Tipos de variações
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Tipos de variações Tipos de variações Presentation Transcript

  • M É D I A E D E S V I O P A D R Ã O A N Á L I S E D E V A R I Â N C I A ( A N O V A ) TIPOS DE VARIAÇÕES PROF. DRA. ADRIANA DANTAS DISCIPLINA: PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
  • INTRODUÇÃO • A Análise de Variância (ANOVA) é um procedimento utilizado para comparar três ou mais tratamentos. • Existem muitas variações da ANOVA devido aos diferentes tipos de experimentos que podem ser realizados.
  • CONCEITOS BÁSICOS SOBRE EXPERIMENTAÇÃO • Tratamento • Unidade experimental ou parcela • Repetição • Variável resposta ou variável dependente • Delineamento experimental (Design) • Modelo e análise de variância
  • TRATAMENTOS • Um tratamento é uma condição imposta ou objeto que se deseja medir ou avaliar em um experimento. • Normalmente, em um experimento, é utilizado mais de um tratamento. • Como exemplos de tratamentos, podem-se citar: • Tratamentos quantitativos • Dose de adubo, doses de nutrientes • quantidade de sacarose • níveis de temperatura • períodos de coleta, • Temperaturas de armazenamentos • Tratamentos qualitativos • variedades de plantas • Métodos de preparação • Coloração das colônias • Diferentes meios de culturas
  • TRATAMENTO • Cada tipo de tratamento também pode ser chamado de um fator. • O tipo de tratamento tem importância na forma como os dados serão analisados. • Em tratamentos são quantitativos, pode-se usar, por exemplo, técnicas de análise de regressão • Os tratamentos são chamados de variáveis independentes. • Apenas um tipo de variável independente, possuímos apenas um fator. • Em um experimento, um fator pode ter varias categoriais que são chamadas de níveis. • Em um experimento, podem existir mais de um fator e mais de uma variável resposta. • Toda e qualquer variável que possa interferir na variável resposta ou dependente deve ser mantida constante. • Quando isso não é possível, existem técnicas ( estratégias) que podem ser utilizadas para reduzir ou eliminar essa interferência.
  • EXEMPLO 1 • Um laboratório deseja estudar o efeito da composição de peças de metal sobre a dilatação. • A composição das peças é o fator ( variável independente) . • Os diferentes tipos de composição são os níveis do fator. • A dilatação das peças, medida em milímetros, é a variável resposta ( variável dependente) .
  • EXEMPLO 2 • Para curar uma certa doença existem quatro tratamentos possíveis: A, B, C e D. • Temos apenas um fator, Tratamento, que se apresenta em quatro níveis, A, B, C e D. • Através da aplicação da análise de variância com um fator ou "one-way ANOVA", • Hipótese : • Pretende-se saber se existem diferenças significativas nos tratamentos no que diz respeito ao tempo necessário para eliminar a doença, podemos indagar se os tratamentos produzem os mesmos resultados no que diz respeito à característica em estudo.
  • EXEMPLO 3 • Suponhamos agora que existe a suspeita de que uma estação quente é um fator determinante para uma cura rápida. • Então, • o estudo deve ser conduzido tendo em conta este segundo fator = estação do ano. • A técnica estatística apropriada será a análise de variância com dois fatores = "two-way ANOVA". • Testa-se se existe diferença entre os tratamentos e também se existe diferença entre as estações do ano, no que respeita ao tempo de tratamento até à eliminação da doença.
  • UNIDADE EXPERIMENTAL OU PARCELA • É onde é feita a aplicação do tratamento. • É a unidade experimental que fornece os dados para serem avaliados. • Exemplos de unidades experimentais ou parcelas: • um vaso, • uma planta, • Uma placa de Petri com meio de cultura, • uma porção de algum alimento, • Uma área • As unidades experimentais podem ser formadas por grupos ou indivíduos. • Exemplo: • quando trabalha-se com cobaias, pode-se ter apenas uma cobaia como unidade experimental, ou seja, apenas um animal fornecerá a resposta do tratamento, • pode-se ter um grupo de cobaias em uma gaiola fornecendo as informações.
  • REPETIÇÃO • É o número de vezes que um tratamento aparece no experimento. • O número de repetições, em um experimento, vai depender também dos recursos disponíveis, do tipo de experimento ( delineamento) e, também, da variabilidade do experimento ou da variável resposta.
