333 tecnicas de conteo)

1,143 views
905 views

Published on

Tecnicas de conteo ejemplos y formulas.

♥Subido por Agente♥
(> " " <)
( ='o'= )
-(,,)-(,,)-
visitame en:
http://ceirlome.jimdo.com/
http://www.youtube.com/user/RaesahKhawala

encuentra test en:
http://www.daypo.com/autores.php?t=104255#tests

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,143
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
23
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

333 tecnicas de conteo)

  1. 1. APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO “La ciencia es la estética de la inteligencia” Gastón Bachelard “La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza” MOVEMétodos de enumeraciónCon la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espaciomuestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones deprobabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremosalgunas técnicas de enumeración:Principio de multiplicaciónSi una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fasees realizable de ni maneras, entonces la operación global es realizable den1 × n2 × n3 × ... × n k maneras.Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena ySan Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren;¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín –Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguientediagrama? 1
  2. 2. El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, elitinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tourcompleto Medellín, Cartagena San Andrés de 2 × 3 = 6 maneras.Principio de adición.Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes ycada fase se puede realizar de ni maneras, entonces la operación global se kpuede realizar de n1 + n 2 + n3 + ... + n k = ni maneras. iObserve que: La sumatoria es un operador que goza de las siguientespropiedades: 1 n n na) x i = x1 b) xi = xj = xk , el i =1 i =1 j =1 k =1 subíndice es una variable muda.c) n(k + k + k + ... + k ) = k = nk o sea la suma de una constante, n veces i =1d) Propiedad asociativa generalizada 2k k 2k xi = xi + xi i =1 i =1 i = k +1e) Propiedad telescópica n (a i − a i −1 ) = an − ao 1f) Propiedad de operador lineal n n n (a x k + b y k ) = a xk + b yk a y b constantes. 1 1 1Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatoriasdiscretas y valores esperados. 2
  3. 3. Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima fríoen Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena,Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según eldiagrama siguiente?Veamos:Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de3 + 4 = 7 maneras.Principio de permutación.Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total demaneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a1 × 2 × 3 × ... × n = n ! , definido como factorial de n. Observe que secumple la fórmula de recurrencia n! = n (n − 1) ! y por consistencia con ellacuando n=1 se define 1! = 0! = 1.Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z.¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos? 3
  4. 4. C1 C2 C3 C4 PC Ι Z CΙ Z ΙZ Z 4 × 3 × 2 × 1 = 4!En el C1 podemos colocar una de las cuatro clases de equipaje, es decir, hay4 maneras de ocupar C1, para C2 tendremos sólo 3 maneras, para C3 2maneras, para C4 sólo 1 manera de ocuparlo, es decir, el total de maneras es4×3×2×1 = 4! = 24Con fundamento en los principios de adición, multiplicación y permutación sedefinen los conteos de variación, combinación y partición.Variaciones. Cuando se permutan solo r ≤ n tomados de los n elementosentonces definimos, n! Prn = (n − r )!como el número de variaciones de n objetos tomados de a r.Ejemplo 4. En el caso de las cuatro prendas de equipaje considere que solose dispone de 3 compartimentos. ¿De cuantas maneras se pueden colocarlas cuatro prendas en los 3 compartimentos? n! 4!Calculamos Prn = = =4 (n − r )! 3!Combinaciones. Cuando en las variaciones se prescinde del orden de los r objetos se definen las combinaciones de n objetos tomados en grupos de r ≤ n como n r! = r r ! (n − r !) 4
