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Tunelaje de solitones

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Resumen de un trabajo sobre tunelaje de solitones.

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  • 1. TUNELAJE DE SOLITONES Alejandro Claro Mosqueda 2006
  • 2. ANTECEDENTE Kälbermann interesado en los solitones topológicos como posibles candidatos para la descripción de partículas y la perspectiva cuántica de estas partículas. En mecánica cuántica es posible que una partícula cruce, con cierta probabilidad, una barrera de energía potencial aun si su energía cinética es inferior que la de dicha barrera (tunelaje). ¿Cual es el comportamiento de un solitón en circunstancias similares? Kälbermann concluye que un solitón al colisionar con una impureza repulsiva localizada el solitón se comporta clásicamente (no observó tunelaje).
  • 3. OBJETIVO Demostrar, tomando como base el Modelo f4, bajo que condiciones es posible que un solitón topológico atraviese una barrera finita de energía potencial aun si su energía cinética es menor que la de dicha barrera
  • 4. ONDAS SOLITARIAS • La definiciones de onda solitaria y solitón no están estandarizadas. Usualmente a ambas se les denomina solitón. • Algunas ecuaciones diferenciales no lineales exhiben soluciones de onda viajera que preservan su forma a medida que se propaga, conocida con el nombre de ondas solitarias. • Los Solitones son ondas solitarias que luego de interactuar entre si resurgen recuperando su forma. • Ecuaciones diferenciales parciales dispersivas, disipativas o no lineales únicamente no exhiben ondas solitarias. Es solo, cuando el balance entre el efecto de la no linealidad y el efecto dispersivo o disapativo causa que aparezcan las ondas solitarias como solución.
  • 5. ONDAS SOLITARIAS • Las ondas solitarias con valores asintóticos diferentes en y son usualmente llamadas KINK, las cuales para efecto de esta presentación serán llamadas solitones topológicos.  
  • 6. SOLUCION SOLITONICA DEL MODELO f4 Ecuación de campo ftt  fxx    1 f f3  0 2 x  R, t  0 La cual puede ser derivada del siguiente Lagrangiano 1 1  L    ft2  fx2  U (f ) dx , 2 2  donde U (f )    2 1 2 f 1 . 8 Al aplicar la transformación galileana: x´ x  vt t´ t Se obtiene: d 2f d  2 dx´ df  U (f )   1  v 2    x´ R
  • 7. SOLUCION SOLITONICA DEL MODELO f4 Si v  1, este pseudo-potencial presenta tres puntos críticos Dos máximos en f = ± 1 Un mínimo en f = 0
  • 8. SOLUCION SOLITONICA DEL MODELO f4 Al integrar: d 2f d  U (f )   2  1  v 2  . dx´ df   Se obtiene:  Para 1 v2 2 f  E = V (± 1) = 0 1 E (1  v )  U (f´) 2 df´  x´ x0 . Proporciona  x  vt  x0 fk ( x, t )   tanh  2  2 1 v  .   UNA SOLUCION TIPO KINK (ANTIKINK)
  • 9. SOLUCION SOLITONICA DEL MODELO f4
  • 10. MODOS INTERNOS DE OSCILACION Al estudiar el problema de estabilidad: f ( x, t )  fk ( x)  f ( x)e  t , se obtiene la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones: d2 f  2  2(2  1)sech 2 ( z ) f  4(2  1) f d z z R Ecuación de Schrödinger de una partícula bajo la acción de un potencial Pöschl-Teller El solitón (fk) es estable si ( )  0
  • 11. MODOS INTERNOS DE OSCILACION • El espectro continuo corresponde físicamente a ondas dispersivas (fonones). • El primer “estado ligado”: f 0 ( x)  3  x sech 2   , 8 2 f k y recibe con frecuencia cero (  0 es proporcional a la derivada espacial ) x el nombre de modo de translación. • El segundo “estado ligado”: f1 ( x)  3  x  x sech   tanh  , 4 2 2 con frecuencia   i 3 / 2 corresponde físicamente con una oscilación localizada en torno al solitón. Es el candidato natural para almacenar e intercambiar energía de translación con el solitón.
  • 12. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA HOMOGENEA Ecuación de campo   1 ftt  ft  fxx  f  f 3  G 2 x  R, t  0 Esta ecuación presenta soluciones solitonicas si se cumple: 1 G  , 27 2 y tienen una forma similar a las del modelo en su forma mas simple:  x  vt  x0 D fk ( x, t )  C tanh 1 v2    E.  
