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Factor común

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  • 1. FACTOR COMÚNEJEMPLO 1:8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c +3d)El factor común es el número 4: ElMáximo Común Divisor entre losnúmeros.EXPLICACIÓN:"Saco" el número 4 multiplicando a unparéntesis .A eso se le dice "sacarfactor común 4". Luego divido a cadatérmino por el número 4, y voyponiendo todos los resultados dentrodel paréntesis, sumando o restandosegún el signo que resulte de ladivisión.Primer término:8a : 4 = 2a este término dió"positivo"Segundo término:-4b : 4 = -b este término dió"negativo"Tercer término:16c : 4 = 4cCuarto término:12d : 4 = 3d
  • 2. EJEMPLO 27x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 +3x2 - x6)El factor común es x2.: La x elevada a la menorpotencia con que aparece.EXPLICACIÓN:Aquí estoy sacando factor común x2, porque esla "x" elevada a la menor potencia con queaparece en este polinomio. Luego divido cadatérmino por x2, recordando que para dividir lasletras hay que restar los exponentes.Primer término:7x2 : x2 = 7Segundo término:11x3 : x2 = 11xTercer término:-4x5 : x2 = -4x3Cuarto término:3x4 : x2 = 3x2Quinto término:-x8 : x2 = -x6
  • 3. EJEMPLO 3:9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 -6x5)El factor común es 3x2: El MCD entre losnúmeros y la x elevada a la menor potencia.EXPLICACIÓN:1) Saco factor común 3x2. Porque el factorcomún entre los números es 3, y entre lasletras es x2, ya que es la x con el menorexponente con que aparece en elpolinomio.2) Luego divido cada término por 3x2,recordando que para dividir las letras hayque restar los exponentes .(propiedad de las potencias de igual base).Primer término:9x3 : 3x2 = 3xSegundo término:-6x2 : 3x2 = -2Tercer término:12x5 : 3x2 = 4x3Cuarto término:-18x4 : 3x2 = -6x2
  • 4. EJEMPLO 4:4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador,y la x a la menor potencia.EXPLICACIÓN:1) Saco factor común 2/3 x.¿Por qué 2/3? Cuando hay fracciones, puedo pensarlo así: Saco el factor comúnentre los numeradores por un lado, y saco el factor común de losdenominadores por el otro. El factor común del polinomio será una fracciónformada por esos dos factores comunes, en su respectivo orden.Aplicado a nuestro ejemplo:El factor común entre los numeradores es 2, y el factor común entre losdenominadores es 3. Entonces, el factor común de todo el polinomio es:"2 sobre 3" (2/3)¿Porqué la x? Por ser la de menor exponente, como ya se vió en ejemplosanteriores (EJEMPLO 2)2) Luego, divido cada término por 2/3 x.Primer término:4/3 x: 2/3 x= 2Segundo término:- 8/9 x3 : 2/3 x = -4/3 x2Tercer término:16/15 x7 : 2/3 x = 8/5 x6Cuarto término:-2/3 x5 : 2/3 x = - x4
  • 5. EJEMPLO 5:9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb -3ab2 + xz)El factor común es xa. Las 2 letrasque están en todos los términos, conla menor potencia con la queaparecen.EXPLICACIÓN:Saco factor común xa. Porque ambasletras están en todos los términos. Ylas estoy sacando con el menorexponente con que aparecen en elpolinomio (exponente 1), tal comovimos que se hace en otros ejemplos(EJEMPLO 2).Luego, divido cada término por xa:Primer término:9x2ab : xa= 9xbSegundo término:- 3xa2b3 : xa= - 3ab2Tercer término:x2az : xa = xz
  • 6. EJEMPLO 6:36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x -16x3 - 6 + 5x2)Entre números grandes es más difícilhallar el MCD.EXPLICACIÓN:1) Saco factor común 12x3. Porque 12 esel mayor número que divide a 36, 48, 72y 60. Es el Máximo Común Divisor entreesos números (¿qué es el MCD?)Y x3 , porque es la x con el menorexponente que aparece (EJEMPLO 2)2) Luego, divido cada término por 12x3Primer término:36x4 : 12x3 = 3xSegundo término:- 48x6 : 12x3= -4x3Tercer término:- 72x3 : 12x3 = -6Cuarto término:60x5 : 12x3 = 5x2
  • 7. EJEMPLO 7:8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)Saco factor común "-4". Todos los términos quedancon el signo contrario al que traían.EXPLICACIÓN:Saco factor común -4. Luego, divido cada términopor -4.Primer término:8a dividido -4 dá como resultado: -2aSegundo término:-4b dividido -4 dá como resultado: bTercer término:16c dividido -4 dá como resultado: -4cCuarto término:12d dividido -4 dá como resultado: -3dComo lo que queremosrecalcar aquí es el tema de lossignos, agregando los signos"+" que no solemos poner:+8 : (-4) = -2a-4b : (-4) = +b+16b : (-4) = -4c+12d : (-4) = -3dComo se puede observar,todos los términos quedancon el signo contrario al quetenían en el polinomio sinfactorizar. Eso se puede tomarcomo regla para sacar factorcomún negativo.