  5. 5. Ejemplo 5. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar ternas, sinrestitución y sin considerar el orden entre 5 objetos diferentes? n r! 5!Calculamos = = = 10 r r ! (n − r !) 3! 2! n nObserve que = es decir que el número de subgrupos posibles de r n−rr objetos o de n-r objetos en un conjunto de tamaño n es igual.Y que en particular con r=1 n n = =n n −1 1ParticionesEl número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de unaclase, n 2 de una segunda clase, ..., nk de una k − ésima clase, coincide conel número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en kceldas con n1 objetos en la primera celda, n 2 elementos en la segundacelda y así sucesivamente donde n = n1 + n 2 + ... + n k y el orden en cadacelda y entre celdas no se considera; este número es: n n r n! = = n1 , n 2 , ..., n k ni n1 ! n 2 ! n 3 ! ... n k ! 1Ejemplo 6.a) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas con restitución y considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes? Veamos, sean a, b, c y d los elementos, entonces: 5
  6. 6. aa ab ac ad a b ba bb bc bd = S c d ca cb cc cd da db dc dd # S = nr # S = 4 2 = 16 parejasb) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución, considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes? Veamos: − ab ac ad a b ba − bc bd = S c d ca cb − cd da db dc − n 4 4! #S = r! = 2! = = 12 parejas r 2 2!c) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución, sin considerar el orden, entre cuatro elementos diferentes Veamos − − − − a b ba − − − = S c d ca cb − − da db dc − n n! 4! #S = = = = 6 parejas r n! (n − r )! 2! 2!Ejemplo 7.a) De cuántas maneras se pueden seleccionar 5 parejas hombre mujer entre 80 chinos y 20 chinas? 6
  7. 7. Veamos: 20 chinas las maneras de seleccionar 5 chinas son combinaciones de 20 objetos tomados en 20 subgrupos de 5, o sea 5 80 chinos las maneras de seleccionar 5 chinos son combinaciones de 80 objetos tomados en 80 subgrupos de 5, o sea 5 20 80 Y las maneras de conformar 5 parejas = según el principio de 5 5 la multiplicación.b) Cuál es la probabilidad de que al seleccionar 10 personas salgan exactamente 5 parejas? El número de parejas hombre mujer posibles dividido por el número total de subgrupos de 10. Esto es: 20 80 • 5 5 100 10Ejemploa) De cuántas maneras se puede seleccionar una muestra de tamaño n de una población de tamaño N, n < N ?b) Si todas las muestras son equiprobables, cual es la probabilidad de seleccionar una muestra en particular?a) Se trata seleccionar subgrupos de n elementos de entre N objetos posibles, es decir, el total de muestras posibles es 7
  8. 8. N N! = , n <N n n ! (N − n) ! −1 N n ! (N − n) !b) La probabilidad de una muestra es = , n < N. n N!Ejemplo 9.Coeficientes binomiales, combinaciones y triángulo de PASCALExpansión del binomio (a + b )n(a + b)o = ..................1(a + b)1 = .......... .........a + b(a + b )2 = ...................a 2 + 2 a b + b 2(a + b)3 = .....................a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 Los coeficientes de estos polinomios se pueden representar en el denominado Triángulo de PASCAL Observe que en cada subtriángulo la suma de dos números consecutivos en cada fila es igual al número en el centro en la fila siguiente. 3 3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23k =o k 8
  9. 9. 3Observe que el desarrollo de que corresponde al concepto de kcombinaciones, reproduce los coeficientes binomiales.Ejercicio. Comprobar que los números de ternas tomados entre cuartetas,en la siguiente representación, coinciden con los cálculos correspondientes,según los principios de conteo.Selecciones de ternas de letras entre (a, b, c, d) 9
  10. 10. De cuántas maneras se pueden seleccionar r objetos tomados entre n, conrestitución y considerando el orden?De cuántas maneras se pueden seleccionar n objetos tomados entre n, sinrestitución y considerando el orden?De cuantas maneras se pueden seleccionar r elementos tomados entre n, sinrestitución y sin considerar el orden?PROBLEMAS SELECCIONADOS1. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer usando 3 dígitos y 3 letras del abecedario? (Considérese los dígitos del 0 al 9 y 26 letras).2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 parejas en 10 butacas en las filas de un teatro, de manera que no quede ninguna pareja separada?3. ¿Cuántos números se pueden formar usando todos los siguientes dígitos: 2, 4, 5, 7, 9 . a) ¿Si no se pueden repetir los dígitos? b) ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 5? c) ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? d) ¿Cuántos de ellos son menores de 50.000? e) ¿Cuántos de ellos son pares? 4. Seis personas fueron invitadas a un banquete a una mesa rectangular con capacidad para seis. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse las seis personas si: a) Todas aceptaron la invitación? b) Dos de ellas no aceptaron la invitación? 10