  • VARIÁVEL RESPOSTA OU VARIÁVEL DEPENDENTE • Uma variável é qualquer característica que apresenta variação: • Altura de pessoas, o peso de animais, o comprimento de uma peça, o número de microrganismos em um litro de leite etc. • Quando o valor de uma variável não pode ser determinado antes da realização de um experimento, tem-se então uma variável aleatória. • Variáveis aleatórias discretas - Assumem valores e numeráveis: • o numero de sementes germinadas, o numero de microrganismos em um litro de leite. • Variáveis aleatórias contınuas - assumem valores em um intervalo • o peso de animais, o teor de umidade em um alimento, o conteúdo de óleo em uma semente. • Em um experimento, podem ser medidas muitas variáveis, mas deve-se considerar somente aquelas que possam contribuir para a explicação da hipótese formulada.
  • DELINEAMENTO EXPERIMENTAL • Tem a finalidade de reduzir o erro experimental • É a forma como os tratamentos ou níveis de um fator são designados às unidades experimentais ou parcelas. • A analise de variância e baseada no delineamento experimental escolhido • Um delineamento experimental é planejado de tal forma que a variação ao acaso seja reduzida o máximo possível. • Alguns dos principais delineamentos experimentais sao: • delineamento completamente casualizado (DCC) • delineamento em blocos casualizados (DBC) • quadrado latino.
  • MEDIDAS DE VARIAÇÃO OU DISPERSÃO • Indicam quanto as observações diferem entre si ou o grau de afastamento das observações em relação à média. • As medidas de variação mais utilizadas são: • Média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. • Objetivo: • Avaliar se duas ou mais amostras diferem significativamente com relação a alguma variável. • É necessário um método estatístico para solucionar o problema. • A analise de variância foi introduzida por Fisher.
  • • São atribuídas a causas conhecidas e numa parte devida as desconhecidas • O efeito das causas desconhecidas contribuem para uma porção da variação total, que é isolada na análise de variância, recebendo a denominação de Erro ou Resíduo. • Inerente a própria variabilidade do material experimental; • Proveniente da falta de uniformidade do ambiente em que é conduzido o experimento. DECOMPOSIÇÃO DA ANALISE DE VARIÂNCIA
  • DECOMPOSIÇÃO DA VARIAÇÃO • Causas conhecidas Variação entre amostragens (tratamentos) • Causas desconhecidas Variação dentro das amostragens (erro ou resíduo) Efeito de diferentes inseticidas no controle de pulgão da batata. Causas desconhecidas = diferenças existentes entre as plantas (parcelas), condicionando um tipo diferente de resposta a um mesmo inseticida.
  • VARIÂNCIA • A variância = s2 • é a medida de dispersão mais utilizada • facilidade de compreensão e cálculo • possibilidade de emprego na inferência estatística. • A variância é definida como sendo a média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética. • Assim, temos.
  • TIPOS DE VARIAÇÃO • Variação dos dados de uma amostra que será utilizada para inferir sobre a população, então a medida que deve ser utilizada é a variância com denominador n −1. • Variância for utilizada apenas para descrever a variação de um conjunto de dados, então, ela poderá ser calculada utilizando o número de observações (n) como denominador e será denotada por s2 N ou seja,
  • REPARTINDO A VARIÂNCIA TOTAL
  • VARIÂNCIA TOTAL
  • VARIAÇÃO ENTRE OS GRUPOS
  • VARIAÇÃO DENTRO DOS GRUPOS
  • MÉDIA DE ALTURA DE PLANTAS
  • SIMBOLOGIA MÉDIA, DESVIO PADRÃO E VARIÂNCIA
  • SOMATÓRIO SIMPLES ( Σ ) • Considere X uma variável que assume as determinações: Xi (i = 1, 2, ..., N). • A soma dos valores de Xi é x1 + x2 + ... + xN que pode ser sintetizada por: Σ= x1 + x2 + ... + xN • O símbolo Σ (sigma) indica somatório
  • MEDIDAS DA VARIÂNCIA • Soma dos quadrados (SQ) • Número de graus de liberdade (GL) • SQ/GL = Quadrados médio (QM) • são as variâncias entre as amostras • Estas são confrontadas através de um teste de hipótese (Teste F) • avalia-se sua significância
