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Campo magnetico (trabajo)

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA ASIGNATURA: ELECTROTECNIA PROFESOR: ING. JOSÉ BERMÚDEZ Bachilleres García, Adelis C.I 18.632.793 Mujica, Yamaly C.I 20.812.224 Osteicoechea, Gabriel C.I 20.796.660 Vargas Margenis C.I 21.667.214 Sección 14 Ing. Industrial Punto Fijo, Marzo de 2014
  • 2. Página 2 INDICE Contenido Paginas Índice……………………………………………………………………… 2 Introducción……………………………………………………………… 3 Magnetismo……………………………………………………………… 4 Campo Magnético………………………………………………………. 4 Líneas De Inducción Magnética Y Flujo Magnético………………… 4,5,6 Movimiento De Partículas Cargadas En Un Campo Magnético… 6,7,8 Aplicaciones Del Movimiento De Partículas Cargadas…………… 8,9,10,11,12 Fuerza Magnética Sobre Un Conductor Que Transporta Corriente 12,13 Fuerza Y Par De Torsión En Una Espira De Corriente…………… 13,14,15 Campo Magnético De Una Carga En Movimiento……………………. 15,16 Campo Magnético De Un Elemento De Corriente……………………. 16 Campo Magnético De Un Conductor Que Transporta Corriente…. 16,17 Fuerzas Entre Alambres Paralelos……………………………………. 17,18 Campo Magnético De Una Espira Circular De Corriente…………… 18,19,20 Ley De Ampere Y Aplicaciones De La Ley…………………………… 20,21,22 Metales Magnéticos………………………………………………………. 22,23 Conclusión………………………………………………………………… 24 Bibliografía…………………………………………………………………. 25
  • 3. Página 3 INTRODUCCIÓN El presente trabajo consiste en hacer una descripción del campo magnético, donde Las fuerzas características de los imanes se denominan fuerzas magnéticas. El desarrollo de la física amplió el tipo de objetos que sufren y ejercen fuerzas magnéticas. Las corrientes eléctricas y, en general, las cargas en movimiento se comportan como imanes, es decir, producen campos magnéticos. Siendo las cargas móviles las últimas en llegar al panorama del magnetismo han permitido, sin embargo, explicar el comportamiento de los imanes, esos primeros objetos magnéticos conocidos desde la antigüedad. El término magnetismo tiene su origen en el nombre que en la época de los filósofos griegos recibía una región del Asia Menor, entonces denominada Magnesia; en ella abundaba una piedra negra o piedra imán capaz de atraer objetos de hierro y de comunicarles por contacto un poder similar. Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los eléctricos. Pero el avance de la electricidad por un lado y del magnetismo por otro, preparó la síntesis de ambas partes de la física en una sola, el electromagnetismo, que reúne las relaciones mutuas existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. James Clark Maxwell fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al elaborar su teoría electromagnética.
