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2010 Shanghai World Expo: the Impact on Economic
Development of China
2010 年上海世博会对我国经济发展的影响分析
Aaron L.-F. Han, Lina Guo,...
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(2010 年全国大学生数学建模竞赛河北省一等奖论文)
2010 年上海世博会对我国经济发展的影响分析
作者:韩利峰,郭丽娜,李杰。指导教师:王铮(河北师范大学)
摘要
本文选择世博会对我国经济发展的影响为研究重点,运用凯恩斯乘数法、层
次...
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1 问题重述
2010 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万国
工业博览会”开始,世博会日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现
合作精神、展望未来发展等重要舞台。请选择某个侧面,建立数学模型,利用互...
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ijx 部门 i 提供给部门 j 的产品数
id 对部门 i 的社会最终需求产量
ijt 生产 1 件产品 j 消耗的产品 i 的件数
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T
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0 1 *t t tC Y    
其中, tC 指当期消费, tY 指当期收入, t 为随机误差项。宏观经济关心的是整个社
会的宏观消费函数, 它并非是单个家庭消费的总和因为存在政府消费行为、税收政
策和企业未分配利润等因素...
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4.1.3 考虑预期和资产因素的宏观消费函数与投资乘数放的情况
表三:20世纪90年代初以来上海市GDP最终消费及资本形成总额 单位 亿元[1]
年份 最终消费 资本形成总额 GDP
1992 476.57 487.63 1114.32
1...
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4.2 模型二:应用模型一的结论研究上海世博会投资产生的就业效果
4.2.1 模型假设
最近这些年间上海市就业人数增加与增长值的比值波动不太大。
4.2.2 模型建立
根据经济学的就业弹性思想及劳动生产率理论, 以从业人数增加与GDP增长
...
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4.3 模型三:研究没有世博会影响下的 2003-2010 年上海 GDP 增加值
4.3.1 模型假设
假设在没有世博会影响下,上海 GDP 称平稳变化趋势,没有太大波动,各产
业平稳发展。
4.3.2 模型建立
层次分析法是对非定量事件...
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5 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 重要
7 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 明显重要
9 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 绝对重要
(注释:2 ,4 ,6 ,8 2 ,4 ,6 ,8 分别表示相邻判断值介于1~3 ,3~...
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2008 20.79
2009 20.90
2010 21.02
合计 163.10
4.3.3 模型求解
求无世博会影响下上海2003-2010社会总投资创造的 0GDP
由模型一、模型二中的结论,设无世博会影响下上海2003-2010...
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4.4.2 模型准备
根据上述假设,共有 n 个部门和 n 中产品,这 n 个部门和 n 种产品是一一对
应的。若设 ijt 为生产一个单位的第 j 中产品需要消耗的第 i 中产品的单位数,那么
由假设 ijt 为一个常数,称为投入系数。...
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x=(x1 ,x 2 ,x3 )T
d=(d1 ,d 2 ,d3 )T
式(2)可写成矩阵型式
x=Tx+d
或
(I-T)x=d
令
A=I-T
式(2)最终化为
Ax=d (3)
表十:国内生产总值构成 单位:%[1]
年 份
国内生...
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2006 100.0 11.3 48.7 40.0
2007 100.0 11.1 48.5 40.4
2008 100.0 11.3 48.6 40.1
表十一:上海生产总值 单位:亿元[1]
主要年份上海市生产总值(按三次产业分)
指...
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表十二:投入产出表 单位:亿元
作为消耗部门
作为生产部门
农业 制造业 服务业
外部
需求
总产出
农业 15 20 30 35 100
制造业 30 10 45 115 200
服务业 20 60 0 70 150
表十三:技术投入产...
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4.4.5 模型检验
检验系统的合理性,为了解决这个问题,需要对给定的 d 求解线性代数方程
式(3)。若对任何的外部需求 d(其元素不会出现负值),方程组都有非负解 x,
就称此经济系统是可行的。对于本假设,A 的逆阵(取小数点后四位数...
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令 T=( ijt ),A=1-T,经济综合平衡关系成为
Ax=d (6)
其中,x= 1 2( , ,... )T
nx x x ,d= 1 2( , ,... )T
nd d d 分别为产出向量和最终需求向量。这样考
虑多个(大于三个...
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2010 Shanghai World Expo: the Impact on Economic Development of China (2010年上海世博会对我国经济发展的影响分析)

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Aaron Li-Feng Han, L. Guo, J. Li and Z. Wang. 2010. Proceedings of the Higher Education Society Cup - National Undergraduate Mathematical Contest in Modeling: First Prize in HeBei Province, P. R. China.

