Aquí unos apuntes de trigonometría (muy básicos) para 4º de la ESO y repaso en primero de Bachiller. Erratas página 3, al comienzo, dice : tg(alfa)=1 debería decir tg(alfa)=P1/P2 página 4 dice observaciones para las razones de triángulos mayores debería decir observaciones para las razones de ángulos mayores

1. Introducción
Se presenta en estos apuntes un resumen de la materia perteneciente a los apartados de trigonometría básica (4º
ESO) y los fundamentos de la trigonometría de Bachillerato. En estas páginas se exponen los conceptos básicos
que sustentan a las definiciones de las razones trigonométricas y unas explicaciones en las que se suelen
presentar más dudas por parte el alumno, todo ello a un nivel, como se ha dicho, muy básico.
El objetivo de estos apuntes es reforzar lo aprendido y aclarar algunas dudas que surgen durante el aprendizaje
de los rudimentos de la trigonometría que luego aplicaremos o profundizaremos. Luego, más que a una
exposición del tema detallado, pueden entenderse como un resumen, exposición esquemática de ideas, o más
próximo a su uso, una chuleta.
El uso de estos apuntes no es recomendable hasta que no se halla leído el tema o los temas
correspondientes en el libro de texto del alumno de la materia de trigonometría. Una vez hecho, se puede leer
estos apuntes, y consultarlos cuantas veces se quieran. Insistimos en que su objetivo es de refuerzo.
Conceptos básicos
Triangulo rectángulo- Denominamos triángulo rectángulo a aquel triángulo compuesto por dos ángulos agudos
cualesquiera y uno recto. Los lados que forman un ángulo recto se denominan catetos y el otro hipotenusa.
Ilustración 1: Triángulos rectángulos
Ejes cartesianos: Son dos rectas ortogonales que pasan por el origen de coordenadas y dividen al plano en
cuatro cuadrantes. Los puntos de cada cuadrante tienen coordenadas distintas.
Origen de coordenadas- Es el punto en el que se cortan los dos ejes de ordenadas. Se le asocia las
coordenadas O=(0,0).
Circunferencia goniométrica: Denominamos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 y
centrada en el origen de coordenadas. También puede expresarse como el lugar geométrico donde todos los
puntos distan una unidad del origen de coordenadas.
Apuntes de trigonometría-1

2. Ilustración 2: Cuadrantes y circunferencia goniométrica
Radían: Denominamos radian a la medida de un ángulo que se define como la razón de la longitud de un arco
determinado por un ángulo en una circunferencia entre el radio. Un ángulo de 360º son 2π rad. Para pasar de
una medida a otra un ángulo, utilizamos los siguientes factores de conversión.
360º
(ángulo en radianes)×
2π rad
2 π rad
(ángulo en grados)×
360º
Razones trigonométricas
Razones trigonométricas (definición)- Sea un triángulo rectángulo como el de la figura. Se define como
razones trigonométricas de uno de sus ángulos α a los cocientes del margen superior derecho.
Apuntes de trigonometría-2

3. Las razones trigonométricas son independientes al triangulo rectángulo usado y son únicas para cada
ángulo. Es decir, dos ángulos distintos tienen también razones trigonométricas distintas.
Ángulos en la circunferencia trigonométrica- Sea P=(P1, P2) de la circunferencia goniométrica. El ángulo que
forman la recta que une el punto con el origen de coordenadas y el eje horizontal de la circunferencia tiene
como como razones trigonométricas cos(α)=P1, sen(α)=P2 y tg(α)=1.
Ilustración 3: Punto de la circunferencia goniométrica
Relaciones trigonométricas fundamentales- Son dos las razones fundamentales para un ángulo.
Suma de cuadrados
(cos α)2+ sen(α)2 = 1
La definición de tangente
sen(α)
tg (α) =
cos(α)
Ángulos complementarios: Se denomina ángulos complementarios a dos ángulos tales que su suma es de 90º
(π /2 en radianes). Por ejemplo, 60º y 30º son ángulos complementarios. Recordemos que en estos ángulos el
seno de uno es el coseno del otro y viceversa y que la tangente de uno es la inversa del otro.
Valores de las razones trigonométricas según el cuadrante- Según esté un ángulo en uno de los cuatro
cuadrantes, sus razones trigonométricas tendrán que ser positivas o negativas. Las resumimos en general en la
siguiente imagen.
Apuntes de trigonometría-3

4. Ilustración 4: Signo de las razones trigonométricas de ángulos en cualquier cuadrante
Observaciones para las razones de triángulos mayores que 90º en la circunferencia goniométrica
Para hallar las razones trigonométricas de ángulos mayores que 90º ( segundo, tercer y cuarto cuadrante) lo que
haremos será identificar el ángulo como suma de dos distintos, uno de los cuales este en el primer
cuadrante, y le daremos el valor numérico de las razones trigonométricas de este, teniendo en cuenta si son
negativas o positivas, según en que cuadrante se encuentren, como indicamos más arriba.
Estudiaremos algunos casos particulares, que suelen ser los más frecuentes.
Señalamos que trabajamos con grados por comodidad de lenguaje y nos sostenemos en la Ilustración 5.
Los casos que se nos presentan con más frecuencias son los siguientes:
Para ángulos entre 90º y 180º- (imagen a-) ) Lo que hacemos es expresar β, situado en el segundo cuadrante,
como β=180º-α, con α en el primer cuadrante. Así pues cos(β)= -cos(α) y sen(β)=sen(α).
Para ángulos entre 180º y 270º- (imagen b-) ) Tenemos que expresar β, que está en el tercer cuadrante, como
β=180º+α. Así pues cos(β)= -cos(α) y sen(β)= -sen(α).
Para ángulos entre 270º y 360º- (imagen c-) ) Al igual que las anteriores, buscamos encontrar β, hallándose en
el cuarto cuadrante, como β=270º+α. Así pues cos(β)=cos(α) y sen(β)= -sen(α).
Para ángulos negativos- (imagen d-) ) Un ángulo negativo es aquel que ha sido definido siguiendo la dirección
de las agujas del reloj. Así pues, tenemos -α equivale a un ángulo β=360-α. Posteriormente, recurrimos a las
propiedades anteriormente estudiadas y le asignaremos a sus razones trigonométricas un valor positivo o
negativo según en qué cuadrante se encuentre el ángulo β.
Apuntes de trigonometría-4

5. Ilustración 5: Ángulos mayores que 90º y negativos
Para ángulos mayores que 360º- Lo que hacemos es expresar el ángulo dado, que llamaremos β , como β
=360º+α, con un ángulo α situado en cualquiera de los cuadrantes . Posteriormente, definimos su razones
trigonométricas usando los pasos anteriores y teniendo en cuenta en qué cuadrante se encuentre.
Bibliografía
Imago Matemáticas, ed. Santillana, colección Biblioteca temática en esquemas y síntesis.
Enciclopedia de las Ciencias Larousse, Tomo 1. Ed. Planeta.
Matemáticas Especiales, varios autores, editorial Sanz y Torres.
Apuntes de trigonometría-5