LFyA-01 Preeliminares matemáticos
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

LFyA-01 Preeliminares matemáticos

on

  • 268 views

 

Statistics

Views

Total Views
268
Views on SlideShare
268
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
6
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

LFyA-01 Preeliminares matemáticos LFyA-01 Preeliminares matemáticos Presentation Transcript

  • TMC2012 -abc. abdielc@acm.org Lenguajes Formales y Aut´matas o Preeliminares matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a Abdiel E. C´ceres Gonz´lez a aUniversidad Ju´rez Aut´noma de Tabasco, DACB (www.ujat.mx) a o abdielc@acm.org
  • TMC2012 -abc. abdielc@acm.org Preeliminares matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aPreeliminares Matem´ticos -1- a
  • TMC2012 En la l´gica, una proposici´n es una frase de la cual se puede determinar si es o o √ verdaderea o falsa. Las frases “2+1 es 5”, “3 > 8” y “17 es un n´mero u -abc. abdielc@acm.org primo” son proposiciones, mientras que “ven a mi fiesta” y “¿qu´ es un e Preeliminares n´mero primo?” no son proposiciones. u matem´ticos a L´gica elemental o >(= (+ 2 1) 5) Relaciones y funciones #f Inducci´n matem´tica o a >(es-numero-primo? 17) #t En Racket podemos definir proposiciones. Definimos p como una proposici´n o con valor de verdad #t (verdadero) y q como una proposici´n con valor de o verdad #f (falso).1 (define p #t)2 (define q #f)3 (define r #f) Escribir notas sobre datos primitivos en Racket
  • TMC2012Definici´n o -abc. abdielc@acm.orgDos porposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad. Preeliminares>(equal? p q) matem´ticos a#f L´gica elemental o>(equal? p r) Relaciones y funciones#t Inducci´n matem´tica o aEscribir notas sobre procedimientos primitivos en Racket
  • TMC20121 (define (proposiciones-equivalentes? a b)2 (equal? a b)) -abc. abdielc@acm.org Preeliminares >(proposiciones-equivalentes? p q) matem´ticos a #f L´gica elemental o >(proposiciones-equivalentes? p r) Relaciones y funciones #t Inducci´n matem´tica o a Escribir notas sobre definicion de procedimientos en Racket
  • TMC2012 Definici´n o -abc. abdielc@acm.org Si p es una proposici´n, su negaci´n es una nueva proposici´n denotada por o o o ¬p que tiene el valor de verdad Falso si p es verdadero, y tiene el valor Preeliminares matem´ticos a Verdadero si p es Falso. L´gica elemental o Relaciones y funciones1 (define (NEG a) Inducci´n matem´tica o a2 (if a #f #t)) >(NEG #t) #f >(NEG #f) #t Escribir notas sobre condicional if en Racket
  • TMC2012Dado que el valor de una proposici´n ¬p depende de la proposici´n p, o opodemos utilizar una tabla llamada tabla de verdad para visualizar las -abc. abdielc@acm.orgdependencias Preeliminares matem´ticos a p ¬p L´gica elemental o T F Relaciones y funciones F V Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definition -abc. abdielc@acm.orgSi p y q son proposiciones, entonces la conjunci´n de las proposiciones p y q, odenotada por p ∧ q es una nueva proposici´n que es verdadera unicamente o ´ Preeliminares matem´ticos acuando p y q son verdaderas y la conjunci´n es falsa cuando al menos una o L´gica elemental oproposici´n ya sea p o q o ambas es falsa. o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aUtilizar la tabla de verdad para dise˜ar la definici´n en Racket n o>(Y #t #t)#t>(Y #t #f)#f>(Y #f #t)#f>(Y #f #f)#f
  • TMC2012Definition -abc. abdielc@acm.orgSi p y q son proposiciones, entonces la disyunci´n de las proposiciones p y q, odenotada por p ∨ q es una nueva proposici´n que es verdadera cuando alguna o Preeliminares matem´ticos ade las proposiciones p o q o ambas son verdaderas y la conjunci´n es falsa o L´gica elemental ocuando ambas proposiciones son falsas. Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aUtilizar la tabla de verdad para dise˜ar la definici´n en Racket n o
