1. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES A LA
ELECTRICIDAD1
ALEJANDRO DOMÍNGUEZ
COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL”
NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO
AGOSTO DE 1984
Introducción
Los presentes apuntes surgieron como una necesidad del curso de Matemáticas I (Álgebra) que se
imparte a los alumnos de la carrera de Técnico en Electrónica Industrial en el Colegio Nacional de
Educación Profesional Técnica. Estos apuntes tiene la finalidad de hacer ver a los alumnos la importancia
de aprender matemáticas para resolver problemas básicos en electricidad en los cuales se presentan
sistemas lineales de ecuaciones con dos y tres incógnitas.
Los apuntes parten de la suposición de que el alumno conoce la Ley de Ohm: “la diferencia de potencial
en un conductor metálico (conductor óhmico) es igual a la resistencia interna de éste por la
corriente que fluye en él; es decir, ”.
Como comentario final, es importante hacer notar que estos apuntes no pretenden suplantar a algún
libro de texto, sino que son un apoyo didáctico para el curso antes mencionado, así como un apoyo para
el libro de texto utilizado en él.
Las leyes de Kirchhoff
En electricidad existen una serie de problemas prácticos que involucran dos o más cantidades
desconocidas que están relacionadas entre sí por ecuaciones de primer grado (lineales). Un ejemplo
típico de este tipo de problemas, en los cuales se requiere determinar el valor de dos o más cantidades
desconocidas, son los que aparecen al querer encontrar el valor o los valores de las corrientes y/o
voltajes que circulan en una malla (circuito) eléctrica cerrada. Las ecuaciones que hay que resolver
provienen de aplicar al circuito eléctrico las Leyes de Kirchhoff:
 Primera Ley de Kirchhoff. La suma de las fuerzas electromotrices en una malla cerrada es igual a
la suma de las caídas de potencial alrededor de la misma. En otras palabras: la suma de los
voltajes alrededor de cualquier circuito cerrado es igual a cero.
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Este documento es una versión transcrita, mejorada y editada del original, el cual fue creado de forma manuscrita
debido a la nula accesibilidad del autor a las computadoras y a la no existencia de procesadores de texto
apropiados que permitieran la edición de términos matemáticos.
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2.  Segunda Ley de Kirchhoff. La suma de las corrientes que fluyen hacia un nodo es igual a la suma
de las corrientes que salen de él. En otras palabras: La suma de las corrientes que entran y salen
de un nodo es igual a cero.
Ejemplo 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales
Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y un resistor de . Un amperímetro en
el circuito muestra la lectura . Se repite el experimento sustituyendo el resistor de por uno de
. En este caso el amperímetro muestra una lectura de . ¿Cuál es el voltaje de la fuente y la
resistencia desconocida? (ver Figura 1 y 2, respectivamente)
Para resolver este problema se aplicará la Primera Ley de Kirchhoff. Si se recorre el circuito en el sentido
de las manecillas del reloj, para el primer y segundo casos se tiene las siguientes ecuaciones
respectivamente:
E  (2.5) R  (2.5)(4)  0
E  (1) R  (1)(10)  0
Efectuando las operaciones, estas ecuaciones se convierten en:
E  2.5R  10
E  R  10
Existen varias formas o métodos para resolver este par de ecuaciones
simultáneas. Los más conocidos son: sustitución, igualación y adición. En
cualquier caso, los valores del y no dependen del método elegido; es
decir, el método elegido debe conducir a la misma respuesta arrojada
por los otros dos casos restantes: lo único que difiere es el “camino” a
recorrer para encontrar la respuesta. Para mostrar esto, se mostrará de Figura 1. Circuitos eléctricos para el
forma simultánea los tres métodos. primer y segundo casos.
Método de sustitución Método de igualación Método de adición
De la primera ecuación, despejar Despejando de la primera y segunda Restando la segunda ecuación de la
ecuaciones el valor de , se tiene primera ecuación, se tiene:
Sustituyendo este despeje de en E  2.5R  10
la segunda ecuación, se tiene:
( ) Igualando ambos valores de :   E  R   10
Esto implica que:
Así:
Finalmente:
Sustituyendo este valor en la
Sustituyendo este valor de en el Sustituyendo este valor en la primera ecuación, se obtiene:
despeje de : primera ecuación, se obtiene: ( )
( ) ( ) Así:
Así: Así:

 
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3. Fundamentos de sistemas de tres ecuaciones lineales
Un sistema de tres ecuaciones lineales es de la forma:
ax  by  cz  d
ex  fy  gz  h
kx  ly  mz  n.
