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Transformada de Laplace y Fourier con software Mathematica
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Transformada de Laplace y Fourier con software Mathematica

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El presente artículo resume el diseño y la implementación de un trabajo práctico realizado durante el ciclo lectivo 2009 de la asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la carrera …

El presente artículo resume el diseño y la implementación de un trabajo práctico realizado durante el ciclo lectivo 2009 de la asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la carrera Ingeniería Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo. Este trabajo práctico se ha realizado haciendo uso del software Mathematica®, y tiene por finalidad familiarizar a los alumnos con un software especializado en matemática simbólica y numérica, e introducirlos en el concepto de transformada de Laplace y Fourier.

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  • 1. Primer Congreso sobre Los métodos numéricos en la enseñanza, la ingeniería y las ciencias – EMNUS 2010 Facultad Regional Haedo – UTN – 18, 19 y 20 de Agosto de 2010 TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FOURIER CON SOFTWARE MATHEMATICA® Adriana Favieri(1) (1) Departamento de Aeronáutica- Facultad Regional Haedo -Universidad Tecnológica Nacional. París 532 Haedo (1706) Buenos Aires - Argentina adriana.favieri@gmail.com RESUMEN El presente artículo resume el diseño y la implementación de un trabajo práctico realizado durante el ciclo lectivo 2009 de la asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica de la carrera Ingeniería Aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo. Este trabajo práctico se ha realizado haciendo uso del software Mathematica®, y tiene por finalidad familiarizar a los alumnos con un software especializado en matemática simbólica y numérica, e introducirlos en el concepto de transformada de Laplace y Fourier. Palabras claves: enseñanza – software - Mathematica® - Laplace _ Fourier 1. INTRODUCCIÓN Dentro de las actividades prácticas de la asignatura “Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica” de la carrera ingeniería aeronáutica de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Haedo, se encuentra la realización y entrega de trabajos prácticos sobre algunos de los temas de la misma. Aquí se resume un trabajo práctico que se ha realizado durante el ciclo lectivo 2009, haciendo uso del software Mathematica®. Dicho trabajo práctico tiene una doble finalidad. En primer lugar, habituar a los alumnos a la utilización de un software de cálculo simbólico y numérico, en este caso el software Mathematica®. En segundo lugar, afianzar los conocimientos previos necesarios para desarrollar el tema concepto de transformada de Laplace y Fourier, e introducirlos a la definición de dichas transformadas. 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La asignatura Matemáticas Aplicadas a la Aeronáutica es de régimen cuatrimestral con una carga horaria de tres horas semanales. La misma sirve de soporte matemático teórico-práctico a varias asignaturas específicas de la carrera. Entre sus temas figura la transformada de Laplace y de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales. Ya que la definición de dichas transformadas está dentro del concepto de transformadas integrales, es que se ha decidido introducir los conceptos de las dos transformadas en forma conjunta y a través de un trabajo práctico realizado con el software Mathematica®, que guie a los alumnos a la adquisición de dichos conceptos. 3. OBJETIVO Diseñar e implementar un trabajo práctico sobre transformada de Fourier y Laplace, haciendo uso del software Mathematica®. 4. INTERROGANTES INICIALES Para diseñar la actividad se han planteado las siguientes cuestiones:  ¿Qué concepto matemático está involucrado en las definiciones de transformada de Laplace y Fourier?  ¿Cómo se resuelven las integrales impropias que involucran funciones de variables compleja en el programa Mathematica®?  ¿Qué condiciones deben cumplir los números complejos que están en las integrales para que la misma converja?  ¿Cómo se indican dichas condiciones con el programa?
