Fisica ii

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Fisica ii

  1. 1. INDICE Tema I: La Carga Y La Materia Pág. 1.1.- Introducción 2 1.2.- Conductores y Aisladores 3 1.3.- Conservación y Cuantización de la Carga 3 1.4.- Ley de Coulomb 4 1.5.- Fuerzas en las que intervienen fuerzas multiples 6 1.6.- Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas 7 1.7.- Ejercicios propuestos 11 Tema II: Campo Eléctrico 2.1.- Introducción 15 2.2.- Campo Eléctrico 15 2.3.- Campo Eléctrico de una carga puntual 15 2.4.- Campo Eléctrico debido a cargas múltiples 16 2.5.- Dipolos eléctricos 18 2.6.- Líneas del campo eléctrico 19 2.7.- Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga 20 2.8.- El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico 23 2.9.- Ejercicios propuestos 24 Tema III: Ley de Gauss 3.1.- Introducción 28 3.2.- Flujo eléctrico 28 3.3.- Ley de Gauss 31 3.4.- Aplicación de la Ley de Gauss 33 3.5.- Conductores y Campos eléctricos 35 3.6.- Ejercicios propuestos 39 Tema IV: Potencial Eléctrico 4.1.- Introducción 43 4.2.- Potencial Eléctrico 43 4.3.- Potencial de potencial eléctrico 43 4.4.- Diferencia de potencial eléctrico 45 4.5.- Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas 46 4.6.- Energía potencial eléctrica 48
  2. 2. 4.7.- Superficies equipotenciales 50 4.8.- Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos 50 4.9.- Potencial de un conductor cargado 51 4.10.- Ejercicios propuestos 52 Tema V: Capacitores y Dieléctricos 5.1.- Introducción 56 5.2.- Capacitancia 56 5.3.- Calculo de la Capacitancia 57 5.4.- Energía en capacitores 58 5.5.- Energía en capacitores 59 5.6.- Combinación de capacitores 60 5.7.- Dieléctricos 62 5.8.- Ejercicios propuestos 63 Tema VI: La Corriente y La Resistencia 6.1.- Introducción 67 6.2.- La corriente eléctrica y la densidad de corriente 67 6.3.- Resistencia, Resistividad y Conductividad 70 6.4.- Modelo de conducción eléctrica 71 6.5.- Energía y Potencia eléctrica 73 6.6.- Ejercicios propuestos 74 Tema VII: Circuitos de Corriente directa 7.1.- Introducción 78 7.2.- Fuerza electromotriz 78 7.3.- Resistores en serie y paralela 79 7.4.- Regla de Kirchoff 81 7.5.- Circuitos RC 82 7.6.- Instrumentos de medición 85 7.7.- Ejercicios propuestos 86 Tema VIII: Campos Magnéticos 8.1.- Introducción 90 8.2.- Campos magnéticos 90 8.3.- Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente 92 8.4.- Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme 94 8.5.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 95 2
  3. 3. 8.6.- Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón 96 8.7.- Efecto may 99 8.8.- Ejercicios propuestos 100 Tema IX: Ley de Ampere 9.1.- Introducción 104 9.2.- Ley de Biot - Savart 104 9.3.- Ley de Ampere 105 9.4.- Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos 106 9.5.- Campo magnético de un solenoide 107 9.6.- Flujo Magnético 108 9.7.- La corriente de desplazamiento de Maxwell 109 9.8.- Ejercicios propuestos 111 Tema X: Ley de Faraday 10.1.- Introducción 115 10.2.- Ley de Faraday y la Inductancia magnética 115 10.3.- Ley de Lenz 117 10.4.- fuerza electromotriz en movimiento 117 10.5.- Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento 119 10.6.- Fuerza electromotriz y campos eléctricos 120 10.7.- Generadores y Motores 122 10.8.- Ejercicios propuestos 125 Tema XI: Inductancia 11.1.- Introducción 130 11.2.- Inductancia 130 11.3.- Circuitos RL 132 11.4.- Energía en Inductores 134 11.5.- Energía en campos magnéticos 135 11.6.- Inductancia mutua 137 11.7.- Osciladores en un circuito LC 138 11.8.- Circuitos RCL 141 11.9.- Ejercicios propuestos 142 Tema XII: Inductancia 12.1.- Introducción 147 12.2.- Transformadores 147 12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A. 149 3
  4. 4. 12.4.- Circuitos de corriente alterna en serie con RCL 153 12.5.- Potencia en un circuito de C.A. 155 12.6.- Resonancia en un circuito en serie RLC 157 12.7.- Circuitos filtros 158 12.8.- Ejercicios propuestos 159 Anexos 160 Respuestas 166 Bibliografía 179 4
  5. 5. TEMA I LA CARGA Y LA MATERIA 1.1 INTRODUCCIÓN: Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los electrones. La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón. La carga del electrón 19 1, 6 10e coulomb− − = × y su masa es 31 9,11 10 .Kg− × La carga del protón 19 1, 6 10e coulomb− = × y su masa es 27 1,6 10 .Kg− × Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de electrones. Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones. Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los protones y negativa para los electrones. Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro tiene igual número de protones que de electrones. La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción. - Electrización por frotamiento - Podemos transferir carga eléctrica frotando una varilla de vidrio con un paño, o frotando una varilla de teflón con un trozo de piel. (ver figura 1.1) 5
  6. 6. La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga eléctricamente positivo (protones). - Electrización por Inducción. Utilizamos dos esferas metálicas neutras, sosteniendo cada una por un soporte aislado, tocándose cada una (Figura 1-2.a). Si llevamos una varilla de teflón, con cargas negativas, muy cerca de una de las esferas, los electrones en movimiento en la esfera se van al lado opuesto de la otra esfera, dejando cargas opuestas en las dos esferas (Figura 1.2.b). Mientras sigue cerca la varilla de teflón, separamos las dos esferas, dejándolas con cargas opuestas (Figura 1.2.c). Aun cuando quitemos la varilla de teflón, las cargas inducidas por ella permanecen en las dos esferas metálicas (figura 1.2.d). Decimos que las dos esferas se han cargado por inducción. 6
  7. 7. 1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material. Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad sobre la superficie del conductor. Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades eléctricas se encuentran entre los correspondientes a los aisladores y conductores, un ejemplo de estos son el silicio y el germanio. 1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA. - Conservación de la carga. La carga neta es igual antes y después de cualquier interacción. Un ejemplo de esto lo observamos en las electrizaciones que indicamos en el punto anterior. El intercambio de electrones y interactuando no hace que varíe la carga total del sistema. Nadie ha presenciado caso alguno en la que aparezca una carga neta. - Cuantización de la carga. La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de que nunca se han observado cargas menores que la del electrón. En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e− , o sea un electrón. 1.4 LEY DE COULOMB. • Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales. • La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une. • Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas. • La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión si son de signos iguales. • K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que se expresen F, q y r. 7
  8. 8. 2 9 2 0 1 9 10 4 Nw m K Cπ = = × ∈ • 0∈ constante de permisividad del espacio vacío. 2 12 0 2 8,85 10 C Nw m − ∈ = × La Ley de Coulomb establece: “La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que las separa”. 2 0 1 ' 4 K q q rπ = ∈ F 123 r (1.1) Donde: F = Es la fuerza que ejerce q sobre q’. k = Es el vector unitario de vector posición. r = Es la magnitud del vector posición. K = Constantemente de proporcionalidad. q y q’= Son las cargas que interactúan. La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas son de 1C cada una. Ejemplo: Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto (0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón. DATOS: 19 2 2 1, 6 10 3 3 10 2 2 10 e p C x cm m y cm m − + − − − = = × = = × = = × 8
  9. 9. ( ) ( ) 2 22 2 2 3 3 10 2 10 1,3 10ep m m m− − − = × + × = ×r a) Aplicando la Ley de Coulomb. ( ) 2 2 0 25 26 1 , 4 , 1,47 10 9,74 10 q e p r e p Nw π − − − − = ∈ = − × + × F r F i j b) , ,e p p e− − = −F F entonces: ( ) ( ) 2 225 26 , , 1,47 10 9,74 10e p p e Nw− − − − = = × + ×F F 25 , 1,76 10p e Nw− − = ×F 1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES. Se aplica el principio de Superposición: la fuerza sobre cualquier carga, originada por un conjunto de carga individual. 1 2 3 2 1 104 t n n n i t i i i i i F F F F F qq F F r rπ= = = + + + + = = ∈ ∑ ∑ KK (1,2) Pasos para resolver ejercicios de este tipo. 1.- Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que interactúan. 2.- No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad vectorial. 3.- Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica. Ejemplo: Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado, centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha fuerza? (ver Figura 1.4). 9
  10. 10. 1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto. ( ) 3 21 2 4 2 2, 4,2 3,2 1,22 2 2 0 1,2 3,2 4,2 2 2 2 2, 2 2 2 2 9 9 2, 2 2 9 2, 2 1 4 2 4 4 cos sin 4 8 8 1.3185 10 7.695 10 7.807 10 TOTAL TOTAL total total Q QQ Q Q Q Nw r r r q q q k Nw L L L q Nw L q Nw L π θ θ   = + +  ∈      = + − + −    = × × = × F r r r F i i j F i - j F 1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS. Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras. 10
  11. 11. Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como una distribución continua de carga eléctrica. Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6) .- Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de .q∆ .- Se aplica la ley de Coulomb para calcular la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba. 2 0 1 ' 4 q q rπ ∆ ∆ = ∈ F r .- Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga. 2 10 ' 4 n i i i i qq rπ = ∆ ≅ ∈ ∑F r Este valor de la fuerza es aproximado .- Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño comparado con la distribución a ρ , entonces podemos decir que el límite de 0.iq∆ → 20 10 ' lim 4 i n i i q i i qq rπ ∆ → = ∆ = ∈ ∑F r 2 0 ' 4 q db rπ = ∈ ∫F r (1.3) 11
