020 limites (teoria indeterminaciones)

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020 limites (teoria indeterminaciones)

  1. 1. INDETERMINACIONESTipos de indeterminaciones.- Al estudiar los limites en R (R ampliada) había casos en los que no era posible saber cual era ellimite de la suma, producto, cociente, etc.Estos casos son: * ∞ - ∞, *0*∞ *0/0 *∞/∞ * 1∞ , 00, ∞0 (Las dos ultimas se estudiaran en cursos superiores mediante la regla de L`Hopital).Estas formas se llaman indeterminaciones. Pn ( x) a n x n + a n −1 x n −1 + .... + a 0  0 * Forma 0/0: Si lim f(x) = lim = lim m −1 =   el teorema del resto x → a Q ( x) x →a b x m + b + .... + b0  0  m −1 x x →a m mnos asegura que por anularse para x=a, ambos polinomios son divisibles por (x-a). Simplificandodesaparece la indeterminación.Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a ∞ la resolución es trivial.* Forma ∞ / ∞ :(Nota . Es ya sabido que el limite de las funciones de la forma (k/xn) es 0).La indeterminación de la forma ∞ / ∞ procede del cociente de dos polinomios cuando x tiende a ∞."La indeterminación se elimina dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x queaparezca en el numerador o en el denominador."REGLA PRACTICA  ∞ si n > m  Pn ( x) a n x n + a n− 1 x n− 1 + .... + a 0  a nlim f(x) = lim = lim =  si n = m x → ∞ Q ( x) x → ∞ b x m + b x m − 1 + .... + b 0  bmx→ ∞ m m m− 1  0 si n < mNota: La misma regla sirve para exponente fraccionario, es decir, para el caso de tener raíces.Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a un numero real “a” la resolución es trivial.LIMITE DE FUNCIONES IRRACIONALES* Forma 0/0: Suele desaparecer la indeterminación, multiplicando numerador y denominador por elconjugado del que tenga la raíz.
  2. 2. * Forma ∞ / ∞: Para resolver la indeterminación basta observar los grados “reales” de lasexpresiones polinomicas y no polinomicas del numerador y el denominador. Una vez observadoaplicar el mismo resultado de la forma ∞ / ∞.* Forma ∞ - ∞ La forma indeterminada ∞ - ∞ procede del limite de una suma de funciones en las que una deellas tiene por limite +∞ y otra -∞ . El caso es trivial a menos que una de ellas sea irracional. "La indeterminación se elimina multiplicando y dividiendo el binomio por el binomio conjugadode la diferencia dada."* Forma 0 ⋅ ∞Estos limites se transforman en 0/0 ó ∞ / ∞ mediante operaciones sencillas, al menos en los casosque estudiaremos en el presente curso.* El numero "e". Forma 1∞Como ya se vio en el álgebra de limites el limite lim x →a [ f(x)] g ( x ) L = L1 2 . Sin embargo hay ocasiones en que esta potencia no tiene ningún sentido: 1 ∞ , 00, ∞0. Se trata, pues, de casos de indeterminación, que se resuelven con ayuda del llamado “numero e”.El numero irracional "e" aparece en matemáticas cuando se calcula el limite cuando x tiende a ∞ de la x  1 función f ( x) = 1 +   xUtilidad - Permite resolver la indeterminación del tipo 1∞. - Como base de un sistema de logaritmos (ya estudiado). x  1Calculo aproximado e = x →∞ 1 +  = 2,71828182845…….. lim  x x 1 2 3 4 1000 10.000 100.000 1.000.000 x 11 +  2 2,25 2.370337 2.441406 2.716924 2.718146 2.718255 2.7182805 x 0Otras expresiones del numero "e" 1.- lim (1+1/x)x+p = e p=cte 2.- lim (1+1/x)xp = ep p=cte 3.- lim (1+p/x)x = ep p=cteLimites del tipo "e"Teorema 1: Sea f una función tal que lim f(x) = ∞ con a∈R o a=±∞, entonces se tiene que x→ a f ( x)  1 lim 1 +   = e.x→ a  f ( x)  
  3. 3. Teorema 2: Sean f y g dos funciones tales que lim f(x) =1 y lim g(x) = ∞ (a cualquiera) x→ a x→ aentonces lim [f(x)] g ( x) l im ( f ( x ) − )⋅g ( x ) 1 =e x→a x→a

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