  • 2. 5. MARCO TEÓRICO 5.1. ENSEÑANZA Y USO DEL SOFTWARE La gran presencia de tecnología informática en la sociedad obliga a los establecimientos educativos a reflejarla de alguna manera. (Marín Rodríguez, M., 2001). La sociedad, las empresas y los hogares han incorporado el uso de la tecnología en su actividad, en cambio el mundo educativo ha mostrado algunas reticencias. Si esta resistencia se debe a la búsqueda de procesos metodológicos adecuados y la reconstrucción de estrategias, la misma estaría justificada. (Olmos Miguelañez y Rojas Ramírez, 2001) Los profesores que consideran la educación como adquisición de conocimientos y aprecian el aprendizaje mediante el descubrimiento, tienen una cantidad de recursos informáticos que respaldan estos enfoques. “si se considera que el aprendizaje es un proceso activo en el que los estudiantes construyen sus propias estructuras intelectuales, perfeccionándolas y desarrollándolas con el tiempo, a medida que viven nuevas experiencias, hay también materiales de carácter informático que apoyan esta perspectiva” (Squirres y McDougall, 2001, p. 18). Squirres y McDougall, (2001) sostienen que las experiencias proporcionadas por un software educativo dependen del aprendizaje y de la situación de enseñanza; y que profesores de distintas áreas tengan diferentes percepciones con respecto al uso de la computadora para el aprendizaje. Esto es así ya que varían los conocimientos, objetivos y destrezas en cada asignatura, lo que hace preferir un software sobre otro. Por otro lado, Olmos Miguelañez y Rojas Ramírez, (2001) sostienen que algunos de los aspectos educativos relacionados con el uso de tecnología en el aula tienen que ver con:  La creación de nuevos materiales didácticos con soporte tecnológico.  La digitalización de contenidos  El fomento y aumento de la naturaleza multiparticipativa gracias a los entornos virtuales  La fijación y promoción de estándares para los nuevos contenidos, recursos y herramientas  El establecimiento de nuevas prácticas pedagógicas con herramientas tecnológicas  El mayor aprovechamiento de las sinergias  La multiplicación de las posibilidades de colaboración, intercambios y a la creación de proyectos  La difusión generalizada de la educación continua y el aprendizaje a lo largo de la vida.  El establecimiento de redes tecnológicas a nivel local, nacional e internacional  El acceso libre y universal a la información de forma equitativa  La asunción de derechos y deberes de autores y usuarios de información  El libre intercambio de información y conocimiento  Los nuevos mercados, cada vez más globales  La reducción de la brecha existente entre los info-rico y los info-pobres  El fomento de la dimensión ética y responsabilidad moral en la sociedad de la información.  El aumento de la calidad, la confiabilidad y la diversidad de la información  La priorización del espacio virtual sobre el espacio físico en las nuevas modalidades de formación  Las nuevas relaciones competitivas entre las iniciativas formativas públicas y las privadas. 5.2. DISTINTOS USOS DEL SOFTWARE EDUCATIVO El uso de software en educación puede adquirir diferentes formas:  Tutoriales, que presentan conceptos e instrucciones para realizar tareas. No tienen mucha interactividad.  Ejercitación, que permite la interacción del alumno con la computadora, mediante las respuestas a preguntas o consignas.  Investigación, que consiste en localizar información sobre diversos temas.  Simulación, que permite visualizar fenómenos, experimentos o comprobaciones. (Chumpitaz Campos, et. al. 2005). De acuerdo a Gutiérrez Martín, (2002) las herramientas tecnológicas, según su función principal en la enseñanza, pueden tener distintos objetivos:  La representación o modelización de la realidad de estudio (centradas en los contenidos)  Favorecer los procesos de enseñanza (centradas en la labor docente)  Favorecer los procesos de aprendizaje (centradas en el trabajo del alumno)