  12. 12. En donde la integración es una operación vectorial. Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una carga de prueba q’. Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal. - Densidad volumétrica de carga. Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por unidad de volumen, ( ) ,rhoρ se define por: Q V ρ = en donde ρ tiene las unidades 3 C m (1.4). - Densidad superficial de carga. Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A, la densidad lineal de carga, ( ) ,sigmaσ se define por: , Q A σ = en donde σ tiene las unidades de 2 C m (1.5). - Densidad lineal de carga. Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la densidad lineal de carga, ( ) ,landaλ se define por: Q L λ = en donde λ tiene las unidades de C m (1.56). Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o línea, se tendría que expresar las densidades de carga como. ; ; dQ dQ dQ dV dA dL ρ σ λ= = = (1.7) Ejemplo: Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de prueba q’ ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de los extremos. 12
  13. 13. Solución: 1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeños q∆ 2.- Aplicamos la Ley de Coulomb 2 0 1 ' 4 q q rπ ∆ ∆ = ∈ F r Como q L λ ∆ = ∆ despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆ Sustituyendo en la ecuación en la ecuación 2 0 1 ' 4 q x x λ π ∆ ∆ = ∈ F i 3.- Se evalúa la fuerza eléctrica total ( ) ( ) 2 0 0 0 0 ' 4 ' 1 4 ' 1 ' 4 4 L d d L d d q dx x q i x q L q Q d L d d l d π π π π + + ∆ = = ∈ ∆ − = = ∈ ∆ = = ∈ + ∈ + ∫F i F F i i Ejemplo: 13
  14. 14. Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total Q, sobre una carga puntual q’, colocada en el eje. El radio del anillo es R, y q’, está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura 1.8) Solución: .- Dividimos la solución continua de carga en pequeños .q∆ Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas perpendiculares. Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se realizan sobre el eje y. .- Aplicando la Ley de Coulomb. 14
  15. 15. ( ) ( ) 2 0 2 2 0 2 2 0 1 ' 4 ' cos 4 ' 4 q q y r r q q y R L q qL y R L π θ π π ∆ ∆ = ∈ ∆ ∆ = = ∈ + ∆ ∆ = ∈ + F F F .- Se evalúa la fuerza eléctrica total. ( ) ( ) 3 22 2 0 3 22 2 0 ' 4 ' 4 q L Fy dq R L q L Fy R L π π = ∈ + = ∈ + ∫ 1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1) Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 5 5 10 .C− × ¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts? 2) Dos cargas de 9 1 10 C− × están en el aire separadas 8 cm. Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una tercera de 11 5 10 C− × distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas. 3) Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga 6 1 2 10q C− = × están en y = 2m y una carga 6 2 3 10q C− = − × está en y = 1m ¿En donde debe colocarse una tercera carga positiva, 3,q de modo que la fuerza resultante sobre ella sea cero?. 4) Se supone que un protón está formado de dos quarks “arriba” de carga +(2/3) e y uno “abajo” de carga -(1/3)e. Suponga que los 15 10 .x m− ¿Cuáles son las fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks? 15
  16. 16. 5) En el punto ( )13 2 10 m− − × se coloca una carga - e y en el punto ( )13 2 10 m− × otra carga +e. Halle la fuerza F que actúa sobre una carga +e situada en el punto ( )13 0,10 10 .m− × 6) Una carga de 6 3 10 C− × se coloca a 12 cm de una segunda carga de 6 1,5 10 .C− − × Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra sobre cada carga 7) Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, tenga una repulsión Coulombiana máxima? 8) Cierta esfera metálica de volumen igual a 3 1cm posee una masa de 7,5gr y contiene 22 8,2 10× electrones libres. a)¿Cuantos electrones han de quitarse de cada una para que la fuerza electrostática de repulsión entre ellas equilibre exactamente a la fuerza de atracción gravitatoria? Supóngase que la distancia entre las esferas es lo bastante grande para que las cargas sobre cada una de ellas pueda considerarse como puntuales b) Exprésese el número de electrones eliminados como fracción del número de electrones eliminados como fracción del número total de electrones libres. 9) Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene 2 1,93m s de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es 2 5,36m s ? Qué carga tiene cada partícula. 10) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados a, como se ve en la Figura 1.10. Determine la fuerza resultante sobre la carga positiva q. 16
  17. 17. 11) Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado. Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?. 12) Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 6 1,2 10 C− × en las esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica neta sobre una carga de 6 2 10 C− − × que se coloca en el punto medio de uno de los lados? 13) Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice. a) Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas es 2 2 00,0252F q a= ∈ b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga puntual Q colocada en el centro del Cubo? 14) Dos esferas similares de masa m cuelga de hilos de seda de longitud L y tiene cargas semejantes q, como se muestra en la Figura 1.9. Suponer que θ es lo suficientemente pequeño como para que la tanθ puede reemplazarse por el senθ . Utilizando esta aproximación, a) demostrar que ( ) 1 3 02x qL mgπ= ∈ en donde x es la separación entre las esferas b) ¿Cuánto vale q sí L =120cm, m =10gr y x5cm? C) Explique en detalles lo que sucedería si las bolas son conductoras y se descargase una de ellas totalmente. 17
  18. 18. 15) a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b) ¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este problema? 16) Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.12). Se coloca una carga q’ en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga 02 /D Lλ λ= y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q’. 17) Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial de carga σ , sobre una carga q. 18
  19. 19. 18) Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 4 2 10 / .C m− Se cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es 9 5 10q C− = × ? b) ¿Sí es 9 2,4 10 C− − × ?. 19) Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q? 20) Dos varillas, cada una con longitud 2L, se colocan paralelas entre sí a una distancia R. Cada una tiene una carga total Q, Distribuida uniformemente en la longitud de la varilla, pero no la evalúe. Sin desarrollar las integrales, ¿Puede usted determinar la fuerza entre las varillas cuando R>>L? 19
  20. 20. TEMA II CAMPO ELÉCTRICO 1.8 INTRODUCCIÓN: Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de magnitudes vectoriales. 2.2 CAMPO ELÉCTRICO Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q’ colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q’. ' Nw q C = F E (2.1) La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica que actúa sobre la carga que prueba q’. 2.3 CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL. Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba q’, separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb 2 0 1 ' 4 q q rπ = ∈ F r Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos: 2 0 1 4 q rπ = ∈ E r (2.2) Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico generado por una carga puntual. Ejemplo: Una carga de 6 3 10 C− × está ubicada en ( ) ( ), 0 ,3 .x y cm cm= Determine el campo eléctrico en un punto ( ) ( ), 4 ,9 .P x y cm cm= 20
  21. 21. ( ) ( ) ( ) 2 0 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 1 4 4 6 16 36 52 52 10 9 10 q E r r r x y cm r cm cm r m Nw m E π − = ∈ = + = + = + = = × = × 2 C 6 2 3 10 C− × 2 52 10 m− × 2 2 4 10 m− × 2 72 10 m− × 2 6 10 m i − × + 2 72 10 m− × ( ) ( ) 4 3 3 5,19 10 0, 055 0, 083 2,88 10 4,33 10 j Nw E i j C Nw E i j C = = × + = × + × 2.4 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES Cuando se tiene cargas múltiples aplicamos el principio de superposición para determinar el campo eléctrico neto o resultante. Este principio establece que la fuerza eléctrica neta sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas debida a las cargas puntuales individuales. O sea que el campo eléctrico neto es la suma vectorial de los campos de las cargas individuales presentes. 21
  22. 22. 1 2 3 2 1 10 1 4 T n n n i T T i i i E E E E E q E E ri rπ= = = + + + + = = ∈ ∑ ∑ KKK (2.3) Ejemplo: Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2) Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 6 8 10 ,C− × el modulo del campo eléctrico y su dirección Solución: a) 22
  23. 23. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 0 2 2 6 6 9 2 22 2 2 2 9 5 2 5 2 2 4 2 6 92 2 2 2 0 2 1 1 1 2 4 4 5 10 3 10 9 10 60 50 10 50 10 9 10 2 10 / 1, 04 10 / 8, 65 10 1 3 10 cos 9 10 4 50 1 x y Ex E E g q Ex i sen i r r Nwm C C Ex sen i C m m Nwm Ex C m C m i C Nw Ex i C q Nwm C Ey E j r C θ π π θ π − − − − − − − = + = − ∈ ∈   × × = × −  × ×  = × × − × = × × = = − = × ∈ ×( ) ( ) ( ) ( ) 22 4 4 4 cos 60 0 5, 4 10 8, 65 10 5, 4 10T j m Nw Ey j C Nw E i j C − − = × − = × − × b) El modulo del campo eléctrico ( ) ( ) 2 22 4 9 9 4 8,65 10 5,4 10 / 7.48 10 2,92 10 / 10,19 10 / T T T E Nw C E Nw C E Nw C = × + × = × + × = × c) La dirección es: 4 4 5,4 10 0,62 0,62 8,65 10 31,96 32 Ey tg tg arctg Ex θ θ θ θ × = = ⇒ = ⇒ = × = ≅ o 23 θxE yE tE X Y Figura 2.4
  24. 24. 2.5 DIPOLO ELÉCTRICOS Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario, separadas por una distancia L. (Figura 2.5) Ejemplo: Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6) Solución: Como los campos generados en el eje de las x son iguales pero de sentidos contrarios el campo resultante en esa coordenada es cero ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 0 1 2 1 22 2 2 2 2 0 1 0 1 4 1 2 2 cos 4 4 x x q q Ey E E sen sen j r r q q a Ey j j r a x a x θ θ π θ π π   = + = + −  ∈     = − = − =  ∈ ∈ +  + g 24 P 1xE2xE +q a a -q 2E 2yE 1yE 1E Figura 2.7 θθ
  25. 25. ( ) 3 22 2 0 2 4 aq Ey j a xπ = − ∈ + como x>>a ( ) 3 2 32 0 2 21 4 a aq q Ey j k xxπ = = ∈ 2.6 LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO El campo eléctrico debido a una distribución de carga se pueden visualizar en términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual. Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica la figura. (Figura 2.8) Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica la figura. (Figura 2.9) Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto. La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto. Propiedades de las líneas de campo eléctrico 1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área. 2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es 2 / 4 .N Rπ La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico. 3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan alejándose de las cargas negativas. 4.- Nunca se cruzan dos líneas de campo eléctrico. 25