  • TESTE DE FISHER (F) • Ronald Aylmer Fisher, trouxe contribuições valiosas à Estatística. • Fisher, descobriu as distribuições amostrais dos coeficientes de correlação, regressão, correlação múltipla e a distribuição da razão entre duas variâncias, chamada Análise da Variação • Fisher trabalhou por quatorze anos na Estação Experimental de Rothamstead, Inglaterra, e, devido aos trabalhos que lá desenvolveu, é considerado o pai da Estatística Experimental. Ronald Fisher (1890 - 1962)
  • ESTATÍSTICA F – ONE-WAY ANOVA
  • QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA
  • QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA Causas da variação Graus de liberdade (GL) Soma dos quadrados (SQ) Quadrados m édios (QM) F calculado Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2 Dentro das amostras T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1) Total t.r - 1 SQ total
  • CALCULO DA ANALISE DE VARIÂNCIA
  • CALCULO DO DESVIO PADRÃO • Definido como a raiz quadrada positiva de variância
  • COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) • Compara as variabilidades de diferentes conjuntos de dados. • É definido de variação é definido como a proporção da média representada pelo desvio padrão e dado por:
  • GRÁFICO EM CAIXA (BOX PLOT) • A informação obtida pode ser apresentada em forma de um gráfico em caixa, que agrega uma série de informações da distribuição dos dados: • localização, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes • Antes de construir o gráfico precisamos definir o que são valores adjacentes. • São adjacentes o menor e o maior valores não discrepantes de um conjunto de dados • o maior valor que não ultrapassa a cerca superior e o menor valor que não ultrapassa a cerca inferior.
  • GRÁFICO EM CAIXA (BOX PLOT) • Se num conjunto de dados nenhum valor é considerado discrepante, os valores adjacentes são os próprios extremos. • No retângulo onde estarão representados os quartis e a mediana. • A partir do retângulo, para cima e para baixo, seguem linhas, denominadas bigodes, que vão até os valores adjacentes. • Valores discrepantes recebem uma letra ou um símbolo ( * ). • Posição central dos valores é dada pela mediana e a dispersão pela amplitude interquartílica (aq). • Posições relativas da mediana e dos quartis e o formato dos bigodes dão uma noção da simetria e do tamanho das caudas da distribuição.
  • TIPOS DE DISTRIBUIÇÕES a) distribuição assimétrica positiva, com três valores discrepantes superiores; b) distribuição simétrica, com um valor discrepante inferior; c) distribuição assimétrica negativa, sem valores discrepantes.
  • • Considere o seguinte experimento que foi conduzido, considerando um delineamento inteiramente casualizado. • Foram comparados 4 tratamentos (tipos de cultivo): • Agar (A), Cássia (C) , Guar (G) , Leucena ( L) . • Mediu-se o crescimento, em gramas, de explantes de morango.
  • Conclusão da análise de variância: De acordo com o teste F, foram encontradas evidências de diferenças significativas, ao nível de 1% de probabilidade, entre os tratamentos, com relação ao crescimento. Rejeitamos, portanto, a hipótese de nulidade H0 . Deve existir, pelo menos um contraste significativo entre as médias de tratamentos, com relação ao crescimento médio.
  • TESTE DE KRUSKAL-WALLIS • A análise de variância exige que os erros tenham distribuição Normal e deve haver variâncias homogêneas. • Este pressuposto nem sempre são satisfeitos em um experimento ou conjunto de dados. • Como uma alternativa para a análise de variância paramétrica para um delineamento completamente casualizado: Teste de Kruskal-Wallis k ≥ 3 tratamentos • Uma exigência do teste de Kruskal-Wallis é que a variável em estudo seja contíınua. • Outra é que as observações devem ser independentes.
  • TESTE DE KRUSKAL-WALLIS • A analise consiste em obter o posto de cada uma das observações. • Adota-se que o menor valor recebe ( ranking ou posto) 1 , o segundo 2 e assim por diante, até que todas as observações tenham sido consideradas. • Quando ocorrerem empates, atribui-se o valor médio entre as observações, ou seja, atribui-se a média das ordens que seriam atribuídas a elas se não ocorresse o empate. • Se, por exemplo, as duas menores observações forem iguais há um empate. Neste caso, cada uma recebe o posto 1 , 5 que é a médias dos valores 1 e 2 .
