una serie de decisiones se deben tomar en una secuencia dada. Cuando esto se cumple, una política óptima se debe perseguir. No importa cuáles fueron los estados y decisiones iniciales, las decisiones restantes constituirán una política óptima con respecto al estado resultante de la primera decisión.
  6. 6. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 4 Por ejemplo, si se tomaron decisiones erróneas en la primera y segunda etapa, esto no prohibe que no se puedan hacer decisiones correctas en las etapas venideras. La PD permite llegar a decisiones óptimas para los periodos o etapas que aún restan a pesar la las decisiones erróneas tomadas en el pasado.
  7. 7. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 5 EEELLL PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAA DDDEEE LLLAAA DDDIIILLLIIIGGGEEENNNCCCIIIAAA Un problema construido especialmente por el Profesor H M Wagner de la Universidad de Stanford para ilustrar las características e introducir la terminología de la PD es el problema de la diligencia. Este problema se refiere a un vendedor mítico que tuvo que viajar hacia el oeste utilizando como medio de transporte una diligencia, a través de tierras hostiles, en el último cuarto del siglo XIX. Aún cuando su punto de partida y destino eran fijos, tenía un número considerable de opciones para elegir qué estados (o territorios que posteriormente se convirtieron en estados) recorrer en su ruta. En la Ilustración 1 se muestran las rutas posibles, en donde cada estado se representa por un bloque numerado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 3 7 4 6 3 4 2 4 5 1 3 3 3 6 4 1 3 4 Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Ilustración 1. Sistema de caminos para el problema de la diligencia. De la ilustración se puede observar que el viaje se puede realizar en 4 etapas, partiendo del estado 1 hasta su destino en el estado 10:  Primera etapa: estados 1 y (2, 3, 4)
  8. 8. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 6  Segunda etapa: estados (2, 3,4) y (5, 6, 7)  Tercera etapa: estados (5,6,7) y (8, 9)  Cuarta etapa: estado (8,9) y10 Puesto que se ofrecían seguros de vida a los pasajeros de las diligencias, este vendedor no quiso dejar pasar la oportunidad y se propuso determinar la ruta más segura. Como el costo de cada póliza se basaba en una evaluación cuidadosa de la seguridad de ese recorrido, la ruta más segura debía ser aquella con la póliza de seguro de vida más barata. El costo de la póliza estándar para el viaje en diligencia del estado i al j se muestra en Ilustración 1 como una etiqueta en los caminos (flechas) para ir de un estado a otro. Así la pregunta central es: ¿cuál ruta (conjunto de caminos) minimiza el costo total de la póliza? Para contestar esta pregunta es necesario hacer notar que, el procedimiento poco inteligente de seleccionar el camino más barato ofrecido en cada etapa sucesiva no necesariamente conduce a una decisión óptima global. Siguiendo esta estrategia se obtendría la ruta 126910, a un costo total de 13. Sin embargo sacrificando un poco en una etapa es posible que se obtengan ahorros mayores de allí en adelante. Por ejemplo, 146 es globalmente más barata que 126. Un enfoque posible para resolver este problema es por tanteos. Sin embargo, el número de rutas posibles es grande (13321=18) y tener que calcular el costo total para cada ruta no es una tarea atrayente.
  9. 9. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 7 Por fortuna la PD suministra una solución con mucho menos esfuerzo que la enumeración exhaustiva. Los ahorros de cálculo serían enormes para versiones más grandes de este problema. La PD parte de una pequeña porción del problema y encuentra la solución óptima para ese problema más pequeño. Entonces gradualmente agranda el problema, hallando la solución óptima en curso a partir de la anterior, hasta que se resuelve por completo el problema original. A continuación se explican los detalles involucrados en la implementación de esta filosofía general. La idea es calcular el costo mínimo (acumulativo) de la póliza de seguros entre los dos estados de cada etapa y después utilizar esos costos como datos de entrada para la etapa inmediata siguiente. CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 11 Considerando los estados asociados con la etapa 1, se puede ver que los estados 2, 3 y 4 están conectados cada uno con el estado inicial 1 por una sola flecha (ver Ilustración 1). Por consiguiente, para la etapa 1 se tiene Costo mínimo al estado 2 = 2 (desde el estado 1) Costo mínimo al estado 3 = 4 (desde el estado 1) Costo mínimo al estado 4 = 3 (desde el estado 1) CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 22 Después se avanza a la etapa 2 para determinar los costos mínimos (acumulativos) para los estados 5, 6 y 7. Considerando primero al estado 5, se ve que existen tres alternativas; a saber 25, 35 y 45.