  26. 26. 2.7 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA. Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea. Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan los siguientes pasos. (Figura 2.10) Se divide la distribución de carga en pequeños elementos .q∆ Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en el punto P. 2 0 1 4 q E r rπ ∆ ∆ = ∈ Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga, sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas. 2 10 1 4 n i i qi E ri rπ = ∆ = ∈ ∑ Este valor de la fuerza es aproximado. Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparado con la distancia a P, entonces podemos decir que el limite de 0qi∆ → 20 10 1 lim 4 n q i i qi E ri rπ ∆ → = ∆ = ∈ ∑ 2 0 1 4 dq E r rπ = ∈ ∫ (2.4) Esta integración es una operación es vertical. El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una distribución continua de carga sobre un punto P. Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a la densidad de carga. 26
  27. 27.  Densidad Volumétrica de carga ( )2.5 Q V ρ =  Densidad Superficial de carga ( )2.6 Q A σ =  Densidad Lineal de carga ( )2.7 Q L λ = Ejemplo: Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ y una carga total Q. ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de un uno de los extremos de la barra? Solución: 1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña .q∆ 2.- Aplicamos la Ley de Coulomb 2 0 1 4 q E r rπ ∆ ∆ = ∈ Como q L λ ∆ = ∆ despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆ Sustituyendo en la ecuación: 2 0 1 4 x E r r λ π ∆ ∆ = ∈ 3.- Se evalúa el campo eléctrico total. 27 L d P xE X∆
  28. 28. 2 0 0 0 4 1 1 1 1 4 4 d L d d L d dx E i x E i r d d L λ π λ π π + + = ∈ −    = = −    ∈ ∈ +    ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 4 4 d L d E i d L d L E i d L d λ π λ λ π  − + + = =  ∈ +  = ∈ + Ejemplo: Una lamina plana infinita, la carga positiva está distribuida de manera uniforme sobre todo el plano xy, con una densidad superficial de carga, .σ Calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto P que esta en el eje Z a una distancia Z = a. (Figura 2.12) Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de .q∆ Aplicamos la Ley de Coulomb. 2 0 1 4 q E r rπ ∆ ∆ = ∈ El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es dq Ldyσ= por lo que la carga dλ por unidad de longitud es dq Ldy d dy L L σ λ σ= = = En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico ,E∆ que esta en l plano y,z 0 2 4 dy E r r σ π ∆ = ∈ Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera. 28
  29. 29. 0 2 4 dy Ez r r σ π ∆ = ∈ Evaluado el campo eléctrico total 0 cos 2 dy E r σ θ π ∞ −∞ = ∈ ∫ Como 2 cos cos a a dy d yrθ θ θ = = sustituyendo cos a dy r θ = 2 cos θ a 2 cos θ cosd dθ θ θ=g Cambiando los límites de integración 2 2aπ π− ( 2 2 2 2 2 E d K K E π π π π σ θ σ θ σ π − − = = = = ∫ ∫ 0 π ∈ 02 K E K σ π ⇒ = ∈ 2.8 EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELÉCTRICO. Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la furaza eléctrica es F = E . q Si esta es la única fuerza ejercida sobre la carga, entonces aplicamos de 2da Ley de Newton. F = m . a ; F = E . q Igualando tenemos ma = E . q despejando la aceleración .E q a m = (2.8) Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en dirección opuesta a la del campo electrónico. Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional. (Figura 2.13) 29
  30. 30. Ejemplo: Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento. ( ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 at Eq Eq x Vot t V V at t m m qE V Vo ax x M Ek mV Eqx = + = ⇒ = + = = + = = = 2.9 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1) Una carga de 6 12 10 C− − × está en el punto x =0m y una segunda carga 9 0,5 10 ,C− × en el punto x =0,1m. ¿Cuál s la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en x =1m y b) x =0,11m? 2) Una carga eléctrica de 6 2,8 10 C− − × está ubicada en el origen. Determine el campo eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3. 3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de 9 5 10 ,C− − × experimenta una fuerza hacia debajo de 9 20 10 Nw− × cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a) ¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto? 4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente figura. (Figura 2.15) 5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual a su peso? 30 0 0θ = E q X θ Figura 2.14
  31. 31. 6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como se muestra en la figura (2,.16) a)¿En qué punto (que no sea ∞ )?el campo eléctrico es cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P? 7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 10 3 10 C− × y esta sujeta en el extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad de carga de 6 2 25 10 / .C m− × Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical. 8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre la perpendicular al punto medio de la varilla es 2 2 0 1 2 4 q E y L yπ = ∈ + 9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de 6 5 10 .C− − × Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra, en el punto a 30cm de su centro. 10) Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de 4 2 6 10 / .C m− × Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm. 11) Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, ,σ positiva. ¿Cuál es el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas? 12) Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en semicírculo. La carga total sobre la varilla es 6 2 10 .C− × ¿Cuáles son la magnitud y dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo? 13) Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por unidad de área es 6 2 10 .C− × Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia r del disco. 14) El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas, cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 2 100cm de superficie, es 4 1 10 / .N C× ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes. 15) Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 3 5 10 / ,N C× dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 7 1 10 /m s× y forma un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial? b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial? 31
  32. 32. 16) Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de 2 5 10 / .N C× En cierto instante posterior, su velocidad es de 6 2,5 10 / .m s× a) ¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál es su energía cinética en ese instante? 17) Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una velocidad inicial de 5 4,5 10 / ,m s× en una región de un campo eléctrico 200 .E j N C= Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su altura máxima. 18) a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de 6 1 10 .N C× ? b) ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez sea de un décimo de la velocidad de luz? 19) En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo de 8 1,5 10 .seg− × Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando llega a la segunda lámina. 20) Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial 6 3 10 /m s× y un campo eléctrico 200 N/C. la anchura de las placas es L = 0,1 m. a) ¿Determinar la aceleración del electrón mientras se encuentra en el campo eléctrico?. b) Calcular el tiempo que tarda el electrón en recorrer la región del campo eléctrico. c) ¿Cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en campo eléctrico?. d) ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir del campo eléctrico? 32
  33. 33. TEMA III LEY DE GAUSS 1.9 INTRODUCCIÓN Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del campo eléctrico. En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos. 3.2 FLUJO ELÉCTRICO Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el interior de ella. Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1. Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico ∅ EA∅ = (3.1) Las unidades del flujo eléctrico con Nw. M2/C Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo eléctrico formando un ángulo θ con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es igual al que atraviesan las superficie A’, entonces el flujo deseado es: 'EA∅ = Como la relación entre las dos áreas es cosA A θ= cosEA θ∅ = (3.2) Con esto podemos concluir: El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico. El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo. 33
  34. 34. Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área A∆ (Fig. 3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos el flujo eléctrico a través de él. cos .i Ei Ai Ei Aiθ∆ ∅ = ∆ = ∆123 Producto escalar de dos vectores Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total que pasa por la superficie. 1 . n i Ei Ai = ∅≈ ∆∑ Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral. 0 1 sup lim . . n A i erficie Ei i E dA ∆ → = ∅ ≡ ∆ =∑ ∫ Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo que la ecuación se puede escribir como .c E dA∅ = ∫ (3.3) Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo. Ejemplo: Se aplica un campo eléctrico de 4 5 10 / ,Nw C× a lo largo del eje x de anchura y 0,8 m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x. Solución: a) Figura 3.4 34 y x E Área A d
  35. 35. El flujo es: . cosE dA EdA θ∅ = =∫ ∫ El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1 .E dA E A∅ = =∫ El área es b . h 2 4 3 . . . 5 10 / .0.8 .0, 2 8 10 Nw m E b h Nw C m m C ∅ = = × = × b) Figura 3.5 El flujo es: . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫ El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero 0∅ = c) Figura 3.6 El flujo . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫ el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60 35 y x E Áre a d A z E z x yθ dA
  36. 36. cos . cos53ºE dA E Aθ∅ = =∫ 2 4 3 . 5 10 / .0,8 .0, 2 .0,60 4,81 10 Nw m Nw C m m C ∅ = × = × 3.3 LEY DE GAUSS Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas. La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero. Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el campo eléctrico por ley de coulomb es: 2 0 1 4 q E r rπ = ∈ Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño ,A∆ entonces: . .E A E A∆ = ∆∫ Por lo que: 2 0 1 . 4 q d E dA dA rπ ∅ = = ∈ Integrando obtenemos: 2 0 1 . 4 q E dA dA rπ ∅ = = = ∈∫ 2 0 1 4 q rπ ∅ = ∈ 2 0 1 4 q dA A Rπ = ∈ Como el área de una esfera es 2 4 RΠ sustituyendo 2 2 0 0 1 4 4 q q R R π π ∅ = ⇒ ∅ = ∈ ∈ (3.4) Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es independiente del radio de la esfera gaussiana. 0 . q E dA∅ = = ∈∫ 36
