Conicas

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Conicas

  1. 1. PROF. SALDARRIAGA GEOMETRÍA 5TO CEPEBAN
  2. 2. Secciones Cónicas PARÁBOLAS
  3. 3. El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en elcual se estudian las figuras que pueden obtenerse al intersecar un cono cualquiera porun plano. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadasintersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndoseelipses, parábolas o hipérbolas según fuese el ángulo superior del cono, agudo, recto uobtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apoloniohace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho al de la geometría analítica.Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta queFermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica,retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad deque no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición ensituaciones reales:La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es unaparábola. Así, la línea que describe cualquier objeto móvil que es lanzado con una ciertavelocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola. Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de ladistancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe un objetomóvil (si se ignora el fricción del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en elcentro de la Tierra.
  4. 4. Pre prueba:1. Encuentra la ecuación de la parábola que cumple lassiguientes condiciones.a. Foco en ( 3,0) y vértice en el origen.  1b. Foco en  0 , −  y vértice en el origen.  17  ( )c. Pasa por 5 ,10 y abre hacia arribay vértice en el origen.d. La directriz es y = −2 y vérticeen el origen.e. Pasa por el punto ( 2,3) y la directrizes x = 3.
  5. 5. 2. Encuentra la ecuación de la gráfica ilustrada .a. b. 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x 2 = 4 py y 2 = 4 px ( 4) 2 = 4 p( 2) ( 4) 2 = 4 p( 2) p=2 p=2
  6. 6. Objetivos:Definir la figura de una parábola.Encontrar las ecuaciones canónicas o estandarde las parábolas.Trazar gráficas de las parábolas.
  7. 7. Las figuras cónicas se pueden general mediantela intersección entre un cono y un plano.
  8. 8. ParábolasDefinición:Una parábola es el conjunto de puntos en el plano paralos cuales la distancia desde un punto de la parábola aun punto fijo llamado el foco es igual a la distanciadesde el punto hasta una línea fija llamada la directriz. Ecuación: d(F, P) = d(P, D) Directríz
  9. 9. 4 3 Directriz 2 1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Foco -1 Vértice -2 -3 -4
  10. 10. y 4 3 2 1 Foco (0, p) (x, y) D2 x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y=–p -1 D1 Directriz -2 Vértice -3 D1 = D2 -4
  11. 11. La ecuación de la parábola será: D1 = D2 D1 = D2( x − 0)2 + ( y − p )2 = ( x − x )2 + ( y − ( − p))2 x 2 + ( y − p )2 = ( y + p )2x 2 + y 2 − 2 yp + p 2 = y 2 + 2 yp + p 2 x 2 − 2 yp = 2 yp x 2 = 4 yp x = 4 py 2
  12. 12. Teorema 1:La ecuación de una parábola con vértice en el origen,foco en (0, p) y directriz y = – p es, x 2 = 4 py La línea que divide la parábola en dos partes simétricas se llama el eje de simetría. De igual manera podemos encontrar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (p,0). Teorema 2: La ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco en (p, 0) y directriz x = – p es, = 4 px . y2
  13. 13. Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y trazala gráfica de cada parábola.1. y = 2 x 2 Solución2 . y = .5 x 2 Solución3. x = 2 y 2 Solución 1 24. x = y Solución 4 4 25. x = y Solución 9 26. − 2 y = x Solución
  14. 14. 1. y = 2 x 2 Vértice V ( 0, 0 ) 1 y=x 2  1 2 Foco F  0, ÷  8 1 1 4p = Directriz y=− 8 2 1 Eje de simetría p= 8 Eje de y; x = 0 p > 0 abre hacia arriba
  15. 15. y = 2x2 4 y x y 3 0 0 (– 1,2) 2 (1,2) 1 2 1 -1 2  1 F  0, ÷ x -4 -3 -2  -1 8  1 2 3 4 5 (0,0) -1Vértice: V (0, 0)  1 -2Foco: F  0, ÷  8 -3 1Directriz: y=− 8 -4 Ejercicios
  16. 16. 2. y = .5 x 2 Vértice V (0, 0) 2y = x 2  1 Foco F  0, ÷  2 1 4p = 2 Directriz y=− 2 1 Eje de simetría p= 2 Eje de y p > 0 abre hacia arriba
  17. 17. yy = .5 x 2 4 x y 3 0 0 2  1 1 .5 F  0, ÷ 1  2 (– 1,.5) (1,.5) –1 .5 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 (0,0) -1Vértice: V (0, 0) -2  1Foco: F  0, ÷  2 -3 1Directriz: y = − 2 -4 Ejercicios
  18. 18. 3. x = 2 y 2 Vértice V (0, 0)1 x= y 2 1 2 Foco F  ,0÷ 8  1 14p = Directriz x=− 8 2 1 Eje de simetría p= 8 Eje de xp > 0 abre hacia la derecha
  19. 19. x = 2y 2 y 4 x y 3 0 0 2 2 1 1 (2,1) 2 -1 1  (0,0) F  ,0÷ x -4 -3 -2 -1 1 8 2 3 4 5Vértice: V (0, 0) -1 (2, – 1) 1 Foco: F  , 0 ÷ -2 8  1 -3Directriz: x=− 8 Ejercicios -4
  20. 20. 1 24. x = − y 4 Vértice V (0, 0)−4 x = y 2 F ( −1, 0 ) Foco4 p = −4 Directriz x =1 Eje de simetría p = −1 Eje de xp < 0 abre hacia la izquierda
  21. 21. 1 2 x=− y y 4 4 x y 3 0 0 (– 1,2) 2 –1 2 x =1 1 –1 –2 F ( −1, 0 ) x (0,0) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5Vértice: V (0, 0) -1Foco: F ( −1, 0 ) -2 (– 1, – 2) -3Directriz: x =1 -4 Ejercicios
  22. 22. 4 25. x = y 9 Vértice V (0, 0) 9 x= y 2 9  4 Foco F  ,0÷  16  9 9 4p = Directriz x=− 16 4 9 Eje de simetría p= 16 Eje de xp > 0 abre hacia la derecha
  23. 23. 4 2 x= y 9 4 y x y 3 (4,3) 0 0 9 2 x=− 4 3 16 1 9  F  ,0÷ 4 -3 (0,0)  16  x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5Vértice: V (0, 0) -1 9 Foco: F  ,0÷ -2  16  -3 (4, – 3)Directriz: 9x=− -4 16 Ejercicios
  24. 24. 6. − 2 y = x 2 Vértice V (0, 0) −2y = x 2  1 Foco F  0, − ÷  2 1 4 p = −2 Directriz y= 2 1 Eje de simetría p=− 2 Eje de y p < 0 abre hacia abajo
  25. 25. −2 y = x 2 4 x y 3 0 0 2 1 –2 –2 1 y= 2 V ( 0, 0 ) 2 –2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1Vértice: V (0, 0)  1 ( −2, −2) F  0, − ÷ ( 2, −2) -2  2  1Foco: F  0, − ÷ -3  2 1 Directriz: y = -4 2

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