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  • me encanto . me preguntaba donde podria encontrar mas problemas resultos de aplicaciones
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  • Excelente, redacion. Lo felicito grandemente por la forma de exponer el tema. La informacion comienza con el desarrollo historico de los numeros complejos desde la perspetiva de los numeros imaginarios y luego va explicando el desarrollo y evolucion de estos hasta su representacion geometriza y finalmente una aplicacion de cierta dificultad pero se puede apreciar el rol de los numeros complejos en la misma. Si tiene otros articulos me encantaria leerlos. Gracias
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  • Muy interesante
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  • 1. BREVE INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROSCOMPLEJOS Y SUS APLICACIONES A LAELECTRICIDAD1 ALEJANDRO DOMÍNGUEZ COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL” NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO 18 DE AGOSTO DE 1983Recomendaciones y advertenciasLos presentes apuntes corresponden a una unidad del programa de Matemáticas I (Álgebra), cuyaasignatura se imparte a los estudiantes de la carrera de Técnico Profesional en Electrónica Industrial.Estos apuntes son un apoyo didáctico tanto para los profesores como para los estudiantes y nopretenden ser un estudio especializado sobre números complejos y/o electricidad, ya que, como sunombre lo indica, sólo son una breve introducción a dichos temas.Se inicia con una breve reseña histórica, la cual sirve para introducir un nuevo concepto: númerosimaginarios. Continua con la definición y propiedades algebraicas de los números complejos, los cuales, asu vez, sirven para introducir la representación geométrica de los mismos. Por último, se describe laaplicación de estos números al cálculo de impedancias equivalentes en una red eléctrica.Introducción históricaLos números complejos aparecen por primera vez en la solución de ecuaciones de segundo y tercergrado a fines del siglo XV y principios del XVI. En esos tiempos la solución de ecuaciones algebraicas erauno de los problemas centrales del álgebra.Pero no es sino hasta después de dos siglos que fueron aceptados como un recurso técnico. Ciertamenteque con las aportaciones de Argand, Gauss y Hamilton se descorre el velo de misterio que rodeaba aestos números, pero sólo en el terreno formal; esto no significó, de ninguna manera, que los númeroscomplejos fueran aceptados por completo entre los matemáticos, ni mucho menos que fuerancomprendidos del todo. Todavía en el siglo XIX muchos matemáticos seguían considerándolos como“entes abominables”. Con este se quiere señalar que el concepto de número complejo fue difícil deentender: es por ello que se tardó tanto tiempo en ser aceptados.1 Este documento es una versión transcrita, mejorada y editada del original, el cual fue creado de forma manuscritadebido a la nula accesibilidad del autor a las computadoras y a la no existencia de procesadores de textoapropiados que permitieran la edición de términos matemáticos. Página 1 de 9
  • 2. Los números imaginariosExiste una infinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales están estrechamenteligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no causa tanta confusiónmatemática: un número imaginario representa una idea matemática precisa, que se introdujo por lafuerza en el álgebra de la misma manera que con los números negativos. De esta forma suentendimiento y uso serán más claros si consideramos el desarrollo de sus progenitores: los númerosnegativos.Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron éstas; o mejor dicho,tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma: + = 0; , > 0,tiene una raíz negativa.Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario, descartaron a losnúmeros negativos. Incapaces de adoptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlosgráficamente, los griegos no los consideraron de modo alguno. Pero el álgebra los necesitaba paradesarrollarse. Más sabios que los griegos, los chinos y los hindúes reconocieron a los números negativosantes de la era cristiana.Cardan, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y a quien el álgebra debemuchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces (soluciones) negativasen las ecuaciones. Pero su conciencia científica lo remordió hasta el punto tal que las llamó “ficticias”.Rafael Bombelli, de Bologna, prosiguió la obra de Cardan donde éste la había dejado y llegó a hablar delas raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó, del todo, a comprender el concepto denúmeros imaginarios. En una obra publicada en 1572, Bombelli señaló que las cantidades imaginariaseran indispensables para la solución de muchas ecuaciones algebraicas de la forma: 2 + = 0; > 0,y que no pueden ser resueltas sino con el auxilio de números imaginarios. Tratando de resolver unaecuación tan sencilla como 2 + 1 = 0, se pueden distinguir dos alternativas: o la ecuación no tienesentido, o es la raíz cuadrada de −1, que también es absurdo. Pero los matemáticos se alimentan deabsurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa, que generó la burla de muchosmaestros de la época.Sin embargo, el gran Leibniz escribió: “El espíritu divino encontró un escape sublime en ese prodigio del análisis, en ese portento del mundo ideal, en ese anfibio entre el ser y el no ser, al cual llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”.También Euler expresó que números como la raíz cuadrada de menos uno: Página 2 de 9
  • 3. “…no son ni nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.Euler estaba en lo cierto, pero omitió decir que los números imaginarios eran útiles e imprescindiblespara el desarrollo de las matemáticas y la tecnología. Así, se les asignó un lugar en el dominio de losnúmeros con todos los derechos, privilegios e inmunidades pertenecientes a ellos.Los números imaginarios surgieron de la extensión lógica de ciertos procesos. El proceso de extraerraíces se denomina “evolución”. Es un nombre a propósito, porque los números imaginariosevolucionaron, literalmente, por el proceso de extraer raíces. Si 4, 7, 11 tenían sentido, ¿por qué nohabrían de tenerlo −4, −7, −11? Si 2 − 1 = 0 tenía una solución, ¿por qué no habría de tenerla 2 + 1 = 0? El reconocimiento de los imaginarios era como el reconocimiento de la Rusia Soviética porlos Estados Unidos de Norteamérica la existencia era innegable, todo lo que se necesitaba era unasanción formal y su aprobación.El número imaginario más conocido es −1. Euler lo representó por el símbolo que aún se usa en la 2literatura. Claramente, × = 2 = −1 = −1.Las leyes formales de operación para son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene: × +1 = ; × −1 = −; − × −1 = ; × = 2 = −1; × × = 2 × = −1 × = −; × × × = 2 × 2 = −1 × −1 = 1.Con lo anterior se puede construir una tabla muy útil: 1 + 2 −1 3 − 4 +1 5 + 6 −1 7 − 8 +1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮Esta tabla indica que las potencias impares de son iguales a + o − y que las potencias pares de soniguales a −1 o +1. Página 3 de 9
  • 4. Los números complejosLa extensión de los números imaginarios conduce a los números complejos, que son de la forma + ; , ∈ ℝ; siendo ℝ el conjunto de los números reales.El conjunto de los números complejos está definido de una manera rigurosa como: ℂ = + , ∈ ℝ, = −1 .De esta definición es fácil ver que el conjunto de los números reales está contenido dentro de losnúmeros complejos; es decir ℝ ⊂ ℂ.Con esta instrucción rigurosa de los números complejos es suficiente para explorar cómo funcionan; esdecir, explorar su aritmética.Se iniciará con la pregunta siguiente ¿cuándo dos números complejos + y + son iguales? Paradar una respuesta adecuada a esta cuestión, notar que: + = + ⇒ − = − .La única forma para que esta igualdad se cumpla es que: − = 0 y − = 0.Ya que si no fuera así se tendría un número real es igual a un número imaginario, lo cual es imposible. Deesta forma, la igualdad entre números complejos se define como: + = + ⇔ = , = .Para poder explicar con palabras este resultado, se introducirán dos conceptos útiles: el númerocomplejo = + se puede dividir en dos partes, la parte real de , = , y la parte imaginariade z, = . En otras palabras, es el número real que “no está acompañado de la ” e es el número real que “está acompañado de la ”.De acuerdo a estas definiciones, la respuesta a la pregunta de cuándo dos números complejos soniguales es: dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partesimaginarias también son iguales.Las definiciones de parte real y parte imaginaria de un número complejo son muy útiles para definirotras operaciones entre estos números, tal como la suma (resta): la suma (resta) de dos númeroscomplejos es igual a la suma (resta) de sus partes reales más veces la suma (resta) de sus partesimaginarias. En símbolos: + ± + = ± + ± .Por ejemplo, si 1 = 5 + 6 y 2 = 3 + 8, son dos números complejos, entonces: 1 + 2 = 5 + 6 + 3 + 81 = 5 + 3 + 6 + 8 = 8 + 14. Página 4 de 9