  • 3. 5.3. SOFTWARE MATHEMATICA® Mathematica® es una herramienta especializada en análisis numérico y cálculo simbólico. Es el primer programa para la computación y visualización numérica, simbólica y gráfica. Mathematica® ofrece a sus usuarios una herramienta interactiva de cálculo y un versátil lenguaje de programación para una rápida y precisa solución a problemas técnicos. Los documentos electrónicos de Mathematica®, llamados notebooks le permiten organizar de forma fácil sus textos, cálculos gráficos y animaciones para impresionantes informes técnicos, cursos, presentaciones o registro de su trabajo. Y además puede usarse el protocolo de comunicación de Mathematica® , MathLink, para intercambiar información entre Mathematica® y otros programas. Mathematica® ofrece una colección de paletas de ayuda e interfaces gráficas de usuario que dan acceso inmediato a través de un simple clic, a una extensa variedad de capacidades del software. Las paletas de ayuda sirven como puntos de entrada prácticos para principiantes, especialmente en educación, y dan atajos para los cálculos e instrucciones principales. 5.4. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE MATHEMATICA® Entre las características principales puede destacarse:  La realización de cálculos y simulaciones de cualquier nivel de complejidad mediante el uso de la amplia librería de funciones matemáticas y computacionales.  La rápida y fácil importación y exportación de datos, que incluye imágenes y sonido, en más de veinte formatos.  La generación de documentos interactivos, independientes de la plataforma, con textos, imágenes, expresiones matemáticas, botones e hyperlinks.  La entrada de expresiones a través del teclado o de la paleta (la cual es programable) más adecuada.  La construcción de complejas expresiones y fórmulas con formato automático y ruptura de líneas.  La exportación de los "notebooks" a formato HTML para presentaciones web o LaTeX para publicaciones especiales. 6. CARACTERÍSTICAS DE LA ASIGNATURA EN LA FACULTAD REGIONAL HAEDO Como se mencionó anteriormente esta asignatura es de régimen cuatrimestral con una carga horaria de tres horas semanales. Al ser una asignatura que sirve de soporte teórico-práctico a varias materias específicas de la carrera es preciso que los alumnos que la cursen, logren procedimientos matemáticos útiles y un bagaje teórico sólido. La aprobación de la asignatura para estar en condiciones de rendir el examen final, consiste en la aprobación de dos parciales y dos trabajos prácticos. Los trabajos prácticos pueden realizarse en grupo e incluyen la utilización del software Mathematica®. Debido a que la carga horario es escasa, es necesario presentar los contenidos de manera que se aprecien los patrones, los conceptos y/o procedimientos que tienen en común. Dos de los contenidos de la asignatura que tienen conceptos y procedimientos similares son la transformada de Fourier y de Laplace, ya que las dos forman parte de las transformadas integrales. Es así que se ha decidido diseñar un trabajo práctico de entrega y aprobación obligatorios sobre dichos temas. 7. BASES DEL DISEÑO DEL TRABAJO PRÁCTICO Las respuestas a las preguntas iniciales han guiado el diseño del trabajo práctico. Las respuestas son:  El concepto matemático involucrado en las definiciones de las dos transformadas en integral impropia con funciones de variable compleja.  El programa resuelve las integrales sin problemas, haciendo uso del comando de integración definida.  Las condiciones de los números complejos que están en las integrales para que la misma converja tienen que ver con el signo de la parte real e imaginaria de ellos, de acuerdo al formato de la integral.  En el software las condiciones se indican mediante el comando Simplify y Assumption, sobre todo en las versiones 5.2 y anteriores, en las versiones posteriores 6.0 y 7.0 no es necesario usar estos comandos, aunque las condiciones de convergencia sean las mismas.