  • 4. Página 4 MAGNETISMO El magnetismo es una rama de la física muy compleja ya que no puede ser explicado únicamente mediante postulados de la mecánica clásica, por lo que aquí trataremos brevemente algunos de los fenómenos más básicos. El fenómeno del magnetismo era conocido ya por los antiguos griegos desde hace más de 2000 años. Se observaba que ciertos minerales (imanes) podían atraer o repeler pequeños objetos de hierro. De hecho, el nombre de magnetismo proviene de la provincia griega Magnesia, donde se encuentran los yacimientos más importantes de la magnetita (Fe3O4), mineral con acusadas propiedades magnéticas. Aunque se tenía conocimiento de este fenómeno de forma experimental no fue hasta mediados del siglo XIX cuando se formularon teóricamente todas las interacciones de tipo eléctrico y magnético, resumidas en las ecuaciones de Maxwell. CAMPO MAGNÉTICO Es una región del espacio en la cual una carga eléctrica puntual de valor q que se desplaza a una velocidad sufre los efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al campo. Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente igualdad. LÍNEAS DE INDUCCIÓN MAGNÉTICA Y FLUJO MAGNÉTICO Es la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa una superficie perpendicularmente. Indica la densidad de líneas de fuerza en una parte del campo magnético. La inducción magnética se representa por la letra B. Se calcula de la siguiente manera:
  • 5. Página 5 Siendo: B la inducción magnética Φ el flujo magnético S la superficie FLUJO MAGNÉTICO Se define flujo magnético a la cantidad de líneas de fuerza que salen por un polo. Es una magnitud escalar. Podríamos decir que indica el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie cualquiera en el interior de un campo magnético, lo que sería una medida de la cantidad de magnetismo. Se representa por Φ y se calcula con el campo magnético, la superficie sobre la actúa dicho campo y el ángulo que forman las líneas de fuerza del campo y los diferentes elementos de superficie: Dónde: Φ es el flujo magnético B es el vector inducción magnética ds es una superficie infinitesimal
  • 6. Página 6 Esta expresión se utiliza cuando el vector Inducción no es uniforme, por lo que se hace necesario tomar superficies lo suficientemente pequeñas (infinitesimales) para que el campo magnético no varíe en dichas superficies. En el caso de que la Inducción magnética sea uniforme, podemos usar la expresión: Dónde: Φ es el flujo magnético B es el vector inducción magnética S es el vector superficie, que por convenio es normal a la superficie θ es el ángulo que forman B y S MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN CAMPO MAGNETICO La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve a través de un campo magnético es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por tanto la fuerza magnética modifica la dirección de la velocidad, pero no su magnitud. Los campos magnéticos no realizan trabajo sobre las partículas y no modifican su energía cinética.
  • 7. Página 7 En el caso especial en que la velocidad de una partícula sea perpendicular aun campo magnético uniforme, como se ve en la figura, la partícula se mueve describiendo una órbita circular. Partícula que se mueve en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme. La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de la partícula haciendo que se mueva en una órbita circular. La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para que la partícula adquiera la aceleración v²/r del movimiento circular. Utilizando la segunda ley de Newton podemos relacionar el radio r de la circunferencia con el campo magnético B y la velocidad v de la partícula. La magnitud de la fuerza resultante es (q v B), ya que v y B son perpendiculares. La segunda ley de Newton nos da F = m a = m v² / r q v B = m v² / r O sea: r = m v / q B El periodo del movimiento circular es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa alrededor del círculo. El periodo viene relacionado con la velocidad por T = 2 π r / v
