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  • 1. Hydrologie : cycle de leau et modélisation pluie-débit Eric Gaume 2 novembre 2000Table des matières1 Introduction 1 1.1 La notion de bassin versant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les diérents termes du bilan hydrologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Les ressources souterraines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime découlement . . . . . 52 LEau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à léchelle de la parcelle 8 2.1 Les besoins en eau des plantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 disponibilité de leau du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Estimation de lévapotranspiration potentielle et de lévapotranspiration réelle 10 2.3.1 La formule de Penman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Autres formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 calcul de lévapotranspiration réelle à partir de lETP . . . . . . . . . . . . . 133 La circulation de leau dans les sols 15 3.1 Sols saturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Sols insaturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Linltration : lentrée de leau dans le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Le cas particulier de la battance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 La redistribution de leau dans le sol après une averse . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 On retiendra en conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 La constitution des débits de crue à léchelle du bassin versant : une énigme dicile à résoudre 23 4.1 Les processus possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 La modélisation hydrologique 26 5.1 Quelques éléments de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Pourquoi des modèles hydrologiques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3 Diérentes approches de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie-débit glo- baux 32 6.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2.1 Présentation du logiciel Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2.2 Mise en route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 i
  • 2. 6.2.3 Les données et les fonctions utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques . . . . . . . . . . 33 6.3.1 Les modèles proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.3.2 Le calage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.3.3 La validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3.4 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4.1 Les diérentes techniques de prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4.2 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs . . . . . . . . . . 40 6.5.1 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ii
  • 3. 1 Introduction1.1 La notion de bassin versant An de pouvoir mettre en relation les précipitations (pluie, neige) et les débits duncours deau, il est nécessaire de délimiter les surfaces qui contribuent à alimenter lécou-lement de ce cours deau. Lensemble de ces surfaces constitue le bassin versant . Sadélimitation se base généralement sur la topographie (gure 1). Le bassin versant regroupealors toutes les surfaces qui, par ruissellement superciel, contribuent à lécoulement auniveau de la section de rivière considérée. On parle aussi d impluvium . Fig. 1  Exemple de délimitation dun bassin versant à partir des courbes de niveau Il faut cependant conserver à lesprit que lalimentation dun cours deau ne se faitpas uniquement par ruissellement superciel - nous y reviendons dans ce qui suit. Lesécoulements souterrains sont guidés par le pendage 1 des couches géologiques les moinsperméables ou par un réseau karstique sil en existe 2 . Le rapport entre les volumes deautombés sur limpluvium et les volumes écoulés peuvent donc être trompeurs. Le cas extrêmeest celui de la Sorgue : rivière du Vaucluse alimentée par lune des résurgences karstiquesles plus importantes dEurope. Le débit moyen annuel de la Sorgue est de 18.5 m3 /s. Sonbassin versant délimité par la topographie au droit de cette résurgence est denviron 15km2 . Lécoulement moyen annuel de la Sorgue rapporté à la surface de son bassin versantéquivaut à 38 000 mm !!! De fait, lensemble des surfaces contribuant à lalimentation dela source de Fontaine de Vaucluse est estimé à 2500 km2 . Lécoulement moyen annuelrapporté à cette nouvelle surface est beaucoup plus raisonnable : 476 mm. On retiendra que la délimitation du bassin versant permet de comparer les lames deauprécipitées et lécoulement observé dans le cours deau, qui peut alors être exprimé en mil-limètres. La délimitation du bassin versant se base le plus souvent sur la topographie. Ellepeut cependant être trompeuse. La géométrie dun bassin versant évolue donc en fonction 1. inclinaison des formations géologiques sédimentaires 2. La dénition du karst est donnée dans la partie 1.3 de ce document 1
  • 4. Fig. 2  Coupe géologique transversale dun relief illustrant la diérence entre un bassinversant délimité à partir de la topographie et les surfaces contribuant à un écoulement.des processus dominants dalimentation de lécoulement (superciels et souterrains), pro-cessus variables suivant la période de lannée et lévénement pluvieux.1.2 Les diérents termes du bilan hydrologique Le territoire français reçoit en moyenne 700 mm de précipitations annuellement. Lescumuls annuels de pluie sont relativement homogènes à léchelle nationale : 788 mm àNantes, 762 mm à Nîmes, 610 mm à Strasbourg et 670 mm à Paris. Ne se distinguentnettement que le Pays Basque (1500 mm à Biarritz) et les régions à relief marqué soumisesaux précipitations orographiques 3 (980 mm à Grenoble, 2200 mm à la station du Mont-Aigoual dans le Gard). Cependant, plus de la moitié des précipitations retourne vers latmosphère par évapora-tion et transpiration des végétaux (cf g. 3). Il sagit là toujours dune moyenne. L indinceou coecient découlement (rapport écoulements/précipitations) varie très sensible-ment dun cours deau à lautre. Il dépend en particulier du climat, du cumul annuel depluie, de sa répartition au cours de lannée, des caractéristiques géomorphologiques et géo-logiques des bassins versants et de loccupation des sols. Lindice découlement est généra-lement supérieur à 50% dans le cas des bassins versants méditerranéens ou de montagne.En revanche, il est inférieur à 20% dans le cas de certains cours deau de lEure ou de laSarthe (lécoulement moyen annuel de lEure est inférieur à 100 mm). Si lon superpose le hyetogramme des pluies (série chronologique des intensités depluie mesurées) et lhydrogramme (série chronologique des débits) des débits mesuréspour un bassin versant, on observe un fort eet datténuation lié à la transformation pluie-débit (gure 4). On constate de plus que les débits ne décroissent que progressivementlorsque la pluie est nulle ou très faible. Ceci suggère que les écoulements sont réalimentéspar un réservoir à temps de réponse élevé : les réserves deau souterraines ou nappes. On retiendra que plus de 50% des précipitations retourne à latmosphère par évapo-transpiration dans le cas des cours deau à alimentation pluviale sous nos climats tempérés. 3. Les précipitations orographiques sont provoquées par lascendance des masses dair sous leet durelief 2
  • 5. Fig. 3  Ordres de grandeur des termes du bilan hydrologique sous un climat océaniquetempéréFig. 4  Pluies et débits mesurés en 1981 pour le Sauzay, auent de lYonne à la stationde Corvol lOrgueilleux (bassin versant de 81 km2 ) 3
  • 6. La part des contributions souterraines aux écoulements superciels est très variable maisconstitue aussi en moyenne plus de 50%. Attention, le cas des cours deau de montagnealimentés par la fonte de neige ou de glaciers est diérents. Nous y reviendrons un peu plusloin.1.3 Les ressources souterraines Nous ne présenterons ici que quelques idées importantes nécessaires à la compréhensionde la constitution des écoulements : quelle est la nature des formations géologiques pouvantrenfermer des nappes et quelle est le volume de ces réserves souterraines et leur contributionaux écoulements de surface ? Certaines formations géologiques sont poreuses et perméables et constituent un lieu destockage et découlement souterrain de leau. Il sagit essentiellement  des formations sédimentaires calcaires. cest le domaine du karst : ssures plus ou moins élargies, galeries ou diaclases constituées par dissolution du calcaire. La cir- culation de leau dans les aquifères karstiques est un cas tout-à-fait particulier. Elle sapparente plus à un système de drainage par chevelu de rivières souterraines quà un écoulement dans un milieu poreux, et létude des systèmes karstiques est une spé- cialité spécique de lhydrogéologie. Les principaux aquifères karstiques français sont situés sur les grands plateaux calcaires du Jura, des Causses, du Vaucluse. Citons aussi la nappe de la craie du bassin parisien.  des formations des bassins sédimentaires qui nont pas été compactées et métamor- phosées lors dorogénèses postérieures à leur constitution. Il sagit des formations des deux grands bassins sédimentaires parisiens et aquitains, et de certains dépôts de laire tertiaire (Limagne, Vallée du Rhône).  des plaines alluviales présentes le long de la majeure partie des cours deau. Les maté- riaux alluvionaires déposés au cours de laire quaternaire sont constitués de matériaux parfois grossiers (graviers) peu consolidés. Les nappes alluviales, souvent en relation directe avec le cours deau sont aussi appelées nappes daccompagnement. Elle sont en équilibre dynamique avec le cours deau. Suivant la période de lannée et le niveau dexploitation de la nappe, le cours deau réalimentera la nappe ou la drainera. Dans les régions montagneuses sur socles ou terrains sédimentaires plissés, les nappessont rares et fragmentaires. On les rencontre essentiellement dans les zones daltération(arènes), les dépôts alluviaux, les zones ssurées ou encore au sein de certaines formationsvolcaniques (massif central). Les stocks deau souterrains situés à moins de 800 mètres de profondeur représentent4 millions de km3 soit 0.31% de leau à la surface du globe. Ce chire est à comparer 3avec les 120 mille km que représentent lensemble des eaux douces supercielles terrestres(de Marsilly, 1981). Les nappes sont donc une ressource importante deau. La plupart des nappes peu profondes réalimentent les écoulements de surface, quellessoient directement drainées par un cours deau, ou quelles les alimentent par des sources. 3Le débit total provenant des nappes en France représente 280 millions de m /j , soit 1/4 à1/5 des précipitations et 60% du débit total des cours deau. Il est important de noter quun aquifère 4 est un système en équilibre dynamique réali-menté par les pluies ou la réinltration découlements superciels. Un prélèvement eectué 4. désigne un terrain perméable contenant une nappe deau souterraine en géologie, et le réservoirsouterrain deau en hydrogéologie 4
