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INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
(ACTIVANDO LOS PROCESOS MENTALES)
UN PROBLEMA DE PESO SIN PESAS1
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen
idénticas en peso. Sin embargo, nos han asegurado
que hay una defectuosa que pesa más que las otras.
Disponemos de una balanza, pero no de un juego
de pesas, de manera que lo único que podemos
hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede
localizar la bola defectuosa con sólo tres pesadas.
SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE PESO SIN PESAS
1. Compara 9 bolas cualesquiera con otras 9 y deja las 9 restantes en la bolsa. Si la balanza se
equilibra, ya sabemos que la bola más pesada está en la bolsa y si no es así, estará entre las
9 del platillo que incline hacia su lado la balanza.
2. Hemos conseguido, pues, aislar la bola defectuosa entre 9 con sólo una pesada. Dividimos
ahora este conjunto de 9 bolas en tres, de 3 cada uno, y repitamos la operación anterior
con ellos.
3. Después de la segunda pesada habremos conseguido aislar la bola defectuosa en un
conjunto de tres, y repitiendo una vez más el proceso con ellas tendremos localizada la
bola en cuestión a la tercera pesada y sin error posible.
1
Tomado de: URL: <http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/tema5_ccss_eda05/entrada.htm>
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INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
Definición de inecuación. • Si un número real es menor que otro, con los
Hay enunciados que se traducen mediante opuestos de ambos la desigualdad cambia de
desigualdades. Las relaciones que se expresan sentido, es decir:
mediante desigualdades se llaman
inecuaciones y en ellas pueden aparecer una o
más incógnitas. Resolver una inecuación significa hallar el
conjunto de valores que la hacen verdadera. A
¿Cómo se resuelve una inecuación? este conjunto se lo llama conjunto solución o
Para poder resolver una inecuación, debemos intervalo solución.
tener en cuenta algunas propiedades de las
desigualdades: INECUACIONES LINEALES CON UNA
INCÓGNITA.
• Si a los dos miembros de una desigualdad se
les suma un mismo número, la desigualdad se Una inecuación de primer grado es una
conserva en el mismo sentido, es decir: expresión de la forma:
ax + b < 0; ax + b > 0;
ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0;
• Si a los dos miembros de una desigualdad se Con a ≠ 0. a y b ∈ |R
los multiplica o divide por un mismo número
positivo, la desigualdad no cambia de sentido. Para resolver una inecuación lineal con una
Si: a < b a · c < b · c (si c > 0) incógnita, se procede a despejar ésta,
teniendo en cuenta las propiedades de las
• Si a los dos miembros de una desigualdad se desigualdades.
los multiplica o divide por un mismo número
negativo, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de:
3 1- x
Si: a < b a · c > b · c (si c < 0) 3 x -5 < x +
4 3
• Dados cuatro números reales a, b, c y d Solución:
cualesquiera, se cumple la compatibilidad de ‐ Multiplicamos a la inecuación por 12:
la ordenación con la suma, es decir: 36 x - 60 < 9x + 4 − 4 x
‐ Transponemos términos:
36 x + 4 x - 9x < 4 + 60
‐ Simplificamos términos semejantes:
• Dados dos números reales, si el primero es 31 x < 64
menor que el segundo, el inverso del primero ‐ Dividimos entre 31:
es mayor que el del segundo y viceversa, es 64
x< = 2,06 de donde: x ∈ ]‐∝; 2,06[
decir: 31
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PRÁCTICA DIRIGIDA suponiendo que el total de ventas es
siempre superior a los S/. 10 000?
1. Para ingresar a una universidad, el
promedio mínimo exigido es 80 puntos A) ]10000;20000] B) [10000;20000[
sobre 100. Eduardo sacó 84 y 68 puntos en C) [10000;20000] D) ]10000;20000[
las dos primeras pruebas. ¿Cuántos
puntos como mínimo debe sacar en la 5. Una fábrica A paga a sus vendedores S./.
última prueba para llegar a aquel 10 por artículo vendido más una cantidad
promedio o superarlo? fija de S/. 500. Otra fábrica B paga S/. 15
por artículo y un monto de S/. 300 fijos.
A) [88; 100] B) [85; 100[ ¿Cuántos artículos como mínimo debe
C) [88; 102[ D) <80; 100] vender el vendedor de la fábrica B para
ganar más dinero que el de la fábrica A?