  • 8. Página 8 Sustituyendo en la ecuación podemos obtener el periodo del movimiento circular de la partícula, llamado periodo del ciclotrón: T = 2 π m / q B La frecuencia del movimiento circular, llamada frecuencia del ciclotrón es el valor recíproco del periodo: F = 1 / T = q B / 2 π m Supongamos que una partícula cargada entra en un campo magnético uniforme con una velocidad que no es perpendicular a B. La velocidad de la partícula puede resolverse en dos componentes, vx paralela a B y vy perpendicular a B. El movimiento debido al componente perpendicular es el mismo que hemos visto anteriormente. El componente de la velocidad paralelo a B no se afecta por el campo magnético, y por tanto, permanece constante. La trayectoria de la partícula es una hélice, como muestra la figura. Cuando una partícula cargada posee un componente de velocidad paralelo a un campo magnético y otro perpendicular al mismo, se mueve en una trayectoria helicoidal alrededor de las líneas de campo. APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO En esta sección se describirán algunos aparatos que requieren el movimiento de partículas cargadas en un campo magnético uniforme. Para varias situaciones, se considerará que la partícula se moverá con una velocidad v en presencia de ambos campos, el eléctrico E y magnético B. Por ello, la partícula
  • 9. Página 9 experimentara dos fuerzas, una fuerza eléctrica qE y una fuerza magnética qv x B, por lo que la fuerza total sobre la partícula estará dada por F = qE + qv x B La fuerza descrita por la ecuación se conoce como la fuerza de Lorentz. SELECTOR DE VELOCIDAD El selector de velocidades es una región en la que existen un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de la velocidad del ion. En esta región los iones de una determinada velocidad no se desvían El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo cuyo módulo es Fe = qE El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección y sentido vienen dados por el producto vectorial Fm = qv x B, cuyo módulo es Fm = q v B El ion no se desvía si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto, atravesarán el selector de velocidades sin desviarse aquellos iones cuya velocidad venga dada por el cociente entre la intensidad del campo eléctrico y del campo magnético. v = E / B ESPECTRÓMETRO DE MASA: Es un instrumento que permite analizar con gran precisión la composición de diferentes elementos químicos e isótopo atómicos, separando los núcleos atómicos en función de su relación masa-carga (m/z). Puede utilizarse para
  • 10. Página 10 identificar los diferentes elementos químicos que forman un compuesto, o para determinar el contenido isotópico de diferentes elementos en un mismo compuesto. Con frecuencia se encuentra como detector de una cromatografía de gases, en una técnica híbrida conocida por sus iniciales en inglés, GC-MS. El espectrómetro de masas mide razones carga/masa de iones, calentando un haz de material del compuesto a analizar hasta vaporizarlo e ionizar los diferentes átomos. El haz de iones produce un patrón específico en el detector, que permite analizar el compuesto. En la industria es altamente utilizado en el análisis elemental de semiconductores, biosensores y cadenas poliméricas complejas. Haz de iones por electrospray en un espectrómetro de masa. CICLOTRÓN El método directo de acelerar iones utilizando la diferencia de potencial presentaba grandes dificultades experimentales asociados a los campos eléctricos intensos. El ciclotrón evita estas dificultades por medio de la aceleración múltiple de los iones hasta alcanzar elevadas velocidades sin el empleo de altos voltajes.
  • 11. Página 11 Ciclotrón de 60 pulgadas, datado en 1939 El ciclotrón consta de dos placas semicirculares huecas, que se montan con sus bordes diametrales adyacentes dentro de un campo magnético uniforme que es normal al plano de las placas y se hace el vacío. A dichas placas se les aplican oscilaciones de alta frecuencia que producen un campo eléctrico oscilante en la región diametral entre ambas. Como consecuencia, durante un semiciclo el campo eléctrico acelera los iones, formados en la región diametral, hacia el interior de uno de los electrodos, llamados Ds, donde se les obliga a recorrer una trayectoria circular mediante un campo magnético y finalmente aparecerán de nuevo en la región intermedia. El campo magnético se ajusta de modo que el tiempo que se necesita para recorrer la trayectoria semicircular dentro del electrodo sea igual al semiperiodo de las oscilaciones. En consecuencia, cuando los iones vuelven a la región intermedia, el campo eléctrico habrá invertido su sentido y los iones recibirán entonces un segundo aumento de la velocidad al pasar al interior de la otra 'D'. Como los radios de las trayectorias son proporcionales a las velocidades de los iones, el tiempo que se necesita para el recorrido de una trayectoria semicircular es independiente de sus velocidades. Por consiguiente, si los iones emplean