  • EXEMPLO • Em um experimento para avaliar o consumo de energia elétrica em KWh de três motores durante um hora de funcionamento, obteve-se os seguintes resultados:
  • DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS
  • DELINEAMENTOS ESTATÍSTICOS É o processo de planejar e conduzir um ensaio ou experiência, incluindo a sua implantação, de modo que seja possível recolher dados que possam ser analisados, usando as metodologias estatísticas apropriadas, e que conduzam a conclusões válidas e objetivas.
  • DELINEAMENTO EXPERIMENTAL 1. Reconhecimento do problema e objetivos 2. Identificação das unidades experimentais 3. Seleção dos fatores, tratamentos 4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta 5. Escolha do tipo de delineamento 6. Realização do ensaio e recolha de dados 7. Análise estatística dos resultados 8. Conclusões e recomendações
  • DELINEAMENTO EXPERIMENTAL • Identificação das unidades experimentais • Adequação ao ensaio • Uniformidade • No. de unidades experimentais disponíveis • Serão necessários blocos • Variáveis independentes • São as variáveis controladas pelo experimentador, e que se pretende testar se produzem algum efeito numa (ou várias) variável-resposta. • Fatores fixos: número fixo de níveis • Fatores aleatórios: amostra aleatória de níveis
  • TRATAMENTOS • São os vários níveis de cada um dos fatores do ensaio. • Controle ou testemunha: • É um dos níveis do fator, e que serve de termo de comparação aos restantes tratamentos. • Pode ser o “nível zero” de um fator.
  • REPETIÇÃO OU REPLICAÇÃO • É a atribuição do mesmo tratamento a várias unidades experimentais. • Objetivos: • Estimar o erro experimental • Estimar o efeito do tratamento • Repetição ≠ Medidas repetidas
  • ALEATORIZAÇÃO • As unidades experimentais devem receber os tratamentos de um modo completamente aleatório. • A análise estatística requer que as observações (isto é, os dados recolhidos das unidades experimentais) sejam variáveis aleatórias independentes. • A aleatorização garante este pressuposto
  • SELEÇÃO DOS FATORES • Três tipos de fatores (quanto à importância): • Fatores importantes e interessantes (“design factores”) • Fatores importantes mas não interessantes (“held constant factores”) = Uniformização pelos blocos • Fatores menos importantes (“allowed-to-vary”) • Natureza dos fatores • Numéricos - Modelos de regressão • Categóricos - Modelos de ANOVA
  • SELEÇÃO DA VARIÁVEL-RESPOSTA • Variável aleatória • Tipo de variável • escalar, ordinal, %, • Tempo de resposta • Adequação aos objetivos do ensaio • Ensaios com múltiplas respostas • Vantagens em termos de optimização •Atenção à complexidade!
  • ESCOLHA DO TIPO DE DELINEAMENTO • Uni ou multi-fatorial • Número de repetições • (tamanho amostral) • Blocos? • (Uniformidade das unidades experimentais) • Equilibrado ou desequilibrado • Aleatorização
  • DELINEAMENTO INTEIRAMENTE OU COMPLETAMENTE CASUALIZADO • Todas as unidades experimentais deverão ser homogêneas. • É o delineamento que assegura completa aleatorização na distribuição dos tratamentos às unidades • Facilidade de implantação • Flexibilidade: número de tratamentos; repetições • Facilidade de interpretação dos resultados: a variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou ao erro experimental • Maximiza os graus de liberdade do erro experimental
  • DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO (DCC) • O DDC é o mais simples de todos os delineamento estatístico • Levam em conta somente princípios da repetição e da casualização, sem controle local • Dessa forma, os tratamentos são localizados nas parcelas de uma maneira totalmente aleatória. • Pelo fato de não terem controle local, exige-se que o ambiente do experimento seja o mais uniforme possível. • São recomendados na experimentação em laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, estábulo, etc.
  • VANTAGENS •Qualquer número de tratamentos ou de repetições pode ser usado •O número de repetições pode variar de um tratamento para outro •A análise estatística é a mais simples •O número de graus de liberdade para o resíduo é o maior possível
  • DESVANTAGENS •Exige homogeneidade total das condições experimentais •Conduz estimativas elevadas do erro experimental
  • INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO DCC • Consideremos um experimento com 4 tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições, que dá um total de 20 parcelas (que é o numero mínimo de parcelas exigido por ensaio) Então temos: A1 A3 D2 B1 D4 B2 B4 A4 B5 C4 C2 D1 A5 C1 C5 D5 C3 D3 B3 A2 Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas.
