Twierdzenia matematyczne

3,427 views
2,926 views

Published on

Internetowe Centrum Materiałów Edukacyjnych 2

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,427
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Twierdzenia matematyczne

  1. 1. Witamy ! Zapraszamy do obejrzenia prezentacji na temat : Twierdzenia matematyczne, o których warto pamiętać.
  2. 2. Pola figur płaskich
  3. 3. <ul><li>W naszym otoczeniu jest wiele figur płaskich. Praktycznie wszystko, co nas otacza, składa się z figur płaskich. Wystarczy się tylko dobrze rozejrzeć. </li></ul>
  4. 4. KWADRAT <ul><li>Pole kwadratu możemy obliczyć z wzoru: </li></ul><ul><li>P=a 2 </li></ul><ul><li>a </li></ul><ul><li>a </li></ul>
  5. 5. Prostokąt <ul><li>Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego wymiarów. P=a*b </li></ul>
  6. 6. Trójkąt <ul><li>Znając długość boku trójkąta i wysokość opuszczoną na ten bok możemy obliczyć jego pole korzystając ze wzoru : </li></ul><ul><li>P= </li></ul>a h b c .
  7. 7. <ul><li>Jeśli mamy podane boki trójkąta lecz nie znamy jego wysokości, to pole możemy obliczyć, że Wzoru Herona: </li></ul>
  8. 8. Równoległobok <ul><li>Pole równoległoboku obliczamy, mając daną długość boku i odpowiadającą mu wysokość. </li></ul><ul><li>Wzór: P=a*h </li></ul>a b h .
  9. 9. Romb h a . 1 1 ² ²
  10. 10. Trapez <ul><li>Obliczając pole trapezu musimy mieć dane długości podstaw oraz jego wysokość. </li></ul><ul><li>Wzór: </li></ul>h a b .
  11. 11. Deltoid <ul><li>Obliczając pole deltoidu musimy mieć dane długości dwóch przekątnych. </li></ul><ul><li>Wzór: P= </li></ul>d d 1 2 .
  12. 12. Koło <ul><li>Pole koła jest równe: </li></ul><ul><li>P=πr 2 </li></ul><ul><li>π- w przybliżeniu 3,14 </li></ul><ul><li>r - promień koła </li></ul>r
  13. 13. <ul><li>A teraz kilka zadań, byś mógł sprawdzić swoją wiedzę oraz pamięć. </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Zadanie 1 </li></ul><ul><li>Narysuj kwadrat o boku równym 4 cm. Oblicz jego pole. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>a= 6 cm P= ? </li></ul><ul><li>4cm </li></ul><ul><li>4cm </li></ul><ul><li>P=a 2 </li></ul><ul><li>P=4 2 </li></ul><ul><li>P=16 cm 2 </li></ul><ul><li>Odp : Pole kwadratu wynosi 16 cm 2 </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Zadanie 2 </li></ul><ul><li>Obwód kwadratu wynosi 64 cm. Oblicz ile wynosi bok tego kwadratu oraz ile wynosi jego pole. </li></ul><ul><li>Dane : Szukane </li></ul><ul><li>Ob= 64 cm P= ? a= ? </li></ul><ul><li>Ob= 4*a </li></ul><ul><li>a= 64/4 </li></ul><ul><li>a=16 </li></ul><ul><li>P=a 2 </li></ul><ul><li>P= 16 2 </li></ul><ul><li>P=256 cm 2 </li></ul><ul><li>Odp: Bok tego kwadratu wynosi 16 cm ,a jego pole 256 cm 2 </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Zadanie 3 </li></ul><ul><li>Narysuj prostokąt którego boki wynoszą 5 cm i 6 cm. Oblicz jego pole. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane : </li></ul><ul><li>a= 5 cm P= ? </li></ul><ul><li>b= 6 cm </li></ul><ul><li>5cm </li></ul><ul><li>6cm </li></ul><ul><li>P=a*b </li></ul><ul><li>P=5*6 </li></ul><ul><li>P=30 cm 2 </li></ul><ul><li>Odp: Pole tego prostokąta wynosi 30 cm 2 </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Zadanie 4 </li></ul><ul><li>Pole prostokąta wynosi 70 cm 2 . Jeden bok ma 7 cm. Oblicz ile wynosi drugi bok tego prostokąta. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>P= 70cm 2 b= ? </li></ul><ul><li>a= 7cm Sprawdzenie: </li></ul><ul><li>P= a*b P=a*b </li></ul><ul><li>70 2 =7*b P=7*10 </li></ul><ul><li>b=70/7 P=70 cm 2 </li></ul><ul><li>b=10cm Odp : Bok prostokąta wynosi 10 cm . </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Zadanie 5 </li></ul><ul><li>Podstawa trójkąta wynosi 4 cm, zaś wysokość opuszczona na tą podstawę ma 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta i narysuj go. </li></ul><ul><li>Dane : Szukane: </li></ul><ul><li>a=4cm P = ? </li></ul><ul><li>h=10cm </li></ul><ul><li>P=1/2 a*h </li></ul><ul><li>P=1/2*4*10 </li></ul><ul><li>P=20cm 2 </li></ul><ul><li>Odp : Pole tego trójkąta wynosi 20cm 2 </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Zadanie 6 </li></ul><ul><li>Narysuj trójkąt o wymiarach a=6 cm, zaś h=10cm. Oblicz jego pole. </li></ul><ul><li>Dane : Szukane: </li></ul><ul><li>a=6cm P= ? </li></ul><ul><li>h=10cm </li></ul><ul><li>P=1/2 a*h </li></ul><ul><li>P=1/2*6*10 </li></ul><ul><li>P=30cm 2 </li></ul><ul><li>Odp: Pole tego trójkąta wynosi 30cm 2 </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Zadanie 7 </li></ul><ul><li>Oblicz pole równoległoboku, którego wymiary to a=6cm, h=7cm. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>a=6cm P= ? </li></ul><ul><li>h=7cm </li></ul><ul><li>P=a*h </li></ul><ul><li>P=6*7 </li></ul><ul><li>P=42cm 2 </li></ul><ul><li>Odp : Pole równoległoboku wynosi 42cm 2 </li></ul>
  21. 21. <ul><li>Zadanie 8 </li></ul><ul><li>Oblicz pole równoległoboku którego wymiary to a=10cm i h=7 cm. Narysuj ten równoległobok. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>a=10cm P = ? </li></ul><ul><li>h=7cm </li></ul><ul><li>P=a*h </li></ul><ul><li>P=10*7 </li></ul><ul><li>P=70cm 2 </li></ul><ul><li>Odp : Pole tego równoległoboku wynosi 70cm 2 </li></ul>
  22. 22. <ul><li>Zadanie 9 </li></ul><ul><li>Wymiary rombu to a=10cm i h=7cm. Narysuj i oblicz pole tego rombu. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>a=10cm P= ? </li></ul><ul><li>h=7cm </li></ul><ul><li>P=a*h </li></ul><ul><li>P=10*7 </li></ul><ul><li>P=70cm 2 </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Zadanie 10 </li></ul><ul><li>Przekątne rombu wynoszą równo 7 i 9 cm. Oblicz pole tego rombu. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>e=7cm P= ? </li></ul><ul><li>f=9cm </li></ul><ul><li>P=e*f/2 </li></ul><ul><li>P=7*9/2 </li></ul><ul><li>P=31,5 cm 2 </li></ul><ul><li>Odp : Pole rombu wynosi 31,5 cm 2 </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Zadanie 11 </li></ul><ul><li>Narysuj trapez o wymiarach a=6, b=10, h=12. </li></ul><ul><li>a=6cm </li></ul><ul><li>b=10cm </li></ul><ul><li>h=12cm </li></ul>
  25. 25. <ul><li>Zadanie 12 </li></ul><ul><li>Przekątne deltoidu wynoszą 10 i 12 cm. Oblicz jego pole. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane : </li></ul><ul><li>e=10cm P = ? </li></ul><ul><li>f=12cm </li></ul><ul><li>P=e*f/2 </li></ul><ul><li>P=10*12/2 </li></ul><ul><li>P=60cm 2 </li></ul><ul><li>Odp: Pole deltoidu wynosi 60cm 2 </li></ul>
  26. 26. <ul><li>Zadanie 13 </li></ul><ul><li>Pole deltoidu wynosi 30 cm 2 zaś jedna z przekątnych 10 cm. Oblicz ile wynosi druga przekątna. Narysuj ten deltoid. </li></ul><ul><li>Odpowiedz: </li></ul><ul><li>P= 30 cm 2 f=6 </li></ul><ul><li>e=10cm Sprawdzenie: </li></ul><ul><li>P=e*f/2 P=e*f/2=10*6/2 </li></ul><ul><li>30=10*f/2 P=30 cm 2 </li></ul><ul><li>30=5*f </li></ul><ul><li>f=30/5 </li></ul>
  27. 27. <ul><li>Zadanie 14 </li></ul><ul><li>Promień koła wynosi 10 cm. Narysuj te koło i oblicz ile wynosi jego pole. </li></ul><ul><li>Dane: Szukane: </li></ul><ul><li>r=10cm P= ? </li></ul><ul><li>P=πr 2 </li></ul><ul><li>P10 2 π </li></ul><ul><li>P=100 π </li></ul><ul><li>Odp: Pole koła wynosi 100 π </li></ul>