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2010 Shanghai World Expo: the Impact on Economic Development of China (2010年上海世博会对我国经济发展的影响分析)

  1. 1. 1 2010 Shanghai World Expo: the Impact on Economic Development of China 2010 年上海世博会对我国经济发展的影响分析 Aaron L.-F. Han, Lina Guo, Jie Li, and Zheng Wang Department of Mathematics and Applied Mathematics HeBei Normal University ShiJiaZhuang, HeBei Province, China Proceedings of the Higher Education Society Cup - National Undergraduate Mathematical Contest in Modeling: First Prize in HeBei Province, P. R. China, 2010.
  2. 2. 2 (2010 年全国大学生数学建模竞赛河北省一等奖论文) 2010 年上海世博会对我国经济发展的影响分析 作者:韩利峰,郭丽娜,李杰。指导教师:王铮(河北师范大学) 摘要 本文选择世博会对我国经济发展的影响为研究重点,运用凯恩斯乘数法、层 次分析法、回归方法建立模型,探讨上海世博会的总投入对经济的拉动作用,及 经济增长对就业的带动进行定量分析,并测算没有世博会的影响下上海经济的发 展状况,最后运用投入-产出综合评价模型分析世博会对我国国民经济各产业创造 的新需求引起的总产出的综合提高。 模型一:GDP 增长模型。本文利用凯恩斯乘数理论,通过回归方法测算消费 函数及边际消费倾向,结合投资乘数计算公式 k=1/(1-MPC),用“考虑预期和资产 因素的宏观消费函数与投资乘数法”和“只考虑当期收入影响的简单消费函数与投 资乘数法”,求出上海世博会总投资产生的 GDP 增加量为 6003.43 亿元到 12498.5 亿元。 模型二:GDP带动就业增加模型。根据经济学的就业弹性思想及劳动生产率 理论,建立GDP增长与就业人数增加模型 1 1 1 ( ) / * k t t t t t N N n K GDP GDP GDP             , 结合模型一所得结论,计算出世博会创造上海就业人数的增加55.68万人到115.9万 人。 模型三:预测没有世博会影响下GDP增加模型。先用层次分析法与MathCAD 软件计算三个产业占总投资权重,结合互联网数据推测出没有世博会影响的总投 资 0I ,再利用模型一结论计算出 0I 引起的GDP增加值998.13亿元到2078.32亿元。 对照模型一结论得世博会的举办对上海GDP的纯贡献在5005亿元到10420亿元之 间。 模型四:投入-产出综合评价模型。先例举国民经济产业三个方面,通过计算 直接消费系数,分析世博会带来各产业新需求引起的相关产业总产出的增加。再 推广为考虑多部门多产业的情况,即开放型投入-产出数学模型。最后分析出上海 世博会创造上海 GDP 平均年增长率范围 6.69%到 13.91%,创造国家 GDP 平均年 增长率范围 0.238%到 0.49%。 关键词:凯恩斯乘数;层次分析法;投入产出模型;回归方法;边际消费倾向
  3. 3. 3 1 问题重述 2010 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万国 工业博览会”开始,世博会日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现 合作精神、展望未来发展等重要舞台。请选择某个侧面,建立数学模型,利用互 联网数据,定量评估 2010 年上海世博会影响力。 2 问题分析 世博会的举办会对一个城市乃至一个国家的经济、文化、科技等方面产生巨 大影响,题目要求选择某个侧面,搜集互联网数据,建立数学模型,定量的评估 2010 上海世博会的影响力。本文选择世博会对上海及我国经济发展的影响为研究 重点,需要解决以下问题。 1)利用互联网,广泛搜集数据,运用相关经济学原理建立数学模型,对世博会的 投资带来的经济的增长进行定量分析。 2)搜集历年数据,运用相关数学知识建立模型,预测若没有世博会的影响,则上 海的经济增长情况为多少,与世博会带来的经济增长进行对照,使得世博会对 上海及我国经济的影响力分析更加明了。 3)分析世博会对经济的影响会带动其他哪些相关方面的变化,比如就业方面等, 建立数学模型定量分析。 4)分析世博会对我国国民经济的各产业需求的带动产生的综合效应。 3 符号说明 K 投资乘数 I 投资 b 边际消费倾向 t 随机误差项 tC 与 1tC  分别指本期消费和上期消费 tY 与 1tY 分别指本期收入和上期收入 tN 与 1tN  分别指t期和t-1期的就业人数 tGDP与 1tGDP 分别指t期和t-1期的国内生产总值 0GDP 无世博会影响下上海2003-2010社会总投资创造的国内生产总值 ix 部门 i 的总产量