  • TMC2012 Definici´n o -abc. abdielc@acm.org Si p y q son dos proposiciones, la condicional denotada por p → q es una nueva proposici´n con tabla de verdad o Preeliminares matem´ticos a p q p→q L´gica elemental o Relaciones y funciones T T T Inducci´n matem´tica o a T F F F T T F F T1 (define (-> a b)2 (if a b #t)) >(-> #t #t) #t >(-> #t #f) #f >(-> #f #t) #t >(-> #f #f) #t
  • TMC2012Definici´n o -abc. abdielc@acm.orgSi p y q son dos proposiciones, la bicondicional denotada por p ↔ q es unanueva proposici´n con tabla de verdad o Preeliminares matem´ticos a p q p↔q L´gica elemental o Relaciones y funciones T T T Inducci´n matem´tica o a T F F F T F F F T
  • TMC2012 ıproca de la condicional p → q es la proposici´n q → p.La rec´ o -abc. abdielc@acm.org Preeliminares matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aLa contrapuesta de p → q es (¬q) → (¬p).
  • TMC2012Teorema -abc. abdielc@acm.orgSean p y q dos proposiciones para las que p ↔ q es siempre verdadera.Entonces p y q son equivalentes. Por otro lado, si p y q son equivalentes, Preeliminares matem´ticos aentonces la bicondicional p ↔ q es siempre verdadera. L´gica elemental oEscribir las tablas de verdad Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aUna proposici´n es una tautolog´ si es siempre verdadera. Una contradicci´n o ıa oes una proposici´n que siempre es falsa. Probar ¬a ∧ b → (¬a) ∨ (¬b) y su negaci´n o o
  • TMC2012Definici´n (Funci´n proposicional) o o -abc. abdielc@acm.orgUna funci´n proposicional es una porposici´n que tiene al menos un s´ o o ımbolo Preeliminarescon valor variable. matem´ticos aPor ejemplo, la frase “x 2 + 2x − 15 = 0” tiene el smbolo variable x, y ´ L´gica elemental o Relaciones y funcionesdependiendo del valor asignado a x, el valor de verdad de la frase ser´ falso o a Inducci´n matem´tica o averdadero.La colecci´n de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en una ofunci´n proposicional se llama conjunto de significados de esa variable. oLlamaremos conjunto de verdad de la funci´n porposicional, al conjunto de oobjetos que pertenecen al conjunto de significados para los cuales la funci´noproposicional se convierte en una funci´n verdadera al sustituir la variable por oellos. C.significados=Z; C.verdad={3}
  • TMC2012 Si P es una funci´n proposicional que tiene a la variable x, lo escribimos como o P(x), pero adem´s, se debe agregar el conjunto de verdad de la variable x a -abc. abdielc@acm.org junto con alg´n s´ u ımbolo que permita determinar las condiciones necesarias Preeliminares para obtener tales valores de verdad, estos s´ ımbolos son los cuantificadores. matem´ticos a Hay cuantificadores universales y cuantificadores existenciales. L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a Un cuantificador universal asociado a una variable x y su conjunto de verdad C se escribe ∀x : C . Ahora, junto con la funci´n proposicional: o ∀x ∈ C , P(x). Esto significa que para todos los valores del conjunto de verdad C , si sustituimos el valor de x por cada uno de ellos, la funci´n proposicional P o tendr´ un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definici´n racket con la notaci´n matem´tica a o o a1 (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8)) > (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8)) #t >