  • ETAPAS 1. Definir o local onde o experimento será conduzido, que neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a casa de vegetação, um estábulo, etc. 2. Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do experimento. 3. As parcelas nesse caso poderiam ser, por exemplo, placas de petri, vasos, caixas, baias, gaiolas, etc. 4. Distribuis as parcelas experimentais no local onde o experimento será conduzido, conforme croqui do experimento 5. Colocar as plantas, animais, etc., correspondentes ao seu respectivo tratamento em cada parcela.
  • EFEITO DE 4 DOSES DE PENICILINA NO DESENVOLVIMENTO DE COLÓNIAS DE ESCHERICHIA COLLI. • A penicilina é adicionada ao meio de cultura. • Ensaio laboratorial: • cultura em estufa à temperatura constante de 25ºC • As unidades experimentais • as caixas de Petri • É um tratamento uni-factorial: • único tratamento n dose • 4 níveis do fator ou 4 tratamentos • Variável resposta: • diâmetro da colônia de E. colli em cm, em cada uma das placas de Petri
  • ESQUEMA DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA INTEIRAMENTE CASUALIZADO OU COMPLETAMENTE CASUALIZADO Causas da variação Graus de liberdade (GL) Soma dos quadrados (SQ) Quadrados m édios (QM) F calculado Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2 Dentro das amostras T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1) Total t.r - 1 SQ total
  • SOMA DOS QUADRADOS SQ total = x2 - (x)2 N X = valor de cada observação N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r ) SQ tratamentos = T2 - (x)2 R N T = total de cada tratamento SQ resíduo = SQ total – SQ tratamentos
  • QUADRADOS MÉDIOS QM tratamentos = SQ tratamentos GL tratamentos QM resíduo = SQ resíduo GL resíduo O QM resíduo corresponde à estimativa da variância do erro experimental (s2), cujo valor é utilizado nos testes de hipóteses, objetivando verificar se existe ou não diferença significativa entre os tratamentos avaliados.
  • EXERCÍCIO 1. A PARTIR DOS DADOS DA TABELA 1, PEDE-SE: A) FAZER A ANALISE DE VARIÂNCIA B) OBTER COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Repetições Linhagens 1 2 3 4 5 6 Totais de linhagens MSE1 MSE2 MSE3 MSE4 MSE5 MSE6 MSE7 MSE8 MSE9 385 406 354 271 344 354 167 344 385 323 385 292 208 292 354 115 385 385 417 444 389 347 354 410 194 410 396 370 443 312 302 354 453 130 437 453 437 474 432 370 401 448 240 437 458 340 437 299 264 306 417 139 410 417 2.272 2.589 2.078 1.762 2.051 2.436 985 2.423 2.494 Total 19.090
  • DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC) • Levam em consideração três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e controle local. • O controle local e usado na sua forma mais simples possível representado pelos blocos: • cada um dos quais inclui todos os tratamentos são atribuídos as parcelas aleatoriamente. • Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de animais de características semelhantes: • interesse em estudar rações para galinhas poedeiras, colocaremos no mesmo bloco animais da mesma raça, da mesma idade, da mesma época de postura e de produção de ovos semelhantes.