  4. 4. 4 ijx 部门 i 提供给部门 j 的产品数 id 对部门 i 的社会最终需求产量 ijt 生产 1 件产品 j 消耗的产品 i 的件数 1 2 T n(x ,x ,...x ) 投入系数或直接消耗系数 x= 1 2( , ,... )T nx x x 产出向量 d= 1 2( , ,... )T nd d d 最终需求向量 ijV 评价因素 iV 相对于评价因素 jV 的重要性数值 CR 计算的平均一致性指标比值 RI 随机一致性指标 4 模型建立 4.1 模型一:凯恩斯乘数法分析世博会投资对 GDP 增长的拉动模型 4.1.1 模型假设 测算投资拉动的GDP时主要有两种方式,一种是运用宏观经济原理的乘数-加 速数模型, 另一种是运用国民经济核算的投人-产出方法。如果不考虑各行业部门 之间相互作用的结构关系, 仅考察投资或消费和经济总量增长的关系, 凯恩斯乘 数不失为一种好的方法。现在上海世博会的投资总额已大致确定, 可以运用乘数- 加速数理论方法对世博会投资的效应进行测算。在萨缪尔逊-汉森的乘数-加速数 模型中, 投资被区分为自发投资和引致投资两种, 自发投资主要指政府规划性支 出, 而引致投资是因两期消费的差值而引发的进一步投资, 具有“ 加速数”乘子 的性质。下面所研究的世博会投资属于规划自主性投资而非消费引发的引致投资, 可以不考虑“ 加速数”因素, 直接运用乘数原理对其效应进行测算。 4.1.2 只考虑当期收入影响的简单消费函数与投资乘数的情况 模型准备: 凯恩斯提出的投资乘数的简单含义是, 每增加一单位投资所带来的收入的增 加, 用公式表示就是 k=△Y/△I。其中 k 为投资乘数, Y 为收入, I 为投资。根据宏 观经济理论可知, 投资乘数的计算公式为:k=1/(1-b)。投资乘数的大小主要决定于 边际消费倾向的大小。边际消费倾向越大,则乘数越大,收入增量越大;反之, 边际消费倾向越小,则乘数越小,收入增量越小。其中 b 为边际消费倾向(边际 消费倾向则反映了增加 1 单位收入中用于增加消费部分的比率)。 模型建立: 根据只考虑当期收入影响的简单消费函数可建立如下模型:
  5. 5. 5 0 1 *t t tC Y     其中, tC 指当期消费, tY 指当期收入, t 为随机误差项。宏观经济关心的是整个社 会的宏观消费函数, 它并非是单个家庭消费的总和因为存在政府消费行为、税收政 策和企业未分配利润等因素, 所以这里要分析的是基于宏观数据的宏观消费函数, 因此我们采用上海市国内生产总值 tY (GDP)和最终消费等宏观数据对消费函数模 型展开分析 表一:上海市人均消费与收入 单位 元[1] 年份 人均消费 人均收入 年份 人均消费 人均收入 1990 1937 2183 2000 8868 11718 1991 2167 2486 2001 9336 12883 1992 2509 3009 2002 10464 13250 1993 3530 4277 2003 11040 14867 1994 4669 5868 2004 1263. 16683 1995 5868 7172 2005 13773 18645 1996 6763 8159 2006 14762 20668 1997 6820 8439 2007 17255 23623 1998 6866 8773 2008 19398 26675 1999 8248 10932 2009 20992 28838 以人均收人为自变量, 以人均消费水平为函数, 采取回归方法测算1990年以 来的消费函数为:C=C0+bY=-25+0.72Y其中C为人均消费, Y为人均收人, 系数b为 边际消费倾向MPC。通过对模型参数检验, 该模型是合适的。函数中的MPC=0.72, 比较符合上海的实际情况。 模型求解: 令△I为2003-2010年间世博会投资增量, △Y 为由此带来的国民收人增 量,MPC应从2003年后各年度人均消费对人均收人进行一元线性回归得出, 考虑到 MPC相对比较稳定,对它的估算, 可用MPC=0.72代替。结合投资乘数的计算公式, 可以计算出上海市投资乘数k=1/(1-b)=1/(1-0.72)=3.571。即上海市每增加1元投资可 最终产生3.571元的GDP。 表二:上海世博会直接投资和配套投资 单位 亿元[2] 直接投资 配套建设 合计 主体建设 运营支出 3000-4000 约3500亿元人民 币180 106.8 据表二估计, 上海世博会的总投资规模将在3500亿元人民币以上, 2003-2010 年因世博会而进行的投资期间, 上海市投资乘数相对稳定,价格走势平稳。运用公 式k=△Y/△I可以估算出世博会投资可分为上海市创造GDP数额: △Y=△I*(1/(1-MPC))=3500*1/(1-0.72)=12498.5(亿元人民币)。 则世博会的投资增量将产生上海GDP增量12498.5亿元人民币以上, 这些贡献是由 世博会当期收入影响的简单消费函数与投资乘数效应所引起的。