  • 8. EJEMPLO 8:(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x+ x2)(x + 1) está multiplicando en todos lostérminos. Es factor común.EXPLICACIÓN:Miremos el polinomio:(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 =Se puede ver que la expresión de dos términos,"(x + 1)", está multiplicando en todos lostérminos. Entonces, puedo decir que (x + 1) esun factor común, ya que es un "factor" y "estáen todos los términos".1) Tal como si fuera una letra o un número solo,saco como factor común a la expresión (x + 1), ytengo que hacerlo "con el menor exponentecon que aparece". El menor exponente opotencia con que aparece en este polinomio esa la potencia 12) Luego, divido cada término por (x + 1):Primer término:(x + 1).3 dividido (x + 1),dá como resultado: 3Segundo término:-5x. (x + 1) dividido (x +1), dá como resultado: -5xTercer término:(x + 1).x2 dividido (x + 1),dá como resultado: x2
  • 9. EJEMPLO 9:3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b- 5/7 c + 9/7 d)Divido todos los términos por 7, yquedan números fraccionarios. Estolo puedo hacer con cualquiernúmero.EXPLICACIÓN:Aquí saco multiplicando al factor 7,que no es divisor de ninguno de losnúmeros que están en los términos.Luego divido todo por 7, tal comoprocedía cuando sacaba factorcomún en los otros ejemplos:Primer término:3 dividido 7 dá 3/7Cómo la división no es exacta ("dá concoma"), dejo la división expresada amanera de fracción (3:7 lo representocon 3/7) .Segundo término:2 dividido 7 dá 2/7Tercer término:-5 dividido 7 dá -5/7Cuarto término:9 dividido 7 dá 9/7
  • 10. EJEMPLO 10:5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) altérmino de mayor grado. Por eso divido todo por 5.EXPLICACIÓN:Saco el 5 multiplicando a un paréntesis, y luegodivido a todos los términos por 5:Primer término:5x4 dividido 5 dá x4Segundo término:-2x3 dividido 5 es igual a -2/5 x3Tercer término:-3x dividido 5 es igual a -3/5 xCuarto término:4 dividido 5 es igual a 4/5Para Normalizar un polinomio hay quedividir todos sus términos por elcoeficiente de mayor exponente, llamado"coeficiente principal". Eso se parecemucho a sacar Factor común, sólo que nolo sacamos porque sea "común" a todoslos términos, sino que lo sacamos paraque el término de mayor potencia quede"solo" (sin coeficiente).x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5 es un polinomio"normalizado". En cambio:5x4 - 2x3 - 3x + 4 no es un polinomio"normalizado", y es por culpa de ese 5que está multiplicando a la x4. Pero sidivido todos sus términos por 5, ese 5 seva, ya que 5:5 dá 1. Tal como enel EJEMPLO 9, estoy sacando como sifuera Factor común a un número que noes divisor de todos los términos.

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