W2 vektor 1

316 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
316
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

W2 vektor 1

  1. 1. VEKTOR Mata Kuliah : Matematika Elektro Oleh : Warsun Najib Jurusan Teknik Elektro FT UGM
  2. 2. Warsun Najib, 2005 2
  3. 3. Warsun Najib, 2005 3 1. Vektor di Ruang 2  Besaran Skalar dan Besaran Vektor  Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai)  Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa  Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah  Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik  Notasi Vektor  Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.  Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).  Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB  Notasi u dibaca “vektor u”
  4. 4. Warsun Najib, 2005 4 Penyajian Vektor  Vektor sbg pasangan bilangan  u = (a,b)  a : komponen mendatar, b : komponen vertikal  Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j  u = ai + bj  Panjang vektor u ditentukan oleh rumus       = b a u 22 |u| ba +=
  5. 5. Warsun Najib, 2005 5 Kesamaan Vektor  Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.  Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)  Jika u = v, maka  |u| = |v|  arah u = arah v  a=c dan b=d
  6. 6. Warsun Najib, 2005 6 a b Dua vektor sama, a = b a b Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda a b Dua vektor arah sama, besaran beda a b Dua Vektor besar dan arah berbeda
  7. 7. Warsun Najib, 2005 7 Penjumlahan Vektor  Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang  Dalam bentuk pasangan bilangan sbb: v u w = u + v w = u + v u v =u       + + =      +      =+       =      = db ca d c b a vu d c vdan b a u
  8. 8. Warsun Najib, 2005 8 Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor  Gambar 154 hal 404 Buku Advance Engineering Mathematic
  9. 9. Warsun Najib, 2005 9 Elemen Identitas  Vektor nol ditulis 0  Vektor nol disebut elemen identitas  u + 0 = 0 + u = u  Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.  u – u = u + (-u) = 0
  10. 10. Warsun Najib, 2005 10 Pengurangan Vektor  Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)  Dalam bentuk pasangan bilangan v u w = u - v -v u       − − =      −      =−       =      = db ca d c b a vu d c vdan b a u
  11. 11. Warsun Najib, 2005 11 Perkalian Vektor dengan Skalar  mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0. u 2u { }       =      = ∈      = mb ma b a mmumaka realbilanganmdan b a uJika : ,
  12. 12. Warsun Najib, 2005 12 Sifat-Sifat Operasi Vektor  Komutatif  a + b = b + a  Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)  Elemen identitas terhadap penjumlahan  Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor  Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|  1u = u  0u = 0, m0 = 0.  Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
  13. 13. Warsun Najib, 2005 13 Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)  (mn)u = m(nu)  |mu| = |m||u|  (-mu) = - (mu) = m (-u)  Distributif : (m+n)u = mu + nu  Distributif : m(u+v) = mu + mv  u+(-1)u = u + (-u) = 0
  14. 14. Warsun Najib, 2005 14 Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan 22 )()(|| dbcavu db ca d c b a vu d c vdan b a uJika nPenguranga −+−=−       − − =      −      =−       =      = 22 )()(|| dbcavu db ca d c b a vu d c vdan b a uJika nPenjumlaha +++=+       + + =      +      =+       =      =
  15. 15. Warsun Najib, 2005 15 Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan θcos||||2|||||| 22 vuvuvu ++=+u + v u v θ θcos||||2|||||| 22 vuvuvu −+=− u v u-v θ
  16. 16. Warsun Najib, 2005 16 Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan npenjumlahahasilrarah vekto: sin || )sin( || sin || β ββαα vuvu = − = + u + v u v α u v u-v α β npengurangahasilrarah vekto: sin || )sin( || sin || β βαβα vuvu = − = − β
  17. 17. Warsun Najib, 2005 17 Vektor Posisi  OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.  AB = AO + OB  = OB – OA  = b – a X Y 0 A B b a
  18. 18. Warsun Najib, 2005 18 Dot Product (Inner Product)  Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya. γcos|||| baba =•  Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka : 332211 ccbababa ++=•  a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o }  a•b = 0 jika {γ| γ = 90o }  a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o }
  19. 19. Warsun Najib, 2005 19 Vektor Ortogonal  Teorema  Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus  Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.  Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.  Untuk vektor bukan-nol  a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2
  20. 20. Warsun Najib, 2005 20 Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product  Besar Sudut γ dapat dihitung dgn: bbaa ba ba ba •• • = • = |||| cosγ
  21. 21. Warsun Najib, 2005 21 Contoh Perkalian Dot Product  a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]  Hitung sudut antara dua vektor tsb
  22. 22. Warsun Najib, 2005 22 Applications of Vector Product Moment of a force  Find moment of force P about the center of the wheel. |P|=1000 lb 30o 1,5 ft ]1299,0,0[ 500866 5.10 00 0500866 05.10 )5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[ ]0,500,866[ ]0,30sin1000,30cos1000[ −=++==×= =−= = °°= kji kji prm yr P Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
  23. 23. Warsun Najib, 2005 23 Scalar Triple Product shgpertama,brsmnrt3ordedeterminanekspansimrpkIni ,,vac)(ba ]v,v,[vvcbandaikanc)(bac)b(a sebagaiandidefinisk)(ditulis ],,[],,,[,],,[ vektortigadariproducttripleScalar 21 21 3 13 13 2 32 32 1 332211 321 321321321 cc bb a cc bb a cc bb a vavava cba ccccbbbbaaaa +        −−= =•=ו ==×ו= === 321 321 321 c)(bac)b(a ccc bbb bbb =ו=
  24. 24. Warsun Najib, 2005 24 Scalar Triple Product Geometric representation  a,b,c vektor  β sudut antara (bxc) dan a  h tinggi parallelogram b ||luasmempunyaicdanbsisidgalasgenjangjajaran cos|| cos|||||)(| )( cbarea hheighta cbacba cbaBesar × = ×=ו ו β β c b x c a β h
  25. 25. Warsun Najib, 2005 25 Referensi  Advanced Engineering Mathematic, chapter 8

×