  • 13. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA HOMOGENEA Si se cumple donde z3  z1 C , 2 C D , 2 z1  z2  z3 son las raíces de z3  z1 E , 2  v z2  . 2 1 v2 z  z 3  2G . En caso de escoger el signo positivo (+) la solución representa un kink y la velocidad tiene signo contrario a G. El solitón puede ser visto con el enfoque de partícula puntual bajo la acción de un potencial efectivo V(x) = Gx.
  • 14. SIMULACION NUMERICA
  • 15. MODOS INTERNOS DEL KINK DEL MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA HOMOGENEA Al estudiar la estabilidad de la solución: f ( x, t )  fk ( x)  f ( x)e  t , se obtiene la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones:   d2 f  2  2 tanh( z )  2(2  1)sech 2 ( z ) f    f d z Ecuación de Schrödinger de una partícula bajo la acción de un potencial Rosen-Morse hipergeometrico donde C E 4  1 3 2  2 z  x,   6 ,   2      E  C 2  2 C C  2 2 
  • 16. MODOS INTERNOS DEL KINK DEL MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA HOMOGENEA • El espectro continuo corresponde físicamente a ondas dispersivas (fonones). • Únicamente dos “estados ligados”. El primer modo interno de oscilación: f 0 ( x)  N 0 e - 3E x 2 sech 2 Dx , • Y el segundo modo: f1 ( x)  N1e -3Ex  Dx tanhDx  9 E sech Dx , sech  C   •El modelo f4 en su forma mas simple es un caso particular del presentado. Al colocar G = 0 se obtiene que C = 1 y E = 0, permitiendo así verificar que estos resultados concuerdan con los ya obtenidos.
  • 17. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA INHOMOGENEA Cuando la fuerza (G) no es constante la condición de existencia del kink se escribe: 1 . 27 lim G ( x)  x  Consideremos: G ( x)      A 2 A A  1 tanhBx   4 B 2  A2 tanhBx sech 2 Bx  . 2 2 Cuando A2 = 1 esta fuerza representa una impureza localizada en x = 0. Cuando A2 = 4B2 la fuerza representa una frontera entre dos fases en x = 0.
  • 18. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA INHOMOGENEA Tiene una solución estática en x0 = 0: solitónica fk ( x)  A tanhBx  . Y la condición de estabilidad del punto de equilibrio del punto x0 = 0 es: dG dx 0 4B 2  1. x0 Por otro lado, este potencial efectivo presenta sólo un punto crítico si se cumple: 4 B 2  1 4B 2  1 O A2  1 A2  1
  • 19. ESTABILIDAD DEL KINK DEL MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA INHOMOGENEA Al estudiar el problema de estabilidad: f ( x, t )  fk ( x)  f ( x)e  t , se obtiene la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones: d2 f  2  (  1)sech 2 ( z ) f    f d z z R Ecuación de Schrödinger de una partícula bajo la acción de un potencial Pöschl-Teller donde 3 A2 1  1  3 A2 z  Bx , (  1)  2 ,   2     2 ,     2 2B B  2  2B
  • 20. ESTABILIDAD DEL KINK DEL MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA INHOMOGENEA En esta ocasión se encuentran [] modos internos de oscilación cuyos autovalores están dados por:   1 n    B 2   2n  n 2 . 2 La solución solitónica es estable si   0, y por lo tanto se debe cumplir: 2B 2  1 . Entonces es posible identificar regiones donde: (a) el kink es estable, (b) el potencial presenta un solo punto crítico y (c) El punto de equilibrio x0 = 0 es estable.
  • 21. ESTABILIDAD DEL KINK DEL MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA INHOMOGENEA • Región I: un solo punto crítico (x0 = 0) estable y el kink es estable. • Región II: tres puntos críticos donde x0 = 0 es el único estable y el kink es estable. • Region III: tres puntos críticos donde x0 = 0 es el único estable y el kink es inestable.
  • 22. ESTABILIDAD DEL KINK DEL MODELO f4 BAJO LA ACCION DE UNA FUERZA INHOMOGENEA • Región IV: un solo punto crítico (x0 = 0) inestable y el kink es inestable. • Región V: tres puntos críticos, donde x0 = 0 es el único inestable y el kink es inestable. Región VI: tres puntos críticos donde x0 = 0 es el único inestable y el kink es estable.