  • 7. dans une nappe modiera cet équilibre et se traduira par une réduction de la charge dela nappe et donc la diminution des débits des cours deau et des sources alimentées par lanappe ou à terme par le tarrissement des puits artésiens 5Fig. 5  Exemple dune nappe captive et mise en évidence de lartésianisme : nappe dessables éocènes de Gironde. (de Marsilly, 1981)Fig. 6  Exemple dun système de nappes superposées typique des bassins sédimentaires :nappes des sables de Fontainebleau et des calcaires de Brie (de Marsilly, 1981) On retiendra que la contribution des nappes souterraines représente environ 60% desécoulements superciels en moyenne à léchelle nationale. Que le système nappe-rivièreet plus encore nappe alluviale - rivière est un système en équilibre. Un prélèvement dansune nappe modiera les débits des cours deau qui y sont reliés .1.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime découlement Les éléments présentés plus haut permettent de comprendre que les débits des coursdeau uctuent au cours de lannée. La forme générale de la courbe dévolution annuelledes débits dépend essentiellement de lévolution des précipitations et de lévaporation (cf. 5. Un puit artésien est au sens large un puit où leau monte plus haut que le niveau où on la rencontré(toit de la nappe). Au sens stricte, cest un puit où leau remonte plus haut que le niveau de la surface(Foucault & Raoult, 1984). Dans les deux cas leau dans la nappe est sous pression (i.e. la cote piezométriqueest située au dessus du toit de la nappe). 5
  • 8. gure 7) et du volume et du rythme de mobilisation des stocks deau de surface (neige etde glace) et des stocks deau souterrains. Fig. 7  Diagramme ombrothermique station de Montélimar Inversement le régime découlement dune rivière, la plus ou moins grande sensibilitéde ses débits aux uctuations saisonnières de pluviométrie et de température est révélateurde ses principaux mécanismes dalimentation. On distingue en climat tempéré plusieursrégimes découlement suivant lorigine principale des débits des cours deau (cf. gure 8):  Le régime tempéré océanique où lévolution des débits est essentiellement contrôlé par les précipitations et lévapotranspiration. Lamplitude de la uctuation annuelle des débits et en particulier le niveau des écoulements en période d étiage (faibles débits estivaux) dépendra de la puissance des nappes alimentant le cours deau (cf. gure 8).  Le régime méditerranéen où les contrastes saisonniers sont plus marqués que dans le cas du régime tempéré océanique avec parfois une interruption des écoulements en été. La reprise des écoulements est aussi plus brutale à lautomne du fait des fortes précipitations observées en cette saison.  Le régime à fusion nivale présentant un pic découlements au début du printemps (mars-avril) plus marqué lié à la fonte de neige.  Le régime montagnard à fusion glaciaire est caractéristique des bassins versants rece- vant la majeure partie des précipitations hivernales sous forme de neige. Les écoule- 6
  • 9. ments correspondants à la fonte du manteau neigeux et des glaciers suivent lévolution des températuresFig. 8  Régimes découlement caractéristiques (les débits mensuels sont normés par ledébit moyen annuel. Les diagrammes de la seconde ligne montrent la variabilité au sein durégime tempéré océanique(source inconnue) En régime tempéré océanique létiage se produit en saison estivale. Dépendant de lapuissance des nappes présentes sur le bassin versant, cet étiage peut être plus ou moinsprononcé comme lillustre la seconde série dhydrogrammes de la gure 8. 7
  • 10. 2 LEau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à léchelle de la parcelle Nous avons vu dans la partie précédente le rôle important que jouent lévaporationet linltration de leau dans les sols et les couches géologiques perméables dans le cyclehydrologique. Nous verrons par la suite le rôle majeur que joue les sols et linltration dansles sols à léchelle dune crue. Cette partie est consacrée à la présentation des principauxmécanisme contôlant la dynamique de lévapotranspiration et la circulation de leau dansles sols.2.1 Les besoins en eau des plantes Ressource indispensable à la croissance des plantes, leau est un élément constitutifmajeur de la matière végétale, mais aussi une source dhydrogène et doxygène pour laphotosynthèse : hydrolyse. La majeure partie de leau consommée par les plantes nest ce-pendant pas consacrée à la formation de matière végétale mais à la transpiration . Laquantité deau que la plante transpire pour synthétiser un gramme de matière sèche, lecoecient de transpiration , varie suivant les plantes. Il oscille entre 300 et 700 g deaupar gramme de matière sèche pour les plantes cutivées (environ 336 g pour le maïs, 700pour la courgette). La transpiration des plantes permet leur régulation thermique et constitue le principalmoteur de circulation des sèves brutes et élaborées. Le taux de transpiration dépend desconditions climatiques (température, rayonnement solaire, décit dhumidité de lair, vent),du type de plante, du stade végétatif et de sa croissance (en particulier de lindice foliairecomme lillustrent les gures 9 et 10), et disponibilité de leau du sol.Fig. 9  Rapport entre lévapotranspiration réelle et potentielle en fonction de la surfacefoliaire (exprimée en indice foliaire) (Soltner, 1990) Si la ressource en eau dont dispose la plante nest pas limitée (ie le sol est saturé eneau) le taux de transpiration est maximal : on parle dévapotranspiration maximaleréelle . Dans le cas contraire la plante sourira de stress hydrique . La plante réduirason activité biologique et photosynthétique, et donc sa consommation en eau. On retiendra que les plantes ont besoin pour assurer leurs fonctions biologiques detranspirer une quantité importante deau qui peut atteindre 4 à 6 mm/jour pendant les 8
  • 11. Fig. 10  Evolution annuelle de lévapotranspiration maximale de diérentes espèces végé-tales cultivées (Soltner, 1990)périodes des besoins les plus forts. Si leau la quantité deau disponible dans le sol est limi-tée, la plante sourira de stress hydrique. Elle réduira alors son activité photosynthétiqueet biologique et sa consommation en eau .2.2 disponibilité de leau du sol Le terme de sol désigne lensemble hétérogène des matériaux issus de lévolution dunsubstrat minéral sous laction combinée de facteurs climatiques (température, précipitation)et de lactivité biologique (racines de végétaux, animaux fouisseurs, accumulation de ma-tière organique en décomposition, micro-organismes). Le sol constitue la principale réserveen eau dans laquelle puisent les végétaux grâce à leurs systèmes racinaires. Les sols sontextrêmement variés par leur composition chimique, minéralogique, leur épaisseur, leurspropriétés mécaniques. On retiendra cependant quelques idées et ordres de grandeur clés. Le sol est un milieu poreux. La porosité des sols (ie pourcentage du volume total dunbloc de sol occupé par les pores) se situe généralement entre 40 et 60%. Sous leet despluies et des circulations souterraines, les pores du sol peuvent se remplir deau. Une partiecette eau est libre de sécouler par gravité : on parle deau gravitaire . Elle ne séjournedonc que transitoirement dans le sol. Une autre partie de leau est retenue dans les solspar la capillarité, les forces électrochimiques et les liaisons moléculaires. Elle ne peut-êtreextraite que par lapplication dune force de succion supérieure à la force dadhésion entreleau et le sol. Plus le taux dhumidité du sol (ie pourcentage du volume total dun blocde sol occupé par leau) diminue plus les forces dadhésion entre le sol et leau, on parle deforces de succion du sol , sont importantes. La succion du sol est le plus souvent expriméeen unités de pression en g/cm2 ou en cm deau (cf. tableau 1). Le taux dhumidité correspondant au volume maximal deau quun sol peut reteniraprès ressuyage (écoulement de leau gravitaire) est appelé par les agronomes capacitéau champ . Au delà dune certaine succion les racines des plantes ne sont plus en me- point de étrissementsure dextraire leau du sol. La plante se fane ; on parle alors depermanent . La quantité deau qui peut être libérée entre la capacité au champ et le pointde étrissement permanent est la réserve utile du sol exprimée en mm/m de sol. Laprofondeur explorée par les racines dun végétal détermine la réserve utile globale en mm. La relation entre lhumidité et la succion dépend du sol et en particulier de sa texture 9
  • 12. Succion P (g/cm ) 2 Pf = log(P ) Taux dhumidité 0 Saturation 10 1 100 2 500 2.7 Capacité au Champ 1 000 3 10 000 4 16 000 4.2 Point de étrissement permanent 100 000 5 Terre séchée à lair (humidité relative 92%) 1 000 000 6 Terre séchée à lair (humidité relative 48%)Tab. 1  Valeurs de la succion ou du potentiel capillaire (pF) correspondant aux valeurscaractéristiques de lhumidité du solet de sa teneur en acides humiques issus de la décomposition de la matière organique végé-tale (cf. gure 11). La texture désigne la proportion relative déléments grossiers (sables :diamètre > 50µm), déléments intermédiaires (limons : diamètres compris entre 2 et 50 µm)et déléments ns (argiles : diamètres inférieurs à2µm) dans la composition du sol 6 . La réserve utile des sols se situe entre 70 mm/m pour des sols à texture sableuse et 150mm/m pour des sols limoneux et argileux. Cependant, si cette eau peut être extraite par les plantes, au delà dune certaine succionla plante est soumise à un stress hydrique (cf. gure 12). Elle ne dépérit pas totalement,mais réduit son activité biologique et donc son évapotranspiration. Le taux dhumidité pourlequel apparaît le stress dépend des conditions climatiques auxquelles est soumise la plante.Il est dautant plus élevé que lévapotranspiration potentielle est forte. On retiendra que leau du sol existe dans trois états. Leau libre qui peut sécoulergravitairement et donc réalimenter les nappes plus profondes ou le cours deau. La quantitémaximale deau libre se situe généralement entre 150 et 250 mm/m suivant les sols. Laréserve utile qui ne peut sécouler gravitairement mais peut, du moins dans les horizonsexplorés par les racines, être remobilisée par les plantes. La reserve utile représente entre70 et 150 mm/m. Le reste de leau est lié trop fortement aux sol pour pouvoir en êtreextrait, du moins naturellement .2.3 Estimation de lévapotranspiration potentielle et de lévapotranspi- ration réelle Lévapotranspiration potentielle ( ETp) est théoriquement la quantité deau que cèdeune culture en pleine croissance couvrant totalement un sol largement pourvu deau partranspiration des plantes et évaporation du sol. Elle dépend donc du stade végétatif, de laplante, et des conditions climatiques. LETp est aussi une mesure climatique, dont la valeur est établie à partir de relevés 6. Attention de ne pas confondre les termes dargiles et de limons utilisés ici comme qualicatifs tex-turaux avec ceux désignant les minéraux argileux ou les formations géologiques limoneuses (limon desplateaux). 10
