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Markowitz para dos activos
 

Markowitz para dos activos

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Este escrito trata de explicar de una manera simple todos los conceptos básicos para el desarrollo de la teoría de Markowitz en la gestión de carteras (ó portafolios) para dos activos....

Este escrito trata de explicar de una manera simple todos los conceptos básicos para el desarrollo de la teoría de Markowitz en la gestión de carteras (ó portafolios) para dos activos.
Con el fin de facilitar su comprensión, se desarrolla un ejemplo que apoya la teoría y permite visualizar su mecánica de una manera más comprensible, al lector.
El ejemplo esta desarrollado en Microsoft Excel

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    Markowitz para dos activos Markowitz para dos activos Document Transcript

    • Aplicación de la Teoría Markowitz Método Para dos activos John Alejandro Bedoya Villegas Estudiante de Ingeniería Administrativa Universidad Nacional de Colombia sede Medellín Marzo de 2011
    • En este documento se explica de manera sencilla, la teoría de Markowitz para dosactivos, no obstante requiere que el lector tenga un conocimiento previo de algunosconceptos básicos de estadística como son:Variable aleatoriaRendimiento logarítmicoMedia o esperanzaDesviación estándar (ó volatilidad)Covarianza entre variables aleatoriasCorrelaciones entre variables aleatoriasAplicación de la Teoría MarkowitzDefinicionMétodo Para dos activosMarkowitz en su modelo de gestión de carteras, muestra cómo lograr una inversiónóptima, que no es más que la correcta distribución del capital entre las diferentesopciones de activos, a esto Markowitz le llama cartera eficiente, que se define como,una cartera que proporciona la máxima rentabilidad con un mínimo de riesgo.Objetivo de este modelo es calcular una cartera eficiente, o en otras palabrasmaximizar la rentabilidad, reduciendo el riesgo.El modelo asume un comportamiento racional del inversionista, es decir elinversionista desea rentabilidad y rechaza el riesgo.Supuestos del modelo • Para cada activo se expresa un el rendimiento logarítmico así: Ecuación 1 Donde es el precio del activo al día de hoy y es el precio del activo al día de ayer. La conveniencia de usar estos rendimientos es en primer lugar aprovechar las propiedades de la función Ln y en segundo lugar supone que existes muchos precios entre y , en otras palabras, el rendimiento es continuo. • La rentabilidad de cualquier titulo es una variable aleatoria, que se define así,: ~ • Parámetro media o esperanza , se acepta como la media de rentabilidad y se denota asi:
    • Ecuación 2 • Se acepta como media de riesgo, la dispersión, medida por la desviación estándar, denotada así Ecuación 3 • La varianza y la media se mantienen constantes por un periodo Δ , ósea que no dependerán del tiempo t, así se acumulan los datos de la historia y se estimar la distribución asociada a dichas variables.Modelo para dos activos de MarkowitzSuponga que se cuenta con un capital k que se desea invertir en n activos financieros,que tienen precios históricos. El objetivo será determinar el porcentaje que deberá invertirse en cada activo, esto sereduce a hallar un “optimo” que minimiza la varianza del portafolio.Desarrollo del problemaCon los datos históricos, se puede calcular y . Además esnecesario estimar la covarianza y la las correlaciones entre los diferentes activos.La covarianza entre dos variables aleatorias se expresa como: , Ecuación 4La correlación entre dos variables aleatorias se expresa como: Ecuación 5Markowitz para dos activos se define, el rendimiento, la media y la varianza delportafolio.Rendimiento del portafolio viene dado por: Ecuación 6Donde: Es la rentabilidad del portafolio. Es porcentaje de inversión, 0,1 , Es la rentabilidad del activo 1 y 2 respectivamente.
    • Rendimiento medio del portafolio viene dado por: Ecuación 7Donde: Es el rendimiento medio del portafolio. Es porcentaje de inversión, 0,1 , Es la rentabilidad media del activo 1 y 2 respectivamente.Varianza del portafolio viene dada por: 1 Ecuación 8Donde: Es porcentaje de inversión, 0,1 , Es la desviación estándar del activo 1 y 2 respectivamente. Es el rendimiento medio del portafolio.Desviación estándar (ó volatilidad) viene dada por: Ecuación 9Ahora se puede encontrar el porcentaje de capital a invertir en cada activo, paraesto, se deriva la función de la varianza con respecto a y se iguala a cero. 0 ó 0Operando y despejando a se tiene que el omega óptimo será: Ecuación 10Podemos reescribir a en términos de la volatilidad y la correlación así:De la ecuación 5 Ecuación 11Luego reemplazando la ecuación 11 en 10 se tiene que: Ecuación 12
