Sistemas numericos
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Sistemas numericos

on

  • 896 views

 

Statistics

Views

Total Views
896
Views on SlideShare
896
Embed Views
0

Actions

Likes
2
Downloads
4
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Sistemas numericos Sistemas numericos Document Transcript

  • Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construirtodos los números válidos.Un sistema de numeración puede representarse comodonde: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}. son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlasEl sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los númerosse representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en lascomputadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistemade numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).El antiguo matemático hindúPingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglotercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número ceroUnaserie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit eranconocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binariastambién han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como enla geomancia medieval occidental.Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching,representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado porel erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI.En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por elcual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían sercodificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeraciónposicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias delnúmero diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diezcifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) ynueve (9).Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas lasáreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo
  • en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o elhexadecimal.El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.Para convertir un número en basedecimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisionesen orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay quemultiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.Es más fácil pasar debinario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal)es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimalde cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal74 en octal es 112.En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal, y sesuele indicar poniendo 0x delante del número octal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otrossímbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendoque un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byteasí definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundircon sistema sexagesimal) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muyvinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte uocteto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores posibles, y estopuede representarse comoque, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 ,dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea deenteros— a un byte.En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, porello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabetolatino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letrasminúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valornumérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedandomultiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16= 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBMen 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15.Converciones entre sistemas numericosAntes de analizar como se convierte un número de un sistema a otro, es importante destacar algunosaspectos. Se denomina base de un sistema de numeración a la cantidad de símbolos que posee el sistema.La base del sistema Decimal es 10 y la del Binario es 2.Si se analiza el sistema decimal, se puede decir que todo número se representa mediante una sucesión desímbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cada símbolo tiene un determinado valor absoluto, que es el que le
  • corresponde cuando está solo, y un determinado valor relativo según la posición que ocupe dentro de unnúmero. Los hindúes descubrieron esta propiedad en el siglo 1 después de Cristo. Por ejemplo, en elnúmero 1328 a pesar de que 1 tiene menor valor absoluto que 3, 2 y 8, posee mayor valor relativo por laposición en la que se encuentra dentro del número.En un número expresado en el sistema decimal, cadadígito empezando por la derecha (que es el menos significativo) y siguiendo hacia la izquierda (dígitomás significativo), es multiplicado por potencias sucesivas de la base 10. Por ejemplo:1328 = 1000 + 300 + 20 + 81328 = 1 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100El valor de la posición, llamado peso, indica cuantas veces la base ha sido multiplicada por su misma. Enforma general, un número N de n dígitos expresado en base b (que se simboliza como Nb), puedeescribirse según la siguiente expresión polinómica:Nb = an x bn + an-1 x bn-1 + ……. + a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0, donde 0 ai b.Esta última relación indica que los elementos que componen el número, son siempre mayores o igualesque cero y menores que la base del sistema de numeración.CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIOPara esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguienteejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario1. Dividimos el numero 42 entre 22. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cocientesea 1.3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por losresiduos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra enel siguiente esquema.Figura 7: Conversión de decimal a binarioCONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL FRACCIONARIO A UN NUMERO BINARIO
  • Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasosque mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior.2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numerobinario correspondienteTomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamossucesivamente por 2 hasta llegar a 0Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se haterminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todaslas partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso delproceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundodígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos elnumero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la partefraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal. Figura 8: Conversión de decimal fraccionario a binarioCONVERSIÓN DE UN NUMERO BINARIO A UN NUMERO DECIMALPara convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamenteunos2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente
  • Figura 9: Conversión de binario a decimalCONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A OCTALPara convertir un numero en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguirlos pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a elsistema de numeración Octal1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menorque el divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito delnumero equivalente en decimal2. Se toma la parte fraccionaria del numero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hastaque el producto no tenga números fraccionarios3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente4. Al igual que los demás sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formadopor la unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.Figura 10: Conversión de decimal a octalCONVERSIÓN DE UN NUMERO OCTAL A BINARIOLa ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad conque pueden realizarse laconversión entre un numero binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará
  • la teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a binario demanera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binariode cada numero octal de forma individual.Figura 11: Conversión de octal a binarioCONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO HEXADECIMALConvertir el numero 250.25 a Hexadecimal1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que elcociente sea 02. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el numero hexadecimalcorrespondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16símbolos, donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemosexplicado3. La parte fraccionaria del numero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta queel producto resultante no tenga parte fraccionaria4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dosnúmeros equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece ladiferencia entre ellos.Figura 12: Conversión de decimal a hexadecimalCONVERSIÓN DE UN NUMERO HEXADECIMAL A UN NUMERO DECIMALComo en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento:Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente.2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos
  • en el paso anterior.