  • 13. Fig. 11  Evolution schématique de la réserve utile du sol en fonction de sa texture (Soltner,1990)Fig. 12  Rapport entre lévapotranspiration réelle et lévapotranspiration potentielle enfonction du pourcentage de la réserve utile disponible (Soltner, 1990) 11
  • 14. culture mai juin juillet août septembre Prairie de Fauche 0.95 1.15 1.15 1.10 1.20 Maïs 0.60 0.75 1.05 1.15 0.95 Betterave à sucre 0.65 1.10 1.30 1.15 0.90 Pomme de terre 0.65 1.35 1.45 1.35 0.90 Tournesol 0.65 1.20 1.50 1.65 1.30Tab. 2  Rapport entre ETP Penman et ETM pour diérentes cultures et diérents stadesvégétatifsmétéorologique selon des formules plus ou moins complexes impliquant des variables mé-téorologiques mesurables. Il est à noter que lETp correspond à une valeur moyenne touscouverts végétaux confondus. Lévapotranspiration maximale (ETM) dune formation vé-gétale peut être supérieure à lETP (cf tableau 2). Notons que lETP moyenne annuelleest essentiellement contrôlée par la lattitude en France. Elle évolue de 500 mm pour lesrégions les plus septentrionales à 900 mm dans les régions les plus méridionales : valeurs àcomparer avec les 700 mm de précipitations en moyenne annuelle. Nous citons ici pour mémoire trois formules utilisées en France.2.3.1 La formule de Penman La formule de Penman, actuellement utilisée par Météo-France, qui fournit pour la plu-part de ses stations météorologiques des estimations dETP décadaires et mensuelles. Cetteformule fait intervenir de nombreux paramètres dont certains sont dicilement mesurables.La méthode est présentée en détail dans la Monographie n.65 de la Météorologie Nationale(Brochet & Gerbier, 1974). Nous donnons ici pour mémoire lexpression mathématique dela formule de Penman. Penman a estimé le ux de chaleur latente au niveau du sol et donc le ux deau évaporéà partir dun simple bilan énergétique : Rn−A−S R= L Rn radiation nette reçue au sol A ux de chaleur au bénéce de lathmosphère S ux de chaleur sensible au bénéce du sol R ux deau évaporé L chaleur latente La formule développée prend la forme suivante : 1 IgaFT h σFT √ h ET P = FT 59γ (1 − a)(0.18 + 0.62 H ) − 59γ T 4 (0.56 − 0.08 e)(0.10 + 0.9 H ) 1+ γ 0.26 + FT (ew − e)(1 + 0.54V ) 1+ γ 12
  • 15. ET P évapotranspiration potentielle en mm/j Iga radiation directe solaire en labsence dathmosphère en cal/cm2 /j a albédo de la surface évaporante (0.2 pour la végétation) h durée réelle dinsolation en heures du jour considéré H durée maximale possible dinsolation pour ce jour en heures σ 7 2 constante de Boltzman soit 1.18 10 cal/cm /jour/K T température moyenne sous abri en degrés Kelvin e tension moyenne de vapeur deau de lair en millibars FT Pente de la courbe de tension de vapeur saturante à la température T γ constante psychrométrique ew tension de vapeur saturante à la température T V Vitesse moyenne journalière du vent à deux mètres du sol en m/s2.3.2 Autres formules La formule de Turc permet destimer une valeur dETP décadaire ou mensuelle en mm. : t Etp = 0.13 (Ig + 50) t + 15 t température moyenne décadaire en degrés Celsius Ig 2 radiation solaire globale en cal/cm /j La formule de Bouchet relie lETp en mm et lévaporation E en mm mesurée avec un 7évaporomètre Piche pour la période considérée (jour, décade, mois): Etp = λE Le paramètre λ dépend de la température : λ est inférieur à 1 lorsque la température estinférieure à 15{° C et supérieur à 1 au delà. Cette formule présente lintérêt dexpliciter lelien entre lévapotranspiration et lévaporation.2.4 calcul de lévapotranspiration réelle à partir de lETP Dans la plupart des modèles hydrologiques lévapotranspiration réelle est déduite delévapotranspiration potentielle. De nombreuses formules empiriques sont proposées dansla littérature. Dans le cas des cultures irriguées on peut se contenter dappliquer de simplesratios pour calculer lévapotranspiration réelle. Les cultures étant supposées disposer desusamment deau lévapotranspiration réelle est égale à lévapotranspiration maximale (cftableau 2). Dans le cas de la modélisation hydrologique, les couverts végétaux sont souventvariés sur un bassin versant. De plus, la désaturation des sols et donc le stress hydriquesont sensibles. On utilise alors des modèles empiriques. Dans plupart des cas on calcule 7. Tube gradué rempli deau dont lorice supérieur est fermé et lorice inférieur obstrué par un papierbuvard constituant la surface évaporante. La hauteur deau évaporée correspond à la diminution du niveaudans le tube. Lévaporomètre de Piche doit être placé sous abri pour limiter linuence du vent sur lamesure. 13
  • 16. lévaporation à partir du stock deau disponible dans les premiers mètres de sol (approchede modélisation à base physique) ou dans un réservoir ctif (modèles conceptuels). Nousdonnons ici deux exemples de formulations employées : Formule utilisée dans le modèle CREC S ET R = ET P 1 − exp − XFormule utilisée dans le modèle GR4j S S ET R = ET P 2− X X S hauteur deau stockée dans le réservoir sol X paramètre à caler Compte tenu des incertitudes dans lestimation de lévapotranspiration réelle, une va-leur moyenne décadaire dETP, voire une moyenne décadaire interannuelle dETP est lar-gement susante pour la modélisation hydrologique. 14
  • 17. 3 La circulation de leau dans les sols3.1 Sols saturés Dans un milieu poreux homogène lécoulement de leau suit généralement la loi deDarcy (gure 13) : Q = KA(h1 + l − h2 )/l Q débit traversant le milieu poreux en m3 /s A section découlement en m2 K conductivité hydraulique à saturation du milieu traversé en m/s Fig. 13  Dispositif expérimental de Darcy La loi Darcy stipule que la vitesse macroscopique apparente découlement au traversdun milieu poreux est directement proportionnelle au gradiant de charge hydrauliqueauquel il est soumis. Léquation précédente peut sécrire sous une forme plus générale,toujours dans une dimension de lespace : δh q=K δz q vitesse macroscopique aparente dinltration m/s h charge hydraulique en m h = z + P/(ρg) z altitude ρ densité de leau g accélération de la pesanteur P pression 15
  • 18. Il est à noter que q est une vitesse macroscopique apparente : cest la vitesse moyennedécoulement sur lensemble de la section. La vitesse moyenne macroscopique - vitessede propagation dun traceur non réactif - v = q/ne où ne est la porosité du milieu, estsupérieure à q. Dans un milieu poreux hétérogène comme le sont la plupart des sols, seuleune partie des pores participent activement à lécoulement (les macropores). La diérenceentre vitesse macroscopique apparente et vitesse macroscopique moyenne peut être encoreplus marquée. Le paramètre K - conductivité hydraulique à saturation - représente la vitesse dinl-tration verticale de leau libre dans un sol saturé. Le gradiant hydraulique est alors égal à1:P est dans ce cas indépendant de la profondeur et égal à la pression athmosphérique eth = z . La valeur de K (cf tableau 3 donne une indication des capacités dinltration dessols naturels. Les valeurs du tableau sont à comparer aux intensités de pluie usuellementmesurées sous nos climats. type de sol K ( cm/s) K (mm/h) Limon argileux peu perméable 1.6 10−4 6 Alluvions assez perméables 5.5 10 −4 20 Alluvion perméable de 8.4 10 −4 à 3.410−3 de 30 à 120 Terre sableuse très perméable 1.4 10 −2 500 Tab. 3  Ordre de grandeur des conductivités hydraulique des sols (Soltner, 1990)3.2 Sols insaturés Dans la plupart des cas les horizons superciels des sols sont partiellement désaturésau début des événements pluvieux. Dans un sol non saturé, certaines pores sont rempliesdair et la proportion de pores dans lesquelles leau est susceptible de sécouler diminuede paire. On peut donc sattendre à ce que la conductivité hydraulique diminue lorsquela teneur en eau dun sol décroît. de plus, alors que la gravité est le principal moteur desécoulements dans les sols saturés, les forces de succion deviennent dominantes en sol nonsaturé. Par analogie avec les écoulements saturés, Richards (1931) a proposé une relation entrela vitesse dinltration et le gradiant de charge hydraulique incluant les termes de gravitémais aussi les termes de succion : δh q = K(Ψ) (1) δz h charge hydraulique en m h = z + Ψ(θ) z altitude en m θ teneur en eau volumique Ψ(θ) potentiel matriciel ou succion généralement exprimée en m ou cm La relation entre la teneur en eau θ et le potentiel matriciel Ψ nest pas bi-univoque.Lexpérience montre en particulier que la courbe dévolution du potentiel matriciel enfonction de la teneur en eau obtenue par humidication (sorption) progressive dun solnest pas la même que celle obtenue par désaturation (désorption). La succion dun soléquilibré pour une teneur en eau donnée est en générale plus grande en désorption quen 16
  • 19. sorption (cf gure 14). Cet eet, appelé hystérèse est en particulier du à la non uniformitégéométrique des pores et au piégeage de lair lors de lhumidication des sols.Fig. 14  Courbe caractéristique dhumidité en sorption et désorption (de Marsilly, 1981) Dans la plupart des modèles mathématiques découlement en milieu poreux non saturé,leet dhystérèse est négligé. Les relations entre la conductivité hydraulique, la succion matricielle et la teneur vo-lumique en eau du sol les plus couramment utilisées sont dues à Brooks et Corey (1966) : −1/m θ Ψ(θ) = Ψ(θs ) θs Ψ succion généralement exprimée en cm θ teneur en eau du sol généralement exprimée en cm3 /cm3 θs teneur en eau à saturation (porosité) m paramètre (2+3m)/m θ K(θ) = Ks θs K conductivité hydraulique généralement exprimée en cm/h Ks conductivité hydraulique à saturation Lorsque la teneur en eau du sol diminue, la conductivité hydraulique décroît, mais lasuccion matricielle augmente. Les deux eets sont antagonistes, mais on observe le plussouvent que la vitesse dinltration de leau dans le sol croît lorsque la teneur en eau dusol diminue.3.3 Linltration : lentrée de leau dans le sol Nous ne considérerons ici que linitration verticale : inltration à partir dun sol ho-mogène plan et conditions uniformes à la surface du sol. Dans un sol homogène lorsque 17