En este sistema de ecuaciones, las incógnitas son ; mientras que son
constantes conocidas. Por supuesto, el problema consiste en encontrar el valor de las incógnitas tal que
en el sistema el lado izquierdo de las igualdades sea igual al lado derecho.
El método más utilizado, pero no el único, consiste en reducir el sistema de tres ecuaciones a uno de dos
ecuaciones. Esto se logra si se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones y se
sustituye en las dos ecuaciones restantes, obteniendo así un sistema de dos ecuaciones, para las cuales
existe por lo menos tres métodos para resolverlas, como se mostró en el ejemplo anterior.
Ejemplo 2. Sistemas de tres ecuaciones lineales
Para el circuito serie-paralelo de la Figura 2, se desea encontrar las corrientes cuando se dan los
siguientes valores para los voltajes y resistencias,
respectivamente,
.
Aplicando la primera ley de Kirchhoff para los circuitos
formado por y , así como la segunda ley
de Kirchhoff para las corrientes , se obtiene el
siguiente sistema de tres ecuaciones lineales: Figura 2. Circuito eléctrico serie-paralelo.
6 I1  4 I 3  14 (1)
5 I 2  4 I 3  12 (2)
I1  I 2  I 3 (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene:
6 I1  4  I1  I 2   14
5 I 2  4  I1  I 2   12.
Llevando a cabo las operaciones correspondientes:
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4. 5I1  2 I 2  7
2 I1  3I 2  6.
Para resolver este sistema, se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 5 para obtener:
10 I1  4 I 2  14
10 I1  15I 2  30.
Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene la ecuación:
11I 2  16.
Despejando :
Sustituyendo este valor en la ecuación (2) se puede obtener el valor de :
 16  80 132  80 13
5    4 I 3  12  4 I 3  12   4 I 3   I 3  A.
 11  11 11 11
Sustituyendo los valores de en la ecuación (3), se puede encontrar el valor de :
16 13 13 16 3
I1    I1    I1   A. 
11 11 11 11 11
Problemas para clase
Problema 1
Una batería cuyo voltaje se desconoce está conectada en serie con una resistencia no conocida y un
resistor de . Un amperímetro en l circuito da una lectura de . Cuando se remplaza el resistor de
por otro de , el amperímetro da la lectura de . ¿Cuáles son el voltaje de la batería y de resistencia
desconocida?
Problema 2
Una batería está conectada a una resistencia de . Cuando a este circuito se agrega en serie una
batería de y una resistencia de , la corriente permanece igual. ¿Cuál es el voltaje y corriente
iniciales?
Problema 3
La resistencia total de un circuito que contiene dos resistencias en paralelo y cambia de a
cuando se duplica. Obtener los valores de y .
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5. Problema 4
La resistencia de m de alambre de cobre del número 14 a °C es de , mientras que °C es de
. Se sabe que la resistencia es función lineal de la temperatura y está dada por ,
donde es la resistencia °C y es una constante. Obtener los valores de y .
Problema 5
Resolver el Ejemplo 2 con los datos siguientes: .
Problema 6
Resolver el Ejemplo 2 con los datos siguientes: .
Problema 7
Encontrar el valor de las corrientes en los resistores del circuito que se muestra en Figura 3.
Figura 3, Circuito para el Problema 7.
Problema 8
Encontrar el valor de las corrientes en los resistores del circuito que se muestra en Figura 4.
Figura 4. Circuito para el Problema 8.
Bibliografía
Beiser, Arthur (1982). Matemáticas básicas para electricidad y electrónica. McGraw-Hill (Serie Schaum).
Domínguez Torres, José Alejandro (1983). Breve introducción a los números complejos y sus aplicaciones
a la electricidad. CONALEP Plantel El Sol. www.slideshare.net/Alexdfar/aplicaciones-de-los-
nmeros-complejos
Kramer, Arthur D (1983). Fundamentos de matemáticas: un enfoque para técnicos. McGraw-Hill.
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