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Tema 2   estudio general del movimiento
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Tema 2 estudio general del movimiento

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  • 1. ESTUDIO GENERAL DEL MOVIMIENTOPosición, trayectoria, desplazamiento, distancia y espacioLa posición de un objeto es el punto donde se encuentra el objeto en relación con un sistema dereferencia dado.El vector de posición de un punto P, de coordenadas x, y, z, es el vector que une al origen delsistema de referencia con el punto P. Se representa con la letra r . r xi yj zkLa trayectoria de un objeto es la sucesión de puntos del espacio por los que pasa el objeto amedida que transcurre el tiempo.El desplazamiento de un objeto es la diferencia de posiciones que ocupa el objeto entre dosinstantes dados: desplazamiento = posición final – posición inicialEl desplazamiento es positivo si la posición final es mayor que la inicial y negativo en casocontrario.El desplazamiento de un objeto que inicialmente se encuentra en el punto A (de coordenadas x 0,y0, z0) y pasa al punto B (de coordenadas x, y, z) es r r = r r0 = =(x i + y j + z k )-(x0 i + y0 j + z0 k )= (x – x0) i + (y – y0) j + (z – z0) k r0 + r =r r = r – r0La distancia entre dos puntos es el valor absoluto del desplazamiento: distancia = desplazamiento = posición final – posición inicial
  • 2. d= r = r r 0 = (x – x0) i + (y – y0) j + (z – z0) k = 2 2 x x0 y y0 (z z0 ) 2Supóngase que la trayectoria recorrida por el objeto se divide en varios tramos (de forma que encada tramo el sentido en que se desplaza dicho objeto no varía). - En un movimiento rectilíneo, el espacio recorrido por el objeto es igual a la suma de las distancias recorridas por el objeto en cada tramo rectilíneo. - En un movimiento cualquiera el espacio recorrido por el móvil es igual a la suma de las longitudes recorridas en cada tramo.Concepto de movimientoSe dice que un cuerpo A se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro B, cuando laposición de A cambia con respecto a la posición de B a medida que transcurre el tiempo. Encaso contrario, se dice que A se halla en reposo relativo con respecto a B. El objeto que semueve recibe el nombre de móvil.La mecánica y sus partes: estática, cinemática y dinámicaLa mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento. Se divide en tres partes: La estática: Estudia los cuerpos en equilibrio. La cinemática: Estudia los movimientos sin tener en cuenta las causas que los producen. La dinámica: Estudia los movimientos teniendo en cuenta las causas que los producen.Movimientos rectilíneosEl movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. A. Velocidad media. Velocidad instantánea. Movimiento uniformeLa velocidad media de un movimiento rectilíneo, vm, se define mediante la siguiente expresión: x x0 x vm t t0 tsiendo x la posición del móvil en el instante t, x0 la posición del móvil en el instante t 0, x = (x-x0) es el desplazamiento y t = t-t0 es el intervalo de tiempo considerado.Las unidades de la velocidad son m/s.La velocidad instantánea es la velocidad del móvil en cada instante.La velocidad instantánea se obtiene tomado el límite de la velocidad media cuando t tiende acero: x dx v lim v t 0 m lim t 0 t dtUn movimiento es uniforme cuando la velocidad es constante. En un movimiento uniforme elmóvil recorre espacios iguales en tiempos iguales. La velocidad instantánea de un movimientorectilíneo y uniforme es igual a su velocidad media: x x0 v vm t t0despejando x – x0 se obtiene x – x0 = v(t-t0)despejando x se obtiene: x = x0 + v(t-t0)