  • 20. la surface du sol est submergée, le prol dinltration présente une zone saturée de plu-sieurs millimètres sous la surface du sol, une zone proche de la saturation appelée zone detransmission , et une zone dhumidication présentant un front au gradiant dhumiditétrès élevé.Fig. 15  prol dhumidité au cours de linltration dans le cas où la surface est saturéedeau (Hillel, 1984) Au cours de linltration, le front progresse en profondeur et la zone de transmis-sion sétale. La conductivité hydraulique décroissant rapidement avec la teneur en eau, legradiant de teneur en eau et donc de succion doit être très élevé au niveau du front dhu-midication pour assurer un ux vertical équivalent au ux de la zone de transmission. La circulation de leau lors de linltration est souvent considérée comme essentielle-ment verticale. Léquation générale unidimensionnelle de lécoulement en sol non saturéest obtenue en combinant léquation 1 avec léquation de continuité : δθ δq =− (2) δt δz doù : δθ δ δh =− K(θ) (3) δt δz δz ou encore : δθ δ δΨ(θ) =− K(θ) 1 + (4) δt δz δz Cette dernière équation est souvent reformulée, en introduisant la notion de diusivité : dΨ D(θ) = K(θ) dθ En remplaceant dans léquation 4, on obtient : δθ δ δθ =− D(θ) + K(θ) (5) δt δz δz Il nexiste pas de solution analytique générale de léquation 5. Certains auteurs ontproposé des solutions approchées en particulier dans le cas où la teneur en eau est uniformedans le prol de sol en début de pluie, et où la surface du sol est maintenue saturée pendanttoute la période dinltration. 18
  • 21. Ainsi Philip en 1969 a proposé la solution approchée suivante : i(t) = 1/2st−1/2 + K (6) i(t) taux dinltration à la surface du sol en mm/h où : K conductivité hydraulique à saturation s sorptivité De même Eagleson en 1970 a montré que léquation de Horton (1939) était une solutionapprochée de léquation 5 : i(t) = fc + (f0 − fc )e−αt (7) f0 taux dinltration initial à la surface du sol en mm/hoù : fc taux minimal dinltration à la surface du sol en mm/h α paramètre Enn citons pour mémoire le modèle empirique développé par le Soil ConservationService (SCS, 1968), reliant le volume total ruisselé depuis le début dun événement pluvialà la hauteur totale de pluie. Cette formule ne comporte quun seul paramètre S : la capacitéde totale de stockage du sol en mm. Le modèle repose sur lhypothèse que le coecientdécoulement global à un instant donné dun événement pluvieux est égal au taux desaturation des sols : Q Pe − Q = Pe S Q Volume total deau ruisselé depuis le début de la pluie en mm Pe hauteur cumulée de pluie ecace depuis le début de la pluie mm S capacité maximale de stockage des sols Lexpérience montre que Pe est souvent proche de P − 0.2S où P est la pluie brute.Léquation du SCS sécrit donc : (P − 0.2S)2 Q= (8) (P + 0.8S) La valeur de S dépend du type de sol et des conditions antécédentes dhumidité. Cesvaleurs ont été déterminées expérimentalement pour de nombreux sols aux Etats-Unis etsont tabulées (Bras, 1990).3.4 Le cas particulier de la battance La battance est un phénomène mécanique et chimique bien connu des agronomes. Dansson acception stricte, la battance correspond à la formation sous leet de la pluie dunecroute en surface du sol (Lozet & Mathieu, 1997; Musy & Soutter, 1991; Hillel, 1984). Dansune acception plus large, on entend par battance la réduction des capacités dinltrationdes sols liée à la destructuration et à la compaction de sa couche supercielle sous leetlimpact des gouttes de pluie. Le taux dinltration de sols battants est généralementinférieur à 10 mm/h et peut atteindre 1 mm/h (Bissonnais & Singer, 1993; Hardy et al. ,1983). Le calcium et les hydroxydes de fer et dalluminium assurent la liaison entre les 19
  • 22. acides humiques et les argiles et jouent donc un rôle majeur dans la stabilité structuraledes sols. Les eaux de pluie faiblement concentrées en calcium ont tendance à disperser lescomplexes argilo-humiques et à destabiliser les sols les rendant plus sensibles à limpactdes gouttes de pluie : le phénomène de battance moins marqué lorsque lon soumet deséchantillons de sol à une pluie deau enrichie en sel de calcium (Hardy et al. , 1983). La battance est une propriété souvent associée aux sols limoneux : lorsquils manquentdargile, dhumus et de calcium, les limons sont battants (Soltner, 1990). En eet, dansle cas de sols peu cohésifs, les éléments ns (sables ns et limons) sont entrainés par leausinltrant dans le sol et peuvent en colmater les pores. Après assèchement, ces élémentsns cimentent formant une véritable croûte compacte. Alors que dans la plupart des cas,la battance est un processus réversible (i.e. lhorizon superciel retrouve pour partie saperméabilité initiale en sassèchant après la pluie), la croûte de battance est stable (Hardyet al. , 1983). Des expériences menées sur des échantillons en laboratoire (Bissonnais & Singer, 1993)conrment que tous les types de sols peuvent être battants au sens large du terme. Unecouche de battance ne se développe sur les sols à forte teneur en matière organique et enhydroxydes de fer et dalluminium, facteurs de stabilisation de la structure, que lorsquilssont soumis à des intensités de pluie élevées, rarement mesurées (plus de 70 mm/h). Laformation de la couche de battance est progressive : les coecients de ruissellement ne sestabilisent quau bout de 30 minutes à 1 heure dans la plupart des essais des études citéesplus haut. Elle est plus rapide lorsque le sol est initialement sec. La couverture végétale brise lénergie cinétique de la pluie (Ellison, 1945). Par ailleursles racines des végétaux stabilisent le sol superciel. La battance concerne donc essentiel-lement les sols nus directements exposés à limpact des gouttes de pluie : sols agricolestravaillés, sols des régions arides et semi arides, chemins de terre (Hillel, 1984). Mis à partle cas des sols peu cohésifs comme les limons du pays de Caux, lénergie nécessaire à ladestructuration des sols est élevée. Les intensités moyennes des pluies appliquées dans lesexpérimentations en laboratoires citées plus haut - de 30 à 40 mm/h pendant une heure- correspondent à des pluies de période de retour annuelle en milieu méditerranéen etdécennale en milieu tempéré. La battance peut jouer un rôle important dans la génèse des crues majeures de bassinsversants agricoles ou de climat arides et semi arides. Or, elle est très peu évoquée dans lalittérature hydrologique. La plupart des modèles hydrologiques, y compris ceux qui ont étédéveloppés spéciquement pour les bassins semi arides comme KINEROS (Smith et al. ,1995), ne la prenne pas explicitement en compte.3.5 La redistribution de leau dans le sol après une averse Lorsque lapport deau en surface cesse (pluie ou irrigation) les mouvements deauen particulier vers le bas se poursuivent. Une partie de leau des couches superciellessaturées du sols va sécouler vers les couches plus profondes sous linuence de la gravitéet des gradients de succion. Ces mouvements deau sont qualiés de redistribution carils consistent à redistribuer leau des couches supercielles les plus saturées en eau aprèsla période dinltration (gure 16). Le terme de ressuyage est aussi souvent employé. Ajoutons quelques remarques.  En présence dune nappe deau proche de la surface, le prol dhumidité tendra vers un prol déquilibre au cours du ressuyage, pour lequel la succion en chaque point sera égal à sa hauteur par rapport au niveau de la nappe deau libre. En revanche, en labsence de nappe et dans le cas dun sol profond le processus de ressuyage initialement dominé par la pesanteur, sera progressivement contrôlé par les gradients 20
  • 23. Fig. 16  prols successifs dhumidité au cours du ressuyage dun sol à texture moyenne.Les courbes représentent des prols types 1 ,4 et 15 jours après une pluie (Hillel, 1984) de succion. Le processus de ressuyage ressemblera au remplissage dun tonneau sans fond, la vitesse dinltration dimunuant progressivement à limage des gradients de succion. Dans ce dernier cas la teneur en eau des couches supercielles du sol prendra des valeurs inférieures à la capacité au champ.  La notion de capacité au champ est pédagogique mais na pas de réalité physique, dans la mesure où nous venons de voir que le prol dhumidité à léquilibre dun sol et donc la teneur en eau de ses horizons, prol qui est dailleurs rarement at- teint, dépend essentiellement de la profondeur de la nappe deau libre. Un équivalent de la capacité au champ ne pourra réellement être mesuré que dans les sols où la conductivité hydraulique chutte rapidement quand la succion matricielle augmente : sols à structure grossière. La distinction entre écoulements gravitaires et écoulements contrôlés par les gradients de succion (très faibles dans ce cas) est alors possible.  Le ressuyage a été décrit ici sans tenir compte de lévapotranspiration qui désature les premières dizaines de centimètres voire les premiers mètres de sol. Dans un sol à structure grossière, le ressuyage étant rapide, on peut négliger lévaporation pour décrire lévolution des prols dhumidité. Ce nest pas le cas pour des sols limoneux et argileux.  On imagine aisément, à partir des éléments présentés ici, la compléxité de la dyna- mique dinltrations et de ressuyages successifs en particulier dans un sol à texture ne. Une période de temps sec permet rarement létablissement dun prol dhumidité déquilibre entre deux averses. De plus, ce prol ne correspond pas aux hypothèses usuellement utilisées pour dériver des formules simpliées dinltration (partie 3.3).  Lhystérèse complique encore le processus de redistribution, dans la mesure où simul- tanément des horizons du même prol de sol shumectent et se drainent. 21