2. Al planear un baile escolar, encuentras
que una banda toca por S/.250.00, más el A) 41 B) 39 C) 10 D) 42
50% del total de ventas por entradas. Otra
banda lo hace por una suma fija de ¡ UN RETO A TU INGENIO !
S/.550.00. Para que al colegio le sea más Electrificando:
rentable la primera de las bandas, ¿Cuál es 6. Una habitación tiene 10 m. de largo, 4 m. de
el máximo precio que puedes cobrar por ancho y otros 4 m. de alto. En el punto A, en el
entrada, suponiendo que la asistencia será medio de la pared del fondo y a medio metro
de 300 personas? del suelo, hay un enchufe. Se necesita tender
un cable para conectar el enchufe A con una
lámpara situada en el punto medio B de la
A) ] 0; 2 ] B) ] 0; 2 [
pared de enfrente, a medio metro del techo.
C) ] 0; 3 [ D) [ 0; 3 [
Por evidentes razones de seguridad, el cable
debe ir sujeto a las paredes, suelo o techo, y
3. A un albañil se le puede pagar de dos nunca por el aire. Calcula la longitud de cable
maneras: Plan A: S/. 300 más S/.11 por mínima para resolver el problema. (Una pista:
hora. Plan B: S/. 18,50 por hora. Supón ¡La respuesta no es 14 m!)
que una tarea requiera “n” horas de
trabajo. ¿Para qué valores de “n” es mejor
para el albañil el plan B que el plan A?
A) [ 39;+ ∞ [ B) ] 30;+ ∞ [
C) ] 40;+ ∞ [ D) ]40;+ ∞ ]
4. En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes
de pago distintos. Un salario mensual de
S/. 600 más una comisión del 4% sobre el
total de ventas, y un salario mensual de S/.
200 más una comisión del 6% sobre el
total de ventas una vez superados los S/.
10 000. ¿Para qué cantidad del total de
ventas es mejor el plan A que el plan B, A) 13.6 B) 16.3 C) 13 D) 14
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INECUACIONES CUADRÁTICAS CON ‐ Para ello basta probar con algún punto
UNA INCÓGNITA. contenido en el correspondiente intervalo. Por
ejemplo, el 0 está en el intervalo (‐∝; 1].
Una inecuación de segundo grado es una 02 – 3x0 + 2 ≥ 0, de donde: 2 ≥ 0 (V)
expresión de la forma: El 0 es solución de la inecuación, y por tanto el
intervalo (‐∝; 1] es solución de la inecuación.
ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c > 0;
‐ Análogamente se comprueba si los otros dos
ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c ≥ 0; intervalos son o no solución de la inecuación
Con a ≠ 0, a, b y c ∈ |R propuesta.
Para resolver una inecuación cuadrática: ‐ Finalmente se concluye que la solución es:
‐ Se calculan las soluciones de la ecuación (‐∝; 1] ∪ [2;+∝).
ax2 + bx + c = 0.
‐ Si x1 y x2 son estas soluciones y x1 < x2,
entonces se determinan tres intervalos en
la recta real, a saber (‐∝; x1); (x1; x2) y (x2;+
∝), donde los intervalos pueden ser Interpretación bidimensional de la solución
también cerrados o semi‐cerrados de una inecuación de segundo grado.
dependiendo de si en la inecuación
aparece una desigualdad estricta o no. Para resolver e interpretar la solución de la
‐ Finalmente se comprueba cuáles de los inecuación: x2 – 3x + 2 ≥ 0, es preciso graficar
anteriores intervalos son solución de la en el plano cartesiano la ecuación:
2
inecuación. y = x – 3x + 2 .
Ejemplo: Juanito multiplica un número dos
veces para luego, al resultado obtenido,
quitarle el triple de dicho número obteniendo
siempre un valor superior a ‐2 y a veces igual a
este valor. ¿Con qué números esta efectuando
estas operaciones, Juanito?.
Solución:
Traduciendo a una expresión matemática ] –∝; 1] [2; +∝[
tenemos:
Si hacemos que “x” sea el número, entonces:
x2 – 3x ≥ ‐ 2, ó x2 – 3x + 2 ≥ 0 .
