1) Marca pontos em um sistema de coordenadas e determina operações entre vetores. 2) Resolve exercícios envolvendo cálculo de comprimentos, ângulos e produtos entre vetores. 3) Calcula coordenadas de uma bolha de ar em uma piscina e resolve outros problemas geométricos.

1. EXERCITANDO (AULA 3)
1. Marque, num sistema de coordenadas, os pontos (2, 3, 4) , (3, 2, −4) , (−2, 1, 3), (2, 1, 3) , (−3, 2, 1) e (−1, −2, 3) .
2. Determine A + B, A − B, 3A e −2B em cada um dos seguintes casos:
(a) A = (2, −1) , B = (−1, 1) .
(b) A = (−1, 3) , B = (0, 4) .
(c) A = (2, −1, 5) , B = (−1, 1, 1) .
(d) A = (−1, −2, 3) , B = (−1, 3, −4) .
3. Desenhe os pontos do exercício 2.
4. Sejam A e B como nos exercícios 2.a) e 2.b). Desenhe os vetores A + 2B, A + 3B, A − 2B, A − 3B e 4A + 5B.
5. Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base, 5 × 6 e altura, 3. Dois terços do
volume da piscina são ocupados por água. Na superfície superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A
bolha de ar está equidistante das paredes de 5m de base. Em relação às paredes de 6m de base, sua posição é tal
que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra.
Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares que tenha como origem um dos cantos interiores da piscina
e como um dos planos coordenados a parede de base de 6m mais próxima da bolha. Em relação a este sistema,
determine as coordenadas retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar.
6. Ache um vetor de módulo 2 com mesma direção e sentido contrário do vetor (1, 2) .
7. Sejam A = 1
2 , 3 , B = (−1, −1) e C = (2, 3) . Determine a e b tais que C = aA + bB.
8. Sejam A = (1, −2) , B = (−2, 3) e C = (−1, −2) . Determine X de sorte que: i) X − C = B − A;
ii) C − B = X − A.
9. Quais dos seguintes pares de vetores são perpendiculares?
a) (1, −1, 1) e (2, 1, 5); b) (1, −1, 1) e (2, 3, 1); c) (−5, 2, 7) e (3, −1, 2); d) (π, 2, 1) e (2, −π, 0) .
10. Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1, 1, c) e (−1, 1, −c) e a origem sejam vértices de
um triângulo retângulo na origem.
11. Verifique se é retângulo o triângulo cujos vértices são A = (−2, 1) , B = (3, 1) e C = (3, −4) .
12. Seja A um vetor perpendicular a todo vetor X. Mostre que A = O.
13. Determine os comprimentos dos vetores A e B do exercício 2.
14. Determine o módulo de cada vetor a seguir e o vetor unitário na mesma direção e sentido: a) (1, 2);
b) (−2, 1); c) (−4, −3); d) −4
3 , 5
2 .
15. Determine as projeções de A sobre B e de B sobre A no exercício 2.
16. Calcule o cosseno do ângulo entre os vetores A e B do exercício 2.
17. Determine o produto escalar e o ângulo entre os seguintes pares de vetores: a) (0, 1) e
√
3, 1 ;
b) −
√
3, 1 e −3, −
√
3 .
18. Sejam A = (1, 1) , B = (2, −2) e C = (−1, 1). Calcule o comprimento da mediana do triângulo ABC relativa ao
lado BC.
19. Determine os dois vetores unitários e perpendiculares a cada um dos seguintes vetores: a) (4, 3);
b) (−5, −3) .
20. Determine os dois vetores unitários que fazem o ângulo dado com cada vetor dado. a) A =
√
3, 1 e θ = π
3 ; b)
A = (−2, −2) e θ = π
4 .
21. Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1, −1) e (1, −1, m + 2) é de 60◦
, determine m.
22. Seja θ o ângulo entre dois vetores A e B não nulos. Demonstre a lei dos co-senos dada por |A − B|2
= |A|2
+|B|2
−
2 |A| |B| cos θ.
23. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−4, 5, 0) . Determine os pontos pertencentes ao segmento de reta AB que o dividem em
três partes com mesma medida.
24. Determine A × B nos exercícios 2.c) e 2.d).
25. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (−1, −2, 4) , (−4, −2, 0) e (3, −2, 1) .
26. Demonstre que se A é um vetor perpendicular a dois vetores B e C, então A é perpendicular a B + C.
27. Demonstre que se A e B são vetores tais que A + B é perpendicular a A − B, então |A| = |B| .
28. Sejam A e B vetores. Demonstre que (A + B) · (A − B) = |A|2
− |B|2
.
29. Calcule o módulo dos vetores A + B e A − B sabendo que |A| = 4, |B| = 3 e o ângulo entre A e B mede 60◦
.
30. Determine A · B + A · C + B · C, sabendo que A + B + C = O, |A| = 2, |B| = 3 e |C| =
√
5.
1