  • 24. 3.6 On retiendra en conclusion Cette partie du cours était consacrée à la présentation des bases physiques des écou-lements de leau dans le milieu poreux que constituent les sols. La représentation de lacirculation de leau dans un milieu homogène posent des dicultés comme nous avonstenté de lillustrer : coexistence dhorizons saturés et insaturés dans les mêmes pols de sol,incertitudes sur la relation taux de saturation - succion, représentation macroscopique(Darcy ou Richards) imparfaite dun écoulement dans un résau maillé de pores irrégulièresaux diamètres variés, incertitudes concernant les reprises deau par évapotranspiration etlétat de la surface du sol (battance). Le problème de la représentation des écoulements dansdes sols en place se complique encore dans la mesure où ces sols sont rarement homogènes.La texture et la structure dun sol peuvent uctuer, en particulier avec la profondeur. Lesracines, et les conduits creusés par les animaux fouisseurs et en particulier les vers de terre,modient sensiblement les capacités et la dynamique dinltration des premiers horizons.Elles constituent des lieux découlement préférentiel conduisant en profondeur les eauxdinltration avant que la matrice des horizons superciels ait pu se saturer. Ces écoule-ments dans les macropores du sol est un des processus invoqués pour expliquer la réactionrapide du niveau des nappes phréatiques proche de la surface lors des pluies (Novakowski& Gillham, 1988). Cest aussi lun des processus mis en avant pour expliquer la rapiditédes apport subsuperciels observés lors de crues sur des bassins versants expérimentaux(Freeze, 1974; Ambroise, 1998). 22
  • 25. 4 La constitution des débits de crue à léchelle du bassin versant : une énigme dicile à résoudre La conception de la genèse des débits dans les cours deau proposée par Horton (1933) alongtemps séduit les hydrologues, en particulier les modélisateurs, par sa simplicité. Selonle modèle de Horton, les écoulements rapides (écoulement de crue) sont essentiellementdus au dépassement des capacités dinltration des sols dun bassin versant, ces capacitésdinltration évoluant au cours dun événement pluvieux (cf partie 3.3). Cette conception a cependant été rapidement remise en question, en particulier dans lecas des bassins versants tempérés. En eet, le ruissellement superciel direct est rarementobservé. Sil apparaît, il est, sauf cas extrême, très localisé, et les eaux de ruissellementgénérées en un point du bassin versant peuvent se réinltrer plus à laval. Par ailleurs,des crues sont observées même lorsque les intensités de pluie sont faibles et nettementinférieures à la conductivité hydraulique à saturation des sols du bassin versant. Enn, lesnombreuses expérimentations de traçage géochimique (décomposition des hydrogrammesde crue sur la base de leur composition chimique) suggèrent quune proportion importante(de 20% à 80%) des écoulements lors de crues modestes et moyennes sur de petits bassinsversants ont transité par le sol.4.1 Les processus possibles Linventaire des processus qui peuvent être impliqués dans la genèse des débits est large(Freeze, 1974), et malgré les eorts importants de recherche déployés depuis 30 ans surdes bassins versants expérimentaux, aucun des processus envisagés (gure 17) napparaîtaujourdhui comme nettement dominant quels que soient le bassin versant et lévénementpluvieux étudiés. Les principaux processus générateurs découlements sont :  les précipitations directes sur les surfaces déjà en eau et sur les surfaces imperméables. La plupart du temps ce terme ne représente que quelques dixièmes de pour cent des pluies, soit nettement moins que les quelques pour-cent à quelques dizaines de pour- cent de coecient dapports mesurés habituellement lors des crues.  lexltration découlements souterrains ou subsuperciels sur les versants.  le ruissellement par saturation des sols. Linltration dans le sol nest possible que si le sol à des capacités de stockage. Les secteurs où la nappe et proche de la surface, en particulier à proximité du cours deau, peuvent se saturer rapidement et ruisseler (Dunne & Black, 1970). Ce processus a été observé sur de petites parcelles expéri- mentales. Mais lorigine essentiellement supercielle des débits de crue quil suggère nest pas en accord avec les résultats de campagnes de mesures géochimiques.  Les écoulements subsuperciels le long des versants venant réalimenter les thalwegs et saturant progessivement les fonds de vallons. Ce processus, combiné avec le pré- cédent a rencontré un certain succès parmis les hydrologues (surfaces contributives variables) et est le processus majeur représenté dans le modèle hydrologique distri- bué le plus populaire : TOPMODEL (Beven et al. , 1995). Cependant, les processus pouvant expliquer un écoulement subsuperciel susamment rapide pour pouvoir expliquer une contribution importante des versants lors des crues restent mystérieux (Freeze, 1974; Beven, 1982). Lécoulement piston le long dun versant souvent invoqué semble irréaliste. Par ailleurs, les écoulements dans des macropores non capillaires, ayant le bon goût dêtre continus et de suivre la pente du terrain naturel semblent 23
  • 26. Fig. 17  Les diérents processus impliqués dans la genèse des débits de crue (Ambroise,1998) 24
  • 27. anecdotiques, et ne sont observés que sur quelques sites particuliers. Remarquons que ce dernier processus ne résoud pas le problème de la contribution importante des eaux souterraines en crue. Leau circulant dans un macropore souterrain ne se mé- lange pas beaucoup plus avec leau de la matrice du sol quune eau de ruissellement superciel.  lintumescence de nappe est un processus possible qui a été très astucieusement mis en évidence à la n des années 1970 (Sklash & Farvolden, 1979). Il a pu être démontré numériquement, que la nappe en équilibre avec un cours deau réagit rapidement lors des pluies dans les zones où elle est peu profonde (quelques mètres de part et dautre dun cours deau). Le débit dalimentation du cours deau par la nappe augmente alors proportionnellement au gradient hydraulique. Ce processus à lui seul peut conduire à un doublement ou un triplement temporaire du débit de base dun cours deau mais guère plus.4.2 conclusion Il apparaît que les débits de crue sont générés le plus souvent par plusieurs processussimultannément ou successivement, dans des combinaisons variables dans le temps et danslespace (Ambroise, 1998). Les variabilités spatiales quil sagisse des uctuations verticalesdes propriétés hydrauliques des sols ou de la variabilité des types et des profondeurs desols jouent un rôle majeur dans la réponse hydrologique dun bassin versant. Or il apparaîtdicile de mesurer, et plus encore de décrire dans un modèle mathématique cette varia-bilité. Nous y reviendrons dans la dernière partie du document. De même, les variationstemporelles à court et long terme de létat hydrique des sols, de leurs propriétés phy-siques (gonement, retrait, battance), de lactivité biologique (stades végétatifs, activitéde la faune du sol) et anthropiques (imperméabilisation, opérations culturales), peuventprovoquer à certains endroits et moments lapparition ou la disparition de processus. 25
  • 28. 5 La modélisation hydrologique5.1 Quelques éléments de vocabulaire La modélisation hydrologique comme la modélisation mathématique dune manièregénérale a son vocabulaire propre que nous présentons succintement ici. Fig. 18  Représentation schématique dun modèle hydrologique  Variables indépendantes ou variables dentrée ou fonctions de forçage : données dentrée du modèle. Dans le cas des modèles hydrologiques, il sagit essentiel- lement des mesures pluie. Les modèles hydrologiques sont des modèles dynamiques, les données dentrée uctuent en fonction du temps. Certains modèles utilisent des données dentrée spatialement distribuées.  Variables dépendantes ou variables de sortie : il sagit essentiellement des dé- bits simulés à lexutoire du bassin versant.  Variables détat: variables permettant de caractériser létat du système modélisé, qui peuvent évoluer en fonction du temps dans un modèle dynamique. Il sagit, par exemple, du niveau de remplissage des diérents réservoirs deau du bassin versant, du taux de saturation des sols, mais aussi de la profondeur des sols, des pentes ... Certaines variables détat sont mesurables.  paramètres : la notion de paramètre est intimement liée à celle de modèles concep- tuels ou empiriques. Dans de nombreux cas, il nest pas possible de représenter dans un modèle le processus physique parce que léchelle de ce processus est trop petite et que les variables détat contrôlant le processus ne sont pas accessibles à la mesure. Un modèle plus global est alors utilisé pour décrire le processus, mais certaines de ses variables détat nont plus de sens physique, et ne peuvent plus être reliées à des va- riables mesurables. Ces variables, dont la valeur doit être déterminée par calage, sont appelées paramètres. La loi de Darcy est un exemple de modèle empirique global. 26
  • 29. Le processus sous-jacent - écoulements deau dans un réseau complexe de pores - ne peut être décrit nement. La conductivité hydraulique dun sol nest pas accessible directement à la mesure et doit être évalué à partir de tests dinltration.  erreur de modélisation : cest une mesure de lécart entre les valeurs simulées à laide du modèle et les valeurs mesurées. Le critère le plus souvent employé en hydrologie pour quantier lerreur est lécart quadratique. N Err = (Qi − Qm )2 i i=1 N nombre dobservations Qi débit simulé pour le pas de temps i Qm i débit mesuré pour le pas de temps i  calage : au sens strict du terme, cest lopération qui consiste à trouver les valeurs des paramètres du modèle qui minimisent lerreur de modélisation.5.2 Pourquoi des modèles hydrologiques? Les modèles hydrologiques, comme nous lavons vu plus haut, sont nés bien avant lavè-nement de linformatique. A quel besoin répondaient et répondent encore ces modèles ? Lalittérature scientique présente une très grande diversité de modèles dont très peu onttrouvé une utilisation opérationnelle. La question de lutilisation de modèles en hydrologie- pour eectuer des prévision, dimensionner des ouvrages dart, délimiter des zones inon-dables - se pose en particulier pour les bassins versants pour lesquels on dispose de sériesde débits mesurés. Nous aurons loccasion de laborder dans le cadre du Travail dirigéconsacré à la modélisation hydrologique. Ceci dit, on peut distinguer trois types dutilisation des modèles mathématiques enhydrologie.  La modélisation comme outil de recherche . La modélisation peut être utili- sée pour interpréter des données mesurées. Diérents scénarios de fonctionnement hydrologique des bassins versants peuvent être confrontés aux mesures. Un exemple dune telle utilisation de modèles hydrologiques est donnée en gure 19. Les hydro- grammes de crue simulés avec diérentes hypothèses sur le coecient dapport sont confrontés à un hydrogramme mesuré. de Sklash et Farvolden dont il a été question en est une autre illustration : la modélisation hydrologique a conrmé dans ce cas que lintumescence de nappe pouvait expliquer au moins en partie la réponse rapide des bassins versants lors des crues.  La modélisation comme outil de prévision : anticipation des évolutions futures du débit dun cours deau. Il sagit de lutilisation opérationnelle la plus courante des modèles hydrologiques. Dans la plupart des cas cependant, les modèles développés sont basés sur des régressions linéaires entre les variables indépendantes (pluie, débits amont) et les variables dépendantes (débits aval), et font peu appel aux connaissances sur les processus hydrologiques. La gure 20 présente les résultats de prévision des débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris à laide de modèles linéaires. Trois modèles diérents sont utilisés pour les trois horizons de prévision : 1 jour (rond), 2 jours (triangles), 3 jours (losanges). 27