  • TMC2012 Un cuantificador existencial asociado a una variable x y su conjunto de verdad C se escribe ∃x : C . Ahora, junto con la funci´n proposicional: o -abc. abdielc@acm.org ∃x ∈ C , P(x). Preeliminares matem´ticos a L´gica elemental o Esto significa que en todos los valores del conjunto de verdad C , existe al Relaciones y funciones menos un valor de modo que si sustituimos ese valor en x, la funci´n o Inducci´n matem´tica o a proposicional P tendr´ un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definici´n racket con la a o notaci´n matem´tica o a1 (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5)) > (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5)) #t >
  • TMC2012Teor´ de conjuntos ıa -abc. abdielc@acm.org Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos del conjunto. o Preeliminares matem´ticos a Definici´n (Conjunto vac´ o ıo) L´gica elemental o Relaciones y funciones Si un conjunto A no tiene elementos, decimos que el conjunto A est´ vac´ y a ıo, Inducci´n matem´tica o a lo escribimos como ∅1 (define V ’()) > V ’() > (empty? V) #t
  • TMC2012Listas como conjuntos -abc. abdielc@acm.org Definici´n (Lista) o Preeliminares matem´ticos a un objeto L es una lista en cualquiera de los siguientes casos: L´gica elemental o Relaciones y funciones 1. Si L = ∅, entonces L una lista. Inducci´n matem´tica o a 2. Si L = ∅, entonces L debe poder dividirse en dos partes: 2.1 Car(L) que debe ser el primer elemento de L. 2.2 Cdr(L) que contiene al resto de los elementos de L sin considerar el primero, y debe ser una lista. En Racket podemos manejar conjuntos con listas, considerando que el orden en que aparecen los elementos no importa y que los elementos no deben ser repetidos.
  • TMC2012 Si A es un conjunto y a es un elemento de A, lo escribimos como a ∈ A (a es un elemento del conjunto A). Si por el contrario, el elemento a no -abc. abdielc@acm.org perteneciera al conjunto A, lo indicaremos por a ∈ A. Preeliminares1 (define (PERTENECE? a A) matem´ticos a2 (cond ((empty? A) #f) L´gica elemental o3 ((equal? a (car A)) #t) Relaciones y funciones4 (else (PERTENECE? a (cdr A))))) Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012 Ejemplo. M´todo de substituci´n. e o Probar con (PERTENECE? 4 ’(2 6 8 3 4 1)) -abc. abdielc@acm.org1 (define (PERTENECE? a A)2 (cond ((empty? A) #f)3 ((equal? a (car A)) #t) Preeliminares matem´ticos a4 (else (PERTENECE? a (cdr A))))) L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Cardinalidad) o -abc. abdielc@acm.orgLa cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene. Si A Preeliminareses un conjunto, la cardinalidad del conjunto A se denota por |A|. matem´ticos aNotemos que: L´gica elemental o Relaciones y funciones |A| = 0 si A = ∅ Inducci´n matem´tica o a |A| = 1 + |A | si A = Cdr(A)Hacer un diagrama de Venn
  • TMC2012Definici´n (Subconjunto) o -abc. abdielc@acm.orgSean A y B dos conjuntos. Decimos que A es un subconjunto de B y lo Preeliminaresdenotamos por A ⊆ B cuando todos los elementos del conjunto A tambi´n son e matem´ticos aelementos del conjunto B. L´gica elemental o Relaciones y funcionesNotemos que pueden haber elementos del conjunto B que no sean elementos Inducci´n matem´tica o adel conjunto A.Hacer un diagrama de Venn
  • TMC20121 (define (SUBCONJUNTO? A B)2 (cond ((empty? A) #t) ; el conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto -abc. abdielc@acm.org3 ((PERTENECE? (car A) B) (SUBCONJUNTO? (cdr A) B))4 (else #f))) Preeliminares matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Conjuntos iguales) o -abc. abdielc@acm.orgSean A y B dos conjuntos. Decimos que A y B son iguales y lo denotamos Preeliminarescomo A = B, si A ⊆ B y B ⊆ A. matem´ticos aSe deja el programa en Racket como ejercicio. L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Conjunto potencia) o -abc. abdielc@acm.orgSea A un conjunto. El conjunto potencia de A se denota como P(A) y es el Preeliminaresconjunto de todos los subconjuntos de A. matem´ticos aPor ejemplo, si A = {1, 2, 3}, L´gica elemental o Relaciones y funciones2A = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Describir el algoritmo Inducci´n matem´tica o a A P(A)