  • BLOCOS • Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas possíveis. • certeza da heterogeneidade, Objetivo dos blocos: • Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos blocos, e maximizar a variabilidade entre os blocos. • Em cada bloco: • uma ou mais repetições de cada um dos tratamentos
  • NUM EXPERIMENTO COM 4 TRATAMENTOS PODEMOS TER AS SEGUINTES FORMAS PARA OS BLOCOS: A B C D A C B D
  • O DBC APRESENTA VANTAGENS: a) A perda total de um ou mais blocos ou de um ou mais tratamentos em nada dificulta a análise estatística b) Conduz a estimativas menos elevada do erro experimental c) A analise estatística é relativamente simples d) Permite, dentro de certos limites, utilizar qualquer número de tratamentos e repetições e) Controla a homogeneidade do ambiente onde o experimento e conduzido
  • INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO • Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e E) e 4 repetições A C D B E C E A B D E A C D B D A E B C Observa-se que em cada bloco os tratamentos foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas e que os mesmos só aparecem uma única vez por bloco. BI BII BIII BIV
  • ESQUEMA DA ANALISE DE VARIÂNCIA DBC Causas da variação GL SQ QM F Tratamentos Blocos residuo t-1 r - 1 t (r-1) SQ tratamentos SQ blocos SQ residuo QM tratamentos QM blocos QM residuo QM trat/QM resíduo QM blocos / QM residuo Total tr - 1 SQ total
  • SOMA DOS QUADRADOS DBC SQ total = x2 - (x)2 N Onde: X = valor de cada observação N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r ) SQ tratamentos = T2 - (x)2 R N T = total de cada tratamento SQ tratamentos = B2 - (x)2 t N SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)
  • QUADRADOS MÉDIOS DBC QM tratamentos = SQ tratamentos GL tratamentos QM blocos = SQ blocos / GL blocos QM resíduo = SQ resíduo GL resíduo
  • EXERCÍCIO 2. A PARTIR DOS DADOS DA TABELA 2, PEDE-SE: A) FAZER A ANALISE DA VARIÂNCIA B) OBTER O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao desenvolvimento do tronco Blocos (média 8 plantas) Clones 1 2 3 4 5 Totais FX 2804 FX 4425 FX 567 FX 652 FX 3032 PB 86 FX 516 FX 4109 FX 3635 FX 232 FX 25 68,61 56,39 63,51 62,28 57,11 49,83 54,09 56,01 61,49 62,01 58,94 69,69 53,38 63,63 59,26 56,11 43,50 48,09 44,71 63,10 62,58 57,96 70,21 54,21 64,91 60,90 57,20 43,58 49,86 45,60 63,94 63,31 59,56 72,49 56,27 67,87 64,19 60,01 43,76 47,52 47,93 66,70 65,08 62,32 74,85 61,57 69,75 68,77 61,38 46,66 50,01 49,96 69,37 68,05 64,42 355,85 281,82 329,67 315,40 291,81 227,33 250,38 244,21 324,60 321,03 303,20 Totais dos blocos 650,27 622,82 633,28 654,14 684,79 3.245,30
  • EXPERIMENTOS FATORIAIS • Em casos em que vários grupos de tratamentos são estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse • Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes espaçamentos em cultivares de milho em uma determinada região. • Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos 2 espaçamentos - Fator: espaçamento – níveis: 2 • Experimentos fatoriais dois termos devem ser definidos: fator e nível. • Fator é qualquer grupo de tratamentos avaliado • Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do fator cultivares
  • ESQUEMA DA ANALISE DE VARIÂNCIA • Considerando o experimento fatorial 3 x 2, onde combinamos 3 tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2 tratamentos B (B0 e B1) e 4 repetições, teremos o seguinte quadro de variância?
  • Causas da variação GL SQ QM F Tratamento A Tratamento B Interação (A x B) tA-1 tB-1 (tA-1)(tB-1) SQ tratamento A SQ tratamento B SQ interação QM trat. A QM trat. B QM interação QM trat. A/QM resíduo QM trat. B/QM residuo QM inter.(A x B)/QM residuo Tratamentos Blocos Resíduo t-1 r-1 (t-1)(r-1) SQ tratamentos SQ blocos SQ resíduo QM residuo Total tr - 1 SQ total Onde: GL = número de graus de liberdade SQ = soma dos quadrados QM = quadrado médio F = valor calculado do teste F T = número de tratamentos (combinações) R = número de repetições tA = numero de tratamentos A tB = número de tratamentos B
  • SOMA DOS QUADRADOS SQ total =x2 - (x)2 N X = valor de cada observação N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r ) SQ tratamentos = T(AB)2 - (x)2 R N T(AB) = total de cada combinação (AB) SQ blocos = B2 - (x)2 t N B = total de cada bloco SQ tratamentos A = T(tA)2 - (x)2 r.tB N SQ tratamentos B = T(tB)2 - (x)2 r.tA N SQ interação (AxB) = T(AB)2 - (x)2 – (SQ trat. A + SQ trat.B) R N SQ resíduo = SQ residuo GL residuo
  • QUADRADOS MÉDIOS QM tratamentos A = SQ tratamentos A GL tratamentos A QM tratamentos B = SQ tratamentos B GL tratamentos B QM interação (AxB) = SQ interação AXB GL interação AXB QM blocos = SQ blocos / GL blocos QM resíduo = SQ resíduo GL resíduo