  • 5. Si 1 = 2 − 3 y 2 = 1 − 4, entonces: 1 − 2 = 2 − 3 − 1 − 4 = 2 − 1 + −3 − −4 = 1 + −3 + 4 = −3 + 1 = −3 + .La multiplicación de dos números complejos no se efectúa de la misma forma que la suma o la resta. Lamultiplicación se efectúa de la misma forma en la cual se multiplican dos polinomios: 1 2 = + + = + + + = + + + 2 = − + + .He aquí un ejemplo, si 1 = 1 + 8 y 2 = 3 + 2, entonces: 1 2 = 1 + 8 3 + 2 = 1 3 + 2 + 8 3 + 2 = 3 + 2 + 24 + 16 2 = −13 + 26.Antes de indicar cómo se efectúa la división de dos números complejos, es conveniente definir unaoperación que sólo es válida dentro de este conjunto de números. Esta operación se llama “complejoconjugado”. Así, el complejo conjugado de = + es el número complejo denotado como , es elnúmero complejo = − . En otras palabras, el “efecto” de la barra del número complejo escambiarle el signo a la parte imaginaria de . Por ejemplo: = 2 + 4 ⇒ = 2 − 4.Con esta operación ya se puede definir la operación de división de dos números complejos. Para ello seutilizará el hecho de que un número dividido entre sí mismo es igual a uno: 1 + + + 2 + − − + − = = ×1= × = × = 2 + + + 2 + − 2 + 2 − − = 2 + . + 2 2 + 2Así, la división de dos números complejos es otro número complejo. Como ejemplo, si 1 = 3 + 2 y2 = 5 − 6, entonces: 1 3 + 2 3 + 2 3 + 2 2 3 + 2 5 + 6 15 − 12 + 10 + 18 = = ×1= × = × = 2 5 − 6 5 − 6 5 − 6 2 5 − 6 5 + 6 52 + −6 2 3 28 3 28 = + = + . 25 + 36 25 + 36 61 61Representación geométricaUno de los hechos determinantes no sólo para el desarrollo de los números complejos, sino tambiénpara la aceptación y comprensión de los mismos, fue su representación geométrica. En las obras deGauss (1831) se encuentra la cita siguiente: “En esta representación geométrica uno encuentra el significado intuitivo de los números complejos completamente establecido y no se necesita más para admitir Página 5 de 9
  • 6. estas cantidades en el dominio de la aritmética […] La interpretación geométrica para la verdadera metafísica es los números imaginarios, bajo un nuevo enfoque”.Sobre la base de que cada número complejo + estácompletamente determinado por dos números reales , , larepresentación geométrica consiste en asociarle a cada número deéstos el punto , en el plano cartesiano:De esta manera, a los puntos sobre el eje de las abscisas (eje ),que se denominará “eje real”, corresponden a los números realesℝ, que son de la forma + 0; a los puntos sobre el eje de lasordenadas (eje ), se de denominará “eje imaginario”,corresponden a los números imaginarios ℑ, que son de la forma0 + . En particular, el punto 0,1 representa al número complejo. Así, queda establecida una correspondencia biunívoca entre elconjunto de los números complejos y el plano cartesiano.De acuerdo con esta representación, el número complejo = 3 + 4 le corresponde el punto el plano cartesiano 3,4 .Con esta representación de los números complejos, a la distanciaque existe del punto origen del plano cartesiano 0,0 = 0 + 0 al punto , = + = se ledenomina “magnitud de ” y se denota como . De acuerdo con el Teorema de Pitágoras estamagnitud está definida por: 2 = 2 + 2 . 2 2 2Por ejemplo, la magnitud de = 3 + 4 es = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5.Una propiedad importante de la magnitud de un número complejo es que igual a la raíz cuadrada delproducto del número complejo por su complejo conjugado. En efecto, si = + , entonces: 2 2 2 = + + = + − = 2 2 2 − + − = 2 − + − 2 2 = 2 + 2 . Esta forma de obtener la magnitud de un número complejo será de gran utilidad en las aplicaciones se muestran más adelante. Otro concepto que es de gran utilidad en las aplicaciones es el denominado “argumento de un número complejo”, el cual está definido como el ángulo que forma la línea que va del origen al número complejo. De acuerdo con la trigonometría, si se denomina a este ángulo como , entonces se tiene que tan = ; de lo que Página 6 de 9