  • TMC2012 1 ; crea una lista de parejas con el elemento a en cada una de ellas y cada elemento de B 2 ; en la segunda entrada -abc. abdielc@acm.org 3 (define (enlista a B) 4 (cond ((empty? B) ’()) Preeliminares 5 ((list? (car B)) (cons (append (list a) (car B)) (enlista a (cdr B)))) matem´ticos a 6 (#t (cons (list a (car B)) (enlista a (cdr B)))))) L´gica elemental o 7 Relaciones y funciones 8 ; producto cartesiano de 2 conjuntos Inducci´n matem´tica o a 9 (define (PC A B)10 (apply append (map (lambda (a) (enlista a B)) A)))
  • TMC2012Operaciones con conjuntos -abc. abdielc@acm.org Definici´n (Uni´n) o o Preeliminares matem´ticos a Sean A y B dos conjuntos. La uni´n de los conjuntos A y B se denota por o L´gica elemental o A ∪ B y es el conjunto {x ∈ A ∨ x ∈ B} Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Uni´n extendida) o o -abc. abdielc@acm.orgSean A1 , . . . , An n conjuntos. La uni´n de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai es o Preeliminares n matem´ticos a L´gica elemental o Ai = A1 ∪ · · · ∪ An Relaciones y funciones i=1 Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Intersecci´n) o o -abc. abdielc@acm.orgSean A y B dos conjuntos. La intersecci´n de los conjuntos A y B se denota o Preeliminarespor A ∩ B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x ∈ B} matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Intersecci´n extendida) o o -abc. abdielc@acm.orgSean A1 , . . . , An n conjuntos. La intersecci´n de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai o Preeliminareses matem´ticos a n L´gica elemental o Ai = A1 ∩ · · · ∩ An Relaciones y funciones i=1 Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Diferencia) o -abc. abdielc@acm.orgSean A y B dos conjuntos. La diferencia del conjunto A respecto del conjunto PreeliminaresB se denota por A/B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x ∈ B} matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Una relaci´n del conjunto A con el coonjunto B es un subconjunto de A × B. oPor tanto, si R ⊆ A × B y (a, b) ∈ R con a ∈ A y b ∈ B, se dice que el -abc. abdielc@acm.orgelemento a est´ relacionado con el elemento b bajo la relaci´n R. a o PreeliminaresMostrar ejemplo con A = {2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} matem´ticos a L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Una relaci´n R definida como subconjunto de A × B define dos conjuntos muy oimportantes. -abc. abdielc@acm.org PreeliminaresDefinici´n (Dominio) o matem´ticos a L´gica elemental oEl dominio de una relaci´n R definida como subconjunto de A × B se denota o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o apor Dom(R) y es el conjunto {a ∈ A|∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R}Mostrar el dominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el dominio de una relacion
  • TMC2012Una relaci´n R definida como subconjunto de A × B define dos conjuntos muy oimportantes. -abc. abdielc@acm.org PreeliminaresDefinici´n (Im´gen) o a matem´ticos a L´gica elemental oLa im´gen de una relaci´n R definida como subconjunto de A × B se denota a o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o apor Im(R) y es el conjunto {b ∈ B|∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R}La im´gen de la relaci´n tambi´n se conoce como codominio. a o eMostrar el codominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el codominio de una relacion