  • 30. Fig. 19  Simulation de la crue de l’Auzonnet (Gard) des 6 et 7 Octobre 1997 (Gaume& Livet, 1999)Fig. 20  Prévision des débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris (Gaume& Tassin, 1998) 28
  • 31.  La modélisation comme outil dextrapolation : reconstitution de séries de débits plausibles. Dans certains cas, comme par exemple le dimensionnement de déversoirs de sécurité de barrages hydroélectriques ou encore la délimitation de zones inondables dans le cadre dun Plan de prévention des risques, il est nécessaire de proposer des scénarios de crues, ou éventuellement détiages, de période de retour nettement su- périeure à la durée dobservation des débits sur le site étudié. Lutilisation de longues séries de pluies - éventuellement générées à laide dun modèle stochastique de pluie - couplées à un modèle hydrologique permet de reconstituer des scénarios rares. Les distributions de débits de pointe de crue dun bassin versant ctif reconstituées à laide de deux modèles hydrologiques diérents sont présentées dans la gure 21.Fig. 21  Reconstitution de la distribution des débits de pointe de crue d’un bassin versantctif de 10 km2 (Gaume et al., 1999)5.3 Diérentes approches de modélisation Le terme de modèle recouvre une large variété doutils, à la phylosophie et aux objectifsdiérents. Les approches habituellement utiliseés en modélisation pluie-débit apparaissenten sombre dans la gure 22. Quelques outils de modélisation hydrologique seront présentésdans le cadre du travail dirigé, nous nous contentons de donner ici quelques dénitions  modèle déterministe : modèle qui associe à chaque jeu de variables de forçage, de variables détat et de paramètres une valeur réalisation unique des variables de sortie.  modèle stochastique : lune au moins des variables de forçage ou des variables détat ou des paramètres est une variable aléatoire. Par voies de conséquence, la ou les variables de sortie sont des variables aléatoires. La reconstitution de la distribution des variables de sortie nécessite des simulations répétées en tirant aléatoirement la valeur de la variable dentrée. On parle de simulation de Monte Carlo . 29
  • 32. Fig. 22  Les diérentes approches de modélisation modèle à base physique : modèle basé uniquement sur des équations de la phy- sique, et ne comportant idéalement aucun paramètre. Il nexiste pas de modèle à base physique au sens strict en hydrologie comme nous lavons vu plus haut. Cer- tains modèles comme le SHE (Refsgaard & Storm, 1995) tendent à sen rapprocher. Limportance de lhétérogénéité spatiale dans la réponse hydrologique des bassins versants rend cependant dicile voire impossible lutilisation de tels modèles. La précision spatiale des données disponibles en particulier concernant les types de sols et leurs profondeurs nest pas susante. Dans la pratique, les profondeurs et les conductivités moyennes des sols représentatives de sous parties du bassin versant doivent être évaluées par calage et deviennent, de fait, des paramètres. modèle paramétrique : modèle incluant des paramètres dont la valeur doit être estimée par calage. modèle conceptuel : modèle dans lequel le fonctionnement du bassin versant est représenté par des analogies : concepts. Lanalogie la plus souvent utilisée pour re- présenter le fonctionnement des sols et des nappes est celle du réservoir dont le débit de vidange dépend du taux de remplissage. modèle analytique : modèle pour lequel les relations entre les variables de sortie et les variables de forçage ont été établies par analyse de séries de données mesurées. Lexemple type est celui des modèles linéaires : les paramètres du modèles sont liés aux coecients de corrélation entre les variables. Notons que lanalyse des données peut conduire au choix de relations non linéaires entre les variables. modèles empiriques : le type de fonctions reliant les variables est xé à priori (fonctions polynômiales, fonctions sigmoïdes). Le niveau de complexité (nombre de fonctions à utiliser, ordre du polynôme) étant xé, le calage consiste alors à déter- miner la combinaison de fonctions sajustant le mieux aux données mesurées. Les 30
  • 33. réseaux de neurones sont lexemple le plus répendu de ce type de modèles en hydro-logie. Les outils dinterpolation savèrent généralement être de piètres extrapolateurs.Ils sont donc à utiliser avec prudence en dehors de la gamme de valeurs pour laquelleils ont été calés. 31
  • 34. 6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie- débit globaux6.1 Avant propos Ce TD n.1 a pour but de familiariser les étudiants avec la manipulation de modèlespluie-débit et lexploitation des résultats quils fournissent pour diverses applications : di-mensionnement de barrages-réservoirs, prévisions hydrologiques, analyse de bassins ver-sants. Les modèles proposés fonctionnent au pas de temps journalier. Pour de nombreusesapplications ce pas de temps peut se révéler insusant comme les étudiants pourront ledécouvrir au cours du TD. Mais les données hydrologiques sont plus facilement accessiblesà ce pas de temps et surtout, la manipulation et la compréhension du fonctionnement desmodèles sont plus aisées. Le TD comporte trois parties. La première est consacrée au calagedes modèles. On sinterrogera sur le choix des critères de calage, sur les dicultés dopti-misation que lon peut rencontrer lorsque le nombre de paramètres à caler augmente, surla dynamique des processus hydrologiques et le choix des formulations mathématiques lesplus appropriées, et enn sur limportance de la validation. Cette partie du TD permettrade choisir le modèle le plus adapté au bassin versant étudié. La seconde partie du TDportera sur lune des principales applications opérationnelles des modèles hydrologiques :la prévision à cours terme des débits dun cours deau. Diérentes techniques de prévisionbasées sur une modélisation pluie-débit, mais aussi sur des modèles linéaires de type AR-MAX très employés dans les services dannonce des crues seront comparées. Enn, dansune troisième partie, les étudiants auront à dimensionner divers types de barrages réser-voirs (écrêtement des crues, soutien détiage), et jugeront de lintérêt de lutilisation dunmodèle pluie-débit par rapport à une simple exploitation des données de débit mesurées. ATTENTION : Les outils de modélisation utilisés dans le TD, à savoir lelogiciel Scilab et les routines qui laccompagnent, sont du domaine public. Enrevanche les données ne peuvent être utilisées dans un autre cadre que celui decet enseignement sans un accord de Météo-France pour les données de pluie etdETP et du Ministère de laménagement du territoire et de lenvironnementpour les données de débit.6.2 Introduction6.2.1 Présentation du logiciel Scilab Scilab est un logiciel de calcul numérique cousin de Matlab distribué gratuitement parlINRIA. Il peut être téléchargé depuis ladresse internet suivante : http://www-rocq.inria.fr/scilab/.Il a été utilisé dans ce TD car le langage de programmation est relativement simple et per-mettra aux étudiants assez rapidement de lancer des commandes ou décrire des scriptscomplexes. De plus, de nombreuses librairies intéressantes pour lhydrologie sont associéesau logiciel Scilab : graphiques, statistiques, optimisation non linéaire, modèles ARMA, ré-seaux de neurones… Le logiciel, une fois lancé, se présente sous la forme dune fenêtre de commande où peutêtre exécutée toute instruction (lecture et écriture de chiers, calcul sur des vecteurs et desmatrices, graphiques, et lancements de scripts en langages Scilab ou de routines en langageC ou Fortran). Il propose une aide en ligne et une série de démos accessibles avec la barrede menu. Les démonstrations et la liste des fonctions de laide permettent une premièrefamiliarisation avec les possibilités de ce logiciel. 32
  • 35. Les démos " introduction to Scilab " et " Graphics : Introduction " seront parcouruesen début de TD et complétées par quelques petits exercices de manipulation de matrices,de calcul et de graphisme.6.2.2 Mise en route Lancez le logiciel Scilab. Sélectionnez si nécessaire votre répertoire de travail en utilisantla commande " File / Change directory " du menu de Scilab. Tapez ensuite dans la fenêtrede commande linstruction exec tdinit.sci qui permet le chargement des fonctions etexécutables en langage C qui ont été programmés pour les besoins du TD. Vous êtes prêts à travailler.6.2.3 Les données et les fonctions utilisées Les chiers de données utilisés ont été établis spéciquement pour ce TD et ne doiventpas être utilisés en dehors de ce cadre. Ils rassemblent les mesures de pluies journalières etdETP (exprimées en mm/j) collectées par Météo-France ainsi que les mesures de débits(exprimés en m3/s) dun certain nombre de bassins versants extraites de la banque Hydro.Les séries de données couvrent pour chaque bassin la période 1981-1995. Les chiers dedonnées sont lus automatiquement lorsquon lance la commande tdhydro. Les débits sontconvertis en mm/j.  [P,E,Qm] = tdhydro() : Commande qui permet la lecture des chiers de données. La commande renvoie trois vecteurs de données classées par ordre chronologique : P (vecteur des pluies en mm/j), E (vecteur des ETP en mm/j) et Qm (vecteur des débits mesurés en mm/j).  [Q,f,xopt]=calhyd(P,E,Qm) : Commande de calage des modèles. Diérents menus permettent de choisir le modèle et les options de calage. Cette commande a pour argument les données mesurées et renvoie la série des débits simulés, les valeur du critère optimal et des paramètres optimaux. Le suivi de lévolution du critère de Nash permet de vérier que lalgorithme doptimisation a convergé. Si ce nest pas le cas, il faut augmenter le nombre ditérations.  Q=modele(par,P,E,Qm,mod) : Commande permettant la simulation dune série de débits. Les arguments sont les valeurs des paramètres, des données mesurées, et le numéro du modèle (1 Pour GR4 et 2 pour IHACRES).6.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques6.3.1 Les modèles proposés Deux modèles conceptuels pluie-débit à pas de temps journalier sont proposés dans ceTD. Cette première partie du TD porte sur le calage et le choix du modèle qui sera utilisédans la suite du TD.Le modèle IHACRES modié (gure 23) La pluie nette dépend dun indice desaturation S des sols du bassin versant qui est recalculé à chaque pas de temps en fonctionde la pluie brute et de lETP (paramètres X2 et X6). Cette pluie nette est ensuite répartieentre un écoulement rapide et un écoulement lent (paramètre X5), la dynamique de cesdeux écoulements étant reproduite à laide dun modèle de réservoir linéaire (i.e. le débitdu réservoir est directement proportionnel à la quantité deau stockée) : paramètres X3 et 33