  6. 6. 6 4.1.3 考虑预期和资产因素的宏观消费函数与投资乘数放的情况 表三:20世纪90年代初以来上海市GDP最终消费及资本形成总额 单位 亿元[1] 年份 最终消费 资本形成总额 GDP 1992 476.57 487.63 1114.32 1993 699.52 744.11 1519.23 1994 919.83 1161.49 1990.86 1995 1150.35 1567.72 2499.43 1996 1348.76 1956.84 2957.55 1997 1160.83 2048.95 3438.79 1998 1758.09 2010.75 3801.09 1999 1959.12 1970.24 4188.73 2000 2244.52 2169.72 4551.15 2001 2476.20 2356.71 4950.84 2002 2791.06 2531.29 5408.76 2003 3217.59 3076.68 6250.81 2004 3832.59 3782.25 8072.83 2005 4480.34 4218.99 9143.95 2006 5175.15 4873.34 10296.7 2007 6170.38 5719.59 12001.2 2008 7172.67 6143.82 13698.2 2009 7868.64 6766.01 —— 模型建立: 考虑预期因素和资产因素,宏观消费函数变为如下可实际应用的形式 1 1( )t t t tC a Y C b Y      (3) 或者 1 1(1 ) ( )t t t tC a C bY a b Y      (4) 公式(3)表明, 消费的变化 tC 取决于资产的变化 1 1( )t tY C  和收入的变化 tY 。 公式(4)中 tC 与 1tC  分别指本期消费和上期消费。 tY 与 1tY 分别指本期收入和上期收 入。这种消费函数表明, 更加符合实际情形的是纳入国民经济核算中的本期消费数 额 iC 不仅受本期收入 iY 的影响, 还受到上期消费数额 1iC  和上期收入 1iY 的影响。 模型求解: 由表中数据应用最小二乘法求得b=0.4170。此时: k=1/(1-b)=1/(1-0.4170)=1.7153。即实际经济中, 由于资产因素和预期因素的存在, 上海市每增加1元投资可最终产生1.7153元的GDP。运用公式k=△Y/△I可以计算出 世博会投资可分为上海市创造GDP数额: △Y=△I*(1/(1-MPC))=3500*1/(1-0.4170)=6003.43(亿元人民币)。 这意味着, 上海世博会的原发投资3500亿元,由于投资乘数作用, 从2003年世博会 投资启动至2010年世博会结束乃至其后续效应, 上海世博会投资总共可为上海市 创造GDP6003.43亿元到12498.5亿元。
  7. 7. 7 4.2 模型二:应用模型一的结论研究上海世博会投资产生的就业效果 4.2.1 模型假设 最近这些年间上海市就业人数增加与增长值的比值波动不太大。 4.2.2 模型建立 根据经济学的就业弹性思想及劳动生产率理论, 以从业人数增加与GDP增长 的比值关系测算GDP增长所拉动的就业人数的增加。由于本文测算的是2003- 2010年甚至以后更长一段时期的累计数字, 取以往一个时间段的平均值误差要小。 平均值的计算公式为 1 1 1 ( ) / k t t t t t N N n K GDP GDP        其中n指GDP增长1亿元拉动的从业人数增加数, tN , 1tN  分别指t期和t-1期的 就业人数, tGDP, 1tGDP 分别指t期和t-1期的国内生产总值, K指年数(此处K=8)。 表四:近几年上海市GDP增长与就业增加比值[1] 年 GDP(亿元) 从业人数 (万人) GDP增量 从业增量 从业增量 /GDP增量 2000 4551.15 828.35 —— —— —— 2001 4950.84 752.26 399.69 -76.09 -0.1904 2002 5408.76 792.04 457.92 39.73 0.0869 2003 6250.81 808.38 842.05 16.34 0.0194 2004 8072.83 836.87 1822.02 28.49 0.0156 2005 9143.95 863.32 1071.12 26.45 0.0247 2006 10296.97 885.51 1153.02 22.19 0.0192 2007 12001.16 909.08 1704.19 23.57 0.0138 2008 13698.15 1053.24 1696.99 144.16 0.0850 4.2.3 模型求解 世博会投资的就业效应依据表四,2000年至2008年, 上海市的平均就业弹性 为0.009275即上海市每增加1亿元, 可带动就业增加0.009275万人。