  • TMC2012Una relaci´n R definida como subconjunto de A × B para dos conjuntos A y oB se denota como -abc. abdielc@acm.org R:A→B Preeliminares matem´ticos aDonde A es el dominio de la relaci´n. o L´gica elemental o Relaciones y funcionesSi Im(R) = B, entonces la relaci´n es sobreyectiva. o Inducci´n matem´tica o aSi cada elemento del Dom(R) est´ relacionado con exactamente un elemento ade la Im(R), entonces la relac´n es Inyectiva o 1-1. oSi la relaci´n es sobreyectiva e inyectiva, entonces la relaci´n es biyectiva. o oescribir definiciones en Racket Determinar si una relaci´n tiene estas propiedades o
  • TMC2012-abc. abdielc@acm.orgPreeliminaresmatem´ticos aL´gica elemental oRelaciones y funcionesInducci´n matem´tica o a
  • TMC2012Definici´n (Funci´n) o o -abc. abdielc@acm.orgUna relaci´n R : A → B es una funci´n si cada elemento del dominio tiene o o Preeliminaresrelaci´n con exactamente un elemento del codominio. Esto es o matem´ticos a(a, b1 ) ∈ R ∧ (a, b2 ) ∈ R → b1 = b2 L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aDefinition (Imagen)Sea F : A → B una funci´n de A en B. Un elemento b ∈ Cod(R) es la oim´gen de a ∈ Dom(F ) si (a, b) ∈ F . La im´gen de a bajo la funci´n F se a a odenota F (a).La imagen de A ⊂ A bajo la funci´n F se denota oF (A ) = {b ∈ Cod(F )|(a, b) ∈ R ∧ a ∈ A }
  • TMC2012Definici´n (Composici´n) o o -abc. abdielc@acm.orgSean F : A → B y G : B → C dos funciones. Llamamos la composici´n de las o Preeliminaresfunciones F con G y lo denotamos por F ◦ G o simplemente FG a una nueva matem´ticos afunci´n FG : A → C definida como o L´gica elemental o Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a (a, c) ∈ FG → ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ F , (b, c) ∈ GNotemos que FG no es una operaci´n, sino un identificador de una nueva ofunci´n. o
  • TMC2012En general, utilizamos esta t´cnica para demostrar que las afirmaciones se ecumplen para un cierto conjunto de n´meros naturales, cuando la verificaci´n u o -abc. abdielc@acm.orgdirecta es imposible de realizar. Preeliminares matem´ticos aNo podemor simplemente verificar que la afirmaci´n se cumple solo para un o L´gica elemental ocierto n´mero de ejemplos, porque precisamente los ejemplos no son una u Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o aprueba.Consideremos la siguiente afirmaci´n: o n2 ≤ 5n!; n≥3Como claramente es imposible verificar esta afirmaci´n para todos los n´meros o unaturales mayores que 2 (n ≥ 3), entonces utilizamos la inducci´n matem´tica o aque consiste de verificar 3 pasos: 1. El paso base: Comprobar que la sentencia es verdadera para el n´mero u m´s peque˜o en el conjunto especificado en la sentencia original. a n 2. La hip´tesis inductiva: Suponer que la sentencia es verdadera para el o n-´simo n´mero del conjunto. e u 3. El paso deductivo: Utilizar la hip´tesis inductiva para probar que el o n + 1-´simo n´mero tambi´n cumple la propiedad. e u e
  • TMC2012Ejemplo -abc. abdielc@acm.orgPruebe por inducci´n que la suma de los primeros n n´meros naturales es o uexactamente k(k + 1)/2. Preeliminares matem´ticos a L´gica elemental o 1. El paso base Relaciones y funciones Inducci´n matem´tica o a 1(1 + 1) 1= ⇒1=1 2 2. La hip´tesis inductiva: o n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2 3. El paso deductivo: n(n + 1) (n + 1)((n + 1) + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = = 2 2 2
  • TMC2012-abc. abdielc@acm.orgPreeliminaresmatem´ticos aL´gica elemental oRelaciones y funcionesInducci´n matem´tica o a