  10. 10. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 8 Esta información, junto con los costos mínimos de los estados 2, 3 y 4 determinan el costo mínimo (acumulativo) para el estado 5 como                                            4estadoeldesde7 3estadoeldesde7 743 734 972 5estadoalestadoel desdemínimoCosto estadoal mínimoCosto 5estadoal mínimoCosto 4,3,2 min ii min i De forma similar para el estado 6, se tiene 4estadoeldesde4 413 624 642 6estadoalestadoel desdemínimoCosto estadoal mínimoCosto 6estadoal mínimoCosto 4,3,2                                         min ii min i Finalmente para el estado 7, se tiene                                              4estadoeldesde8 3estadoeldesde8 2estadoeldesde8 853 844 862 7estadoalestadoel desdemínimoCosto estadoal mínimoCosto 7estadoal mínimoCosto 4,3,2 min ii min i CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 33 5estadoeldesde8 1138 1064 817 8estadoalestadoel desdemínimoCosto estadoal mínimoCosto 8estadoal mínimoCosto 7,6,5                                         min ii min i 6estadoeldesde7 1138 734 1147 9estadoalestadoel desdemínimoCosto estadoal mínimoCosto 9estadoal mínimoCosto 7,6,5                                         min ii min i
  11. 11. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 9 CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 44                                       9estadoeldesde11 8estadoeldesde11 1147 1138 10estadoalestado desdemínimoCosto estadoal mínimoCosto 10estadoal mínimoCosto 9,8 min ii min i RREESSUUMMEENN DDEE CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAASS DDIIFFEERREENNTTEESS EETTAAPPAASS El costo mínimo total desde el estado 1 al estado 10 es de 11. El estado 10 se puede alcanzar desde los estados 8 y 9. Si se elige el estado 9, este proviene de haber elegido el estado 6, el cual a su vez de haber elegido el estado 4 y finalmente el estado 1. Es decir la ruta óptima es 146910. Si se elige el estado 8, este proviene de haber elegido el estado 5, el cual a su vez de haber elegido el estado 4 o el 3. Si se elige el estado 4, la ruta óptima es 145810. Si se elige el estado 3, la ruta óptima es 135810. FFOORRMMAALLIIZZAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS CCÁÁLLCCUULLOOSS Se mostrará ahora la forma en la cual se pueden expresar matemáticamente los cálculos recursivos de la PD. Sea  ii xf la distancia más corta al estado ix en la etapa i . Sea  ii xxc ,1 la distancia o costo del estado 1ix al ix . Entonces  ii xf se calcula a partir de  11  ii xf utilizando la siguiente ecuación recursiva hacia adelante        4,3,2,1;, 11 factibles rutaslastodas 1    ixfxxcminxf iiii xx ii ii- ;
  12. 12. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 10 con la condición inicial   .00 oxf
  13. 13. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 11 RRREEECCCUUURRRSSSIIIÓÓÓNNN HHHAAACCCIIIAAA AAADDDEEELLLAAANNNTTTEEE YYY HHHAAACCCIIIAAA AAATTTRRRÁÁÁSSS El ejemplo anterior utiliza la recursión hacia adelante, la cual los cálculos avanzan de la etapa 1 a la etapa final. El ejemplo anterior se puede resolver por medio de la recursión hacia atrás, empezando de la etapa final y terminando de la etapa 1. Las recursiones hacia adelante y hacia atrás producen la misma solución. Aún cuando el procedimiento hacia adelante parece más lógico, la literatura de la PD utiliza con frecuencia la recursión hacia atrás. La razón de la preferencia de la recursión es que, en general, la recursión hacia atrás puede ser más eficiente desde el punto de vista de los cálculos. Se mostrará de la recursión hacia atrás aplicándola al problema de la diligencia. Esta forma de resolver el problema también proporciona la oportunidad de presentar los cálculos de la PD de una forma tabular compacta.
