Reference slides (ITA) for the fourth conference of the cicle "Ad Ali Spiegate", held in Monza, Milan, Italy on March 20th, 2015. Check out the video on YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=mQvotum0OHc

1. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
“Sul ruolo delle simmetrie in fisica”
Matteo D’Achille
Università degli Studi di Milano Associazione culturale “Albatros”
20 Marzo 2014

2. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
INTRODUZIONE
STORIA
I greci
La similitudine nella geometria euclidea
R.Cartesio e la rivoluzione copernicana
J.Bolyai, N.I.Lobaˇcevskij e B.Riemann
La similitudine, più recentemente
MATEMATICA
Gruppi
Esempi di gruppi
Rappresentazioni di gruppi
FISICA
Un esempio di simmetria dinamica
Il teorema di E.Noether
Il gruppo di simmetria dello spazio tempo

3. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA GEOMETRIA STUDIA LE RELAZIONI TRA CORPI
Alla base della geometria l’interazione tra esigenze
pratiche e pensiero astratto (misurare, contare...)

4. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA GEOMETRIA STUDIA LE RELAZIONI TRA CORPI
Alla base della geometria l’interazione tra esigenze
pratiche e pensiero astratto (misurare, contare...)
Gli Elementi di Euclide (370 a.C. - 283 a.C.) come modello
del procedere more geometrico fino ai giorni nostri

5. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA

6. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE I
Due figure piane sono simili se lati omologhi sono
proporzionali.

7. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE I
Due figure piane sono simili se lati omologhi sono
proporzionali.
Risultati per una figura ”test" si estendono ad arbitrarie
figure simili.

8. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE I
Si considerino i due
triangoli equilateri
−→
L’area del più
piccolo, che ha lato l,
è 1.
Quanto misura il
lato del triangolo
equilatero “più
grande”?

9. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE II
Risposta:

10. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE II
Risposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra le
aree è 4.

11. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE II
Risposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra le
aree è 4.

12. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE II
Risposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra le
aree è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessa
posizione relativa nel triangolo più grande) si ottiene
moltiplicando per questo numero.

13. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SIMILITUDINE II
Risposta: 2l
2 è il rapporto di similitudine. Notare che il rapporto tra le
aree è 4.
La lunghezza di lati omologhi (=che occupano la stessa
posizione relativa nel triangolo più grande) si ottiene
moltiplicando per questo numero.
La similitudine è una relazione di equivalenza (è riflessiva,
simmetrica e transitiva). Risultati relativi a lunghezze del
rappresentante vengono estesi ad ogni triangolo ad esso
simile moltiplicando per una opportuna costante.

14. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
LA SCELTA DI UN SISTEMA DI RIFERIMENTO
Renato Cartesio (1596-1650)
Si possono studiare gli enti geometrici con i metodi
dell’Algebra. Nessun sistema di riferimento è privilegiato a
priori.

15. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL POSTULATO DELLE PARALLELE

16. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL POSTULATO DELLE PARALLELE IN GEOMETRIA
SFERICA
Bernard Riemann
(1826-1866)

17. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL POSTULATO DELLE PARALLELE IN GEOMETRIA
IPERBOLICA
Janos Bolyai (1802-1860)
Nikolaj Ivanoviˇc
Lobaˇcevskij (1792-1856)

18. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
UN CAMBIAMENTO DI PROSPETTIVA
L’attenzione è rivolta alle trasformazioni, non più agli enti
geometrici.
1. Quali sono le trasformazioni che preservano la
similitudine?
2. É possibile caratterizzarle "tutte assieme"?

19. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DEFINIZIONE DI GRUPPO.
Un gruppo finito è una coppia (X, ◦) di un
insieme X ed una operazione binaria ”◦”s
per la quale valgano le seguenti tre
proprietà:
1. Associatività. La presenza di parentesi
non influisce sull’applicazione
successiva di ◦
Évariste Galois
(1811-1832)

20. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DEFINIZIONE DI GRUPPO.
Un gruppo finito è una coppia (X, ◦) di un
insieme X ed una operazione binaria ”◦”s
per la quale valgano le seguenti tre
proprietà:
1. Associatività. La presenza di parentesi
non influisce sull’applicazione
successiva di ◦
2. Elemento neutro. Per ciascun elemento
dell’insieme X, esiste un elemento che
composto con questo non sortisce
effetto. Évariste Galois
(1811-1832)

21. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DEFINIZIONE DI GRUPPO.
Un gruppo finito è una coppia (X, ◦) di un
insieme X ed una operazione binaria ”◦”s
per la quale valgano le seguenti tre
proprietà:
1. Associatività. La presenza di parentesi
non influisce sull’applicazione
successiva di ◦
2. Elemento neutro. Per ciascun elemento
dell’insieme X, esiste un elemento che
composto con questo non sortisce
effetto.
3. Inverso. Per ciascun elemento
dell’insieme X, esiste un elemento che
composto con questo fornisce come
risultato l’elemento neutro.
Évariste Galois
(1811-1832)

22. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL GRUPPO Z2
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N.
Dividendo per 2, ci sono solo due possibili resti: → 0, 1

23. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL GRUPPO Z2
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N.
Dividendo per 2, ci sono solo due possibili resti: → 0, 1
Consideriamo la coppia ({0, 1}, ×) è un gruppo?

24. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL GRUPPO Z2
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N.
Dividendo per 2, ci sono solo due possibili resti: → 0, 1
Consideriamo la coppia ({0, 1}, ×) è un gruppo?
No. 0 non ammette inverso.

25. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X → X
iniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamento
dell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotato
dell’operazione di composizione (o applicazione
successiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine n
o Sn. Consideriamo il caso n = 2.

26. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X → X
iniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamento
dell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotato
dell’operazione di composizione (o applicazione
successiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine n
o Sn. Consideriamo il caso n = 2.
Chi è l’elemento neutro?

27. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X → X
iniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamento
dell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotato
dell’operazione di composizione (o applicazione
successiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine n
o Sn. Consideriamo il caso n = 2.
Chi è l’elemento neutro?
Chi è il reciproco?

28. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PERMUTAZIONI
Una permutazione di un insieme X è una mappa p : X → X
iniettiva e suriettiva. Può essere vista come un riarrangiamento
dell’insieme X.
L’insieme delle permutazioni di n oggetti, dotato
dell’operazione di composizione (o applicazione
successiva) è un gruppo detto gruppo simmetrico di ordine n
o Sn. Consideriamo il caso n = 2.
Chi è l’elemento neutro?
Chi è il reciproco?
Si mostra che le permutazioni di n oggetti formano un
gruppo detto gruppo simmetrico.

29. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
S2 O LE PERMUTAZIONI DI DUE OGGETTI

30. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
S3 O LE PERMUTAZIONI DI TRE OGGETTI

31. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
D3 O LE SIMMETRIE DI UN TRIANGOLO EQUILATERO

32. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MOLTO PIÙ DI UN’ANALOGIA

33. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MECCANICA
Un sistema meccanico è
completamente determinato
qualora si conoscano le velocità
e le posizioni di tutti i suoi
costituenti ad ogni tempo.
Sir Isaac Newton (1642-1726)
Per un ampia classe di sistemi
fisici l’energia totale del sistema
è E = T + V, dove:

34. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MECCANICA
Un sistema meccanico è
completamente determinato
qualora si conoscano le velocità
e le posizioni di tutti i suoi
costituenti ad ogni tempo.
Sir Isaac Newton (1642-1726)
Per un ampia classe di sistemi
fisici l’energia totale del sistema
è E = T + V, dove:
T o energia cinetica è
proporzionale al quadrato
delle velocità: T ∼ v2

35. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
MECCANICA
Un sistema meccanico è
completamente determinato
qualora si conoscano le velocità
e le posizioni di tutti i suoi
costituenti ad ogni tempo.
Sir Isaac Newton (1642-1726)
Per un ampia classe di sistemi
fisici l’energia totale del sistema
è E = T + V, dove:
T o energia cinetica è
proporzionale al quadrato
delle velocità: T ∼ v2
V o potenziale dipende
dalla natura delle forze
coinvolte (gravitazionale,
elettromagnetica..).
Assumeremo che V non
dipenda dalle velocità.

36. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
L’AZIONE
S è detta azione e si può
mostrare che S è lineare
nella differenza T − V.
La traiettoria fisica rende
minimo il valore di S.
Sir William Rowan
Hamilton (1805-1865)

37. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data una
costante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.
Esempi:

38. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data una
costante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.
Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.
Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, la
sua lunghezza triplica.

39. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data una
costante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.
Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.
Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, la
sua lunghezza triplica.
L’estensione di una superficie è f. omogenea di grado 2. Se
raddoppiamo il lato di un campo di grano quadrato, la sua
estensione quadruplica.

40. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
PREMESSA: FUNZIONI OMOGENEE
Una funzione ϕ si dice omogenea di grado k se, data una
costante di similitudine λ, vale ϕ ◦ Sλ = Sλk ◦ ϕ.
Esempi:
La lunghezza di un segmento è f. omogenea di grado 1.
Per esempio, se dilatiamo di un fattore 3 il segmento, la
sua lunghezza triplica.
L’estensione di una superficie è f. omogenea di grado 2. Se
raddoppiamo il lato di un campo di grano quadrato, la sua
estensione quadruplica.
In quanto segue supporremo che il potenziale del sistema
sia f.omogenea di grado k.

41. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
SIMILITUDINE DINAMICA

42. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
SIMILITUDINE DINAMICA

43. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL TEOREMA DI E.NOETHER
Emmy Noether (1882-1935)
“Ad ogni simmetria continua
(dell’azione S) di un sistema
fisico corrisponde una quantità
conservata.”

44. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL TEOREMA DI E.NOETHER
Emmy Noether (1882-1935)
“Ad ogni simmetria continua
(dell’azione S) di un sistema
fisico corrisponde una quantità
conservata.”
Si svelano proprietà profonde di
sistemi già studiati.

45. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
IL TEOREMA DI E.NOETHER
Emmy Noether (1882-1935)
“Ad ogni simmetria continua
(dell’azione S) di un sistema
fisico corrisponde una quantità
conservata.”
Si svelano proprietà profonde di
sistemi già studiati.
Si costruiscono nuove teorie a
partire dalle quantità conservate
laddove l’intuizione fornisce un
aiuto scarso o nullo.

46. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DALL’ESPERIMENTO ALLE SIMMETRIE DELLO SPAZIO
TEMPO
La velocità della luce c è costante in tutti i sistemi di riferimento
inerziale. Nel vuoto c = 299792, 458 m/s. Consideriamo una
lampadina che si accende nello spazio.

47. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DALL’ESPERIMENTO ALLE SIMMETRIE DELLO SPAZIO
TEMPO
La velocità della luce c è costante in tutti i sistemi di riferimento
inerziale. Nel vuoto c = 299792, 458 m/s. Consideriamo una
lampadina che si accende nello spazio.
X2
t2 = x2
t2 = c2 è un vincolo tra i regoli e gli orologi di
osservatori che descrivono la luce uscente dalla lampadina.

48. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
DALL’ESPERIMENTO ALLE SIMMETRIE DELLO SPAZIO
TEMPO
La velocità della luce c è costante in tutti i sistemi di riferimento
inerziale. Nel vuoto c = 299792, 458 m/s. Consideriamo una
lampadina che si accende nello spazio.
X2
t2 = x2
t2 = c2 è un vincolo tra i regoli e gli orologi di
osservatori che descrivono la luce uscente dalla lampadina.
Questo è un vincolo tra le posizioni e le velocità di
osservatori inerziali. Le trasformazioni tra i sistemi di
riferimento inerziali sono dette trasformazioni di Lorentz.

49. INTRODUZIONE STORIA MATEMATICA FISICA
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
A.D.Aleksandrov, A.N. Kolmogorov e M.A. Lavrent’ev
Le matematiche
Bollati Boringhieri, 2012
L.D.Landau, E.M.Lifšits
Fisica Teorica I - Meccanica
Editori Riuniti, 2010
E.Bellone
Caos e armonia
Utet, 2011
R.P.Feynman
Sei pezzi meno facili
Adelphi, 2007