  • 23. EL MODELO PARA EL ESTUDIO DEL TUNELAJE DE SOLITONES Para estudiar el tunelaje de solitones vamos a considerar una perturbación tal que el potencial efectivo sea una barrera como la mostrada en la figura a partir de la perturbación ya mostrada anteriormente: G1 ( x) si x  x * G ( x)   , si x  x * c donde G1 ( x)  f0 2  x f 1  f 0 tanh   m 2 S  x  x 1  f 0 tanh sech 2   , S S x* es el punto donde G1(x) tiene un mínimo y c = G1(x*).
  • 24. EL MODELO PARA EL ESTUDIO DEL TUNELAJE DE SOLITONES Pero se debe cumplir: fm fm  f0  0 , S2  4 , para que G(x) representa la perturbación correspondiente a una barrera de potencial.  f0 S La función G1(x) tiene la misma forma a la presentada al estudiar el modelo f4 bajo la acción de una fuerza inhomogenea si: f 0  A2  1 , 1 S  2 , B 2 fm  1  f0  4 . 2 S
  • 25. EL MODELO PARA EL ESTUDIO DEL TUNELAJE DE SOLITONES Lo que nos lleva a que la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones en el problema de estabilidad es la misma que observamos anteriormente. Y sus auto-valores en términos de f0 y S2 están dados por:   n  3 n  f0  1  2 S2 2 donde   1  3  f 0  1S 2 , 2 ,
  • 26. EL MODELO PARA EL ESTUDIO DEL TUNELAJE DE SOLITONES Para que el kink sea estable se debe cumplir: 6 f 0  4  1 . 0 S2 Lo que define una región donde el kink se comporta clásicamente (no hay tunelaje). En cambio, si: 6 f 0  4  1 S 2 , entonces el solitón se traslada hacia x > 0 atravesando la barrera aún si el centro de masa es ubicado en el punto de equilibrio con velocidad cero.
  • 27. SIMULACION NUMERICA DEL TUNELAJE DE SOLITONES Luego de realizar simulaciones numéricas, utilizando el método de diferencia finita de tres niveles, se observó tunelaje con valores que cumplen de forma aproximada: 6 f 0  4  1 S 2 , y que es posible escribir la condición de tunelaje, de forma aproximada, desvinculando fm y S2: fmS 2 f0  . 11
  • 28. SIMULACION NUMERICA DEL TUNELAJE
  • 29. EL PAPEL DE LOS MODOS INTERNOS EN EL PROCESO DE TUNELAJE DE SOLITONES Cuando  = 0, la energía del sistema:  E   2 1 2 1 2 1 2  ft  f x  f  1  G ( x)f dx , 2 2 8    se conserva. Entonces el sistema como un todo puede tener suficiente energía para hacer que el solitón atraviese la barrera. La auto-funciones del problema de estabilidad forman una base completa que puede ser utilizada como base para las pequeñas oscilaciones sobre el kink: f ( x, t )  fk ( x  xcm )    n f n ( x  xcm )  n    k f k ( x  xcm )dk
  • 30. v(t) EL PAPEL DE LOS MODOS INTERNOS EN EL PROCESO DE TUNELAJE DE SOLITONES 1(t) Al observarse tunelaje, la energía almacenada en el modo de forma se transforma en energía cinética del solitón. t
  • 31. v(t) EL PAPEL DE LOS MODOS INTERNOS EN EL PROCESO DE TUNELAJE DE SOLITONES 1(t) En cambio, al observarse que el solitón queda atrapado cerca del punto de equilibrio, el coeficiente del modo de forma quedan oscilando alrededor de su valor inicial y la velocidad del solitón queda oscilando entorno a cero. t
  • 32. CONCLUSIONES • Cuando el solitón es visto desde el enfoque de una partícula bajo la acción un potencial efectivo los resultados indican que si se cumplen las circunstancias necesarias existe el cruce de barrera con energía cinética inferior a la energía de la barrera. • La explicación del proceso de tunelaje requiere que el solitón sea visto bajo el enfoque de un objeto extendido de naturaleza ondulatoria. • El tunelaje es debido a la interacción de las colas del solitón con la fuerza externa, lo cual “empuja” lo suficientemente fuerte cuando se cumplen las condiciones de tunelaje. • El sistema como un todo puede tener suficiente energía que al activar los modos internos se produce el cruce de la barrera.
  • 33. CONCLUSIONES • El fenómeno de tunelaje aquí estudiado no se asemeja al fenómeno de tunelaje observado en mecánica cuántica. El tunelaje de solitones siempre tiene lugar con probabilidad p = 1.
  • 34. FIN

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