    • La varianza optima del portafolio , se define como: Ecuación 13Podemos reescribir la varianza óptima del portafolio en términos de la correlación y dela varianza así, reemplazando la ecuación 12 en la ecuación 13 y simplificando, setiene: Ecuación 14La rentabilidad óptima del portafolio se define como: Ecuación 15Rendimiento medio óptimo del portafolio se obtiene así: Ecuación 16Desviación estándar (ó volatilidad) optima: Ecuación 17Nota: para este caso en particular lo que buscamos es que los dos activos que tenganuna correlación , , negativa o cercana a cero así garantizaremos que ,Ejemplo de Markowitz con dos activos en Microsoft ExcelLo primero en lo que se debe hacer claridad, es en el intervalo de tiempo que se deseatrabajar, días, semanas, meses o años. Con base en este de tiempo, calculamos lasvolatilidades, que pueden ser, diarias, mensuales o anuales. Una de las metodologíasmás sencilla y más cuestionada, es multiplicar la volatilidad ó desviación estándar porla raíz de del periodo en días que se desea trabajar. Por ejemplo, si la volatilidad esdiaria, y la queremos anual solo bastara con multiplicar a por la raíz del periodo endías, así: √255 y obtendremos una volatilidad anual. Esta volatilidad, tambiéndepende del intervalo de tiempo en que se tomen los datos de los activos. Para esteejemplo en particular los datos son diarios, así que la volatilidad es diaria y por tanto elmodelo es válido por un día, que sería el día 1.Para este caso analizamos dos activos de la Bolsa de Valores Colombiana el índiceColCap y las acciones de HelmBank (P). Para este análisis tomamos el intervalo detiempo desde 04/01/2010 hasta el 28/02/2011, teniendo un total de 285 precios decierre históricos que los podemos encontrar en la página del Grupo Aval (link al inicio).
    • Luego de hacer los cálculos previamente descritos y ayudados con la herramienta“análisis de datos” incorporada en Microsoft Excel obtenemos los diferentescoeficientes de media, varianza y los coeficiente de covarianza y correlación entre losactivos, estos últimos con la herramienta “análisis de datos”. Obtenemos. Recuerde que los análisis para obtener los coeficientes se realizan sobre losrendimientos logarítmicos. Indice-Accion Media Varianza Desv. Estandar (1) COLCAP 0,00085 0,000095 0,009737 (2) HelmBank (P) -0,00023 0,0001 0,012202 Tabla 1 Coeficientes de variables aleatorias Ln(ri) COLCAP Ln(ri) HelmBank (P) (1) Ln(ri) COLCAP 9,44834E-05 3,1245E-05 (2) Ln(ri) HelmBank (P) 3,1245E-05 0,000148364 Tabla 2 Matriz de Covarianza Ln(ri) COLCAP Ln(ri) HelmBank (P) (1) Ln(ri) COLCAP 1 0,263899222 (2) Ln(ri) HelmBank (P) 0,263899222 1 Tabla 3 Matriz de CorrelaciónCon estos datos y usando la ecuación 10 se puede calcular el omega óptimo así: 0,0001 3,1245E 05 0,649190231 0,000095 0,0001 2 3,1245E 05De el anterior resultado, podemos concluir que 65% y que 135%, lo que quiere decir esto es que un 65% del capital será invertido en el activo unoy el otro 35% en el activo dos, que para este ejemplo son, el Índice ColCap y la accióndel HelmBank (P) respectiva mente.Luego la varianza del portafolio optimo , de la ecuación 13 será: 7,3E 05Y la medida de riesgo, la volatilidad del portafolio óptima de la ecuación 17 será: 7,3E 05 8,5E-03
    • Por último, rentabilidad media del portafolio óptimo , en la ecuación 16 será: 0,000473AnálisisObserve que la solución de la solución de Marcowitz pretende disminuir, la desviaciónestándar de la cartera total o portafolio, para esto se busco la combinación adecuadade capital a invertir en los diferentes activos, es a esto lo que Marcowitz llama“Portafolio Optimo” , . Ahora, las desviaciones típicas deben cumplir que . Entonces si un portafolio es optimo, por la solución de Marcowitz se cumpleque . 8,5E 03 0,009737 0,012202Veamos cuanto se reduce la medida de riesgo (desviación estándar): 0,009737 8,5E 03 0,125476086 13% 8,5E 03Recuerde que: “a mayor riesgo, mayor rentabilidad”, las soluciones de Markowitz loque pretenden es reducir el riesgo. Ahora si se invirtiera todo el capital en el activouno (índice ColCap), se obtendría una rentabilidad esperada de 0,00085, lo que asimple vista es mucho mayor que la rentabilidad esperada obtenida con el PortafolioOptimo que es de 0,000473.Veamos en cuanto se reduce la media de la rentabilidad: 0,00085 0,000473 0,445144 45% 0,00085Lo que quiere decir que as imple vista estamos sacrificando un 45% de rentabilidad poruna reducción en el riesgo de un 13%, sin embargo de acuerdo con Markowitz, lasolución es coherente, porque este es el máximo nivel de rentabilidad que puedealcanzar a un menor riesgo.
    • Veamos esto de manera grafica B A C DAnálisis de la graficaDesde Markowitz a la línea entre los puntos A y B se les llama “Frontera Eficiente”, portanto los portafolios ubicados sobre la frontera, son portafolios eficientes. Si miramosel portafolio C ofrecería menos rentabilidad que el portafolio B, es decir ,aunque ambos portafolios estarían expuestos al mismo nivel de riesgo (mismavolatilidad). Es por esta razón que solo se consideran los portafolios ubicados en laparte superior de la frontera. Observe que en los portafolios obtenidos desde A hastaB, a medida que aumenta la exposición al riesgo, aumenta la rentabilidad esperada yviceversa.El portafolio óptimo para este caso en particular es el portafolio A, que de acuerdo conla solución tiene, 0,000473 de rendimiento medio y 8,5E 03 de volatilidad, esto sepuede apreciar de manera grafica, por que como vemos no existe ningún otroportafolio que cumpla con estas condiciones.BibliografíaPrigent, J-L. (2007). Portfolio Optimization and Perfomance Analysis; Chapman & ‑Hall/ CRC Financial Mathematics Series: ed 7, United states of America. ISBN‑13: ‑ ‑ ‑978‑1‑58488‑578‑8 ‑