  14. 14. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 12 EEELLL PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAA DDDEEE LLLAAA DDDIIILLLIIIGGGEEENNNCCCIIIAAA CCCOOONNN RRREEECCCUUURRRSSSIIIÓÓÓNNN HHHAAACCCIIIAAA AAATTTRRRÁÁÁSSS Para resolver este problema se retoma la Ilustración 1 que muestra las etapas La ecuación recursiva hacia atrás para el problema de la diligencia es        4,3,2,1;, 111 factibles rutaslastodas 1    ixfxxcminxf iiii xx ii ii ; con condición inicial   055 xf , para 105 x . El orden asociado de los cálculos es 1234 ffff  . CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 44 Debido a que el estado 105 x está conectado con los estados 9,84 x exactamente con una ruta cada uno, no existen alternativas donde elegir y los resultados de esta etapa se pueden resumir como     0, 5444  xxcxf Solución óptima 4x 105 x  44 xf  5x 8 3 3 10 9 4 4 10 La solución óptima de la etapa 4 se lee como sigue: si se encuentra en el estado 10, el menor costo se obtiene al pasar por los estados 8 ó 9.
  15. 15. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 13 CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 33 Dadas  44 xf de la etapa 4, entonces se puede comparar las alternativas factibles como se muestra en la siguiente tabla:      444333 , xfxxcxf  Solución óptima 3x 84 x 94 x  33 xf  4x 5 1+3=4 4+4=8 4 8 6 6+3=9 3+4=7 7 9 7 3+3=6 3+4=7 6 8 La solución óptima de la etapa 3 se lee como sigue: si se encuentra en los estados 5 ó 7, el costo mínimo es aquel que pasa por el estado 8; y si se encuentra en el estado 6, el costo mínimo es aquel que pasa por el estado 9. CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 22 Dadas  33 xf de la etapa 3, entonces se puede comparar las alternativas factibles como se muestra en la siguiente tabla:      333222 , xfxxcxf  Solución óptima 2x 53 x 63 x 73 x  33 xf  3x 2 7+4=11 4+7=11 6+6=12 11 5 ó 6 3 3+4=7 2+7=9 4+6=10 7 5 4 4+4=8 1+7=8 5+6=11 8 5 ó 6
  16. 16. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 14 La solución óptima de la etapa 2 se lee como sigue: si se encuentra en los estados 2 ó 4, el costo mínimo es aquel que pasa por los estados 5 ó 6; y si se encuentra en el estado 3, el costo mínimo es aquel que pasa por el estado 5. CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAA EETTAAPPAA 11 Dadas  22 xf de la etapa 2, entonces se puede comparar las alternativas factibles como se muestra en la siguiente tabla:      222111 , xfxxcxf  Solución óptima 1x 22 x 32 x 42 x  11 xf  2x 1 2+11=13 4+7=11 3+8=11 11 3 ó 4 La solución óptima de la etapa 1 se lee como sigue: si se encuentra en el estado 1, el costo mínimo es aquel que pasa por los estados 3 ó 4. RREESSUUMMEENN DDEE CCÁÁLLCCUULLOOSS PPAARRAA LLAASS DDIIFFEERREENNTTEESS EETTAAPPAASS El costo mínimo total desde el estado 1 al estado 10 es de 11. El estado 10 se puede alcanzar desde los estados 8 y 9. Si se elige el estado 9, este proviene de haber elegido el estado 6, el cual a su vez de haber elegido el estado 4 y finalmente el estado 1. Es decir la ruta óptima es 146910. Si se elige el estado 8, este proviene de haber elegido el estado 5, el cual a su vez de haber elegido el estado 4 o el 3. Si se elige el estado 4, la ruta óptima es 145810. Si se elige el estado 3, la ruta óptima es 135810.
