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  1. 1. TÉCNICAS DE CONTEO (Análisis Combinatorio)La teoría combinatoria estudia los métodos que permiten contar el número de diversosarreglos o selecciones que puede formarse con los elementos de conjuntos finitos. Entresus aplicaciones prácticas está el cálculo de probabilidades, al permitir enumerar loscasos favorables y casos posibles. Tiene también utilidad en otras ramas, como porejemplo, el cálculo de la complejidad o tiempo de ejecución de un algoritmo o programainformático, al estimar el número de operaciones que se realizan en un procedimientoalgorítmico.Definiciones previas:El factorial de un número natural n, que se denota por n!, se define como:n!=1·2·3...n,por convención se define 0!=1. n  El número combinatorio de n en k, que se denota por  k  , se define como:   n n!  =  k  k! (n − k )!  Propiedades  n  n  n n  n n a)  0  =  n  = 1     b) 1  =  n − 1 = n     c)  k  =  n − k                 PRINCIPIO FUNDAMENTALESPrincipio de la AdiciónSi A puede realizarse de n formas diferentes y B puede realizarse de m formasdiferentes y ambos no pueden realizarse simultáneamente (solo se puede llevar a cabouno de los 2) entonces A o B pueden realizarse de n+m formas diferentes. Esteresultado se puede generalizar a más de 2 procesos. Ejemplo: Una repuesto de auto se vende en 6 tiendas de la ciudad A y en 8 tiendas de la ciudad B. ¿En cuantas tiendas se puede adquirir el repuesto? Respuesta: 6+8=14Principio de la MultiplicaciónSi un proceso puede dividirse en dos etapas o fases (simultáneas o no) y una puederealizarse de n formas diferentes y la otra de m formas diferentes, entonces el procesopuede efectuarse de n·m formas diferentes. Este resultado se puede generalizar a más de2 etapas o fases. Ejemplos:
  2. 2. Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2. Respuesta: 3·4=12 Una matrícula para vehículos consta de 2 letras (considerar 26 letras del alfabeto) y a continuación 3 dígitos. a) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las 2 letras son diferentes y también los 3 dígitos son diferentes? Respuesta: 26·25·10·9·8 = 468 000 b) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las letras pueden coincidir e igualmente los dígitos pueden ser iguales? Respuesta: 26·26·10·10·10 = 676 000TECNICAS DE CONTEOPermutaciónSi se tiene los elementos a1, a2, ..., an, cada ordenamiento diferente de esos n elementosrecibe el nombre de permutación. Es importante resaltar que el orden es unacaracterística importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementosse dice que permutamos dichos elementos y se obtiene otra permutación.El número total de permutaciones de n elementos es n! Ejemplo: El número total de permutaciones que se puede obtener con las letras A, B y C será: 3!=3.2=6, éstas serán: ABC BAC CAB ACB BCA CBAPermutaciones con repeticiónDados n elementos de los cuales k1 son de la clase 1, k2 son de la clase 2,... y km son dela clase m, llamamos permutaciones con repetición de n elementos a los posiblesarreglos que podemos formar con n elementos, donde dos arreglos son distintos si varíael orden de los elementos diferentes. - importa el orden entre los distintos pero no entre los iguales. - se utilizan todos los elementos (n) de que se dispone. n!Pn 1 , k 2 , ... , k m = k k1! k 2 ! ... k m !Formas diferentes en que puede seleccionarse k elementos tomados deun grupo de n elementosVariaciones: Si el orden de los k elementos es importante (ordenamientos diferentes delos k elementos se considera una forma distinta de seleccionar los k elementos)entonces se llama variaciones.
  3. 3. n!El número de variaciones es igual a Vk = n (n − k )!Combinaciones: Si el orden de los k elementos no es importante (ordenamientosdiferentes de los k elementos se considera la misma forma de seleccionar los kelementos) entonces se llama combinaciones. n n!El número de combinaciones es igual a C k =   = n  k  k!(n − k )!   Ejemplo: Determinar los diferentes arreglos que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos Solución: Los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb Como se considera que el orden de los elementos es esencial se calculan las variaciones con n=3 y k=2. 3! V23 = =6 (3 − 2)! Ejemplo: Determinar los diferentes subconjuntos que se pueden obtener con las letras a, b y c tomadas de dos en dos Solución: Sea el conjunto {a, b, c}, entonces los subconjuntos pueden ser: {a, b}, {a, c}, {b, c}. Como se considera que el orden de los elementos carece de importancia se calculan las combinaciones con n=3 y k=2.  3 3!  =  2  2!(3 − 2)! = 3   Ejemplo: Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Solución : Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k=3) de un total de 5 puntos (n=5). Además no importa el orden, ya que el triángulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.  5 5! 5.4.3!  =  3  3!(5 − 3)! = = 10   3!2
  4. 4. Ejercicios 1. ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5 y 7? 2. Se dispone de 4 frutas diferentes ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá prepararse con estas frutas? 3. Se desea formar un comité de 7 estudiantes seleccionando 4 mujeres y 3 hombres de un grupo de 8 mujeres y 6 hombres.¿De cuántas maneras podrá seleccionarse? 4. ¿Cuántos números de 3 cifras que sean impares, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos? 5. ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos a 3 hombres y 4 mujeres, si estas deben ocupar los lugares impares? 6. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen? 7. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura? 8. Con 10 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar? 9. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo. 10. En un torneo de ajedrez participan 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugarán si cada jugador juega contra todos los demás? 11. En un examen un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes puede seleccionarlas, si debe responder, por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas? 12. El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M, P, I, R, O. ¿Cuántas palabras pueden formarse si ninguna letra puede repetirse? 13. La selección chilena juvenil de voleibol está conformada por 12 chicas. ¿De cuántas formas puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar al mismo tiempo? 14. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro chicas quieren estar juntas? 15. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuirse para remar, si cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?

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