  37. 37. Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es /q o∈ Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema: Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada. Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que produce. Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada. Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana. Ejemplo: El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es 2 2 4 10 / .Nwm c− × ¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b) un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio. No necesitamos llevar a cabo la integración, según la ley de Gauss, el flujo eléctrico total es tan solo / ,q o∅ = ∈ sin importar la forma de la superficie, por lo que la carga encerrada es igual en los tres casos indicados en el problema 2 . 0 4 10 0 q q Nwm∅ = ⇒ = ∅ ∈ = − × ∈ 2 2 2 / .8,85 10 C C Nwm − × 2 9 3,54 10 C− ∅ = − × 3.4 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS. Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss. Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga. Ejemplos: 1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada con densidad lineal de carga positiva λ , constante, como se observa en la Figura 3.8. Solución: Por simetría, la dirección del campo eléctrico es radia en el plano x, y, como se observa en la Figura 3.9. 37
  38. 38. La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura 3.10. Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA para las diversa superficies del cilindro. 1 2 3 1 2 3 . . .E dA E dA E dA∅ = + +∫ ∫ ∫ El campo eléctrico es paralelo a esa superficie por lo que E es perpendicular a 1;cos90 0dA =o el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por lo que E es paralelo a 2 ;cos 0º 1dA = el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo que E es perpendicular a 3;cos90 0dA =o entonces el flujo es : E∅ = 2 2.dA E A= el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2 rhπ .2E rhπ∅ = Aplicando la Ley Gauss: 0 . q ∅ = ∈ Igualando las ecuaciones obtenemos: 0 0 .2 2 q q E rh E rh π π = ⇒ = ∈ ∈ como la densidad de carga ; q q L L λ λ= = donde L=h Sustituyendo 0 02 2 h E E rh r λ λ π π = ⇒ = ∈ ∈ 2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa. 38 0∅ = 1 1 1 1 . cos ;E dA θ∅ = ∫ 2 2 2 2 . cos ;E dA θ∅ = ∫ 2 2 2 .E dA∅ = ∫ 3 3 3. cos ;E dA θ∅ = ∫ 3 0∅ =
  39. 39. a) CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11 Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la ecuación de flujo. . cos , 0 cos 1E dA E dA θ θ θ∅ = = = ⇒ =∫ ∫ . ;E dA E A∅ = =∫ el área de la esfera gaussiana es 2 4 rπ 2 4 ;E rπ∅ = aplicando la Ley de Gauss 0 q ∅ = ∈ 2 04 q E rπ = ∈ b) CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12 Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r, para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0). 2 0 0 4 q E E rπ = ⇒ = ∈ 3.- Calcule el campo eléctrico fuera de una lámina infinita no conductora, con la densidad uniforme de carga, .σ Figura 3.13 Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14 1 2 3 1 2 3 EdA EdA EdA∅ = + +∫ ∫ ∫ el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1 el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0 el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1 paralelo a dA, cos 0º = 1 39 1 1 1 ;EdA∅ =∫ 1 1E dA∅ = ∫ 2 2 2 ;EdA∅ =∫ 2 0∅ = 3 3 3 ;EdA∅ = ∫ 3 3 3 E dA∅ = ∫
  40. 40. entonces el flujo es: 1 2 2 2 .E dA E dA E dA E A∅ = + = =∫ ∫ ∫ recordando que Q Q A A σ σ= ⇒ = sustituyendo en la ley de gauss. 0 0 Q Aσ ∅ = = ∈ ∈ igualando las dos ecuaciones: 0 0 2 A EA E σ σ = ⇒ = ∈ ∈ 3.5 CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS. Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen campo eléctrico estático interno. El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama inducción. Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al que se genera a través de las cargas inducidas. Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss. a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga). Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un conductor se mueve al exterior E = 0. Figura 3.16. Cuando la burbuja esta cargada +Q, esta inducirá una carga -Q en la superficie del metal, lo cual mantiene al campo eléctrico dentro del metal en cero E = 0. Figura 3.17. 40
  41. 41. b) Campos eléctricos cerca de conductores. 1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la superficie del conductor. 2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella. Ejemplo: Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18. La densidad ( )sigmaσ de carga superficial puede variar en el conductor, por lo que tomamos una superficie gaussiana muy pero muy pequeña donde tanto la densidad de carga ( )σ superficial y E se puede considerar constante en ella. 0 ; . Q E dA EA∅ = ∅ = = ∈ Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es Aσ de modo que: igualando las ecuaciones 0 . Q E A= ∈ y sustituyendo el valor de la carga total 0 . A E A σ = ⇒ ∈ nos queda 0 E σ = ∈ el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es proporciaonal a la densidad local de carga. En resumen: 1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero. 2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la superficie de éste, y tiene el valor ,oσ ∈ siendo σ la densidad superficial de carga local. 41
  42. 42. 3) Un conductor en equilibrio eléctrico, ----- uno que contenga burbujas no conductoras, sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan carga neta. Ejemplo: Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y 2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa. ¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones? Solución a) Cuando el radio de la superficie Gaussiana es menor que el radio R r < R. Como la superficie GAussiana no encierra carga alguna, el campo eléctrico dentro del cascarón de radio R es cero E = 0. b) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el cascarón de radio R y menor que el de 2R R < < 2R, (Fig.3.20), para este caso la carga que esta encerrada por la superficie gaussiana es la del menor cascarón (q) aplicando la ecuación del flujo eléctrico para calcular el campo eléctrico. . . cos ,E dA E dA θ∅ = = como el campo eléctrico E es paralelo a , 0 , cos 0 1e dA θ− = =o o . ,E dA E A∅ = =∫ el área de una esfera gaussiana es 2 4 rπ 2 .4E rπ∅ = La ley de Gauss es 0 , q ∅ = ∈ igualando 2 0 .4 q E rπ∅ = = ∈ despejando 2 04 q E rπ = ∈ c) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el del cascarón mayor (2R), 2R < r (Fig. 3.21). La carga cerrada por la superficie gaussiana es la carga total interna qiut = q -2. q qiut = -q, con esta carga calculamos el campo eléctrico a través del flujo eléctrico. 42
  43. 43. el campo eléctrico E es paralelo a , 0 ; cos 0 1dA θ = =o o el área de una esfera gaussiana es 2 4 rπ 2 .4E rπ∅ = la ley de gauss es 0 ; q ∅ = ∈ Igualando las ecuaciones: 2 0 .4 ; q E rπ − = ∈ despejando 2 04 q E rπ − = ∈ 3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Una placa infinitamente grande, delgada y no conductora, tiene una densidad uniforme de carga, σ a) ¿Cuál es el flujo eléctrico de un circulo de radio R paralelo a la placa? b)¿Cuál es el flujo por ese circulo si el plano del circulo tiene una inclinación de 30º con respecto a su orientación original?. 2) El campo eléctrico en determinada región del espacio tiene la dirección de z y su magnitud es E = 4XZ, en la cual X y Z se miden a partir de cierto origen. Calcule el flujo eléctrico de ese campo a través de un cuadrado perpendicular al eje Z; las esquinas del cuadro están (X, Y, Z)= (1,1,3); (1,2,3); (2,2,3) y (2,1,3). Todos los campos se miden en Nw/C y todas las distancias en m. 3) Un campo eléctrico de dirección constante es perpendicular al plano de un circulo de radio R. la magnitud máxima del campo en ese plano se tiene en el círculo. Suponga que la magnitud del campo eléctrico en el plano decrece desde un valor axial, en la forma 1/r. Determine el flujo eléctrico a través del plano del círculo. 4) Una carga q se coloca justo arriba del centro de un círculo horizontal de radio r, y sobre la carga se coloca un hemisferio de ese radio (Fig. 3.22). Calcule el flujo eléctrico a través de la superficie cerrada que consiste del hemisferio y el círculo plano. 5) Una carga de 6 120 10 C− × está en el centro de un cubo con los lados 25cm a) Determine el flujo total a través de cada cara del cubo b) ¿Halle el flujo a través de la superficie completa del cubo? 6) Una carga puntual, q, está en el centro de un tetraedro de lado L (Fig. 3.23). ¿Cuál es el valor promedio del campo eléctrico sobre una cara del tetraedro? 43 . . cos ,E dA E dA θ∅ = =∫ ∫ . ,E dA E A∅ = =∫
  44. 44. 7) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 /Nw C≅ y apunta hacia abajo ¿Cuál es la carga de la tierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga? 8) Un globo de 30cm de radio tiene una carga de 8 3 10 C− × distribuida uniformemente sobre su superficie . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 49cm del centro del globo?. Suponga que el globo se encoge a un radio de 10cm, pero no pierde carga. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 40cm del centro? 9) Una lámina plana grande cargada tiene una carga por unidad de área de 6 7,5 10 / 2.C m− × Halle la intensidad del campo eléctrico precisamente arriba de la superficie de la lámina medio desde su punto medio. 10) Un cascarón esférico grueso, no conductor, con carga total Q distribuida uniformemente tiene radio interior R, y radio exterior 2.R Calcule el campo eléctrico resultante, en todo lugar del espacio. 11) A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga a) Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro(r < R), está dado por / 2 0E rρ= ∈ en donde ρ es la densidad de carga b) ¿Cuál serían el resultado esperado para (r>R)?. 12) Se tiene un cubo de lado a ubicado en el origen, ver Figura (3.24), suponga que un campo eléctrico está presente, y está descrito por 2 ,bx i cxzk+ siendo b y c cantidades constante. Calcule el flujo a través de cada lado del cubo, y use el resultado para calcular la carga dentro del cubo. 13) Dos láminas no conductoras infinitas con carga son paralelas entre sí, como se ve en la figura (3.25). La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga uniforme σ y la lámina de la derecha tiene una densidad de carga uniforme .σ− Calcule el valor del campo eléctrico en los puntos a) a la izquierda de las dos láminas b) entre ellas y c) a la derecha de ellas. 14) Una superficie cerrada cuyas dimensiones son a=b=0,4m y c=0,6m está ubicada como se indica en la figura (3.26). El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está dado por ( )2 3 2 .E x i= + Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta encerrada por la superficie? 15) Un conductor tiene una superficie orientada en el plano yz, que es la frontera de una región en la cual hay campo eléctrico orientado hacia la dirección +x. La intensidad de este campo decrece linealmente a medida que aumenta x de x =0m a x =3m. Al principio de la región, en x =0, la intensidad de campo ha bajado a cero. describa la distribución, en dirección x, de la carga que produce ese campo. 44