世博会投资拉 动的就业人数计算公式为 1 1 1 ( ) / * k t t t t t N N n K GDP GDP GDP             其中 n 指世博会投资引发的就业增加人数, GDP 指世博会投资引发的数额, 方括号中如上公式所示, 指GDP增长1亿元拉动的从业人数增加数, 将模型一测 算及设定的数字带人公式, 则世博会投资拉动就业人数 △N=0.009275×12498.5=115.92万(不考虑消费中的预期因素和资产因素) △N=0.009275×6003.43=55.68万(考虑消费中的预期及资产因素)。
  8. 8. 8 4.3 模型三:研究没有世博会影响下的 2003-2010 年上海 GDP 增加值 4.3.1 模型假设 假设在没有世博会影响下,上海 GDP 称平稳变化趋势,没有太大波动,各产 业平稳发展。 4.3.2 模型建立 层次分析法是对非定量事件做定量分析的方法,它能够对人们的主观判断做 出客观描述,通过影响成本控制的因素进行两两比较,最后求出它们重要层度得 分。 步骤1 用层次分析法求第三产业的投资占总投资的权重。 构造判断矩阵, iV 为评价因素 iV ∈V , i = 1 ,2 ,3 , ……,n。ijV 为评价因素 iV 相 对于评价因素 jV 的重要性数值,其中, j = 1 ,2 ,3 , ……, n。设上海总投资M,第i产业 影响因素 iV ,i=1,2,3,此处n=3。 表五:上海主要年份社会固定资产投资主要指标:单位 亿元[1] 指标 2000 2008 2009 第一产业 7.87 8.4 11.41 第二产业 615.94 1420.82 1427.50 第三产业 1245.86 3400.23 3834.42 由上表五分析构造影响总投资因素重要性评价计算表六, ijV 的取值以表七为依据。 表六:影响总投资因素重要性评价计算表 因素 1V 2V 3V 1V 1 1/7 1/9 2V 7 1 1/3 3V 9 3 1 表七 判断矩阵标度及其含义说明表 标度 含义 1 表示评价因素 iV 同评价因素 jV 同等重要 3 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 稍微重要
  9. 9. 9 5 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 重要 7 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 明显重要 9 表示评价因素 iV 比评价因素 jV 绝对重要 (注释:2 ,4 ,6 ,8 2 ,4 ,6 ,8 分别表示相邻判断值介于1~3 ,3~5 ,5~7 ,7~9 之间 ; 倒数表示评价因素 iV 与评价因素 jV 比较取值,其中, jiV = 1∶ ijV 根据 ijV 的取值及 意义得到判断矩阵,称之为M - V 判断矩阵。) 表六对应判断矩阵如下M , 由层次分析法原理,求出M - V 判断矩阵最大特征 根所对应的特征向量,所求特征向量即为各评价因素的权重。用MathCAD2001软件 计算该矩阵的特征根以及特征向量如下,最大特征根为3.08,对应特征向量为 (0.076,0.403,0.912),标准化得到三个产业占总投资权重为(0.0546,0.3122, 0.6556),知上海第三产业投资占社会总投资的比重q1=0.6556。 M 1 7 9 1 7 1 3 1 9 1 3 1                eigenvals M( ) 3.08 0.04 0.496i 0.04 0.496i          eigenvecs M( ) 0.076 0.403 0.912 0.038 0.066i 0.202 0.349i 0.912 0.038 0.066i 0.202 0.349i 0.912          步骤2 求无世博会影响下上海2003-2010社会总投资。 旅游业占第三产业投资比重q2=0.428 [3],从而得出旅游业投资占上海社会总 投资比重q3=q1*q2=0.6556*0.428=0.2806。即可求出无世博会影响下上海2003-2010 社会总投资约为163.10/0.2806=582.14亿元。即没有世博会上海市2003一2010年期 间社会总的投资也仍然有所增长,投资总额约为582.14亿元。 表八:无世博会影响下旅游设施投资时间序列 单位:亿元[4] 年份 旅游设施投资 2003 19.41 2004 19.84 2005 20.04 2006 20.41 2007 20.66