2. 31. Dados os vetores A, B, C ∈ R3
, demonstre que A · (B × C) = (A × B) · C.
32. Ache um vetor de comprimento 5 simultaneamente perpendicular aos vetores (1, 1, 0) e (2, −1, 3) .
33. Sabendo que |A × B| = 3
√
3, |A| = 3 e 60◦
é a medida do ângulo entre A e B, encontre |B| .
34. Calcule a área do paralelogramo gerado pelos vetores (3, 1, 2) e (4, −1, 0) .
35. Determine os valores de x para os quais (x, 1, 1) , (1, −1, 0) e (2, 1, −1) são vértices de um triângulo cuja área vale√
29
2 .
36. Demonstre que A × B = B × C = C × A, sabendo que A + B + C = O.
37. Demonstre que (A − B) × (A + B) = 2A × B.
38. Sejam A = (a1, a2) , B = (b1, b2) e C = (c1, c2) pontos não colineares. Mostre que a área do triângulo ABC vale
1
2
det


1 1 1
a1 b1 c1
a2 b2 c2

 .
39. Ache o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A = (1, −2, 0) , B = (1, 3, −1) C = (0, 1, 0) e D = (0, 3, −3) .
40. Considere os pontos A = (1, −2, 3) , B = (4, 3, −1) e C = (5, 7, −3) . Determine o ponto D tal que ABCD seja um
paralelogramo e calcule sua área.
41. Sejam A = (1, −2, 3) , B = (2, −1, −4) , C = (0, 2, 0) e D = (−1, m, 1). Encontre os valores de m para que seja
igual a 20 o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD.
42. Sejam A = (−1, 3, 2) , B = (0, 1, −1) , C = (−2, 0, 1) e D = (1, −2, 0) . Determine o volume do tetraedro cujos
vértices são A, B, C e D e sua altura em relação à base BCD.
43. Sejam A = (a1, a2, a3) , B = (b1, b2, b3) , C = (c1, c2, c3) e D = (d1, d2, d3) pontos não coplanares. Mostre que o
volume do tetraedro ABCD vale
1
6
det




1 1 1 1
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3



 .
.
Capítulo 3 (RESPOSTAS)
1)
1
—3
—4
—2 —1
2
2
3
4
—2
3
1
3
X
Y
Z
;
2) a) A + B = (1, 0) , A − B = (3, −2) , 3A = (6, −3) e −2B = (2, −2); b) A + B = (−1, 7) , A − B = (−1, −1) ,
3A = (−3, 9) e −2B = (0, −8); c) A + B = (1, 0, 6) , A − B = (3, −2, 4) , 3A = (6, −3, 15) e −2B = (2, −2, −2); d)
A + B = (−2, 1, −1) , A − B = (0, −5, 7) , 3A = (−3, −6, 9) e −2B = (2, −6, 8);
3) a)
x
y
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
A
B
A + B
A – B
3A
– 2B
; b) proceder como em 3) a); c) e d) proceder como no exercício 1;
4) a)
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
A
B A + 2B
A + 3B
A – 2B
A – 3B
4A + 5B ; b) proceder como em 4) a); 5)
2
5
6
3
3
x
, coorde-
nadas da bolha: (5
3 , 3, 2);
2

3. 6) − 2√
5
(1, 2); 7) a = 2
5 e b = −9
5 ; 8) i) (−4, 3); ii) (2, −7); 9) b e d; 10)
√
2; 11) É retângulo em B;
13) a) |A| =
√
5 e |B| =
√
2; b) |A| =
√
10 e |B| = 4; c) |A| =
√
30 e |B| =
√
3; d) |A| =
√
14 e |B| =
√
26;
14) a)
√
5 e 1√
5
(1, 2); b)
√
5 e 1√
5
(−2, 1); c) 5 e 1
5 (−4, −3); d) 17
6 e 6
17 −4
3 , 5
2 ;
15) a) projBA = (3/2, −3/2) e projAB = (−6/5, 3/5); b) projBA = (0, 3) e projAB = (−6/5, 18/5); c) projBA =
(−2/3, 2/3, 2/3) e projAB = (4/30, −2/30, 10/30); d) projBA = (17/26, −51/26, 34/13) e projAB = (17/14, 34/14,
−51/14);
16) a) − 3
10
√
10; b) 3
10
√
10; c) 1
15
√
10; d) − 17
182
√
91; 17) a) 1 e 60◦
; b) 2
√
3 e 60◦
; 18)
√
10/2;
19) a) ±1/5 (3, −4); b) ±
√
34/34 (3, −5); 20) a) (0, 1) e
√
3/2, −1/2 ; b) (0, −1) e (−1, 0); 21) m = −4;
23) (−2/3, 3, 2) e (−7/3, 4, 1); 24) c) (−6, −7, 1) e d) (−1, −7, −5); 25) 90◦
, 45◦
e 45◦
;
29) |A + B| =
√
37 e |A − B| =
√
13; 30) −9; 32) ±5
√
3/3 (−1, 1, 1); 33) |B| = 2; 34) 3
√
13; 35) x = 3 ou x = 1/5;
38) Acrescente 0 à terceira componente e use produto vetorial; 39) 13/6; 40) D = (2, 2, 1) e
√
89;
41) m = 2 ou m = 6; 42) V = 4 e h = 4
5
√
10.
3