Tema 1 herramientas matemáticas de la física

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Tema 1 herramientas matemáticas de la física

  1. 1. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICAMagnitudes escalares y vectorialesUna magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada por un número real yuna unidad de medida.Una magnitud vectorial es aquella que queda determinada cuando se conoce un número(llamado módulo), una dirección y un sentido.Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores.Un vector es un segmento rectilíneo orientado.Los vectores se representan con letras en negrita o con una flecha encima. Por ejemplo, el vectorfuerza es: F o FLos vectores fijos constan de:- Punto de aplicación: es el origen del vector.- Módulo: es la longitud del vector. El módulo del vector A se representa como A o como A- Dirección: coincide con la de la recta sobre la que se apoya o cualquier otra paralela a esta.- Sentido: es aquel que va desde el origen del vector hasta su extremo.Sistema de referenciaUn sistema de referencia es un conjunto de puntos con relación a los cuales se puededeterminar la situación de otro punto cualquiera.Sea una línea recta horizontal y otra vertical (perpendicular a la anterior): El punto de intersección de ambas líneas es el origen del y P sistema de referencia: O. A la recta horizontal se la llama eje de abscisas o eje x. A la recta vertical se la llama eje de ordenadas o eje y. A cada punto del plano se le pueden asociar dos números: O la abscisa o coordenada x, y la ordenada o coordenada y. x Primero se pone la abscisa y luego la ordenada.Sean tres líneas rectas mutuamente perpendiculares (ejes x, y, z): A cada punto del espacio se le pueden asociar tres números: las coordenadas x, y , z.
  2. 2. Vectores unitariosUn vector unitario, u, es un vector cuyo módulo vale la unidad.Sea A un vector paralelo al vector unitario y del mismo sentido: entonces: A = AuLos versores son vectores unitarios cuya dirección y sentido coinciden con las de los ejes decoordenadas x, y, z. Se representan como i, j, k.Producto de un vector por un número realEl producto de un número real, r, por un vector A es otro vector rA:- cuyo módulo es igual al valor absoluto de r por el módulo de A: r A- cuya dirección es la misma que la de A- cuyo sentido es el mismo que el de A si r es positivo, o el contrario a A si r es negativo.Ejemplo:Componentes de un vectorLas componentes de un vector A son cualquier conjunto de vectores que al sumarse den comoresultado el vector A.Ejemplo: En el primer caso A1 y A2 son componentes de A. En el segundo caso A1, A2, y A3 son componentes de A.
  3. 3. Componentes rectangulares de un vectorLas componentes rectangulares de un vector A son dos vectores mutuamente perpendiculares Axy Ay que al sumarse dan como resultado A: A = Ax + Ay Ax recibe el nombre de proyección de A sobre el eje x Ay recibe el nombre de proyección de A sobre el eje y De acuerdo con la definición de vectores unitarios: Ax = Ax i Ay = Ay j Entonces: A = Ax + Ay = Ax i + Ay jPero: Axcos Ax A cos A Aysen Ay Asen APor tanto:A = A cos i + A sen j = A (cos a i + sen j)El modulo del vector A se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras:A2 = Ax2 + Ay2 2 2A Ax AyComponentes cartesianas de un vectorLas componentes cartesianas de un vector A son tres vectores mutuamente perpendiculares Ax,Ay y Az que al sumarse dan como resultado A: A = Ax + Ay + Az Ax recibe el nombre de proyección de A sobre el eje x Ay recibe el nombre de proyección de A sobre el eje y Az recibe el nombre de proyección de A sobre el eje z De acuerdo con la definición de vectores unitarios: Ax = Ax i Ay = Ay j Az = Az k Entonces: A = Ax + Ay + Az = Ax i + Ay j + Az k