  • 3. B. Aceleración media. Aceleración instantánea. Movimientos uniformemente variados (acelerados y retardados)La aceleración media de un móvil en un movimiento rectilíneo, a m, se define mediante lasiguiente expresión: v v0 v am t t0 tsiendo v la velocidad del móvil en el instante t, v0 la velocidad del móvil en el instante t0. m mLas unidades de la aceleración son s s s2Si la velocidad del móvil es constante (es decir no cambia con el tiempo) su aceleración es cero.Los movimientos con aceleración constante se llaman movimientos uniformemente variados. Enlos movimientos uniformemente variados la velocidad varía cantidades iguales en tiemposiguales. Estos movimientos pueden ser de dos tipos: Acelerados: aquellos en los que el valor absoluto de la velocidad aumenta con el tiempo. Retardados: aquellos en los que el valor absoluto de la velocidad disminuye con el tiempo.La relación entre la velocidad y la aceleración en un movimiento rectilíneo queda reflejada en lasiguiente figura: A. Movimiento acelerado B. Movimiento retardadoLa aceleración instantánea es la aceleración del móvil en cada instante.La aceleración instantánea se obtiene tomado el límite de la aceleración media cuando t tiendea cero: v dv a lim a t 0 m lim t 0 t dtLa aceleración instantánea de un movimiento uniformemente variado es igual a la aceleraciónmedia: v v0 a am t t0despejando v – v0 se obtiene v – v0 = a(t-t0)despejando v se obtiene: v = v0 + a(t-t0)Dos expresiones muy utilizadas en el estudio de los movimientos uniformemente variados son: x = x0 + v0 (t - t0) + ½ a (t –t0)2 v2 = v02 + 2a (x – x0)
  • 4. Movimiento curvilíneoEl movimiento de un cuerpo es curvilíneo cuando su trayectoria es una curva. A. Velocidad media. Velocidad instantáneaLa velocidad media de un movimiento curvilíneo, v m , se define a través de la siguienteexpresión: r r0 r vm t t0 tsiendo r el vector de posición del móvil en el instante t: r xi yj zky r 0 el vector de posición del móvil en el instante t0 : r0 x0 i y0 j z0 kPor tanto: ( xi yj z k ) ( x0 i y0 j z 0 k ) ( x x0 )i ( y y 0 ) j ( z z 0 )k x y zvm i j k t t0 t t0 t t tLa velocidad instantánea se obtiene tomado el límite de la velocidad media cuando ttiende a cero: r dr v lim v t 0 m lim t 0 t dtDe esta expresión se deduce que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria.Pero como: r xi yj zkentonces: dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dtEl módulo del vector velocidad se llama celeridad y vale: 2 2 2 v vx vy vzLa velocidad también se puede expresar como: v vu T B. Componentes radial y tangencial de la velocidad La velocidad se ha definido mediante la expresión: dr v dtpero el vector de posición se puede expresar del siguiente modo: r rurPor tanto: d (r u r ) dr dur dr d v ur r ur r uT dt dt dt dt dt
  • 5. C. Aceleración media. Aceleración instantáneaLa aceleración media de un móvil en un movimiento curvilíneo, , se define mediantela siguiente expresión: =Siendo la velocidad del móvil en el instante t:y la velocidad del móvil en el instante t 0:Por tanto:La aceleración instantánea se obtiene tomando el límite de la aceleración media cuando t tiende hacia cero:En un movimiento curvilíneo la velocidad cambia de dirección constantemente con eltiempo, por eso en dicho tipo de movimiento siempre hay aceleración.La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el cambio instantáneo dela velocidad. Como la velocidad cambia en la dirección en la que la trayectoria se curva,la aceleración está siempre apuntando hacia la concavidad de la curva.
  • 6. Como:entonces:y el módulo de la aceleración es:D. Componentes normal y tangencial de la aceleraciónEl vector se puede expresar como:a entonces:La aceleración se puede descomponer en dos términos, llamados componentesintrínsecas de la aceleración: La aceleración tangencial dada por: La aceleración normal dada por:La aceleración tangencial es tangente a la trayectoria y está relacionada con la variación delmódulo de la velocidad. Si el movimiento es uniforme entonces v es constante y la aceleracióntangencial es nula.La aceleración normal (o centrípeta) está asociada con el cambio de dirección de la velocidad.Si el movimiento es rectilíneo la dirección de la velocidad no cambia y la aceleración normal escero.