  • 7. resulta que el argumento de = + , denotado como , es igual a: = = tan−1 . Por ejemplo, el argumento de = 3 + 4 es: 4 = tan−1 = 0.93 = 53.13°. 3Notar que de acuerdo a los conceptos de magnitud y argumento, una forma de pasar del punto 1,0 = 1 + 0 = 1 [con magnitud 1 y argumento 0°] al punto −1,0 = −1 + 0 = −1 [con magnitud 1y argumento 180°], sin cruzar por el punto 0,0 = 0 + 0 = 0, es recorrer el camino de todos lospuntos (números complejos) cuya magnitud sea 1; es decir, recorrer un semicírculo. Esto a su vez, indicaque los números complejos se podrían interpretar como un “puente”, “paso a desnivel” o “túnel” parallegar de un número real a otro número real sin pasar por los números reales intermedios.Aplicación de los números complejos a la electricidadUna aplicación de los números complejos es el cálculo deimpedancias equivalentes en redes eléctricas a corrientealterna. Antes, es necesario introducir algunos conceptos decircuitos eléctricos.La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de lacorriente eléctrica de cualquier circuito. Por lo general, en lostextos, la magnitud de la impedancia se denota como yse suele definir como: 2 2 = + − 2 ;donde = es la impedancia resistiva o la resistencia del cuerpo a que fluya la corriente, = (con la frecuencia angular de la corriente alterna) es la impedancia capacitiva siendo la capacidadque tiene el cuerpo para almacenar carga, y = es la impedancia inductiva siendo la magnitudde la oposición que tiene el cuerpo a cambios en la corriente.Debido a la Ley de Ohm ( = ), el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma frecuenciaangular; es decir están en fase. Este no es el caso del voltaje y la corriente a través de un capacitor queretrasa a la frecuencia angular de la corriente alterna en −90° o − . En la corriente a través de un 2inductor, la frecuencia angular sufre una variación de +90° o + ; es decir, se adelanta 90° o . 2 2 Página 7 de 9
  • 8. La representación geométrica de la invariancia, retraso y adelanto de la frecuencia de la corriente conrespecto a la frecuencia del voltaje es como se muestra en la figura adjunta. Lo anterior indica que laimpedancia se puede representar como el número complejo: 1 = + − = + − ; con 1 2 1 2 − = 2 + − y = tan−1 . Por otro lado, las impedancias también obedecen a las mismas reglas que para el cálculo de sus componentes individuales , y en circuitos RLC en serie y en paralelo. Es decir, para un conjunto de elementos 1 , 2 , 3 , ⋯ , que están en serie y en paralelo, respectivamente, la impedancia equivalente es: = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ; 1 1 1 1 1 = + + + ⋯+ . 1 2 3 Ejemplo 1. Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circulauna corriente de = 2 sin 500 Amp. Obetner la magnitud de laimpedancia equivalente del circuito y el ángulo de desfasamiento entrela corriente y el voltaje.Solución. En este caso = 500. El número complejo que representa ala impedancia equivalente es: = 10Ω + 20 × 500 = 10Ω + 20 × 10−3 × 500 = 10Ω + 10. ΩDe esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es: 2 2 2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200 = 14.14Ω.El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia equivalente: 10 = = tan−1 = tan−1 1 = . 10 4Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la frecuencia de entrada.Ejemplo 2. Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente, obtener la impedancia total si1 = 2 Ω, 2 = 6Ω, = 4Ω, = 2Ω. Página 8 de 9
  • 9. Solución. En este caso: 1 = 1 − = 2 − 4; 2 = 2 − = 6 + 2.Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces: 1 1 1 = + 1 2Esto implica que: 1 2 2 − 4 6 + 2 20 − 20 10 − 10 4 + 50 − 30 = = = = × = = 2.9 − 1.8. 1 + 2 2 − 4 + 6 + 2 8 − 2 4 − 4 + 17La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son: 2 2 2 2 2 = 2.9 + 1.8 = 8.41 + 3.24 = 11.65 = 3.41Ω; −1.8 = = tan−1 = tan−1 = tan−1 0.62 = 0.55. ∎ 2.9Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del siglo XX el eminentecientífico John von Neumann acerca de los números complejos: “Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada de la que dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno era el problema de salvar vidas en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y los esfuerzos empleados en resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable Compleja. Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”BibliografíaAragón, Jorge (1978). Notas de clase: notas de números complejos. Comunicación Interna No. 12. Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM, MéxicoKasner, Edward & James Newman (1972). Matemáticas e imaginación. CECSA, México.Edminister, Joseph A (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Scahum, McGraw-Hill, México.Lorrain, Paul & Dale Corson (1979). Electromagnetism. W.H. Freeman and Company, USA. Página 9 de 9