  10. 10. 10 2008 20.79 2009 20.90 2010 21.02 合计 163.10 4.3.3 模型求解 求无世博会影响下上海2003-2010社会总投资创造的 0GDP 由模型一、模型二中的结论,设无世博会影响下上海2003-2010社会总投资创 造的GDP为 0GDP ,则 0GDP =ΔI*(1/(1-MPC))=582.14*1/(1-0.72)=2078.32(亿元人民 币)。(不考虑消费中的预期因素和资产因素) 0GDP =△I*(1/(1-MPC))=582.14*1/(1-0.4170)=998.13(亿元人民币)。(考虑消费中的 预期因素和资产因素)由此可见,由于世博会的举办对上海GDP的贡献在 12498-2078=10420亿元到6003-998=5005亿元之间。 4.3.4 模型检验 判断矩阵的一致性检验 为了验证以上所求指标因素权数分配是否合理,需要对判断矩阵进行一致性检 验,检验使用公式CR= CI/RI ,其中, CR 为计算的平均一致性指标比值, CI =( max – n)/( n –1),根据n=3对照表九查出随机一致性指标RI=0.58,带入求得CR=(3.08-3) /2*0.58=0.0689<0.1判断矩阵满足一致性检验,说明权数分配是合理的。 表九: 1 阶~11 阶判断矩阵RI 取值表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.14 1.45 此外我们还可以用投入-产出综合分析法研究世博会的举办对各产业的需求增加而 引起相关产业的总产出的增长,带来的国民经济总产出的增加。如下模型四。 4.4 模型四:投入—产出综合评价模型分析世博会对国民经济的影响 [5] 4.4.1 模型假设 国民经济划分为 n 个物质生产部门,每个部门生产一种产品。每个生产部门 的生产意味着将其他部门的产品经过加工或“变换”,变成一定数量的单一的本部 门产品,这个过程中消耗的产品成为“投入”,生产所得的本部门最终产品成为“产 出”。对每个部门而言,投入-产出的变换关系是不变的。
  11. 11. 11 4.4.2 模型准备 根据上述假设,共有 n 个部门和 n 中产品,这 n 个部门和 n 种产品是一一对 应的。若设 ijt 为生产一个单位的第 j 中产品需要消耗的第 i 中产品的单位数,那么 由假设 ijt 为一个常数,称为投入系数。令 ix 为一定时间(如一年)内第 i 种产品的 产出,此总产出一部分用作各部门生产活动的投入,易知用作 n 个生产部门投入 的第 i 中产品总量为 1 n ij j j t x   ,剩余的第 i 种产品为 1 n i i ij ij j d x t x     ,即纯产出,称 为第 i 种产品的最终需求。 设 1 2( , , , )T nx x x x , 1 2( , , , )T nd d d d , *( )ij m nT t ,有( )I T x d  这是一个线性方程组,其系数矩阵为 ( )A I T  ,I 为 n 阶单位阵。 由于各部门的生产不能为负值,若对任意的最终 d,线性代数方程组 AX d 总 是有非负解,则模型就是合理的,通常称为可行的。 4.4.3 模型建立 为研究上海世博会对我国国民经济的影响,下面将从国民经济中的三个方面 农业、制造业、服务业建立简化模型,应用投入产出综合模型分析世博会对经济 的影响。这三个产业部门是相互依赖的即他们彼此购买对方的产品作为自己的投 入,暂不考虑进口因素、折旧因素等。 用下标 1,2,3 分别表示农业、制造业、服务业,设 ix 为部门 i 的总产值, ijx 为 部门 j 在生产中消耗部门 i 的产值, id 为部门 i 的最终需求,那么表 4 的基本关系 为 1 2 3i i i i ix x x x d    ,i=1,2,3 (1) 这表明一个部门的总产出由销售给个部门(包括自身)的中间产品产值与最 终提供给顾客和模型中未涉及到的其他部门的最终产值。将投入产出表转换成表 示每一个部门的单位产值产出需要的投入更为便捷。这样转换所得的表称为技术 投入产出表。表中元素称为投入系数。 令 tij 为表中 i 行 j 列元素,表示生产一个单位产量产品 j 需消耗的产品 i 的产 值,据定义应有 tij =xij /x j (1≤i,j≤3) 将它代入式(1)得 1 1 2 2 3 3i i i i ix t x t x t x d    (i=1,2,3) (2) 令 T=(tij ),分别引入总产出向量和最终需求向量