  • 4. 8. OBJETIVOS DEL TRABAJO PRÁCTICO Relacionados con el software  Familiarizarse con el software  Calcular de integrales impropias con funciones de variable compleja usando el software  Usar el comando Simplify y Assumptions para calcular integrales impropias con condiciones Relacionados con la asignatura  Repasar el concepto de integral impropia y aplicarlo a funciones de variable compleja  Introducir a los alumnos al concepto de transformada de Fourier y Laplace 9. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO PRÁCTICO El trabajo consiste en dos ítems, el primero relacionado con la transformada de Fourier y el segundo con la de Laplace. En el primer ítem son integrales impropias en el intervalo  ,   de funciones multiplicadas por la función escalón unitario y por e  i  t . Las funciones son la función constante, algunas trigonométricas e hiperbólicas, y polinómicas de la forma t n . En el segundo ítem las integrales impropias en el intervalo  ,   de funciones multiplicadas por e  s t . Aquí se repite el mismo esquema de funciones que en el primer ítem. En el trabajo práctico se ofrece una explicación de los comandos del programa necesarios para resolver dichas integrales. Se explica en qué lugar del software se encuentran las paletas en la que figuran los comandos y cómo deben resolverse las integrales con condiciones específicas a las variables complejas. Se aclaran las diferencias existentes entre las versiones 5.2 y anteriores del programa, y las versiones 6 y 7. 10. ENTREGA Y EVALUACIÓN DEL TRABAJO PRÁCTICO Los alumnos deben entregar el trabajo resuelto dos clases antes de la que se comenzará el tema de transformada de Fourier y Laplace. A la clase siguiente se devuelve el trabajo corregido, indicándose si está aprobado o no. Si fuera necesario realizar alguna modificación, o si ha surgido algún problema o dificultad al resolverlo, se les informa en dicha clase para que puedan resolverlo para la siguiente. En la clase en que se comienza el tema de transformada de Fourier y Laplace el docente las define y solicita a los alumnos que relacionen dichas definiciones con lo realizado en el trabajo. Se los guía para establecer esta relación y se les pide que realicen una tabla de transformadas de Fourier y Laplace de acuerdo a lo ya trabajado. A continuación se les da a conocer las propiedades de dichas transformadas y se procede a la resolución de ejercicios. 11. EVALUACIÓN DE LA EXPERIENCIA Luego de hacer aplicado esta metodología de trabajo, el docente ha realizado una evaluación de la misma. Para hacer dicha evaluación se diseñó una planilla de observación (Anexo II), en la que se registraron las observaciones de ciertos aspectos relacionados con la experiencia, referentes al software y a las integrales impropias. Estas observaciones pueden resumirse en los siguientes aspectos:  La aplicación de esta metodología ha resultado beneficiosa y ha agilizado las clases en la que se desarrollaron los temas de transformadas de Fourier y Laplace.  El haber resuelto las integrales sin saber que correspondían a definiciones específicas facilita la resolución ya que al estar relacionado con conocimientos previos vistos en otras asignaturas, permitió la introducción del tema, ya que eran temas conocidos.  Ha resultado menos traumático el acercamiento a estos conceptos, ya que habían trabajado con ellos previamente.  Los inconvenientes más destacados son aquellos relacionados con las distintas versiones del software y con las condiciones de convergencia de las integrales impropias.  Dificultades relacionadas con los horarios de asistencia al taller de informática de la facultad para los alumnos que no poseen el software en sus casas.