  28. 28. Zadanie 15 <ul><li>Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego prostokąta. Dane: Szukane: x-długość  jednego boku| 3 cm a= ? 3x-długość drugiego boku | 3cm *3=9 cm b= ? </li></ul><ul><li>x+x+3x+3x = 24 8x=24 | :8 x=3 </li></ul>P= ?
  29. 29. Zadanie 15 <ul><li>P = a * b P = 3 cm * 9 cm </li></ul><ul><li>P = 21 cm 2 Odp :Boki tego prostokąta wynoszą 9 cm i 3 cm a pole 21 cm 2 </li></ul>
  30. 30. Twierdzenie Pitagorasa
  31. 31. Pitagoras <ul><li>Pitagoras - matematyk i filozof grecki, żył w VI –V wieku p.n.e. Był założycielem słynnej szkoły pitagorejskiej, twórcą kierunku filozoficzno-religijnego nazywanego pitagoreizmem. Pitagorejczycy szczególnie znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było : „wszystko jest liczbą”. Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Opracowali również teorię wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Pitagorejczycy odkryli wiele właściwości liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Oto słynne twierdzenie Pitagorasa : </li></ul>
  32. 32. Twierdzenie Pitagorasa <ul><li>TWIERDZENIE Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów długości jego przyprostokątnych a i b. </li></ul>
  33. 33. <ul><li>Zadanie1 Oblicz długość przeciw prostokątnej trójkąta prostokątnego jeżeli długości jego przyprostokątnych są równe 15 cm i 20 cm Rozwiązanie : </li></ul>Twierdzenie Pitagorasa
  34. 34. Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa <ul><li>Jeżeli kwadrat długości najdłuższego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, to ten trójkąt jest prostokątny. </li></ul>
  35. 35. Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa <ul><li>Zadanie 2 : Oblicz długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b = 12cm Rozwiązanie : </li></ul>
  36. 36. Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa <ul><li>Zadanie3 Oblicz długość przekątnej kwadratu którego obwód jest równy 28 cm. Szukane: Rozwiązanie d= ? Ob. = 28 cm a = 28 cm : 4= 7 cm Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu Odp : Przekątna kwadratu ma długość cm </li></ul>
  37. 37. <ul><li>Zadanie 4 : Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 10 cm </li></ul>
  38. 38. <ul><li>Rozwiązanie: korzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a . _____ 6 6 </li></ul>____ __
  39. 40. <ul><li>Kwadrat sumy: </li></ul>Wzory skróconego mnożenia
  40. 41. Wzory skróconego mnożenia <ul><ul><li>Kwadrat różnicy: </li></ul></ul>
  41. 42. Wzory skróconego mnożenia <ul><li>Różnica kwadratów: </li></ul>
  42. 44. Zadanie 1. <ul><li>Oblicz : (20+3) = 20 +2*20*3+3=400+120+9=529 (30-1) =30 -2*30*1+1=900-60+1=841 (30+2) =30 +2*30*2+2=900+120+4=1024 (20-1) =20 -2*20*1+1=400-40+1=361 </li></ul><ul><li>Do wykonania tych zadań skorzystaliśmy z kwadratu sumy i kwadratu różnicy. </li></ul>
  43. 45. Zadanie 2. <ul><li>Dane iloczyny przekształć na sumy: </li></ul><ul><li>a). (x-4) * (x+4)= x -4 </li></ul><ul><li>b). (4x-2y) * (4x+2y)=4x -2y </li></ul><ul><li>c). (3ax+b) * (3ax-b)=3ax -b </li></ul>
  44. 46. Zadanie 3. <ul><li>Dane sumy przekształć na iloczyny : </li></ul><ul><li>a). 2 - a = (2-a)*(2+a) </li></ul><ul><li>b). xz - 5 =(xz-5)*(xz+5) </li></ul><ul><li>c). 7 – 4x =(7-4x)*(7+4x) </li></ul>
  45. 49. Przekształcanie wzorów Oto kilka przykładowych przekształceń wzorów. V= s: t | *t V* t= s Aby otrzymać wzór potrzebny do obliczenia s , należy: 1. Pomnożyć obustronnie przez t. 2. Po stronie gdzie znajduje się V powstaje potrzebne działanie, a po drugiej to co jest nam potrzebne.