  11. 11. 5. ¿Cuántos números de teléfono de 7 dígitos se pueden establecer si todos los dígitos se pueden utilizar con repetición pero no pueden comenzar con cero?6. Seis personas que van en un tour llegan a un hotel donde hay 6 cuartos, uno a continuación del otro a lo largo de un corredor, los cuales serán asignados al azar a las 6 personas, dos de ellas son conocidas de antemano. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las 6 personas en sus respectivos cuartos si las dos conocidas solicitaron estar en cuartos contiguos?7. Considérese una caja con 4 bolitas numeradas del 1 al 4. ¿De cuántas formas se pueden sacar 3 bolitas una por una, si: a) no se reemplazan en la caja las sacadas previamente? b) se reemplazan en la caja las sacadas previamente?8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar 6 llaves en un llavero en forma de aro?9. Se desean sentar 5 señores y 5 señoras alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas pueden sentarse si no se pueden sentar dos damas una al lado de la otra?10. En un experimento psicológico de aprendizaje, una rata tiene la opción de escoger una de cinco trayectorias. Si se escogen dos ratas para el experimento, ¿cuántos eventos simples están asociados con este experimento? ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral?11. Una pizzería ofrece pizzas con cualquier combinación (incluyendo la que sólo tiene queso y la que contiene todo) de los siguientes ingredientes: pimiento, cebolla, champiñón, chorizo, anchoas y jamón. ¿Cuántas 11
  12. 12. pizzas diferentes se pueden ordenar si hay la posibilidad de escoger pizzas con ninguno, uno o más ingredientes y hasta con todos ellos?12. Una bolsa contiene 5 canicas blancas y 7 rojas. Si se desean sacar 5 canicas al azar, ¿de cuántas formas posibles pueden ser sacadas si: a) las canicas pueden ser de cualquier color? b) se quieren exactamente 3 blancas? c) las 5 deben ser del mismo color?13. En un laboratorio hay 4 diferentes trabajos que realizar en una tarde en particular y hay 5 personas para hacerlos. ¿De cuántas formas pueden ser asignadas las 5 personas para hacer los cuatro trabajos?14. Una investigadora tiene 4 drogas que desea probar, pero sólo dispone de animales suficientes para probar 3 de las drogas. ¿De cuántas formas puede probar las cuatro drogas?15. Se le suministran drogas a 8 animales de la siguiente forma: Tipo A a tres de ellos, tipo B a otros tres y tipo C a los dos restantes. Luego se coloca cada uno de los animales en una de las 8 diferentes cajas adyacentes para su observación. Si los animales sólo se distinguen en base al tipo de droga recibida, ¿de cuántas formas diferentes pueden ser colocados?16. En el binomio (1 − 2 x )13 encontrar: a) el quinto término del desarrollo. b) el décimo tercer término del desarrollo. c) los dos términos centrales del desarrollo. d) el término independiente.17. Encontrar el coeficiente del término que contiene a: 12
  13. 13. a) x 2 y 4 en el desarrollo de (2 x + 3 y )6 . b) ( x 5 en el desarrollo de x + x −3 . )18. A partir del conjunto de letras de la palabra VIDA se escogen 2 letras una por una. Enliste el espacio muestral, o sea, el conjunto de todas las parejas posibles.19. Si las letras ORMA se arreglan en línea al azar, cuál es la probabilidad de que en el arreglo aparezca ROMA?20. Una muestra de 6 individuos para cierta prueba es seleccionada de un grupo de 20 fumadores y 10 no fumadores. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar muestras que contengan 4 fumadores?21. En un experimento de Modelos Animales, los hámsteres pueden clasificarse de acuerdo con su sexo: hembra o macho; de acuerdo con su edad: juvenil o adulto, y de acuerdo con la cepa que será inoculada: L. panamensis,,, L. Braziliensis y L. Guayanensis. Encuentre el número total de formas posibles de clasificar a un hámster. 13

×