  • 36. X1. Les hydrogrammes obtenus sont enn décalés dans le temps (paramètre X4). Notonsque pour faciliter la convergence de lalgorithme doptimisation, les valeurs " vraies " desparamètres sont transformées. Les relations entre les valeurs des paramètres " vraies "(X1 à X6) et les valeurs sur lesquelles porte loptimisation (x1 à x6) sont les suivantes : X1 = exp(x1) + 1 X2 = exp(x2) X3 = exp(x3) + 1 X4 = 11 + x4 X5 = (x5 + 9.99)/19.98 X6 = exp(x6) Fig. 23  Organigramme du modèle IHACRES modiéLe modèle GR4J (gure 24) Il sagit dun modèle développé conjointement au CE-MAGREF et au CEREVE. Si la pluie est supérieure à lETP on calcule la pluie ecace(Pn-Ps), la pluie " non ecace " alimentant un premier réservoir. Dans le cas contraire,on calcule le volume qui sévapotranspire du premier réservoir. Dans les deux cas, le cal-cul de la pluie ecace et de lévapotranspiration dépendent du taux de remplissage dupremier réservoir (R) et dun paramètre X1. La pluie ecace est répartie en 90% découle-ment lent et 10% découlement rapide. Ces deux composantes sont transformées par deuxhydrogrammes unitaires de même paramètre X4. Lécoulement lent alimente ensuite unréservoir (paramètre X2) dont le débit de vidange dépend de son taux de remplissage (T)à la puissance 4. Des échanges sont possibles avec des nappes profondes, leur débit F dé-pend du taux de remplissage du second réservoir. Selon la valeur du paramètre X3 ce uxalimente ou se retranche du second réservoir et de lécoulement rapide. Tout comme dans 34
  • 37. le modèle précédent on travaille avec des valeurs de paramètres transformées. Les relationsentre les valeurs vraies (X1 à X4) et les valeurs optimisées (x1 à x4) sont les suivantes : X1 = exp(x1) (mm) X2 = exp(x2) (mm) X3 = sinh(x3) (mm) X4 = 0.325.x4 + 3.75 (jours) Fig. 24  Organigramme du modèle GR4j6.3.2 Le calage La fonction calhyd a été programmée pour les besoins du TD. Elle permet une utilisa-tion guidée de la fonction leastsq (least-square : moindres carrés) proposée dans Scilab pourloptimisation non linéaire. Les arguments de calhyd sont les séries de pluie, ETP et débitsmesurés sur lesquels on souhaite ajuster le modèle. Il est donc possible suivant les argumentschoisis de faire porter le calage sur une sous partie de la série de données disponibles. Parexemple la commande [Q,f,xopt]=calhyd(P(500 :1000),E(500 :1000),Qm(500 :1000))permet de caler le modèle sur les valeurs des vecteurs des données mesurées comprises entreles rangs 500 et 1000. Attention, le vecteur Q renvoyé par la fonction calhyd ne comporteralui aussi que 501 valeurs. Si lon souhaite reconstituer les débits simulés pour lensemblede la série avec le jeu de paramètres xopt, il faut relancer une simulation en utilisant lacommande Q=modele(xopt,P,E,Qm,mod) . Il est important de noter que le modèle pluie-débit nécessite une mise en route. Lapremière année de simulation nest pas considérée pour calculer le critère de calage. Il nestdonc pas possible de caler le modèle sur des séries de données de durée inférieure à une 35
  • 38. année. Trois critères de calage sont proposés. On note Q (débits mesurés), F (débits simulés),t (indice de temps), P (données de pluie), E (données dETP), " (paramètres du modèle). La somme des carrés des écarts : n C1 (α) = (Qt − Ft (α, P, E))2 t=1Cest le critère le plus employé. Le résultat du calage est fortement inuencé par les valeursimportantes des écarts, correspondant souvent aux périodes de crues. On rapporte souventla somme des carrés à la variance des débits mesurés. On parle alors de critère de Nash : n 2 t=1 (Qt − Ft (α, P, E)) N ash = 1 − n 2 t=1 (Qt − moy(Qt ))Si le critère de Nash est négatif, le modèle est moins bon que lutilisation de la moyennedes valeurs mesurées. Pour un modèle sajustant parfaitement aux données mesurées lecritère de Nash vaut 1. En général on attend dun modèle hydrologique que son critère deNash soit supérieur à 0.8. La somme des écarts absolus : n C2 (α) = | Qt − Ft (α, P, E) | t=1La somme des écarts relatifs : n | Qt − Ft (α, P, E) | C3 (α) = t=1 Ft (α, P, E)Ces deux critères, moins inuencés par les fortes valeurs décarts ou de débits, devraientpermettre un meilleur ajustement du modèle en période détiage. Ils peuvent cependantconduire à des fonctions critères discontinues (utilisation de valeurs absolues) aux minimummoins bien localisé, et donc compliquer la tâche de lalgorithme doptimisation. Les exercices du TD ont pour objet détudier la capacité des modèles proposés à repro-duire les données hydrologiques mesurées, et de révéler linuence du critère de calage, dujeu de paramètres initiaux et du choix du modèle sur le résultat de calage. Cet exercice révélera quil est dicile de proposer un modèle conceptuel universel,les bassins versants ayant des comportement hydrologiques très diérenciés. Vous pourrezaussi noter que la diculté à caler un modèle augmente avec le nombre de paramètres.Le calage consiste à rechercher le minimum dune fonction critère dont la valeur dépenddes paramètres du modèle. Cette recherche sera dautant plus facile que la fonction critèreaura une forme régulière et concave (gure 25). Le risque dapparition de minima locaux,de zones " plates ", de discontinuités augmente avec le nombre de paramètres.6.3.3 La validation Le calage indique que le modèle choisi est un outil dinterpolation satisfaisant, il nepermet pas de juger des capacités dextrapolation du modèle : de ses performances lorsquilest utilisé avec des données qui nont pas servi à son calage. Cest lobjet de la validation. Lepari du modélisateur est quil a réussi à synthétiser au sein de son modèle la dynamique duprocessus quil étudie. De ce fait, on peut accorder une certaine conance aux résultats dumodèle utilisé en extrapolation. Il sagit cependant toujours dun pari dans la mesure où unmodèle nest jamais totalement validé. Il faudrait pour cela le confronter à toutes les jeuxde données possibles. Le contrôle des performances du modèle sur des jeux de donnéesnayant pas servi à son calage donne cependant quelques indications sur les capacitésdextrapolation du modèle. 36
  • 39. Fig. 25  Exemples de recherche du minimum dune fonction C(x)6.3.4 Travail à réaliser  Calez le modèle GR4j sur les données en utilisant le critère des moindres carrés. Augmentez le nombre ditérations si vous constatez que le critère de Nash ne sest pas stabilisé. Le modèle donne-il de bons résultats dans tous les cas. Commentez.  Choisissez un bassin versant pour lequel le critère de Nash nal dépasse 80  Découpez vos données en 3 sous ensembles. Calez successivement le modèle sur chacun des sous ensembles et validez-le sur les deux sous-ensembles restants. Commentez ?  Tracez les erreurs du modèle retenu en fonction du débit simulé. La variance des erreurs vous semble-t-elle indépendante du débit ?6.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance6.4.1 Les diérentes techniques de prévision Prévoir lévolution à court terme des débits dun cours deau, en particulier en périodede crue, permet de mieux se préparer aux désordres engendrés par la montée des eaux :évacuation de biens et de populations exposés, vidange préventive de barrages réservoirs,constitution de stocks deau potable dans les usines de traitement … Léchéance choisiedépend du temps de réponse, et donc de la taille du bassin versant considéré. Elle estsouvent inférieure à la journée : par exemple huit heures pour la prévision des crues de laGaronne à Toulouse. Par ailleurs, le débit moyen journalier nest une variable pertinenteque dans le cas de bassins versants à réponse hydrologique lente et aux crues persistantes :Loire, Rhône ou Seine aval pour la France. Ces bassins de grande dimension ne peuvent pas 37
  • 40. être représentés par des modèles hydrologiques globaux tels que GR4J dans la mesure où,entre autres, la répartition spatiale des pluies ne peut pas être négligée. Lexercice présentédans le TD a donc une vocation essentiellement pédagogique. Parmi les méthodes de prévision, les modèles linéaires sont de loin les plus employés, enparticulier dans les services dannonce de crues. Ces modèles appelés " ARMAX " (Autoregressive mooving average with external data) consistent à mettre en relation linéairele débit que lon souhaite prévoir avec les variables explicatives (débits au pas de tempsprécédents mesurés à la même station, débits amont, pluie, évaporation). n n m Qt = aj Qt−j + bi,j Xi,t−j + t j=k j=k i=1 Q débit mesuré à la station où lon souhaite faire les prévisions Xi autres variables explicatives retenues k horizon de prévision bruit blanc t indice de temps La première partie de lexercice proposé consiste à tester plusieurs modèles linéairescalés en utilisant la fonction armax de Scilab (consultez laide de scilab pour cette fonction). Exemple dutilisation de armax : armax(2,2,Qm,P)résultat affiché :A(z^-1)y=B(z^-1)u + D(z^-1) e(t)A(x) = 1 - 1.2748167x + 0.3334485x2B(x) = 0.0032846 + 0.0284380x - 0.0021230x2D(x) = 1e(t)=Sig*w(t); w(t) 1-dim white noiseSig= | 0.2040354 |Le modèle optimal résultant sécrit :Qt = 1.27 Qt-1 - 0.33 Qt-2 + 0.003 Pt + 0.03 Pt-1 - 0.002 Pt-2 + et Les modèles pluie-débit conceptuels sont encore peu utilisés pour eectuer des prévi-sions. En eet, les écarts entre les valeurs simulées par les modèles et les données mesuréessont bien souvent plus importants que les uctuations inter journalières ou dun pas detemps à lautre des débits. Un modèle pluie-débit donne donc, sil est utilisé en prévision àun jour ou à un pas de temps, des résultats moins bons quune prévision naïve consistantà reconduire le débit mesuré au pas de temps précédent. On peut cependant notablementaméliorer les prévisions eectuées à laide dun modèle hydrologique en corrigeant la sortiedu modèle. Deux méthodes sont proposées : (1) Etudier lautocorrélation des erreurs de modélisation, développer un modèle AR(autorégressif ) sur ces erreurs, et corriger les valeurs prévues en ajoutant lerreur prévue.Le nouveau modèle de prévision sécrit alors : n Qt = F (P, E) + aj t−j + t j=k 38