  • 12. Página 12 exactamente medio ciclo en una primera semicircunferencia, se comportarán de modo análogo en todas las sucesivas y, por tanto, se moverán en espiral y en resonancia con el campo oscilante hasta que alcancen la periferia del aparato. Su energía cinética final será tantas veces mayor que la que corresponde al voltaje aplicado a los electrodos multiplicados por el número de veces que el ion ha pasado por la región intermedia entre sí. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE TRANSPORTA CORRIENTE ELÉCTRICA Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Conocida ya la fuerza que el campo B ejerce sobre una única carga, calculamos ahora la fuerza sobre un conductor por el que circula una corriente. Fuerza Sobre Un Conductor Rectilíneo Imaginemos un conductor rectilíneo de sección A por el que circula una corriente eléctrica I. La fuerza a la que se ve sometido cuando se encuentra en un campo B uniforme será la suma de la fuerza sobre todas las cargas. Si n es el número de cargas q por unidad de volumen, y vd la velocidad de desplazamiento de las mismas, el número de cargas en un elemento de volumen de longitud l es:
  • 13. Página 13 Por lo que la fuerza total se calculará multiplicando el número de cargas por la fuerza ejercida sobre cada una de ellas: Definimos el vector l como un vector de módulo la longitud del conductor y dirección y sentido el que indica la intensidad de corriente. Recordando la expresión de la intensidad I podemos escribir la fuerza como: Por las propiedades del producto vectorial se deduce que: Cuando el campo B es paralelo al conductor, la fuerza magnética ejercida sobre el conductor es nula. FUERZA Y PAR DE TORSIÓN EN UNA ESPIRA DE CORRIENTE Un conductor cerrado plano se llama espira. Si una espira se coloca en una región del espacio en la que existe un B uniforme, se ve sometida a una fuerza dada por la expresión para la fuerza sobre un conductor no rectilíneo obteniendo en este caso que: Ya que la suma de todos los vectores dl sobre una trayectoria cerrada es nula. Es decir, La fuerza neta ejercida por un campo B uniforme sobre un circuito cerrado de corriente es nula. Sin embargo la espira no permanece en reposo ya que el momento ejercido por las fuerzas magnéticas es distinto de cero. Según la ecuación de la dinámica
  • 14. Página 14 de rotación, este hecho provoca un giro en la espira de modo que la aceleración angular adquirida sea paralela al momento de las fuerzas. Analizamos Como Ejemplo El Movimiento De Una Espira Rectangular. Espira Rectangular Sea una espira rectangular de lados a y b situada en un campo magnético B uniforme, contenido en el plano de la espira. Calculamos la fuerza neta que ejerce el campo sumando la fuerza sobre cada uno de los lados. La fuerza es nula sobre cada uno de lados a, por ser el campo paralelo al conductor. Aplicamos la expresión para la fuerza sobre un conductor rectilíneo para cada lado b (lado 1 y lado 2): El resultado es un par de fuerzas, (igual módulo y sentido opuesto), que ejercen un momento (τ) con respecto al centro del lado a, tal y como se muestra en la imagen frontal de la espira. Como los momentos ejercidos por ambas fuerzas tienen el mismo sentido, el módulo del momento resultante vendrá dado por la expresión:
  • 15. Página 15 Donde A es el área de la espira. Debido al momento resultante de las fuerzas la espira adquiere una aceleración angular paralela a dicho momento y se produce una rotación. CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO Además de los imanes, los campos magnéticos también pueden ser generados por las cargas eléctricas en movimiento. De acuerdo con la ley de Biot y Savart, la intensidad del campo magnético inducido por una carga eléctrica en movimiento es proporcional al valor de la carga eléctrica y su velocidad, e inversamente proporcional a la distancia que separa a la carga del punto donde estamos haciendo la medida. Como la corriente eléctrica es un desplazamiento de carga eléctrica (electrones), una carga eléctrica producirá un campo magnético. Una aplicación de este fenómeno son los electroimanes. Al hacer circular una corriente eléctrica por una bobina arrollada sobre un núcleo magnético, obtenemos un campo magnético.
