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T1 matriz inversa
 

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    T1 matriz inversa T1 matriz inversa Document Transcript

    • -1 -1 -11 Obtén C + AB y calcular C + (AB) y (C + AB) , dadas las matrices:   1 0  1 2 3    1  1 A  2 1 1 , B   2  2 y C  1 0       1  1     . Solución: a b M  c d    Recordemos que la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 es: 1 a b 1  d  b M 1    c d     c    M  a  . Calculemos AB y C-1 para obtener el resto de resultados. Veamos:   1 0  1 2 3    0 1 1  1  0 1  1 0  AB   2 1 1 2  2     1 1  C AB  1 0     1 1   0 1  I ;           1  1            0 1  1 0 C 1   1 1 1   1 1  AB  (AB)  C  C  (AB)  AB C   0 1  I y         1 0 (C  AB)1  I1  I    0 1  2 Define rango de una matriz. Si una matriz tiene 3 columnas y 3 filas tiene rango 3, ¿cómo puede variar el rango si quitamos una columna? Si suprimimos una fila y una columna, ¿se puede asegurar que el rango de la matriz resultante valdrá 2?. Razona las respuestas Solución: El rango de una matriz A es el mayor orden de los menores distintos de cero que se pueden obtener en la matriz. Si la matriz A es cuadrada, de n filas y n columnas, y su determinante es distinto de cero, el rango es n. Si su determinante es nulo, el rango es menor que n. Si el rango de una matriz de 3 filas y 3 columnas es 3, su determinante será distinto de cero. Así, a b c    A   a  b  c   ; A  0  r(A)  3  a  b  c     Si quitamos una columna de A, el rango de la matriz resultante es 2. Supongamos que la columna suprimida es la primera. Desarrollando el determinante de A por los elementos de la primera columna: b c  b c b c A 0 A a  a  a 0 b  c  b  c  b c  No todos los menores formados por las dos últimas columnas de A son nulos, pues en este caso el determinante de A sería nulo, contra la hipótesis. Si hay algún menor no nulo de segundo orden formado con las dos últimas columnas, el rango de la matriz que resulta de suprimir la primera columna de A es dos. Si suprimimos una fila y una columna de A, no podemos asegurar que el rango de la matriz resultante sea 2. Sea la matriz
    • 1 0 1    A  0 0 2 3 4 5   Cuyo rango es 3, ya que su determinante es -8, distinto de cero. Al suprimir la última fila y la última columna nos queda la matriz:  1 0 B 0 0  ; B  0 y 1  1  0  r(B)  1   3 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:  1 2 3  1 0 1     A   0 1 2  y B   1 1 1  0 0 1 2 0 3     Solución: En ambos casos seguiremos los pasos de la regla general de cálculo de matrices inversas. El determinante A es: 1 2 3 0 1 2 1 0 0 1 Ahora determinamos la matriz de adjuntos  1 0 0 Adj(A)    2 1 0  1  2 1   Para calcular finalmente 1 2 1 (A dj(A)) t   0 1  2 0 1  0  Así pues, 1 1 2 1 A 1  (A dj(A))t   0 1  2 A 0 1  0  El determinante B es: 1 0 1 1 1 1 1 2 0 3 Ahora determinamos la matriz de adjuntos  3  1  2 Adj(B)   0 1 0 1 0 1   Para calcular finalmente:
    •  3 0  1 ( Adj(B))t    1 1 0   2 0 1   Así pues, 1  3 0  1 B 1  ( Adj(B)) t    1 1 0  B  2 0 1  4 Dada la matriz  1 0 x   A   1 1 0  x 0 1   halla los valores de x para los cuales la matriz no es inversible. Solución: Realizamos transformaciones elementales en la matriz A para calcular su rango: 1 0 x 1 0 x  3ª c  (x)1ª c 1 0 0  3ª c  (x)2ª c 1 0 0    2ª f 1ª f        1 1 0  0 1  x   0 1  x   0 1 0   x 0 1  3ª f  (x)1ª f  0 0 1  x 2  0 0 1  x2  0 0 1  x2          2 Si el determinante de A, que es igual a 1 - x , es distinto de cero, el rango de A es igual a 3, luego si x =± 1, la matriz A admite inversa.5 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:  1 3  2 2 0 1     A   1  4 1 B   1 1  4  0 5  2 3 7  3     Solución: En ambos casos seguiremos los pasos de la regla general de cálculo de matrices inversas. El determinante A es: 1 3 2 1  4 1 1 0 5 2 Ahora determinamos la matriz de adjuntos:  3  2  5 Adj A    4 2 5 5 7  3  Para calcular finalmente:  3  4  5 (A dj A) t    2 2 3  5 7  5 
    • Así pues, 1  3  4  5 A 1  Adj A t    2 2 3   5 A  5 7  El determinante B es: 2 0 1 1 1  4  54 3 7 3 Ahora determinamos la matriz de adjuntos:  25  9 4 AdjB   7  9  14  1 2  9  Para calcular finalmente:  25 7  1 ( AdjB ) t    9  9 9   4  14 2    Así pues,  25 7  1    54 54 54  9 9  1 9  B 1  AdjB t  54 B 54 54   4  14 2     54 54 54 6 ¿Existe inversa para la matriz A?  1 3  2   A   5 0 1  1 4  3   Solución: Seguiremos los pasos de la regla general de cálculo de matrices inversas. En primer lugar hallaremos el valor del determinante de A: |A| = 0 +40 + 3 - 0 - 4 - 45 = - 6. Se puede asegurar que la matriz A tiene inversa, ya que su determinante no es nulo. En segundo lugar construimos la matriz adjunta de A, que es la que tiene por elementos los adjuntos de los elementos de A:   4  14  20    Adj A   1  1  1  3 9 15    Sabemos que la inversa de A es igual a la traspuesta de la matriz adjunta de A dividida entre el determinante de A; con lo que:
    •  2 1 1      4 1 3  3 6 2 1    7   1 1 3 A 1  (Adj A) t    14  1 9    |A| 6  3 6 2   20  1 15   10 1 5     3 6 2 Se comprueba además que:  1 0 0   A A  I   0 1 0   AA 1 1  0 0 1  7 a) Se considera la matriz 0 a b   A  0 0 c 0 0 0   n donde a, b y c son tres números reales arbitrarios. Encuentra A para todo número natural n. b) Sea B una matriz 3x3 arbitraria. Indica, justificando la respuesta, si son ciertas o falsas las afirmaciones: 2 i) si el rango de B es dos, entonces el rango de B también es dos. 3 ii) si el rango de B es tres, entonces el rango de B también es tres. Solución: 2 3 2 a) Sabemos que A = AA, que A = A A ... , vamos calculando esas matrices:  0 a b  0 a b   0 0 ac   0 0 ac  0 a b   0 0 0  A 2   0 0 c  0 0 c    0 0 0   A 3   0 0 0  0 0 c    0 0 0   0 0 0  0 0 0   0 0 0   0 0 0  0 0 0   0 0 0             A  A    A  0  a,b,c  R 4 5 n b) a, c  0 2 i) La afirmación es falsa. La matriz A del apartado anterior tiene rango 2, si y A tiene sin embargo rango 1. ii) La afirmación es cierta. 3 Sabemos por las propiedades de los determinantes que |AB| = |A| |B|. Así: |B | = |B| |B| |B|. Como rango de B = 3, se tiene que |B|  0 y por tanto |B |  0 que implica que rango de B = 3. 3 38 ¿Para qué valores del parámetro k tiene inversa la matriz A?  1 0 1   A  0 k 0 k 1 2    Calcula la inversa de A para k = 1. Solución: Recordamos que la matriz A tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Calculando el determinante se 2 tiene que es |A| = 2k - k = -k (k - 2). Así pues, A tiene inversa para todos los valores reales de k salvo para k = 0 y k