  46. 50. Przekształcanie wzorów F= m * g | :g F : g= m Aby przekształcić ten wzór tak aby otrzymać m , należy: 1.Podzielić obustronnie przez g , gdyż we wzorze F= m *g jest mnożenie. 2. Powstaje nam potrzebny wzór na obliczenie m.
  47. 51. Przekształcanie wzorów <ul><li>a= V : t | *t </li></ul><ul><li>a * t= V </li></ul><ul><li>Aby obliczyć V z tego wzoru, należy: </li></ul><ul><li>Pomnożyć obustronnie przez t , ponieważ w tym wzorze występuje dzielenie . </li></ul><ul><li>Powstaje potrzebny wzór. </li></ul>
  48. 52. Przekształcanie wzorów <ul><li>p= F : S | * S </li></ul><ul><li>p * S= F </li></ul><ul><li>Aby przekształcić wzór tak, aby obliczyć F , należy: </li></ul><ul><li>Pomnożyć obustronnie przez S . </li></ul><ul><li>Powstały wzór służy do obliczenia F . </li></ul>
  49. 53. QUIZ <ul><li>1.Kto sformułował twierdzenie o trójkątach prostokątnych ? : a) Pitagorasa b) Euklides c) Kartezjusz </li></ul>
  50. 54. QUIZ <ul><li>Poprawna odpowiedź to a </li></ul>
  51. 55. QUIZ <ul><li>2. Jaki jest wzór na pole równoległoboku ? : a) (a+b) :2 b) P = a+ b c) P=a*h </li></ul>
  52. 56. <ul><li>Poprawna odpowiedź to : c </li></ul>QUIZ
  53. 57. QUIZ <ul><li>3.Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów to : a) b) c) </li></ul>
  54. 58. QUIZ <ul><li>Poprawna odpowiedz to : b </li></ul>
  55. 59. QUIZ <ul><li>4.Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa : a) 180° b) 360° c) 150° </li></ul>
  56. 60. QUIZ <ul><li>Poprawna odpowiedź to a </li></ul>
  57. 61. QUIZ <ul><li>5 .Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego prostokąta </li></ul><ul><li>a) 3 cm b) 5 cm c ) 2 cm </li></ul>
  58. 62. QUIZ <ul><li>Poprawna odpowiedź to a </li></ul>
  59. 63. QUIZ <ul><li>6. Ile wynosi długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b = 12cm ? a) 10 cm c) 3 cm d) 5 cm </li></ul>
  60. 64. <ul><li>Poprawna odpowiedź to : c </li></ul>QUIZ
  61. 65. Źródła <ul><li>Podręcznik do matematyki „ Z Pitagorasem przez gimnazjum 2 ” </li></ul>
  62. 66. Autorzy <ul><li>Pracę wykonali: </li></ul><ul><li>Anna Krajewska </li></ul><ul><li>Andżelika Krajewska </li></ul><ul><li>Kinga Kuskowska </li></ul><ul><li>Kamil Jachymowski </li></ul><ul><li>Dziękujemy. </li></ul>

×