  • 16. Página 16 CAMPO MAGNÉTICO DE UN ELEMENTO DE CORRIENTE Ley de Biot-Savart Permite calcular el valor total del campo magnético asociado a una corriente eléctrica que fluye por un circuito a partir de una simple operación de suma de los elementos infinitesimales de corriente. CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UN CONDUCTOR QUE TRANSPORTA CORRIENTE Al igual que una carga eléctrica que se desplaza en el seno de un campo magnético experimenta una fuerza magnética, un conductor eléctrico por el que circulen cargas eléctricas (es decir, una corriente eléctrica) y que se encuentre en el seno de un campo magnético experimentará también una fuerza magnética. En este caso el valor de la fuerza ejercida sobre el conductor dependerá de la intensidad del campo magnético, la longitud del conductor y el valor de la corriente eléctrica que circule por el conductor:
  • 17. Página 17 La principal aplicación práctica de este fenómeno la tenemos en los motores eléctricos. En los motores en vez de tener conductores eléctricos aislados, los tenemos en forma de espiras rectangulares. De esta forma, se nos presenta un par de fuerzas que hace que la espira tienda a girar: FUERZA ENTRE ALAMBRE PARALELOS En virtud de que una carga en movimiento genera a su alrededor un campo magnético, cuando dos cargas eléctricas se mueven en forma paralela interactúan sus respectivos campos magnéticos y se produce una fuerza magnética entre ellas. La fuerza magnética es de atracción si las cargas que se mueven paralelamente son del mismo signo y se desplazan en igual sentido, o bien.
  • 18. Página 18 Cuando las cargas son de signo y movimiento contrarios. Evidentemente. La fuerza magnética será de repulsión si las cargas son de igual signo y con diferente sentido. O sin son de signo contrario y su dirección es en el mismo sentido. Cuando se tienen 2 alambres rectos, largos y paralelos y por ellos circula una corriente eléctrica. Debido a la interacción de sus campos magnéticos se produce una fuerza entre ellos que puede calcularse así: F= μoI1I2L 2 π r Dónde: F= fuerza magnética entre 2 conductores rectos, largos y paralelos. Se mide en newton(N) μo= permeabilidad magnética del vacío igual a 4 π x10-7 Tm/A. I1= intensidad de la corriente en el primer conductor calculada en amperes (A). I2= intensidad de la corriente en el segundo conductor calculada en amperes (A). L= longitud considerada de los conductores medida en metros (m). r= distancia entre los dos conductores, también con sus unidades en metros (m). La fuerza entre los alambres conductores paralelos será atracción si las corrientes van en el mismo sentido pero si este es opuesto, la fuerza será de repulsión. CAMPO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA CIRCULAR DE CORRIENTE Muchos de los dispositivos que se emplean para crear campos magnéticos cuentan entre sus componentes con bobinas. Cada vuelta de hilo de la bobina se denomina espira. El campo magnético producido por una espira circular en su centro es sencillo de calcular, ya que la integral anterior se simplifica por simetría.
  • 19. Página 19 Para cualquier elemento de corriente dl que tomemos sobre la espira, el campo que produce en su centro es un vector en la dirección X y sentido positivo, como se observa en la parte derecha de la figura superior. El módulo del campo dB creado por cualquier elemento de corriente viene dado por: Donde R es el radio de la espira. El campo total B es la integral de la expresión anterior a toda la circunferencia:
  • 20. Página 20 Si la corriente circula en sentido contrario al representado, el vector campo magnético es de sentido opuesto. LEY DE AMPÈRE Y APLICACIONES La ley que nos permite calcular campos magnéticos a partir de las corrientes eléctricas es la Ley de Ampère. Fue descubierta por André - Marie Ampère en 1826 y se enuncia: La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, y:  μ0 es la permeabilidad del vacío  dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto  IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el que atraviese a la superficie. Campo Magnético Creado Por Un Hilo Infinito Como aplicación de la ley de Ampère, a continuación se calcula el campo creado por un hilo infinito por el que circula una corriente I a una distancia r del mismo. Las líneas del campo magnético tendrán el sentido dado por la regla de la mano derecha para la expresión general del campo creado por una corriente, por lo que sus líneas de campo serán circunferencias centradas en el hilo, como se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura.
  • 21. Página 21 Para aplicar la ley de Ampère se utiliza por tanto una circunferencia centrada en el hilo de radio r. Los vectores y dl son paralelos en todos los puntos de la misma, y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de la trayectoria. La integral de línea queda: Empleando la ley de Ampère puede calcularse el campo creado por distintos tipos de corriente. Dos ejemplos clásicos son el del toroide circular y el del solenoide ideal (*), cuyos campos se muestran en la siguiente tabla.