    • = 2. Para hallar la inversa de la matriz A = (aij) se dan los pasos siguientes: 1 (α ij )  (A ij )  (A ij ) t  (A ij ) t |A| (α ij ) Donde es el menor complementario de aij y Aij su adjunto. Veamos el proceso para k = 1 en la matriz propuesta:  1 0 1  2 0  1  2 0  1  2 1  1         A   0 1 0  | A |  1 ; α ij    1 1 1  A ij   1 1  1  (A ij )   0 t 1 0  1 1 2  1 0 1  1 0 1  1  1 1         (A ij ) t   A 1 |A|9 Dada la matriz: 0 0 0   A   1 0 0 0 1 0   Calcula: a) la matriz inversa de las matrices I + A e I - A -1 b) la expresión (I + A)(I - A) Solución: a) Calculemos primero la expresión:  1 0 0 0 0 0  1 0 0       I A   0 1 0    1 0 0    1 1 0   0 0 1  0 1 0   0 1 1       Calculemos ahora su determinante: 1 0 0 I A  1 1 0  1 0 1 1 Ahora determinamos:  1  1 1 Adj(I A)   0 1  1 0 0 1   Para calcular finalmente:  1 0 0 ( Adj(I A))t    1 1 0   1  1 1   Como IAI = 1
    •  1 0 0 (I A)1    1 1 0   1  1 1   Calculemos primero la expresión:  1 0 0 0 0 0  1 0 0       I A   0 1 0    1 0 0     1 1 0   0 0 1  0 1 0   0  1 1       Calculemos ahora su determinante: 1 0 0 I A   1 1 0  1 0 1 1 Ahora determinamos:  1 1 1 Adj(I A)   0 1 1  0 0 1   Para calcular finalmente: 1 0 0  ( Adj(I A)) t  1 1 0  1 1 1   Como IAI = 1 1 0 0  (I A)1  1 1 0  1 1 1   b) Dados los resultados anteriores calculamos ahora la expresión:  1 0 0  1 0 0   1 0 0        (I A)(I A) 1   1 1 0   1 1 0    2 1 0   0 1 1  1 1 1   2 2 1        t t10 Siendo A una matriz cuadrada de tercer orden y A su traspuesta, demuestraque A + A es una matriz simétrica. Obtén la matriz inversa de esa matriz. Solución: La suma de una matriz con su traspuesta da como resultado una matriz obviamente simétrica pues coinciden los pares de elementos simétricos: (a ij )  (a ji )  (a ij  a ji )   (a ji )  (a ij )  (a ji  a ij )  Operemos sobre las matrices:
    •  1 2 1  1 0 2   2 2 3        A A t   0 1 0    2 1 0    2 2 0   B 2 0 3  1 0 3 3 0 6       B es evidentemente simétrica. Efectivamente y dado que su determinante no es nulo sino -18, aseguramos que existe su inversa. Veamos el proceso para el cálculo de la matriz inversa de B: 2 2 1    12 12  6   12  12  6   3 3 3     t   2  1  1 (B ij ) β ij   12 3  6   (B ij )  (B ij ) t    12 3 6   B 1   |B|  3 6 3   6  6 0  6 6 0  1 1       0  3 3 11 Calcula el rango de las matrices: 1 1 1 1 2  1 2 3 1 5     1 2 1 2 1  2 1 3 0 1 A B  0 1 0 1 0 1 1 2 0 2     1 0 1 0 2 4 4 8 1 8     0 1 0 1  1 Solución: En el caso de la matriz A, se observa que la cuarta fila es la suma de las tres primeras con lo que  1 2 3 1 5   rangB  rang  2 1 3 0 1   1 1 2 0 2   En esta nueva matriz el menor de orden 3 formado por las columnas primera, segunda y cuarta es 1 2 1 2 1 0  1 0 1 1 0 Con lo que se puede determinar que el rango de la matriz A es 3. En el caso de la matriz B, se observa que la cuarta fila es la diferencia entre la primera y la tercera, y que la quinta fila es la diferencia entre la segunda y la primera con lo que:  1 1 1 1 2   rang A  rang  1 2 1 2 1  0 1 0 1 0   En esta nueva matriz el menor formado por las tres últimas columnas es:
    • 1 1 2 1 2 1  1 0 0 1 0 Con lo que se puede determinar que el rango de la matriz B es 3. -1. -112 Dada la matriz A averigua para qué valores del parámetro m existe A Calcular A para m = 2.  1 0  1   A  0 m 3  4 1  m   Solución: Realmente se nos pide para qué valores de m el determinante de la matriz es distinto de cero. Así pues, calculemos su determinante: 1 0 1 0 m 3   m 2  4 m 3  (m 1)(m 3) 4 1 m Por tanto, la matriz admite inversa para todos los valores de m salvo para m = 1 y m = 3. Para calcular la inversa con m = 2 daremos los pasos siguientes: · sustituir cada elemento de A por su menor complementario:  1 0  1   7  12  8      0 2 3   1 2 1  4 1  2  2 3 2     · cambiar los signos de los términos alternados, obteniéndose así los adjuntos:   7  12  8    7 12  8       1 2 1    1 2  1  2 3 2  2 3 2     · trasponer la matriz resultante:   7 12  8   7  1 2      1 2  1   12 2  3   2 3 2  8  1 2     · finalmente dividir la matriz resultante por el determinante de A, en este caso 1:  7  1 2   1  12 2  3   A  8  1  2 13 Calcular la matriz inversa de:
    •  1 1 0   A   0 1 1  1 0 1   Y utilizarla para resolver el sistema: xy1   y  z  2 xz 3   Solución:  x   1 x  1       1   A y     2    y   A   2   z   3 z  3         -1 Hemos de hallar la inversa, A , de una matriz A y, con ella, resolver el sistema: Pasos a seguir:  1 1 0 1  1  1  1 1  1  1  1 1       1 1 1  A   0 1 1  (a ij )  1 1  1  (A ij )    1 1 1  A  (A ij )   1 1  1 t  1 0 1 1 1 1  1  1 1 |A| 2          1 1 1 Una vez obtenida la inversa de A, resolvemos el sistema: x  1  1 1 1  3    1     y   1 1  1  2     2  z 2  1 1 1 3   0         De donde x = 3, y = -2, z = 0 -1 -1 -114 Define inversa de una matriz X. Demuestra que si A y B son matrices inversibles, se cumple (A·B) =B ·A . 2 -1 -1 2 3 -1 -1 3 n Suponiendo que exista la inversa de A, ¿se cumple que (A ) = (A ) ?, ¿y que (A ) = (A ) ? (A ,producto de A por sí misma n veces). Justifica las respuestas. Solución: -1 La inversa de una matriz X, cuadrada de orden n, es la matriz X , cuadrada de orden n, que cumple la siguiente propiedad: -1 -1 X·X = X ·X = In, siendo In la matriz unidad de orden n. La inversa de X existe si y sólo si X es una matriz cuadrada cuyo determinante no es nulo. -1 -1 -1 -1 Si A y B son matrices inversibles, la inversa de A·B será B ·A si se verifica que (A·B)( B ·A ) = I. -1 -1 -1 -1 -1 -1 Por la propiedad asociativa del producto de matrices se tiene: (A·B)( B ·A ) = [A(B·B )]·A = (A·I)·A = A·A = I. 2 -1 2 2 -1 2 Si A tiene inversa, se cumplirá que la inversa de A es (A ) si se verifica que A ·(A ) = I. Veamos: 2 -1 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 -1 2 A ·(A ) = A·A·A ·A = [A(A·A )]·A = (A·I)·A = A·A = I, por tanto la inversa de A es (A ) . 3 -1 3 3 -1 3 Si A tiene inversa, se cumplirá que la inversa de A es (A ) si se verifica que A ·(A ) = I. Veamos: 3 -1 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 -1 2 3 A ·(A ) = A·A·A·A ·A A = A·[A(A·A )]·A · A = A(A·I)·A- ·A = A ·(A ) = I, por tanto la inversa de A es -1 3. (A )