2
Como la expresión: y = x – 3x + 2 ≥ 0,
‐ Encontramos las soluciones de la ecuación: Entonces: el conjunto solución de “x” para los
x2 ‐ 3x + 2 = 0, que son 1 y 2. cuales “y” sea positiva es decir mayor que cero
es la que está comprendida desde ‐1 para la
‐ Por tanto, dado que la desigualdad no es izquierda, conjuntamente que desde 2 hacia la
estricta, vemos cuáles de los intervalos (‐∝; 1], derecha.
[1; 2] y/o [2;+∝) son solución de la inecuación.
Es decir: CS(x) = {x∈|R / x ∈ ] –∝; 1] U [ 2; +∝[ }
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PRÁCTICA DIRIGIDA
ECUACIONES EXPONENCIALES
1. Jaimito en su fase de matemático, realiza
la siguiente operación: eleva al cuadrado Una ecuación exponencial es aquella ecuación
un número y anota su resultado, eleva al en la que la incógnita aparece en el
cuadrado otro número y lo anota otra vez, exponente.
y así continúa. Si en todos los casos
x
obtiene como máximo 25. con que sub‐ a + k = 0 con a > 0; a ≠ 1 y k ∈ |R
conjunto de los números reales está
operando. Para resolver ecuaciones exponenciales vamos
a tener en cuenta las siguientes propiedades
A) [ ‐5; 5 ] B) ] ‐4,9; 4,9 [ de las potencias:
C) [ ‐4,9; 4,9 [ D) ] ‐5; 5 ]
a0 = 1 a ≠ 0
2. La suma de los cuadrados de un número y a1 = a
4 siempre es mayor al cuadrado de 5. am . an = am+n
¿Cuántos números enteros cumplen con am 1
esta condición? = am ‐ n , = a ‐1 , a ≠ 0
an a
(am)n = am . n
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4
an . b n = (a . b) n
n
3. Hallar el menor número real M tal que se an ⎛ a ⎞
= ⎜ ⎟ ,
cumpla: 6 + 6x – x2 ≤ M. para todo x ∈|R. bn ⎝ b ⎠
A) 12 B) 12,5 C) 15 D) 17 Resolveremos los tres tipos de ecuaciones
exponenciales:
4. Resolver: – x2 + 5x > 4.
1. Ecuaciones en las que aplicando
A) [1; 4] B) Φ C) |R D) ]1; 4[ propiedades elementales y de las
potencias obtenemos una igualdad de
5. Al resolver: x4 − 17x2 + 16 < 0. ¿Cuántos dos potencias con la misma base, con
valores enteros forman parte del conjunto lo cual podemos igualar los exponentes
solución? y resolver la ecuación que queda.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
x
Si: a 1 = a x2 x1 = x2 .
6. Si el producto de dos números reales 2. Ecuaciones en las que podemos extraer
p
positivos es la unidad, ¿cuál será el valor factor común a la potencia a y
mínimo de su suma? aplicando propiedades elementales
pasamos al caso 1.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
3. Ecuaciones en las que haciendo un
x
7. Prueba el ejercicio anterior para el caso de cambio de variable a = t y aplicando
tres números reales positivos. propiedades elementales, nos queda
una ecuación de segundo grado en t.
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Ejemplo caso 1: PARA LA EJERCITACIÓN:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. 71+2x − 50 ∙ 7 x + 7 = 0
2. 0,5x = 16
3. √7x = 1/49
4. 33x−2 = 81 ∙ 3x+3
5. 2x ∙ 5x = 0,1
6. 2x ∙ 3x = 81
7. 2x + 21−x = 3
8. 4x + 4x−1 + 4x−2 = 336
9. e3x+2 + 3e6x+2 = 4e2
10. 2x+2 + 4x+1 = 80
Ejemplo caso 2:
11. 16x − 4x = 240
12. 2x+1 + 2x + 2x−1 = 28
13. 5x+1 + 5x + 5x−1 = 775
14. 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x−1 = 120
15. 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960
16. 22x + 22x−1 + 22(x−1) + 22x−3 + 22(x−2) = 1984
17. 6x − 9 ∙ 6−x + 8 = 0
18. 32(x+1) − 18 ∙ 3x + 9 = 0
19. 53x+2 + 3 ∙ 56x+2 − 100 = 0
Ejemplo caso 3: 20. ex − 5 ∙ e−x + 4 ∙ e−3x = 0
21. 1/8+1/4+1/2+ 1 + 2 + ... + 2x = 127/8
22. 22x = 51−2x
x+1 x−1
23. 2 + 2 = 5/2
24. 81+x + 23x−1 = 17/16
25. 22x − 5 ∙ 2x + 4 = 0
26. 9x − 3x − 6 = 0
27.