  • 22. Página 22 Toroide circular Solenoide ideal* (*) Un solenoide ideal es una bobina de longitud grande cuyas espiras están muy juntas. En la expresión del campo magnético que crea, n es el número de espiras por unidad de longitud. MATERIALES MAGNÉTICOS El comportamiento de los materiales en presencia de un campo magnético sólo puede explicarse a partir de la mecánica cuántica, ya que se basa en una propiedad del electrón conocida como espín. Se clasifican fundamentalmente en los siguientes grupos:  Ferromagnéticos: constituyen los imanes por excelencia, son materiales que pueden ser magnetizados permanentemente por la aplicación de campo magnético externo. Por encima de una cierta temperatura (temperatura de Curie) se convierten en paramagnéticos. Como ejemplos
  • 23. Página 23 más importantes podemos citar el hierro, el níquel, el cobalto y aleaciones de éstos.  Paramagnéticos: cada átomo que los constituye actúa como un pequeño imán pero se encuentran orientados al azar de modo que el efecto magnético se cancela. Cuando se someten a la aplicación de un B adquieren una imanación paralela a él que desaparece al ser retirado el campo externo. Dentro de esta categoría se encuentran el aluminio, el magnesio, titanio, el wolframio o el aire.  Diamagnéticos: en estos materiales la disposición de los electrones de cada átomo es tal que se produce una anulación global de los efectos magnéticos. Bajo la acción de un campo magnético externo la sustancia adquiere una imanación débil y en el sentido opuesto al campo aplicado. Son diamagnéticos por ejemplo el bismuto, la plata, el plomo o el agua.
  • 24. Página 24 CONCLUSIÓN Como conclusión a todo esto que hemos estudiado podemos decir en resumen que, el magnetismo es un fenómeno físico por el que los materiales ejercen fuerzas de atracción o repulsión sobre otros materiales. El magnetismo se utiliza para el diseño de todos los motores y generadores, y electroimanes. El magnetismo de los materiales es el resultado del movimiento de los electrones dentro de sus átomos. Los átomos en el material magnético se orientan en una sola dirección y en los no magnéticos se orientan al azar. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. La fuerza magnética entre imanes y/o electroimanes es un efecto residual de la fuerza magnética entre cargas en movimiento. Los imanes pueden atraerse o repelerse al hacer contacto con otros; Son los extremos del imán y es donde está concentrado todo su poder de atracción. Los polos magnéticos son llamados polo norte y polo sur y todos los imanes tendrán 2 polos. Los polos iguales se repelen y los diferentes se atraen, La permeabilidad magnética es la capacidad física del medio de permitir el paso de líneas de flujo. El momento de torsión es el trabajo que hace que un dispositivo gire cierto ángulo en su propio eje, oponiendo este una resistencia al cambio de posición. Los motores de corriente continua convierten la energía eléctrica en energía mecánica. La Ley de inducción electromagnética de Faraday se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde.
  • 25. Página 25 BIBLIOGRAFIA  Teresa Martín Blas y Ana Serrano Fernández - Universidad Politécnica de Madrid (UPM) – España.  Fletcher K. A., Lyer S. V., Kinsey K. F. Some pivotal thoughts on the current balance. The Physics Teacher, Vol 41, May 2003, pp. 280-284  Braun, Eliézer. "Electromagnetismo: de la ciencia a la tecnología", Fondo de Cultura Económica, México, 1992  Reitz, John; Milford, Frederick; y Christy, Robert. "Fundamentos de la teoría electromagnética", Fondo Educativo Interamericano, México, 1984.  Maxwell, James Clerk (1881), A treatise on electricity and magnetism, Vol. II, Chapter III, §530, p. 178. Oxford, UK: Clarendon Press. ISBN 0-486- 60637-6.  www.google.com.ve  www.monografia.com