  45. 45. 16) Dos grandes placas metálicas de área 2 1m están colocadas frente a frente (Fig. 3.27). Están separadas 5cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si E entre las placas es de 55 /Nw C ¿Cuál es la carga en las placas? 17) Un cascarón esférico conductor de radio 8cm lleva una carga neta de 6 2 10 ,C− × uniformemente distribuida sobre su superficie. Obtenga el campo eléctrico en los puntos a) fuera del cascarón b) dentro del mismo. 18) Una pequeña esfera cuya m es 3 1 10 gr− × tiene una carga q de 8 2 10 .C− × Cuelga de un hilo de seda que forma un ángulo de 30º con una gran lámina conductora cargada como muestra en la figura (3.28). Calcule la densidad de carga superficial σ de la lámina. 19) Una partida ,α que se dirige a la superficie de un núcleo de oro se encuentra a una distancia igual a un radio nuclear ( )15 6,9 10 m− × de esa superficie. ¿Cuáles son las fuerzas sobre esa partícula α y su aceleración en ese punto? ( )27 6,7 10 .m Kgα − = × 20) Un alambre recto largo está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de ,λ+ y el cilindro hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de 2 .λ+ Con base en esta información, aplique la ley de Gauss para hallar a) la carga por unidad de longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro hueco y b) el campo eléctrico afuera del cilindro hueco, a una distancia r del eje. 45
  46. 46. TEMA IV POTENCIAL ELÉCTRICO 1.10 INTRODUCCIÓN El potencial eléctrico ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos electrostáticos que la que presenta el campo eléctrico. Esta es la principal razón por la cual este concepto ha alcanzado una mayor aplicación. Como la fuerza electrostática dada por la ley de coulomb es conservativa, es posible describir convenientemente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía potencial eléctrica. Esto es lo que nos permite definir una magnitud escalar llamada Potencial Eléctrico. En los circuitos eléctricos de voltaje, o tensión, medida entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre esos dos puntos. 1.11 POTENCIAL ELÉCTRICO: El potencial eléctrico es una función escalar que representa el trabajo por unidad de carga, realizado por un agente externo para cambiar la posición de una carga eléctrica determinada dentro de una región donde existe una campo eléctrico. El potencial eléctrico solo es una propiedad de larga o la distribución de carga que los produce (q) y no de la carga de prueba (q’). 1.12 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL: Tomemos dos cargas puntuales q y q’, separadas por una distancia r. Entonces el potencial eléctrico es. ( ) ( ) . ' 'r W F R q V r q q = = = ' .E R q ( ) 2 0 ' 1 . 4r qr V E r r r = = ∈ (4.1) Calculo del potencial eléctrico de una carga puntual q a una distancia r de la carga. La unidad de potencial eléctrico es el Joule entre coulomb (J/C), a esta unidad se le dio el nombre de voltio. 46 ( ) 0 1 4r q V r r = ∈
  47. 47. 1 1 /V J C= Como el potencial eléctrico tiene las dimensiones de campo eléctrico multiplicado por la longitud, entonces. 1 / 1 /N C V m= Para el cálculo del Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales aplicamos el principio de Súper posición. El potencial total en un punto P, debido a varias caras puntuales, es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. 1 2t nV V V V= + + +KKKK 1 10 1 4 n n t i i qi V Vi riπ= = = = ∈ ∑ ∑ (4.2) Observamos que es una suma algebraica. Ejemplo: Se colocan dos cargas en el eje 6 1: 4 10X q C− = × en 2cm y 6 2 2 10q C− = − × en 4cm. Determine los puntos en el eje de las X donde el potencial es cero. Solución: a) El punto izquierdo al lado de la carga q1 2 1 2 2 2 10 0t m m V V V − = × = + = 47 q1 2cm q2 2cm 4cm X p x y Figura 4.1
  48. 48. 1 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 4 4 1 4 V V q q r rπ π π = − ⇒ = ∈ ∈ ∈ 6 0 4 10 1 4 C X π − × = − ∈ ( ) 6 2 6 6 6 2 2 10 2 10 4 10 2 10 4 10 2 10 C X X m C C C X X m − − − − − − − × + × × × = ⇒ + × 2 2 10 C− × ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 10 2 2 2 10 2 10 2 4 10 2 4 10 0 4 10 X X X m X X X m X X X m X X m X X X m X X X m − − − − − − = + = ⇒ + = + + = ⇒ + − = = − b) El punto derecho al lado de la carga 2q 1 2 1 V V= − 04π ∈ 1 1 1q r = − 04π ∈ 2 2 6 6 1 2 2 1 2 6 2 2 6 2 2 2 4 10 2 10 2 10 4 10 2 10 2 10 2 2 10 2 2 10 2 2 10 2 10 q r q q x C C r r X X m X x C X X m X X m x C X X X X X m X X X m X X m − − − − − − − − − − − × = − ⇒ = ⇒ + + + = ⇒ = = + ⇒ − = ⇒ = 48 q1 2cm p X x y Figura 4.2
  49. 49. 4.4 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO. Es el trabajo por unidad de carga que se debe efectuar para mover una carga de prueba desde el punto a hasta el punto sin cambiar su energía cinte. También la podemos definir como el cambio en energía potencial dividido entre la carga de prueba q’. . '. ' ' ' B B AB AB A A W F ds q ds V V q q q • ∆ = = = − = −∫ ∫ B AB A V ds= − •∫ El signo negativo aparece debido a que el trabajo es realizado por un agente externo cuya aplicada F es igual a - q E. También podemos hacer referencia q que la diferencia de potencial es un trabajo que se produce de potencial es un trabajo que se produce a través de la variación de la energía potencial por lo que. AB ABW EU= −∆ (4.4) Ejemplo: Entre dos láminas paralelas situadas en el aire se establece una diferencia de Potencial 3 2 10 ,× si el aire se hace conductor cuando la intensidad del campo eléctrico excede de 6 3 10 / .N C× ¿Cuál es la separación mínima de las láminas? Solución: ( ) B B AB A A V Edx E dx E X= − = − = − −∫ ∫ .ABV E X= ⇒ despejando a X 2.000ABV N X E = = . /m C 6 3 10 /N C× 4 6,67 10 m= × 4.5 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGAS Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, la integral que resolveremos es escalar también, la distribución continua de cargas las subdividimos en pequeños .q∆ 0 1 4 dq dV rπ = ∈ 49
  50. 50. para calcular el potencial eléctrico total, integramos: 0 1 4 dq V dV rπ = = ∈∫ ∫ (4.5) Ejemplo: Dos placas metálicas paralelas tienen 2 125cm de área, cada una, están separadas por L =0,8cm. Tienen una diferencia de potencia de potencial de 0,5 V. Determine el valor numérico del campo eléctrico. ¿Cuáles so la densidad de carga y la carga total de cada placa? Solución: a) 3 0,5 62,50 / 2 8 10 L O V E dx V E dx V EL V V E V m m− ∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ∆ = = = × ∫ ∫ b) El campo eléctrico entre dos placas paralelas es 0σ ∈ 0 0 .E E σ σ= ⇒ = ∈ ∈ esta es la densidad de carga. 12 102 2 62,5 / .8,85 10 5,53 10 / 2 C V m c m Nwm σ − − = × = × c) La densidad de carga superficial es: 10 . 5,53 10 Q Q A A C Q m σ σ − = ⇒ = = × 2 2 . 1,25 10 m− ×( )2 12 6,91 10 C− = × Ejemplo: Determine el potencial eléctrico de un disco de delgado, plano y uniformemente cargado, de radio R y carga total Q, en un punto P en su eje Solución: dq dq dA dA σ σ= ⇒ = 50
  51. 51. ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 00 0 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 R R dq rdr rdr rdr dV r x r x rdr V r x r x V R x x Q V R x x R σ π σ π σ π σ σ σ π = = = ∈ ∈+ +  = + = ∈ ∈+  = + − ∈ = + − ∈ ∫ ∫ 4.6 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA La energía mecánica es igual a la suma de la Energía cinética mas la Energía Potencial. Em EK Eu= + Y que cambio de la energía mecánica en cero. 0 0 Em Em EmA Em Ek Eu = − = = + = V V V V O sea que la variación de la energía cinética es igual al cambio o variación de la energía potencial pero con igual signo opuesta. 0Ek Eu Ek Eu + = = − V V V V El teorema de la energía cinética establece que: W Ek=V por lo que podemos decir que: W Ek= −V Eu W= −V 51
  52. 52. . B A Eu F ds= − ∫V (4.6) Para fuerzas conservativas el valor de F es independiente de la trayectoria de integración entre los puntos a y b. . .F ds F dr= 2 0 2 0 0 0 0 1 ' 4 1 1 1 ' ' 4 4 1 ' 1 ' 4 4 b b a a b a qq Eu Fdr dr r dr Eu q q q q r r q q q q Eu rb ra π π π π π = − = − ∈ −  = − =   ∈ ∈       = −    ∈ ∈    ∫ ∫ ∫ V V V 1442443 1442443 Eu EuB EuA= −V a.- Energía Potencial en un sistema de cargas: Si en el sistema existen mas de dos partículas cargadas, puede obtenerse la energía potencial total, calculando Eu para cada par de cargas y sumando algebraicamente los términos: 1 3 2 31 2 0 1.2 1.3 2.3 1 4 q q q qq q Eut r r rπ   = + +  ∈  (4.8) Ejemplo: Una carga de 4 2 10 C− × está fija en el origen de un sistema de coordenadas. En una pesa con 11gr de masa se coloca una carga de 6 2 10 C− × la pasa se acerca, desde muy lejos, hasta un punto a 45cm del origen. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema? Solución: 52
  53. 53. 2 4 6 91 2 2 2 0 1.2 1 . 2 10 .2 10 9 10 4 45 10 8 q q Nw m C C Eu r C Eu Joule π − − − × × = = × ∈ × = b.- Electrón Volt: Con frecuencia calculamos la energía multiplicando el voltaje por la carga. Esta unidad de energía se llama electrón volt y consiste en multiplicar un electrón por un voltio. ( )( )9 19 1 1,6 10 1 1,6 10ev C V Joule− − = × = × 4.7 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Son regiones en las que el potencial eléctrico de una distribución de carga tiene valores constantes. Por lo que podemos, decir, que cuando desplazamos una carga de prueba q’ que a lo largo de una superficie equipotencial, no se realiza trabajo alguno. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y por consiguiente, al campo eléctrico. 4.8 DETERMINACIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DE POTENCIALES ELÉCTRICOS Recordando que la diferencia de potenciales es: .dv E ds= Descomponemos a ds en coordenadas cartesianas: ds dxi dyj dzK= + + El producto escalar es: .dv E ds Exdxi Eydyj Ezdzk= = − − − Si despejamos el campo eléctrico, tenemos que este es igual al valor negativo de la derivada del potencial con respecto a alguna coordenada. dv v v v E i j k ds x y z − ∂ − ∂ −∂ = − = − − ∂ ∂ ∂ O sea que el vector campo eléctrico se expresa en términos de las derivadas del potencial eléctrico. 53