  17. 17. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 15 TTTEEERRRMMMIIINNNOOOLLLOOOGGGÍÍÍAAA YYY EEESSSTTTRRRUUUCCCTTTUUURRRAAA El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas de PD. De hecho, este problema se diseñó a propósito para dar lugar a una interpretación física literal de la estructura un tanto abstracta de los problemas de la PD. Por lo tanto, una manera de reconocer una situación que puede plantearse como un problema de PD es observar si su estructura básica es análoga a la del problema de la diligencia. A continuación se presentan y analizan los elementos básicos que caracterizan a los problemas de PD. Característica general Característica ejemplificada en el problema de la diligencia El problema puede dividirse en etapas, con una decisión de la política óptima requerida en cada etapa.  El problema de la diligencia se dividió literalmente en sus cuatro "etapas", correspondientes a las jornadas del viaje.  La decisión de una política óptima en cada etapa fue el destino para esa jornada particular (es decir, cuál política de seguro de vida elegir).  Otros problemas de PD requieren análogamente tomar una sucesión de decisiones interrelacionadas. Cada etapa tiene un cierto número de estados asociados a ella.  Los estados asociados con cada etapa en el problema de la diligencia fueron los estados (o territorios) en los que el vendedor podía estar localizado al embarcarse en esa jornada particular
  18. 18. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 16 del viaje.  En general, los estados son las diversas condiciones posibles en las que el sistema podría estar en esa etapa del problema.  El número de estados puede ser finito (como en el problema de la diligencia) o infinito. El efecto de la decisión de una política en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con la etapa siguiente (posiblemente de acuerdo con una distribución de probabilidad).  La decisión del vendedor, por lo que toca a su destino siguiente, lo condujo del estado en el que se encontraba al siguiente.  Esto sugiere que los problemas de PD pueden interpretarse en términos de grafos:  Cada nodo correspondería a un estado.  El grafo constaría de columnas de nodos, con cada columna correspondiendo a una etapa, de modo que el flujo de un nodo sólo puede ir hacia un nodo en la columna que sigue hacia la derecha.  El valor asignado a cada rama que conecta a dos nodos puede interpretarse como la contribución a la función objetivo hecha al ir de un estado al otro, correspondientes a estos nodos.  En este caso, el objetivo sería hallar la ruta óptima a través del grafo. Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en las etapas previas.  Dado el estado en el que el vendedor se encuentra en un momento determinado, la política óptima de seguro de vida (y su ruta asociada) desde este punto hacia adelante es independiente de cómo llegó allí.  Para los problemas de PD en general, el
  19. 19. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 17 conocimiento del estado actual del sistema comunica toda la información acerca de su comportamiento previo, necesaria para determinar la política óptima de allí en adelante.  Lo anterior, a veces se menciona esta propiedad como el principio de optimalidad que formalmente enuncia que: Las futuras decisiones para las etapas restantes constituirán una política óptima, sin importar cuál haya sido la política adoptada en las etapas restantes. El procedimiento de resolución empieza por hallar la política óptima para cada estado de la última etapa.  Comúnmente, la resolución de este problema de una etapa es trivial, como lo fue para el problema de la diligencia. Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima para cada estado en la etapa n , dada la política óptima para cada estado en la etapa  1n .  Para el problema de la diligencia las relaciones recursivas hacia adelante y hacia atrás son, respectivamente        4,3,2,1;, 11 factibles rutaslastodas 1    ixfxxcminxf iiii xx ii ii-        4,3,2,1;, 111 factibles rutaslastodas 1    ixfxxcminxf iiii xx ii ii Utilizando esta relación recursiva, el procedimiento de resolución se mueve hacia atrás, etapa por etapa —hallando en cada ocasión la política óptima para cada estado de esa etapa— hasta que se encuentra la política óptima cuando se parte de la etapa inicial.  Esto se mostró mediante el problema de la diligencia, en el que se encontró sucesivamente la política óptima, al empezar en cada estado en la etapa 1, 2, 3 y 4 para la recursión hacia delante, y las etapas 4, 3, 2 y 1 para la recursión hacia atrás.