  • 41. Q débit mesuré à la station où lon souhaite faire les prévisions F (P, E) valeur de débit calculée par le modèle hydrologique écarts entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologique bruit blanc t indice de temps (2) Dans la partie précédente du TD, vous avez éventuellement pu remarquer que lavariance des erreurs augmente avec la valeur du débit simulé : on parle derreurs hétéroscé-dastiques. Il est donc plus judicieux dans certains cas de travailler sur les erreurs relativeset non les erreurs absolues. Comme dans le cas précédent on peut développer un modèleAR sur les erreurs relatives. Le nouveau modèle de prévision sécrit :   n Qt = F (P, E) 1 + aj t−j  + t j=k Q débit mesuré à la station où lon souhaite faire les prévisions F (P, E) valeur de débit calculée par le modèle hydrologique écarts relatifs entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologique bruit blanc t indice de temps6.4.2 Travail à réaliser Pour lensemble des exercices on divisera la série de données en un ensemble de calage(2/3 de la série) et un ensemble de validation (1/3) de la série. On calculera pour les deuxensembles de données un critère decacité dont lexpression est la suivante : n 2 1 (Qt − Zt ) Ef f = 100 1 − n−1 1 (Qt+1 − Qt )2 Q débit mesuré à la station où lon souhaite faire les prévisions Z valeur prédite Ce critère permet de comparer les performances des diérentes techniques de prévisionpar rapport à une prévision naïve consistant à reconduire le débit du jour précédent. SiE est négatif, la méthode proposée est moins bonne que la méthode naïve au sens desmoindres carrés. Si E est proche de 0, le gain par rapport à la prévision naïve est faible. Les résultats comprendront les valeurs des critères decacité et la comparaison gra-phique de quelques hydrogrammes mesurés et prévus.  Calez un modèle linéaire de prévision des débits basé sur les seuls débits mesurés aux pas de temps antérieurs en utilisant la fonction " armax " de scilab. Essayez plusieurs ordres pour le modèle ARMAX en partant de (1,1). Observe-t-on un gain important par rapport la méthode de prévision naïve ? 39
  • 42.  Calez un modèle linéaire basé sur les débits mesurés au pas de temps précédents et les pluies mesurées au pas de temps précédents. Est-il nécessaire de choisir des ordres importants pour le modèle ARMAX ?  Calez un modèle linéaire reliant les diérences inter journalières des débits mesurés et les pluies. Observez-vous un gain par rapport au modèle précédent ? Pourquoi ?  Comparer les performances de GR4j sans traitement des erreurs avec le meilleur des modèles linéaires précédent.  Calez un modèle linéaire de prévision des erreurs de GR4j basé sur les erreurs anté- rieures. Comment se situe le nouvel outil de prévision (GR4j + prévision des erreurs) par rapport au modèle linéaire ?  On sait par expérience que les erreurs dépendent des débits. Calez un modèle li- néaire de prévision des erreurs relatives. Cette nouvelle approche vous permet-elle daméliorer les prévisions ?6.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs Dans cette troisième partie du TD, il est proposé aux étudiants, à partir de deux cassimples, danalyser si le modèle pluie-débit retenu peut être utilisé pour dimensionner desréservoirs. On comparera les résultats obtenus en utilisant les données de débits mesuréeset simulées. Sil savère que le modèle donne des résultats assez proches des séries mesurées,on pourra envisager de lutiliser en extrapolation : lutilisation de séries de pluies de longuedurée (mesurées ou simulées à laide dun modèle stochastique de pluie) permettrait alorsde reconstituer de longue séries de débits et de dimensionner le réservoir ou détudier soncomportement pour des crues de périodes de retour élevées. Les deux applications proposées portent sur le dimensionnement dun réservoir pourlécrêtement des crues et le dimensionnement dun réservoir pour lalimentation en eau.Dans les deux cas, il sera nécessaire de programmer une fonction Scilab permettant dereproduire lévolution du remplissage du réservoir au cours du temps en fonction de sescaractéristiques : relation hauteur-volume, loi de vidange, fonction de demande en eau. On considérera dans le TD que la loi de vidange dun barrage écrêteur de crue dotédun évacuateur de fond de section circulaire a pour expression : D2 Q = 0.6π 2gh 4 Q débit de vidange D diamètre de la conduite de vidange g accélération de la pesanteur h charge hydraulique (hauteur deau dans le barrage dans ce cas)6.5.1 Travail à réaliser  0n veut satisfaire un besoin en eau de 0.3 mm/j tout en respectant un débit réservé égal au dixième du module inter annuel. Calculez le débit minimum qui doit donc sécouler à laval de louvrage. Calculez le volume nécessaire pour satisfaire la de- mande toutes les années de la période 1981-1995 en utilisant les données de débits mesurées et les données de débit simulées. 40
  • 43.  Comparez les résultats obtenus dans les deux cas. On souhaite réaliser un barrage-réservoir qui permette de réduire de 10% le débit journalier de crue de période de retour 1 an. Sur le site retenu la loi hauteur-volume a pour expression V = 6000 ∗ 2.5H . Trouvez le diamètre de la conduite de vidange qui permet datteindre cet objectif en utilisant les données de débit mesurées et les données générées par le modèle hydrologique. An de faciliter les calculs on considé- rera chaque jour que le débit de vidange est le débit correspondant au volume stocké dans le barrage le jour précédent auquel est ajouté le volume entrant dans la jour- née. Cette simplication conduira à surévaluer les débits de vidange et sous évaluer les volumes stockés. Quel est dans les deux cas le volume maximum stocké dans le barrage durant la période 1981-1995 ? Comparer à nouveau les résultats obtenus dans les deux cas. Que pensez-vous de lutilisation de modèles hydrologiques pour le dimensionnement douvrages ? 41
  • 44. RéférencesAmbroise, B. (1998). Genèse des débits dans les petits bassins versants ruraux en milieu tempéré : 1- processus et facteurs. Revue des sciences de leau , 4:471495.Beven, K. (1982). On subsurface stormow : an analysis of response times. Hydrological sciences journal .Beven, K., Lamb, R., Quinn, P., Romanowicz, R. & Freer, J. (1995). Computer models of watershed hydrology , chapitre Topmodel, pages 627668. Water ressources publica- tions, Highlands Ranch, USA.Bissonnais, Y. Le & Singer, M.J. (1993). Seal formation runo and interril erosion from seventeen californian soils. Soil scientic society of America journal , 57:224229.Bras, R.L. (1990). Hydrology, an introduction to hydrologic science . Addison-Wesley, Rea- ding, Massachusetts. Series in civil engineering.Brochet, P. & Gerbier, N. (1974). levapotranspiration, monographie n.65 de la météoro- logie nationale. Paris.de Marsilly, G. (1981). Hydrogéologie quantitative . Sciences de la terre. Masson, Paris.Dunne, T. & Black, R.D. (1970). Partial area contributions to storm runo in a small new england watershed. Water Ressources Research , 6(5):12961311.Ellison, W.D. (1945). Some eects of raiondrops and surface ow on soil erosion and inltration. Transactions of the American geophysical Union , 26(3):415430.Foucault, A. & Raoult, J-F. (1984). Dictionnaire de géologie . Masson, Paris.Freeze, R.A. (1974). Streamow generation. Reviews of geophysics and space physics , 12(4):627647.Gaume, E., Desbordes, M. & Villeneuve, J-P. (1999). Back to the dynamics of ood frequency. In Musy, A., pereira, L. Santos & Fritsch, M., editors, Proceedings of the 2nd Inter-Regional conference on Environment-Water, September 1-3, 1999, Lausanne, Switzerland . Presses polytecniques et universitaires romandes.Gaume, E. & Livet, M. (1999). La crue de lavène des 6 et 7 octobre 1997,compte rendu denquête. Rapport technique, CEREVE, Ecole nationale des ponts et chaussées, Champs-sur-Marne.Gaume, E. & Tassin, B. (1998). Prévision du débit et de la température de leau aux prises deau du syndicat des eaux dile de france, rapport détape n.1 : prévision des débits de la seine à alfortville. Rapport technique, CEREVE, Ecole nationale des ponts et Chaussées.Hardy, N., Shainberg, I., Gal, M. & Keren, R. (1983). The eect of water quality and storm sequence upon inltration rate and crust formation. Journal of Soil Science , 34:665676.Hillel, D. (1984). Leau et le sol principes et processus physiques . Cabay, Louvain-la-neuve.Labordes, J-P. (1997). Elements dhydrologie de surface. notes de cours, CNRS, Université de Nice-Sophia Antipolis. 42
  • 45. Lozet, J. & Mathieu, C. (1997). Dictionnaire de sciences du sol . Lavoisier - Tec Doc, Paris.Musy, A. & Soutter, M. (1991). Physique du sol . Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.Novakowski, K.N. & Gillham, R.W. (1988). Field investigations of the nature of water-table response to precipitation in shallow water-table environments. Journal of hydrology , (97):2332.Refsgaard, J.C. & Storm, B. (1995). Computer models of watershed hydrology , chapitre MIKE SHE, pages 809846. Water ressources publications, Highlands Ranch, USA.Sklash, M.G. & Farvolden, R.N. (1979). The role of grounwater in storm runo. Journal of hydropogy , (43):4565.Smith, R.E., Goodrich, D.C., Woolhiser, D.A. & Unkrich, C.L. (1995). Computer models of watershed hydrology , chapitre KINEROS - A kinematic runo and erosion model, pages 697732. Water ressources publications, Highland Ranch, Colorado.Soltner, D. (1990). Les bases de la production végétale, tome1, le sol . Sciences et techniques agricoles, Le clos lorelle, Angers. 18ème édition. 43