  4. 4. El vector A forma un ángulo con el eje x, un ángulo con el eje y y un ángulo conel eje z, por tanto: Axcos Ax A cos A Aycos Ay A cos A Azcos Az A cos A(cos , cos y cos se llaman cosenos directores del vector A)Entonces:A = A cos i + A cos j + A cos k = A (cos i + cos j + cos k)El módulo del vector A se puede deducir del siguiente modo: En la figura de arriba: d2 = Ax2 + Ay2 En la figura de abajo A2 = d2 + Az2 A2 = Ax2 + Ay2 + Az2 A A2 x 2 Ay Az2Suma de vectoresSean los vectores A y B, su suma es: A= Ax i + Ay j + Az k B= Bx i + By j + Bz kA + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k
  5. 5. Producto escalarEl producto escalar de dos vectores A.B es una cantidad escalar obtenida mediante lasiguiente expresión:A.B = A.B.cos( es el ángulo formado por los vectores A y B)Propiedades: 1. A.A = A.A.cos 0 = A2.1 = A2 2. Si dos vectores son perpendiculares (es decir forman un ángulo de 90º) entonces su producto escalar es nulo: A.B = A.B.cos 90 = 0 ya que cos 90 = 0El producto escalar de dos vectores en función de sus componentes es:A.B = (Ax i + Ay j + Az k). (Bx i + By j + Bz k) = = AxBxii + AxBy ij + AxBzik+ +AyBxji + AyBy jj + AyBzjk+ +AzBxki + AzBy kj + AzBzkkPero:ii = 1.1.cos 0 = 1 ji = 1.1.cos 90 = 0 ki = 1.1.cos 90 = 0ij = 1.1.cos 90 = 0 jj = 1.1.cos 0 = 1 kj = 1.1.cos 90 = 0ik = 1.1.cos 90 = 0 jk = 1.1.cos 90 = 0 kk = 1.1.cos 90 = 1Por tanto:A.B = AxBx + AyBy + AzBzLas propiedades del producto escalar se pueden utilizar para derivar la expresión quepermite calcular el módulo del vector suma: sean los vectores A y B, su suma es: S=A+BEntonces:S2 = (A + B)2 = A2 + B2 + 2A.BPor las propiedades del producto escalar:S2 = A2 + B2 + 2ABcosS A2 B2 2 AB cos
  6. 6. Producto vectorialEl producto vectorial de dos vectores, AxB, es una cantidad vectorial que tiene lassiguientes características: 1. Su módulo viene dado por la siguiente expresión: AxB = A.B.sen (siendo el ángulo formado por los vectores A y B). 2. Su dirección es perpendicular al plano determinado por los vectores A y B: 3. Su sentido es el de avance de un sacacorchos que va desde A hasta B por el camino más corto. El producto vectorial de dos vectores también se puede calcular directamente mediante la expresión: i j k A x B = Ax Ay Az = i (AyBz – AzBy) + j (AzBx – AxBz) + k (AxBy – AyBx) Bx By Bz
  7. 7. Pendiente de una recta Dados dos puntos del plano (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente de la recta que pasa por ellos se calcula mediante la expresión: y2 y1 m tan x2 x1 Derivada de una función en un puntoConsidérese la representación gráfica de la función y = f(x): Considérese un punto de la misma: P. Trácese por dicho punto una tangente geométrica a la gráfica. Sea el ángulo que forma dicha tangente con el eje x. La derivada de la función y = f (x) en el punto P es igual al valor de la tangente del ángulo . La derivada de la función y se dy representa como: dx Derivadas de algunas funciones de interés dy dc1. Función constante: y = c (siendo c un número real cualquiera): 0 dx dx dy dx2. Función idéntica: y = x: 1 dx dx n dy dx n3. Función y = x : nx n 1 dx dx Ejemplo: Halla las derivadas de las funciones a) y = x3 , b) y = x dx 3 3x 3 1 3x 2 dx 1/ 2 1 1 d x dx 1 21 1 2 1 x x dx dx 2 2 2 x dg ( x) dy d g ( x) dx4. Función: y = g (x) : dx dx 2 g ( x) dy dsenx5. Función y = sen x: cos x dx dx dy d cos x6. Función y = cos x: senx dx dx
  8. 8. Cálculo de derivadas1. La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones: d df ( x) dg ( x) f ( x) g ( x) dx dx dx Ejemplo: d dx dx 2 x x2 1 2x dx dx dx2. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar: d df ( x) dg( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) dx dx dx Ejemplo: d dx dsenx xsenx senx x 1.senx cos x.x senx x cos x dx dx dx3. La derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, y todo ello partido por el denominador al cuadrado: df ( x) dg ( x) g ( x) f ( x) d f ( x) dx dx 2 dx g ( x) g ( x) Ejemplo: dsenx d cos x cos x senx d senx dx dx cos x. cos x senx.( senx) cos2 x sen2 x 1 2 dx cos x cos x cos2 x cos2 x cos2 x senx d tan x 1 Pero como tan x se acaba de demostrar que cos x dx cos2 x

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