  20. 20. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 18 El concepto más importante en la estructura de la PD es la habilidad de tomar decisiones acerca del problema en varias etapas o puntos en el tiempo. Este concepto tiene la siguiente estructura Ilustración 2. Modelo gráfico de la PD. Notar que esta estructura es la misma que aparece en varios comportamientos recursivos de la naturaleza. Etapa 1 anterior, presente Etapa 2 anterior, presente Etapa 3 anterior, presente • • • Etapa N anterior, presente • • •
  21. 21. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 19 AAAPPPLLLIIICCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS SSSEEELLLEEECCCTTTAAASSS DDDEEE PPPDDD A continuación se presentarán cuatro aplicaciones, cada una de las cuales muestra una nueva idea en la puesta en práctica de la PD. A medida que se presente cada aplicación, es importante prestar atención a los tres elementos básicos de un modelo de PD:  Definición de las etapas  Definición de las políticas o alternativas  Definición de los estados para cada etapa De los tres elementos, la definición del estado por lo común es la más sutil. Las aplicaciones que se presentan a continuación muestran que la definición de estado varía dependiendo de la situación que se está modelando. Sin embargo, a medida que se presente cada aplicación, resultará útil considerar las siguientes preguntas:  ¿Qué relaciones unen las etapas?  ¿Qué información se necesita para tomar decisiones factibles en la etapa actual, sin reexaminar las decisiones que se tomaron en las etapas anteriores? La experiencia indica que la comprensión del concepto de estado se puede mejorar cuestionando la “validez” de la forma que dicta la intuición. Se sugiere intentar una definición de estado diferente que pueda parecer “más lógica” y utilizarla en los cálculos recursivos. Con el tiempo, se descubrirá que las definiciones que se presentan en las siguientes aplicaciones proporcionan la forma correcta para resolver el problema.
  22. 22. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 20 Mientras tanto, el proceso mental propuesto deberá mejorar la comprensión del concepto de estado.
  23. 23. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 21 EELL MMOODDEELLOO DDEE VVOOLLUUMMÉÉNN--CCAARRGGAA
  24. 24. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 22 Ejemplo
  25. 25. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 23
  26. 26. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 24 EELL MMOODDEELLOO DDEE NNÚÚMMEERROO DDEE EEMMPPLLEEAADDOOSS En algunos proyectos de construcción, las contrataciones y los despidos se ejercen para mantener un número de empleados que satisfaga las necesidades del proyecto. Debido a que las actividades tanto de contratación como de despido incurren en costos adicionales, ¿cómo se debe mantener el número de empleados a todo lo largo de la vida del proyecto? Ejemplo
  27. 27. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 25
  28. 28. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 26 EELL MMOODDEELLOO DDEE RREEEEMMPPLLAAZZOO DDEE EEQQUUIIPPOO
  29. 29. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 27 Ejemplo
  30. 30. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 28
  31. 31. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 29 EELL MMOODDEELLOO DDEE IINNVVEERRSSIIÓÓNN
  32. 32. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 30 Ejemplo
  33. 33. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 31
  34. 34. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 32
  35. 35. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 33 EEELLL PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAA DDDEEE LLLAAA DDDIIIMMMEEENNNSSSIIIOOONNNAAALLLIIIDDDAAADDD EEJJEEMMPPLLOO
  36. 36. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 34
  37. 37. NOTAS DE CLASE: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 35 RRREEEFFFEEERRREEENNNCCCIIIAAASSS BBBIIIBBBLLLIIIOOOGGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAASSS Hillier, F. S. y G. S. Lieberman. Introducción a la investigación de operaciones. McGraw-Hill. Taha, H. A. Investigación de operaciones: una introducción. 6ª edición. Prentice Hall. México, 1998. Winston, W. L. Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1994.

×