  12. 12. 12 x=(x1 ,x 2 ,x3 )T d=(d1 ,d 2 ,d3 )T 式(2)可写成矩阵型式 x=Tx+d 或 (I-T)x=d 令 A=I-T 式(2)最终化为 Ax=d (3) 表十:国内生产总值构成 单位:%[1] 年 份 国内生产 总 值 第一产业 第二产业 第三产业 1985 100.0 28.4 42.9 28.7 1986 100.0 27.2 43.7 29.1 1987 100.0 26.8 43.6 29.6 1988 100.0 25.7 43.8 30.5 1989 100.0 25.1 42.8 32.1 1990 100.0 27.1 41.3 31.6 1991 100.0 24.5 41.8 33.7 1992 100.0 21.8 43.4 34.8 1993 100.0 19.7 46.6 33.7 1994 100.0 19.8 46.6 33.6 1995 100.0 19.9 47.2 32.9 1996 100.0 19.7 47.5 32.8 1997 100.0 18.3 47.5 34.2 1998 100.0 17.6 46.2 36.2 1999 100.0 16.5 45.8 37.7 2000 100.0 15.1 45.9 39.0 2001 100.0 14.4 45.1 40.5 2002 100.0 13.7 44.8 41.5 2003 100.0 12.8 46.0 41.2 2004 100.0 13.4 46.2 40.4 2005 100.0 12.2 47.7 40.1
  13. 13. 13 2006 100.0 11.3 48.7 40.0 2007 100.0 11.1 48.5 40.4 2008 100.0 11.3 48.6 40.1 表十一:上海生产总值 单位:亿元[1] 主要年份上海市生产总值(按三次产业分) 指标 2001 2008 2009 上海市生产总值 5 210.12 14 069.87 15 046.45 第一产业 78.00 111.80 113.82 第二产业 2 403.18 6 085.84 6 001.78 工 业 2 166.74 5 576.79 5 408.75 建筑业 236.44 509.05 593.03 第三产业 2 728.94 7 872.23 8 930.85 交通运输、仓储和邮政业 345.99 712.99 635.01 信息传输、计算机服务 和软件业 176.72 562.59 601.73 批发和零售业 555.06 1 933.65 2 183.85 住宿和餐饮业 104.30 244.26 238.36 金融业 529.26 1 414.21 1 804.28 房地产业 328.59 939.34 1 237.56 租赁和商务服务业 136.97 610.20 641.97 科学研究、技术服务和 地质勘查业 114.91 327.02 364.90 水利、环境和公共设 施管理业 32.59 41.98 45.06 居民服务和其他服务业 46.16 142.40 156.83 教 育 136.53 349.15 378.18 卫生、社会保障和社会 福利业 72.27 208.86 227.47 文化、体育和娱乐 43.96 79.87 87.49 公共管理和社会组织 105.63 305.71 328.16 根据以上两表分析,由直接消耗系数保持不变,对三个产业赋值如下表十二 来计算其技术投入产出表(后面我们检验所设参量的可行性即合理性),将表十二 的各个部门的投入除以该部门的总产出就可得技术投入产出表十三。
  14. 14. 14 表十二:投入产出表 单位:亿元 作为消耗部门 作为生产部门 农业 制造业 服务业 外部 需求 总产出 农业 15 20 30 35 100 制造业 30 10 45 115 200 服务业 20 60 0 70 150 表十三:技术投入产出表 作为消耗部门 作为生产部门 农业 制造业 服务业 农业 0.15 0.10 0.20 制造业 0.30 0.05 0.30 服务业 0.20 0.30 0.00 此时 T=           00.030.020.0 30.005.030.0 20.010.015.0 A=              00.130.020.0 30.095.030.0 20.010.085.0 A 1 =           2167.14304.04382.0 4930.02676.15634.0 3443.02504.03459.1 4.4.4 模型应用 设直接消耗系数保持不变,由于世博会的举办,对制造业、服务业的社会最 终需求改变(大大增加),观察相应的总产出应如何改变。 设上海 2008 年农业最终需求 1d 亿元,制造业总需求 2d 亿元,服务业总需求 3d 亿元,以 2009 年上海服务业需求增加值为 Δd 为例,分析服务业的需求增加对其 自身及其他产业总产出的影响。2009 年总产出增加量为需求量为 Δx= A 1 d =(0.3443Δd,0.4930Δd,1.2167Δd)T 其中 d =(0,0,Δd)T 。 由此可见,世博会带来的服务业的需求量的增长,会对服务业和其他产业同时引 起总产出的增加,即投入-产出模型的综合效应分析。需要注意的是上面只是考虑 了服务业需求的新增加量引起的社会总产值的提高,世博会不仅对服务业创造了 新需求的增加,同时对制造业等其他产业也带来的新的需求的增加,因此会对总 的国民经济产生巨大的影响,带来巨大的总产出。