  54. 54. Ejemplo: Una distribución de potencial en el espacio está descrita por la función: 2 3 2 2 ,V Axy B yz Cx z= − + donde A, B y C son constantes. Determine el campo eléctrico: Solución: ( )2 2 V Ex Ay CxZ i x ∂ = = + ∂ ( )3 2 2 V Ey Axy Bz j y ∂ = = − ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 6 2 2 2 6 V Ez Byz Cx k x E Ay Cxz i Ay Bz j Byz Cx k ∂ = = − + ∂ = − + − − − − + 4.9 POTENCIAL DE UN CONDUCTOR CARGADO Consideremos dos puntos y B sobre la superficie de un conductor cargado. E siempre es perpendicular al desplazamiento ds por lo que E.ds=0:, Observemos la figura 4.4. . 0 B A A AB A V V V E ds− = = − =∫ La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se concluye que el potencial es constante en todo punto del interior del conductor es igual a su valor en la superficie. ANEXO 1: Tabla (4.1) Ejemplo: Un disco delgado de 23cm de radio tiene una carga total de 7 1,5 10 ,C− × repartida uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para traer una carga 8 2 10q C− = × en reposo, desde el infinito a una distancia de 78cm del disco, a lo largo de su eje? Solución: . W V W V q Q = ⇒ = revisando la tabla anterior 54
  55. 55. ( )2 2 2 0 . 2 Q W R x x q Rπ = + − ∈ el potencial en un disco cargado ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 7 212 2 2 2 22 2 2 8 7 1,5 10 2 3,14 8,85 10 / 23 10 23 10 78 10 78 10 .2 10 1,5 10 C W C Nwm m m m m C C W − − − − − − − − × = × × × + × − × × × = 12 2,94 10 C− × 2 ( ) 8 . 0,033 .2 10 / m C Nw − × 17 12 5 9,9 10 2,94 10 3,37 10 Nwm W Joule − − − × = × = × 4.10 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1) Se trae del infinito una carga de 6 3 10 ,C− × y se fija en el origen de un sistema de coordenadas a) ¿Cuando trabajo se efectúa? b) Del infinito se trae una segunda carga de 6 5 10 ,C− × y se coloca a 10cm de distancia de la primera. ¿Cuándo trabajo efectúa el campo eléctrico de la primera carga cuando se trae la segunda carga? c) ¿Cuando trabajo efectúa el agente externo para traer la segunda carga, si esta se mueve con la energía cinética invariable? 2) ¿A través de que diferencia de potencial se necesita acelerar un electrón para alcanzar una velocidad del 60% de la velocidad de la luz a partir del reposo?( )8 3 10 / .C m s= × 3) Dos cargas puntuales 9 9 1 240 10 30 10q Cyq C− − = × = − × a una distancia de 10cm. El punto A se encuentra en el punto medio del segmento que los une, y el B dista 8cm de 1q y 6cm de 2.q Hallase: a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el punto B; c) el trabajo necesario para transportar una carga de 9 25 10 C− × desde el punto B al punto A? 4) El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es de 200 N/C a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿y el valor de la carga? 5) Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/M esta dirigido en la dirección y negativa, ver la figura 4.5; las coordenadas del punto A son (-0,4, 0.6) m y las del punto B son (0.5, 0.7)m. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre A y B, utilizando la trayectoria A C B. 6) Un protón pasa del punto A al punto B bajo la influencia única del campo eléctrico, perdiendo velocidad al hacerlo, desde 4 3 10 /AV m s= × hasta 3 3 10 /BV m s= × ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los dos puntos? 55
  56. 56. 7) A una distancia r de una carga puntual 1q el potencial eléctrico es V =600V y la magnitud del campo eléctrico es E =200N/C. Determine el valor de q y r. 8) Determinada distribución de cargas estáticas en el espacio produce un potencial eléctrico de la forma ( ) 2 2 3, , , ,V x y x a a xz a z= + + siendo constantes los coeficientes a;. Determine el campo eléctrico E en el origen y el punto (x,y,z)=(0m,0m,1m) . 9) Calcule el potencial eléctrico en el punto P, sobre el eje de la corona mostrada en la figura 4.6, la cual tiene una densidad de carga uniforme σ y radios interior y exterior iguales a A y B, respectivamente. 10) Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de radio a, esta dado por: 2 0 1 4 q V x aπ = ∈ + 11) Un largo cilindro metálico, de radio ,ar esta sostenido por un pie aislante sobre el eje de otro largo cilindro metálico hueco de radio interior .br La carga positiva por unidad de longitud en el cilindro interior es ,λ y sobre el cilindro exterior existe una densidad de carga lineal negativa igual negativa. a) Demuestre que la diferencia de potencial entre los cilindro es 2 / .b ak Lnr rλ b) pruébese que el campo eléctrico en cualquier punto situado entre los cilindros es ( )/ / .1/ .ab b aV Ln r r r 12) El potencial, Vr, de una distribución de carga esféricamente simétrica, esta expresa por ( ) ( ) 2 0/ 4 5 4 /Vr Q r Rπ  = ∈ −   para r<R, y por 0/ 4 ,Vr Q rπ= ∈ para r>R. a) Determine el campo eléctrico. b) ¿Dónde esta la carga, y como se distribuye? 13) El potencial eléctrico en una cierta región es 2 7V zx y= + − ¿Determine el ángulo entre la dirección eléctrico, E, y la dirección del eje x positivo, en el punto P, el cual tiene las coordenadas (en metros) (2,1,2)?. 14) Dos conductores esféricos de radios 1 2r yr están conectados por medio de un alambre conductor, como se indica en la figura 4.9. Si 1 0,3r m= y 2 0,15r m= y el campo eléctrico en la superficie de la esfera mas pequeña es de 500 Nw/C, calcule la magnitud de la carga en exceso en la esfera grande. 15) Deduzca una ecuación para el potencial eléctrico en todos los puntos, debido a una varilla de longitud L y densidad lineal uniforme de carga, ,λ empleando la ecuación 01 4 .V d q rπ= ∈ ∫ La varilla esta orientada en el eje z, con su centro en el origen. 56
  57. 57. Demuestre que a distancias muchos mayores que L a la varilla, el potencial se reduce al de una carga puntual / ,Q Lλ= en el origen. 16) Un cilindro infinitamente largo, de radio R, se llena con una densidad volumétrica uniforme de carga .ρ Calcule el potencial dentro y fuera del cilindro. 17) Considere una disposición de ocho cargas negativas iguales ubicadas de modo que queden definidos los vértices de un cubo con arista de longitud L =0,15m.Si cada una de las ocho cargas mide 6 6 10 ,q C− = − × determine el potencial en el centro del cubo. 18) Dos esféricas conductoras idénticas de radio r =0,15m están separadas por una distancia a =10m ¿Cuál es la carga de cada esfera si el potencial de una es 1500 V y el de la otra es -1500 V?. 19) Una lamina cuadrada cuyos lados tienen una longitud L, contiene una densidad superficial de carga informe σ y esta situada en el plano x y, como en la figura 4.8. Establezca la expresión integral necesaria para calcular el potencial eléctrico en un punto p, sobre una recta perpendicular a un eje que pase por el centro de la lámina. Suponga que el punto P esta a una distancia d de la lámina. 20) Por frotamiento, se puede producir una carga de 8 10 .C− ¿Cuál seria el aumento en el potencial que tal carga produciría en una esfera conductora aislada de 10cm de radio?. 57
  58. 58. TEMA V CAPACITORES Y DIELECTRICOS 1.13 INTRODUCCIÓN Como ya sabemos todo conductor tiene un potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro de el, por ser superficies equipotenciales. Si tenemos un sistema formado por conductores cargados los cuales están cerca entre si, el potencial de cada conductor no solo va a estar determinado por su carga, si no que también va estar influenciado por el valor y signo, el tamaño, la forma y posición de los otros conductores que intervienen en el sistema. La diferencia de potencial entre dos conductores cargados puede acelerar una carga de prueba o varias, por lo que podemos decir que el sistema almacena energía. Un capacitor en un sistema que almacena energía. La relación entre la cantidad de carga que almacena un capacitor, y la diferencia de potencia de sus conductores, va a depender de la geometría del capacitor. 1.14 CAPACITANCIA Si tenemos dos conductores separados por el espacio vacío o por un material conductor, supongamos que los conductores tienen cargas iguales pero de signos opuestos, de manera que la carga neta es cero. Esta combinación es lo que conocemos como capacitador. La razón de la magnitud de la diferencia de potencia de potencial entre ellos es lo que conocemos como Capacitancia (C). Q C V = (5.1) La capacitancia siempre es una cantidad positiva, la capacitancia tiene las unidades de coulombs por volt. Coulomb C Faradio Volt = = Esta unidad del Fardio es muy grande, por lo que las más comunes son el microfaradio 6 1 10MF F− = y el picofaradio 12 1 10 ,pf F− = la capacitancia de un dispositivo depende de la disposición geométrica de los conductores. Algunas aplicaciones: 58
  59. 59. Para eliminar la chispa que se produce cuando se interrumpe rápidamente un circuito que posee autoinducción. Para sintonizar circuitos de radio. Para igualar la corriente rectificada proporcionada por el generador e energía. 1.15 CALCULO DE LA CAPACITANCIA Capacitor esférico La Capacitancia de un conductor esférico de radio R y carga Q, el segundo conductor es una esfera conductora hueca concéntrica de radio infinito. ; Q C V = como el potencial de la esfera es KQ/R, y el de la esfera de radio infinito es 0. 04 / Q R C R KQ R K π= = = ∈ Capacitor de placas paralelas. Como se observa en la Figura 5.1, dos placas paralelas de igual área separadas por una distancia d, con cargas +Q y -Q. Si las placas están muy próximas entre si, se pueden despreciar los efectos externos y suponer que E es uniforme entre ellas y cero entre los demás puntos. El campo eléctrico entre las placas es 0σ ∈ y la carga por unidad de área en cualquiera de las dos placas es .Q Aσ = 0 Q E A = ∈ la diferencia de potencial entre las placas es de E.d. 0 . QD V E d A = = ∈ la capacitancia es C =Q/V sustituyendo 0 0 AQ C Qd A d ∈ = = ∈ 59