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ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
Definición.‐ El logaritmo de un número, en
una base dada, es el exponente al cual se debe Ejemplo:
elevar la base para obtener el número.
y
.Log a x = y ⇒ a = x , 3. El logaritmo de una potencia es igual al
∀ a > 0 y a ≠ 1 producto del exponente por el logaritmo de la
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo. base.
Consecuencias de la definición de logaritmo:
Ejemplo:
− No existe el logaritmo de un número con
base negativa.
∃ log – a x
− No existe el logaritmo de un número 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente
negativo. entre el logaritmo del radicando y el índice de
la raíz.
∃ log a (‐x)
− No existe el logaritmo de cero.
∃ log a 0
− El logaritmo de 1 es cero.
Ejemplo:
− El logaritmo en base a de a es uno.
− El logaritmo en base a de una potencia en 5. Cambio de base:
base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Ejemplo:
1. El logaritmo de un producto es igual a la
suma de los logaritmos de los factores.
Logaritmos decimales: Son los que tienen
Ejemplo: base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos o naturales: son los
que tienen base e. Se representan por ln (x).
2. El logaritmo de un cociente es igual al
logaritmo del dividendo menos el logaritmo E j e m p l o . ¿Cuáles son l o s val ores de x
del divisor. que satisfacen la siguiente ecuación?
log 2 + l o g (11 – x 2 ) = 2 log ( 5 – x )
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Solución :
log 2 + l o g (11 – x 2 ) = 2 log ( 5 – x ) log (16 ‐ x 2 )
=2
log (3x ‐ 4)
‐ Aplicando logaritmo de un
producto e n e l primer miembro y Solución:
logaritmo de una potencia e n e l 2
log (16 – x ) = 2 log(3x – 4)
segundo miembro, se obtiene: 2 2
log (16 – x ) = log(3x – 4)
2 2
log [2.(11 – x 2 ) ] = log ( 5 – x ) 2 (16 – x ) = (3x – 4)
2
10 x – 24 x = 0
‐ Aplicando antilogaritmo e n ambos De donde: x1 = 0
miembros, obtenemos la ecuación: x2 = 2,4
Pero la única solución es: x2= 2,4 ¿Por qué?
[2.(11 – x 2 ) ] = ( 5 – x ) 2
ECUACIONES PARA LA EJERCITACIÓN:
‐ Resolvemos la ecuación de
segundo g r a d o: Resolver las siguientes ecuaciones
logarítmicas:
22 – 2x 2 = 25 – 10x + x 2
1. log x = log 36 − log 9
2
3x – 10x + 3 = 0
2. ln x = ln 17 + ln 13
‐ Las raíces de esta ecuación 3. ln(x − 3) + ln(x + 1) = ln 3 + ln(x − 1)
cuadrática son:
x 1 = 3 y x 2 = 1 / 3 4. 2 ∙ ln(x − 3) = ln x − ln 4
5. log(x + 3) − log(x − 6) = 1
‐ Para que estas r a í c e s sean
soluciones de la ecuación 6. log(x2 + 1) − log(x2 − 1) = log 13/12
logarítmica deben satisfacer las 7. 2 log10 x – log10 (x – 16) = 2
condiciones:
11 – x 2 > 0 y 5 – x > 0 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
11 – 3 2 > 0 y 5 – 3 > 0 logarítmicas:
2 > 0 y 2 > 0
8. x − y = 25
2
11 – x > 0 y 5 – x > 0 log y = log x − 1
11 – (1/3) 2 > 0 y 5 – (1/3) > 0
98/9 > 0 y 14/3 > 0 9. ln x − ln y = 2
ln x + ln y = 4
Ambas cumple n, por tanto l a s
soluciones son: x 1 y x 2 . 10. x2 − y2 = 11
log x − log y = 1
E j e m p l o : ¿Cuántos val ores de la
variable satisfacen la siguiente 11. x2 − y2 = 11
ecuación logarítmica? log x − log y = 1
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