Problema para resolver por Gauss. Son tres ecuaciones con tres incógnitas

1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Queremos averiguar un número de tres cifras y se sabe que la cifra de las centenas es como la suma de las unidades y de las decenas; y que la suma de sus tres cifras es 14 y, por último, si al número le restamos el número invertido (cambiamos las centenas por las unidades) el resultado es 198. Sabiendo esto: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar el número. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

2. Resolución de problemas mediante el método de Gauss a) X: cifra de las centenas Y: cifra de las decenas Z: cifra de las unidades Ordenamos y agrupamos los términos de las ecuaciones.

3. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Arreglamos el sistema de ecuaciones: La tercera ecuación puede simplificarse por 99!!

4. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Escribimos el sistema lo más simplificado posible: Vamos a escribir la matriz del sistema y resolverlo por Gauss.

5. Resolución de problemas mediante el método de Gauss La matriz del sistema queda: Vamos a poner ceros en la primera columna b)

6. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Vamos a restar la 1a fila a la 2a fila y a la 3a fila. Vamos a poner ceros ahora en la segunda columna

7. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Podemos dividir la 2a fila por 2 para simplificar la matriz. Aunque ya estamos en disposición de saber el valor de Y, por casualidad en la 3a fila, vamos a poner ceros ahora en la segunda columna para que nos quede sólo la Z y el término independiente.

8. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Restamos la 2a fila a la 3a fila. Nos queda en la tercera fila sólo la Z. Por lo tanto...

9. Resolución de problemas mediante el método de Gauss En la tercera ecuación tenemos que: 0·X + 0·Y -1·Z = -5 , por lo tanto, Z = 5 Sustituimos el valor de Z en la segunda ecuación:

10. Resolución de problemas mediante el método de Gauss En la segunda ecuación tenemos que: 0·X + 1·Y +1·Z = 7 , y como Z = 5 1·Y +1·5 = 7 por lo tanto, Y = 2 Sustituimos los valores de Y y Z en la primera ecuación

11. Resolución de problemas mediante el método de Gauss En la primera ecuación tenemos que: 1·X - 1·Y -1·Z = 0 , y como Y = 2 y Z = 5 1·X - 2 - 5 = 0 por lo tanto, X = 7 Por lo tanto el número buscado es el 725 .

12. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Comprobación : 1) 7 = 2 + 5 , 2) 7 + 2 + 5 =14 , 3) 725 – 527 = 198 , Por lo tanto el número buscado es el 725 .