  60. 60. Con este resultado obtenemos que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia que la separa. Capacitor cilíndrico Un conductor cilindrico, como se observa en la Figura 5.2, de radio a y carga +Q es concéntrico con un cascaron cilíndrico mas grande de radio b y carga -Q: determinar la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es L.. Un ejemplo de este es un cable coaxial. Ejemplo: (un cable coaxial) Solución: B B AB A A V Eds Erdr= − = −∫ ∫ La carga por unidad de longitud Q Lλ = Q Lλ= y el campo eléctrico es 2 /K rλ ( )2 2 ln B AB A dr V k k b a r λ λ= − = −∫ La capacitancia es: Q C V = = sustituyendo de potencial es positiva dado que el cilindro interior tiene mayor potencial. 1.16 ENERGÍA EN CAPACITORES Un capacitor es capaz de efectuar un trabajo. Podemos determinar la energía contenida en un capacitor cargado determinado cuando trabajo necesita para cargarlo inicialmente. Para cargar un capacitor tomamos un pequeño diferencial de carga adquirida de uno de los conductores y lo pasamos al otro conductor, al continuar moviendo la carga adicional dq, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más cargas, por lo que tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional. q dw Vdq dq C = = 2 1 2 Q Q O O q Q W dw dq qdq C C C = = = =∫ ∫ (5.2) 60
  61. 61. Este es un resultado general para todos los capacitares, ese trabajo queda almacenado en el capacitor como energía potencial. Esta es la energía que puede mover una carga de prueba colocada entre los conductores. 2 2 2 2 ; (5.3) 2 (5.4) 2 2 (5.5) 2 Q Eu como Q Cv C C V CV Eu Eu C QV Eu = = = ⇒ = = Ejemplo: ¿Cuántas energía se almacena en una esfera metálica de 12cm de radio cuando s coloca en ella una carga de 5 4 10 C− × ? Solución 0 52 0 0 ; 2 4 4 104 2 8 QV Q Eu el potencial es r Q Q Cr Q Eu r π π π = ∈ × −∈ = = ∈ ( ) 2 12 8 8,85 10 Cπ − ×( ) 12 2 12 10 m− × 2 Nwm 9 11 1,6 10 59,93 2,67 10 Eu Nw Eu Joule − −       × = ⇒ = × 1.17 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS En los capacitares las líneas del campo eléctrico van del conductor positivo al negativo. Este campo eléctrico es el que acelera a la carga de prueba, colocada entre las placas del capacitor. Pongamos un ejemplo con un capacitor de placas paralelas. 61
  62. 62. Capacitancia 0 A C d ∈ = Campo eléctrico 0 E σ = ∈ Diferencia de potencial V = E.d ( ) ( ) ( ) 22 20 0 2 2 2 A ECV Eu Ed Eu Ad volumen d ∈ ∈ = = ⇒ = La densidad de energía (u) es el coeficiente de volumen en la ecuación anterior. ( ) ( ) 2 0 2 EEu Eu U Ad volumen Ad ∈ = = = 2 0 2 E u ∈ = esta es la densidad local de energía en el espacio vacío, a un cundo el campo eléctrico sea variable. 1.18 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS Los capacitares se pueden asociar de varias maneras, en serie y en paralelo. A continuación veremos como puede calcularse la capacitancia equivalente de estas combinaciones. Asociación en paralelo: La siguiente Figura 5.3, describe una asociación de capacitares en paralelo tienen el mismo potencial entre sus conductores. 1 1 2 2Q C V y Q C V= = La carga total en ambos capacitares es: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 5.6Qt Q Q Qt C V C V C C V = + = + = + Despejando V obtenemos la capacitancia equivalente 1 2 Qt C C V + = 62
  63. 63. Capacitancia equivalente es: 1 2Cep C C= + Por lo que podemos decir que la capacitancia equivalente de un grupo de capacitares en paralelo es la suma de cada una de las capacitancia de dichos capacitares. ( )1 2 5.7eq nC C C C= + + +KKKK 1 n eq i i C C = = ∑ Concluimos que la capacitancia equivalente es una asociación en paralelo es mayor que cualquiera de las capacitancias individuales. Asociación en serie: La siguiente Figura 5.4, describe una asociación de capacitares en serie. Los capacitores conectados en serie tienen la misma carga. Observamos al conectar la batería y esta mantiene un potencial fijo y se transfieren carga negativa a la placa derecha y carga positiva la placa izquierda (d) la parte pespunteada de la figura se carga por inducción, la carga positiva en la placa a induce una carga negativa en la placa b y la placa d induce una carga positiva en la placa c. 1 2Q Q Q= = El potencial en cada capacitor es: 1 1 2 2V Q C y V Q C= = Por lo que: ( ) 1 2 1 2 1 2 . (5.8) 1 1 T T equi V V V Q C Q C V Q C C Q C = + = + = + = Por lo que la capacitancia equivalente es: . 1 21 1 1equiC C C= + Cuando tenemos n capacitares conectados en serie: . 1 2 1 1 1 1 1 1 (5.9) n equi n i i C C C C C = = + + + = ∑KKK 63
  64. 64. La capacitancia equivalente es una asociación en serie en menor que cualquiera de las capacitancias individuales. Ejemplo: Calcule la capacitancia equivalente a los siguientes capacitores de circuito, Figura 5.5. 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 5 10 10 10 6 10 2 10 8 10 C F C F C F C F C F − − − − − = × = × = × = × = × Figura 5.5 Solución: 6 6 1.2 1 2 6 1.2 3.4 3 4 6 6 3.4 . 1.2 3.4 5 5 10 10 10 1,5 10 6 10 2 10 1 1 1 1equi C C C F F C F C C C C F F C C C C − − − − − = = + = × + × = × = + = × + × + + ( ) 5 6 6 . 4 5 5 5 . 6 5 1 1 1 1 1,5 10 8 10 8 10 1 6,67 10 1, 25 10 1, 25 10 3,17 10 1 3,16 10 3,17 10 equ equ equ equ C F F F V F C C C F − − − − = + + = × × × = = × + × + × = × = ⇒ = × × 5.7 DIELÉCTRICOS Un dieléctrico es material no conductor, como el papel, plástico y el vidrio. Si introducimos un dieléctrico entre las placas de un capacitor, la capacitancia generalmente aumenta, observe la Figura 5.8. 64
  65. 65. Si tenemos un capacitor de placas paralelas de la carga 0Q y capacitancia 0 ,C cuando no existe dieléctrico, la diferencia de potencial será 0 0 0/ .V Q C= Si le colocamos un dieléctrico entre las placas Figura 5.9, el potencial disminuye en un factor K (constante dieléctrica). 0 (5.10) V V K = Esta constante dieléctrica va a depender del tipo de material del dieléctrico, observe la Tabla 5.1 ANEXO 2. Y la capacitancia aumenta en el factor K. ( )0 5.11C C K= Cuando un capacitor de placas paralelas esta lleno con un dieléctrico la capacitancia se puede expresar como: ( ) 0 0 0 0 ; 5.12 C KC donde C E A d E A C K d = = = Ejemplos: Un acumulador de automóvil, de 1 z V, puede almacenar 6 4 10 J× de energía. Calcule el área de un capacitor de placas paralelas que pueda almacenar la misma energía, si la separación entre las placas es 1mm y entre ellas hay un dieléctrico con K =3. Solución: 65
  66. 66. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 6 3 22 0 3 3 2 12 2 1112 0 2 2 4 102 8 10 55,56 10 14412 . 55,56 10 .1 10 55,56 2,1 10 2,66 103 8,85 10 / CV Eu despejando C JEu J C F V VV K A C despejando A D C d F m m A A m K F m − −− = × × = = = = × ∈ = × × = = = = = × ∈ ×× 5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dos conductores aislados entre si se cargan al transferir electrones de uno al otro. Después de haber transferido 12 2,5 10× electrones, la deferencia de potencial entre los conductores resulta ser 16 V. ¿Cuál es la capacitancia del sistema? 2) Dos esferas conductoras concéntricas tienen 5cm y 23cm de radio, respectivamente, y una carga igual, pero opuesta, de 7 6,3 10 .C− × ¿Cuál es la diferencia de potencial entre ellas? 3) Un capacitor de placas paralelas tiene placas cuadradas de 40cm por lado, separadas 5mm. El capacitor se carga a 230v y se desconecta de la fuente de carga ¿Cuál es la densidad de carga en las placas? ¿Cuál es la carga total en cada placa?. 4) ¿Cuál debe ser la capacitancia necesaria para almacenar una energía 10Kw.h a una diferencia de potencial de 1000V? 5) Demuestre que la energía asociada con una esfera conductora de R y carga Q, rodeada por un vacío, se expresa como 2 / 2 .Eu KQ R= 6) Un cable coaxial con conductor interno de 3mm de diámetro y blindaje exterior de 8mm de diámetro, tiene un potencial de 1KV entre los conductores. a) ¿Cuál es la capacitancia de 10m de cable? b) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 10m del cable? c) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 1km? 7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tiene 2 600cm de área y están a 0,2cm de distancia. La diferencia de potencial entre ellas es 800v. a) ¿Cuál es el campo entre las placas? b) ¿Cuál es la carga en cada placa? c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el campo sobre una de las placas? d) Suponga que se tira de las placas para separarlas, 66
  67. 67. de modo que la distancia entre ellas aumenta 10%. ¿Cuál es el cambio de la energía almacenada?. 8) La batería de la figura 5.10 suministra 12v. a) Encontrar la carga en cada uno de los capacitadotes cuando se cierra el interruptor 1S y b) cuando se cierra el interruptor 2S . Considérese que 6 6 6 6 1 2 3 41 10 , 2 10 , 3 10 4 10 .C C F C F y C F− − − − = × = × = × = × 9) Considere la combinación de capacitares de la figura 5.11 a) ¿Cuál es la capacitancia equivalente entre los puntos a y b? b) ¿Determine la carga en cada capacitor si 36aV V= ? 6 6 6 6 1 2 3 44 10 , 2 10 , 24 10 , 8 10 .C F C F C F C F− − − − = × = × = × = × 10) En la figura 5.12, cada capacitor 6 1 3 10C F− = × y cada capacitor 6 2 2 10C F− = × a) Calcúlese la capacitancia equivalente del circuito b) Hállese la carga de cada uno de los capacitares cuando 900abV V= y c) Calcúlese Vcd cuando 900abV V= . 11) El capacitor 1C tiene una capacitancia de 6 2 10 C− × y el 2C tiene 6 3 10 F− × de capacitancia. Una carga 6 10 10q C− = × se coloca en 1,C mientras que 2C se lleva a una diferencia de potencial entre sus placas de 50V. ¿Cuál es la energía total almacenada en los dos capacitores?. 12) Encontrar en la siguiente Figura 5.13, a) la carga, b) la diferencia de potencial y c) la energía almacenada en cada capacitor. 6 6 6 1 2 310 10 , 5 10 , 4 10 , 100 .C F C F C F V V− − − = × = × = × = 13) Un capacitor consiste en dos cascarones esféricos concentricos, de radio 1 2,r y r respectivamente. Calcule la capacitancia si el espacio entre los cascarones se llena con un dieléctrico cuya constante es k si el primer capacitor tiene aire entre sus cascarones, y tiene carga Q, y s el espacio se llena a continuación con el dialéctico, ¿Cuál es el cambio de energía?. 14) Se va a construir un capacitor de placas paralelas utilizando papel como dieléctrico. Si se desea obtener un voltaje máximo de 4 6 10 V× antes de la destrucción. ¿Qué espesor del dieléctrico se necesita?. 15) Dos placas paralelas de 3 100cm de área se cargan con una misma, carga de signos opuestos, de 7 8,9 10 .C− × El campo eléctrico en el material dieléctrico que llena el espacio entre las placas es de 6 1,4 10 / .V m× a) Encontrar la constante dieléctrica del material. b) Determinar la magnitud de la carga inducida en cada una de las superficies del dieléctrico. 67