  15. 15. 15 4.4.5 模型检验 检验系统的合理性,为了解决这个问题,需要对给定的 d 求解线性代数方程 式(3)。若对任何的外部需求 d(其元素不会出现负值),方程组都有非负解 x, 就称此经济系统是可行的。对于本假设,A 的逆阵(取小数点后四位数字)为 A 1 =           2167.14304.04382.0 4930.02676.15634.0 3443.02504.03459.1 其元素全部非负。因此,对任何最终需求向量 d(元素全部非负),解得的总产出 向量 x=A 1 d 的元素也为全部非负,即此经济系统是可行的。 4.4.6 模型推广[6] 我们上面为了简化投入-产出模型,只从三个方面考虑世博会对国民经济的影 响研究,实际上还可以将上述模型进行推广,考虑多方面多个产业的情况,比如 世博会引起的旅游、房地产、会展业、运输等多方面的变化,设多个变量来研究 世博会对我国经济的影响与评价,即开放型投入产出数学模型。 此时,将经济系统分为 n 个部门, ix — 部门 i 的总产量; ijx — 部门 i 提供给部门 j 的产品数; id — 对部门 i 的社会需求产量; ijt — 生产 1 件产品 j 消耗的产品 i 的件数。 1 2 T n(x ,x ,...x )仍称为投入系数或直接消耗系数。 模型建立 根据模型假设,各经济部门之间的综合平衡可由以下 n 个方程表 示 ix = 1 n ij j x   + id ,1≦i≦n (4) 若产品的产量发生改变,消耗本身和其他部门产品的数量是按比例变化的,即直 接消耗系数 ijt 是常数并且满足 ijt = ijx / jx ,1≦I,j≦n (5) 方程(4)化为 ix = 1 n ij j j t x   + id ,1≦i≦n
  16. 16. 16 令 T=( ijt ),A=1-T,经济综合平衡关系成为 Ax=d (6) 其中,x= 1 2( , ,... )T nx x x ,d= 1 2( , ,... )T nd d d 分别为产出向量和最终需求向量。这样考 虑多个(大于三个)因素分析评价世博会对我国国民经济的影响,会更加准确和 详细,当然计算量会更大一些,计算过程更加复杂。[7] 综上模型分析,世博会总投资(2003-2010 年)会对我国经济增长产生增加量 为 6003.43 亿元到 12498.5 亿元,平均每年增加 857.57 亿元到 1785.42 亿元。纯 增长约 5005 亿元到 10420 亿元,每年约 715.00 亿元到 1488.57 亿元。以 2008 年 上海市 GDP(2008 年上海 GDP=10694 亿元,来自上海统计年鉴)为例,带动上海 市 GDP 平 均 年 增 加 比 率 为 : 715.00/10694*100%=6.69% 到 1488.57/10694*100%=13.91% , 若 以 我 国 全 国 2008 年 GDP ( 2008 年 我 国 GDP=300670.0 亿元,来自中国统计年鉴)为例,则世博会创造国家 GDP 平均年增 长率 715.00/300670*100%=0.238%到 1488.57/300670*100%=0.49%,对上海创造新 就业人数 55.68 万人到 115.9 万人,即对我国国民经济增长产生巨大推动作用。 如下表十四所示: 表十四:世博会影响力分析: 世博会影响分析 数值范围 创造我国 GDP 平均年增长率 0.238%到 0.49% 创造上海 GDP 平均年增长率 6.69%到 13.91% 创造上海市就业人数 55.68 万人到 115.9 万人 参考文献: [1] 2010 上海统计年鉴,上海:中国统计出版社,2010 年 [2]中国2010上海世博会注册报告(摘要六),21世纪经济报道 [3] 孙 亚 男 , 南 通 旅 游 业 与 三 次 产 业 的 灰 色 关 联 实 证 分 析 , http://www.cce365.com/wenzhang_detail.asp?ID=114983&sPage=1,2010 年 9 月 12 日 [4] 蒋小浪,2010年世博会对上海旅游业的影响研究,华东师范大学,2009年 [5]熊启才、曹吉利、张东生、赵临龙,数学模型方法与应用,重庆:重庆大学出 版社,2005年,165-168页 [6]Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. Fox. A first course in mathematical modeling(Third Edition), Brooks/Cole, 2003. [7]姜启源、谢金星、叶俊,数学模型(第三版),北京:高等教育出版社,2003.

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