    • 15 ¿Para qué valores de x pueden existir matrices cuadradas de orden 2 no nulas tal que AB = 0? 1 3  A  12 x 2     Solución: -1 Los valores de x serán aquellos que hagan el determinante |A| = 0. En caso contrario, existiría A y si AB = O se -1 tendría que: A (AB) = IB = O que implica B = O 1 3 0 12 x 2 2 ; x - 36 = 0 ; x = ± 616 Halla los valores de k para los cuales la matriz:  k 4 5 6    k 1 2 3 A k k 0  1     k  k  k  1   a) no tiene inversa b) tiene rango 3 Solución: Recordemos que una matriz no tiene inversa si su determinante es nulo. Así pues, averiguando los valores de k que anulan el determinante respondemos al apartado a, y sabemos que con esos valores el rango de A es 3 o menos. Calculemos el determinante de A: k 4 5 6 k 4 5 6 5 7 9 k 1 2 3 III ; IIII 0 5 7 9 IIIII    k  k 4 5 5  k k 0  1 IV I 0  k 4 5 5  k 4  k 5 5 k k k 1 0  k 4  k 5 5 5 7 9 5 9  k 0 k 0  k2   k 2 (9 k  11)  k 4 5  k 4  k 5 5 a) la matriz A no tiene inversa para los valores k = 0 y k = 11/9. b) suprimiendo la primera columna y la última fila de A se obtiene la matriz de orden 3:  4 5 6   B   1 2 3   k 0  1   Cuyo determinante no es nulo tanto para k = 0 como para k = 11/9. Por tanto, la matriz A no tiene rango menor que 3 para ningún valor de k. La solución es, pues, la misma que en el apartado a).17 Discute, según los distintos valores del parámetro m, el rango de la matriz:
    •  m 1 1 1   A  m  1 2 m 1   1 m 1  1   Solución: Se observa que el menor:       f1, f2 ; c 3 , c 4 : 1 1 1 1 0 Lo que permite asegurar que el rango de A, r(A) es mayor o igual a 2, cualquiera que sea el valor de m. Formemos todos los menores de orden 3 que se pueden formar a partir del anteriormente hallado de orden 2: 1 1 1 sumando la 3ª fila m 1 2 0 desarrollando por m 1 2 2 m 1  m 2 m 1 0  ( 1)( 1)3 3  (m 2  3)  3  m 2 ; a las restantes la 3ª columna m 2 m 1 m 1 1 m 1 1 m 1 1 m 1 2 0 sumando la 3ª fila desarrollando por m 1 2 m 1 m 1  m  2 m 1 0  ( 1)( 1)3 3 a las restantes la 3ª columna m 2 m 1 1 1 1 1 1 1  (m 2  3)  3  m 2 ; 2 3 3 En consecuencia, si 3 - m = 0 (m = o m=- ), r (A) = 2, pues los menores de orden 3 posibles son nulos. En caso contrario el rango de A sería 3.18 Da la ecuación, en un sistema de ejes coordenados OXY, del conjunto de los puntos (x,y) del plano para los cuales no tiene inversa la matriz: x y 1   A   2 1 0  3 2  1   Solución: Una matriz no tiene inversa cuando su determinante es nulo. La matriz dada depende de x, y. Al igualar a cero su determinante se obtiene una ecuación con las variables x e y, veamos: x y 1 2 1 0   x 4  3  2 y   x 2 y 1 3 2 1 De igualar a cero la expresión anterior obtenemos la ecuación pedida, en este caso una recta: 1 1  x 2 y 1  0  y  x 2 219 Define el concepto de rango de una matriz y poner un ejemplo de matriz 4x4 con rango igual a 2. Calcula el valor de los parámetros a, b para que la matriz:
    •  2 1 3 1   A   1 0 1 0 3 a 0 b   tenga rango igual a 2. Solución: El significado de rango de una matriz reside en el número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes. Así, un ejemplo de matriz 4x4 con rango 2 es: 1 2 3 5    1 2 3 4  0 0 0 1    1 2 3 4   Ya que la situación de la tercera fila, diferencia de las dos primeras, y de la cuarta fila, igual a la segunda, hace que el número máximo de filas linealmente independientes (la primera y la segunda) sea igual a 2. Para que r (A) = 2 es necesario y suficiente que: 2 1 3 2 3 1 1 0 1  a 3  0 y 1 1 0   b 3  0 3 a 0 3 0 b Es decir, que los parámetros sean a = -3 y b = -3.20 Hallarel rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a y b: a 1 1 a   A  2 b b 2 1 2 1 1 a   Solución: Si a la primera fila se le resta la última resulta una matriz que tiene el mismo rango que la propuesta: r (A) = r (B), siendo  a 2 0 0 0    B 2 b b 2 1  2 1 1 a   si a = 2, r (A) = r (B) = 2, puesto que el menor obtenido: 2 1 0 2 2 Y no hay menores no nulos de orden 3. si a distinto de 2, el menor obtenido: a 2 0  a 2  0 2 1
    • El rango será 2 o 3. Orlando este menor con la segunda fila y las columnas tercera y cuarta se tienen los resultados siguientes: a 2 0 0  1 1  P  2 1 1  (a  2)  (a  2)(b  b)  b(a 2)(b  1) 2 b b2 2 b b2    a 2 0 0  1 a  Q  2 1 a  (a  2)  (a  2)(1  ab) b 1  2 b 1    si b  {0,1}, P  0  r(A)  3   si ab  1, Q  0  r(A)  3   si  b  0, Q  0  r(A)  3   a  1, Q  0  r(A)  3   si b  1,    a  1, P  0 y Q  0  r(A)  2  321 Demuestra que se verifica la igualdad A + I = N. -1 Justifica que A es inversible y hallar A . 10 Calcula razonadamente A . Todo ello siendo I la matriz identidad, N la matriz nula y  0 3 4   A   1  4  5  1 3 4   Solución: 2 Calculemos A :  0 3 4  0 3 4   1 0 1      A 2   1  4  5  1  4  5    1 4 4  1 3 4   1 3 4   1  3  3      Por lo tanto:  1 0 1 0 3 4   1 0 0      A A A 1 3 2 4 4  1  4  5    0  1 0    I  A 3  I  N   1  3  3   1 3 4   0 0  1      Calculemos el determinante de A:
    • 0 3 4 1  4  5  15  12  16  12  1  0   A 1 1 3 4 3 Dado que A + I = N se tiene que:  1 0  1    A 3  I  A( A 2 )  I  A 1   A 2    1  4  4   1 3 3   10 Calculemos A :  0  3  4   A 10  A A A A  (  I)(  I)(  I) A   IA   A    1 3 3 3 4 5  1  3  4  22 En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 2,00, 1,50 y 4,00 euro/kilo, respectivamente. En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 euros. Se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kilos a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne b) Expresa matricialmente el problema c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo? d) Calcula el determinante de la matriz asociada al sistema e) ¿Qué rango tiene la matriz ampliada? Solución: Llamando x, y, z al número de kilos de pollo, pavo y perdiz, respectivamente, vendidos en esa semana, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: a) 2 x  1,5 y  4 z  5700  x  y  100 z  y/ 2  Su resolución es directa. Para plantearlo matricialmente, compondremos la segunda y tercera ecuaciones del sistema. b)  2 1,5 4  x   5700       1  1 0  y    100   0 1  2  z   0       c) Aunque se tiene el planteamiento matricial, es mucho más sencillo y natural resolverlo directamente sustituyendo x, z en la primera ecuación del sistema: 2(y 100)  1,5 y 4 y/ 2  5700  y  1000 De donde x = 1100 y z = 500. Así pues, se vendieron 1100 kilos de pollo, 1000 kilos de pavo y 500 kilos de perdiz. d)
    •  2 1,5 4    det 1  1 0   4  4  3  11 0 1  2  e) Puesto que el determinante no es nulo, el rango de la matriz asociada será igual a 3. Como el sistema escompatible, el rango de la matriz ampliada es también igual a 3.