  • 5.  Los alumnos han aceptado esta experiencia de manera notable, y han agradecido el conocer el origen de las transformadas que figuran en las tablas de los libros. 12. CONCLUSIONES A modo de conclusión puede resumirse algunos aspectos importantes como ser:        Invitar a los alumnos a seguir utilizando diferentes herramientas informáticas Ofrecer la mayor cantidad posible de software para que se habitúe a diferentes situaciones y tenga mayor adaptabilidad en su futuro laboral Mayor oferta de amplitud de franja horaria de utilización de los laboratorios de informática, con o sin docente, para facilitar el uso y práctica del mismo La utilización didáctica del software, como herramienta, como apoyo al aprendizaje. Aclarar apropiadamente en los enunciados de los ejercicios, los aspectos relacionados con las condiciones de convergencia de las integrales. Guiarlos a analizar dichas condiciones, a pesar del uso de las versiones 6.0 y 7.0, ya que las mismas dan el resultado correcto sin agregarle ninguna condición. Destacar la importancia del docente como guía, como orientador y facilitador del aprendizaje 13. REFERENCIIAS BIBLIOGRAFCIAS 1. Chumpitaz Campos, L., García Torres, M., Sakiyama Freire, D., Sánchez Vádquez, D. (2005). Serie: Cuadernos de educación. Informática aplicada a los procesos de enseñanza-aprendizaje. Lima: Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católico del Peru. 2. Gutiérrez Martín, A (2002) Educación multimedia y nuevas tecnologías. (2da ed.). Madrid: Ediciones de la Torre. 3. Marín Rodríguez, M., (2001), Proyecto Merlín. Soft educativo en el aula de infantil. En Carlavilla Fernández, J.L., Marín Rodríguez, M., (Eds.), La educación matemática en el 2000: actas del 1er Congresos Regional de Educación Matemática, (pp. 203-220). La Mancha: Información Docta. 4. Mathematica. Consultado el 01 de julio de 2010, Addlink, Software científico, http://www.addlink.es/productos.asp?pid=1 5. Descubra Mathematica® en la educación. De lo conceptual al aula a clusters. Consultado el 01 de julio de 2010, página de Wolfram Research, http://media.wolfram.com/brochures/AcademicBrochureES-preview.pdf 6. Olmos Miguelañez, S., Rojas Ramírez (2009). La sociedad de la información. En Nieto Martín, S., Rodríguez Conde, J., (coords), Investigación y evaluación educativa en la sociedad del conocimiento. (pp. 15-30). Salamanca: Ediciones Universidad de Salamanca. 7. Squirres, D. McDougall, A (2001) Cómo elegir y utilizar software educativo, (2da ed.). Madrid: Ediciones Morata
  • 6. ANEXO I TRABAJO PRÁCTICO Matemáticas Aplicadas A La Aeronáutica Ciclo lectivo 2009 Trabajo Práctico Nro 1 Integrales impropias con funciones de variable compleja 1) Calcular las siguientes integrales impropias:  a)  a u t  e i  t dt   b) e a t u  t  e i  t dt   c) i  t dt i  t dt  sen  a t  u  t  e   d)  cos  a t  u  t  e   e)  senh  a t  u  t  e i  t dt i  t dt   f)  cosh  a t  u  t  e   g)  t u t  e i  t dt   h) i  t dt i  t dt i  t dt 2  t u t  e   i)  t u t  e 3   j)  t u t  e 4  2) Calcular las siguientes integrales con las condiciones dadas:  a) ae s t dt Re[s ]  0 /   b) e a t e  s t dt / Re[s+a] > 0   c)  sen  a t  e  s t dt / Re[s] > 0 && Abs[Im[a]] < Re[s]   d)  cos  a t  e s t dt / a  Reals && Re[s] > 0   e)  senh  a t  e  s t dt / Re[a ]  Re[ s]  0 & & Re[a ]  Re[ s]   f)  cosh  a t  e s t dt / Re[a]+Re[s]>0 && Re[a] < Re[s]   g) te s t dt Re[s ]  0 /   h) t 2 e s t dt / Re[s ]  0 3 e  s t dt / Re[ s]  0   i) t 
  • 7.  j) t 4 e s t dt / Re[s ]  0   Comandos del Mathematica® o versión 5.2 y anteriores Abrir la paleta 4, “Basic Input”, la plantila “  o d ” Versión 6 y 7 Abrir "Palettes" "Classroom Assitant" y en "Basic Commands", etiqueta “ d   "click en la plantilla que corresponde a integrales.  Cálculo de integrales impropias Ingresar  In  a e  t dt 0 Presionar Shift + Enter Out a  Cálculo de integrales impropias con condiciones o con una condición  In Simplify[  e m t dt , Assumptions  Re[m] > 0] 0 1 Out m o con dos condiciones  In Simplify[   e  m t  e a t  dt , Assumptions->Re[m]>0&& Re[a]<0] 0 1 1 Out   a m
  • 8. ANEXO II PLANILLA DE OBSERVACIÓN Inconvenientes relacionados con el software: Nunca A veces Siempre Sintaxis Versiones 5.2 y anteriores Versiones 6.0 y 7.0 Uso comando Simplify Uso comando Assumptions Inconvenientes relacionados con las integrales impropias Nunca A veces Siempre Condiciones de convergencia Resultado de la integral Aspectos relacionados con el desarrollo de las clases y los contenidos Mala Regular Introducción al concepto de transformada de Laplace y Fourier Dinámica de la clase Actitud de los alumnos Buena

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