  68. 68. 16) Los capacitares 6 6 1 26 10 2 10C F y C F− − = × = × se cargan como una combinación en paralelo a través de una batería de 250V los capacitares se desconectan de la batería y entre si y, a continuación, se conectan placa positiva con positiva y negativa con negativa. Calcule la carga resultante en cada capacitor. 17) Se suministra a dos laminas paralelas de 2 100cm de área, cargas iguales y opuestas de 7 10 .C− El espacio entre las laminas esta ocupado por un dieléctrico y el campo eléctrico dentro es 5 3,3 10 /V m× a) ¿Cuál es la constante eléctrica? b) ¿Cuál es la densidad de carga inducida sobre cada una de sus caras?. 18) Un capacitor consta de 12 placas conectadas alternadamente a la terminal positiva y a la negativa las placas son 8 x 15cm y están a 0,30mm de distancia ¿Cuál es la capacitancia?. Suponga que la zona entre las placas se rellena con material de constante dieléctrica 2,5. ¿Cuál es la capacitancia? 19) Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 6 4 10 F− × las placas se cargan a 600V a) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? b) ¿Cuánto trabajo se necesita para introducir un dieléctrico cuya constante es K =2 entre las placas? Suponga que el capacitor se desconecta de la fuente de voltaje antes de introducir el dieléctrico. 20) Tres capacitares, de fuerza de 6 6 6 1 10 , 2 10 4 10 ,F F y F− − − × × × respectivamente, se pueden conectar de diversas formas entre dos puntos. ¿Qué arreglo produce la capacitancia equivalente menor y cual es la mayor?. 68
  69. 69. TEMA VI LA CORRIENTE Y LA RESISTENCIA 1.19 INTRODUCCIÓN Hemos estudiado cargas eléctricas que están en reposo, ahora estudiaremos el comportamiento de estas mismas cargas pero en movimiento. Como ya sabemos las cargas eléctricas se mueven bajo el efecto de los campos eléctricos, este movimiento que se genera es lo que llamaremos corriente eléctrica. Esta corriente eléctrica nos describe la rapidez de flujo de cargas a través de alguna región del espacio. Para detallar el flujo de las corrientes eléctricas, definiremos que es resistencia, resistividad y conductividad. Muchos de los aparatos domésticos funcionan con corrientes eléctricas. 1.20 LA CORRIENTE ELÉCTRICA Y LA DENSIDAD DE CORRIENTE. Definiremos a la corriente eléctrica como la carga total que pasa a través de un área A de sección transversal, por unidad de tiempo. Consideremos la carga que pasa a través de un alambre. Figura 6.1. Tomemos una sección de área A, no necesitamos especificar la forma ni la orientación de área, si Q∆ es la carga neta que pasa a través de esta área en un intervalo de tiempo ,t∆ la corriente J la expresamos como: (6.1) Q I t ∆ = ∆ si la corriente eléctrica varia en función del tiempo, entonces cuando el limite de t∆ cuando tiene cero, podemos definir a la corriente eléctrica en un instante determinado: (6.2) dQ I dt = como podemos observar la unidad de corriente eléctrica es el Coulomb entre el tiempo, a esta unidad se le dio el nombre de Ampere (A). 1 1 C A s = esta unidad de Ampere (A) es muy grande, por lo que se usan otras unidades como miliamperes (mA), microAmperes ( )Aµ y el nanoAmperes ( ).Aη 69
  70. 70. 3 6 9 1 10 1 10 1 10 mA A A A A A µ η − − − = = = Se ha convenido en elegir la dirección de la corriente eléctrica como si fuera en la dirección del flujo de la carga positiva la corriente eléctrica es una cantidad escalar, pero tiene signo asociado. La densidad de corriente eléctrica (J) es la rapidez de flujo de carga por unidad de superficie, que pasa por un área infinitesimal, la densidad de corriente es un vector. Observe la Figura 6.2. ( ). 6.3dI J dA= como observamos esto es un producto escalar por lo que: ( ). cos 6.4dI J dA θ= donde θ es el ángulo que forman la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA. Cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son paralelos, o sea 0,θ = la corriente diferencial dI es máxima y cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son perpendiculares, o sea 90,θ = la corriente diferencial dI es cero. Para calcular la corriente total que pasa por el área A integramos la ecuación anterior. ( ). 6.5 S I J dA= ∫ Densidad de corriente eléctrica de un grupo de cargas en movimiento, ver Figura 6.3, para calcular esta densidad tenemos que tomar en cuenta la densidad numérica (nq) que es el número de portadores de carga móviles por unidad de volumen, la velocidad (V) con que se muevan todas las partículas, la cantidad de carga que pasa por un área dada (A). Por lo que la carga Q∆ en este elemento es: ( )qQ n A x q∆ = ∆ donde x∆ es la longitud del conductor. X V t ∆ = ∆ 70
  71. 71. despejando x V t∆ = ∆ ( ).qQ n AV t q∆ = ∆ Utilizando la ecuación de la corriente eléctrica. .qn AVQ I t ∆∆ = = ∆ ( )t q ∆ t . .qI n AV q= Utilizando la ecuación de densidad de corriente eléctrica . .qn AV qI J A A = = ( ). . 6.6qJ n V q= Donde la dirección de la densidad de J queda indicada por la velocidad. Ejemplo: 1.- Calcule la corriente cuando 14 2 10× electrones pasan por una sección transversal dada de un conductor, cada segundo. Solución: ( )( )14 19 5 2 10 1,6 10 3, 2 10 / 1 CQ I C seg t seg − − × ×∆ = = = × ∆ 32I Aµ= 2.- La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie cuya área es de 2 1cm varia con el tiempo según la expresión 2 3 2 2,q t t= − + en donde t esta en segundo. a) ¿Cuál es la corriente eléctrica instantánea a través de las superficies, en el instante t =0,5 seg.? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente eléctrica?. Solución: 71
  72. 72. ( ) ( ) 2 3 4 2 2 4 2 3 2 2 6 2 . 6 0,5 2 1 1 10 1 1 1 10 / 1 1 10 dq d I t t dt dE I t sustituyendo el valor de t I I A mA I A A J A m A cm m − − = = − + = − = − ⇒ • = • = • × • • = = = = × × 3.- Los portadores de carga en un semiconductor tienen densidad numérica 24 3 2,3 10 / .qn portadores m= × Cada portador tiene una carga cuya magnitud es la de la carga de un electrón. Si la densidad de corriente es 4 2 1,2 10 /A m× ¿Cuál es la velocidad de los portadores?. Solución: ( )( ) 4 2 4 524 3 19 . 1, 2 10 / 1, 2 10 / . 3, 68 10 /2,3 10 / 1, 6 10q V nq qV despejando J A m C S V n Q C mpor m C− = × × = = = ×× × 3 32,61 10 /V m s− = × 6.3 RESISTENCIA, RESISTIVIDAD Y CONDUCTIVIDAD. RESISTENCIA (r): es I a diferencia de potencial entre dos puntos y la corriente eléctrica que pasa por el. ( )/ 6.7R V I= Como la unidad de la diferencia de potencia de potencial es el voltio y la de la corriente eléctrica es el Amper. /R Voltio Amper= La ley de Ohm establece que la resistencia para muchos materiales es constante dentro de un amplio margen de diferencias de potencia. RESISTIVIDAD ( ρ ): es una cantidad asociada con la resistencia, que es característica del material. 72
  73. 73. /R A Lρ = las unidades de la resistividad es ( ).m ohm metroΩ − esta ecuación se formula normalmente. / (6.8)R L Aρ= CONDUCTIVIDAD (σ ): es la densidad de corriente por unidad de intensidad del campo eléctrico, es el inverso de la resistividad. ( ) 1 6.9 J E σ ρ = = las unidades de la conductividad es ( )1 mΩ La resistividad de los materiales tienen dependencia de la temperatura. ( ) ( )0 01 6.10T Tρ ρ α= + −   ρ = es la resistividad a cierta temperatura T 0ρ = es la resistividad a cierta temperatura 0T 0T = por lo común es 20 ºC α = coeficiente de temperatura de la resistividad. Como la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, la variación de la resistencia con temperatura es: ( )0 01R R T Tα= + −   ANEXO 3: Tabla 6.1 Ejemplos: 1.- Un conductor subterráneo de aluminio tiene 91,4m de longitud y área de 0,30cm2 a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es el radio de un alambre de cobre de la misma longitud y resistencia? Solución: ρ del aluminio 8 2,82 10 .m− × Ω ρ del cobre 8 1, 72 10 .m− × Ω 73
  74. 74. 8 ) 2,82 10 . L a R m A ρ − = = × Ω 91, 4 m 5 3 10 m− × 2 3 2 8 85,9 10 ) 1, 72 10 R LL L b R r A r R r ρρ ρ π π − − = = × Ω = = ⇒ = = = × Ω ( ) 3 91, 4 . 3,14 85,9 10 m m − × Ω( ) 3 2, 41 10r m− = = × 2.- Si un alambre de plata tiene una resistencia de 10 20ºa CΩ ¿Qué resistencia tendrá a 40º C? (desprecie todo cambio en la longitud o en el área de la sección transversal debido al cambio en la temperatura). 3 1 3,8 10 º Cσ − − = × ( ) ( )3 0 01 10 1 3,8 10 º 40º 20ºR R T T C C Cα −  = + − = Ω + × −     10, 76R = Ω 6.4 MODELO DE CONDUCCIÓN ELÉCTRICA Recordando la segunda ley de Newton F a m = (la fuerza eléctrica es F =q E) qE a m = Esta aceleración es corta entre los Choques. 1 0 0 qEt V V aT V m = + = + Si asumimos que la velocidad inicial es cero y el tiempo promedio de las colisiones es .ℑ ( )6.11d qE V M = ℑ Esta es la velocidad se deriva. 74
  75. 75. Recordando la densidad de corriente eléctrica tenemos que: ( ) 2 . . . . 6.12 dq q q qE J n V q n q m n q E J m ℑ = = ℑ = La conductividad seria: ( ) 2 6.13 qn q m σ ℑ = Y la resistividad: ( )2 6.14 q m n q ρ = ℑ El tiempo promedio ( ℑ ) entre las colisiones esta relacionado con distancia L y la velocidad térmica promedio .ν . ( )6.15 L ν ℑ = Ejemplos: 1.- Calcular la trayectoria libre media entre choques de los electrones en el cobre, a una temperatura correspondiente a una velocidad térmica media de 6 1, 3 10 / .m s× Solución: Nq del cobre es 28 3 8,48 10 m− × ρ del cobre 8 1,7 10 m− × Ω 19 1,6 10e C− − = × 31 9,11 10em Kg− = × 75
  76. 76. ( )( )( ) 31 2 28 3 19 8 14 14 9,11 10 8, 48 10 1, 6 10 1, 7 10 2, 47 10 2, 47 10 e q m Kg n q m C m Seg L L Seg ρ ν ν − − − − − − × ℑ = = = × × × Ω ℑ = × ℑ = ⇒ = ℑ = × 6 .1,3 10 /m Seg× 8 3, 21 10 3, 21m ó− ℑ = × Α 6.5 ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA Parte de la energía eléctrica que se consume en un circuito eléctrico se dispara al sistema en forma de calor. Para calcular esta energía perdida por unidad de tiempo cuando una corriente pasa por un material, tomemos una carga pequeña dq que se mueve a través de una diferencia de potencial V. ; dw P dt = potencia eléctrica es la rapidez con que realiza un trabajo. udw dE= ;uE P Dt = la energía potencial es la diferencia de potencial por carga. ; dq P V dt = la corriente eléctrica es dq/dE ( )6.16P VI= Esta es la potencia perdida en una resistencia. Ejemplo: Se mantiene una corriente eléctrica de 8 A en un resistor de 150Ω durante 1 h. Calcule la energía empleada en el resistor. Solución: . . ;uE P T P V I V IR= = = = 76

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