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MÉTODO DE GAUSS PARA LA RESOLUCIÓN
DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • Obsérvese que el número de ecuaciones no
tiene por qué ser igual al número de
BREVE INTRODUCCIÓN incógnitas.
Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, • Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama
haciendo abstracción del tipo de problemas que homogéneo.
origina su planteamiento, consiste en averiguar si
tiene o no solución, en caso de tenerla, saber si es CONVERSIÓN DE UN SISTEMA EN UNA MATRIZ
única o es un conjunto de soluciones, es decir,
resolver un sistema es calcular su solución (o Un sistema de ecuaciones lineales puedes
soluciones). expresada como una matriz, en la que únicamente
se consideran los coeficientes. El sistema de la
Partiremos por analizar el caso general: cualquier forma general se representaría de la siguiente
número de ecuaciones y cualquier número de manera:
incógnitas. Luego veremos los casos más sencillos
(3 ecuaciones con 3 incógnitas, 4 ecuaciones con 4 a11 a12 a13 … a1n c1
incógnitas...)
a21 a22 a23 … a2n c2
CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES a31 a32 a33 … a3n c3
LINEALES.‐ Es un sistema de “m” ecuaciones con …
“n” incógnitas. Es un conjunto de expresiones am1 am2 am3 … amn cn
algebraicas de la forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = c1 Ejemplo.
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = c2 Expresar el siguiente sistema de 3 ecuaciones
lineales en la forma matricial:
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = c3
… 3x +2y + z = 1
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = cn 5x +3y +4z = 2
x + y ‐ z = 1
xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n). Primero identificamos los coeficientes de la
ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m). primera ecuación del sistema, que son los números
3, 2, 1 y 1, este último es el término
• Los números m y n pueden ser cualesquiera: independiente. Lo mismo hacemos con todas las
m>n, m=n ó m<n. ecuaciones del sistema, de modo que queda así:
• Los escalares a ij y ci son números reales. 3 2 1 1
5 3 4 2
• El escalar aij es el coeficiente de xj en la i‐ésima 1 1 ‐1 1
ecuación.
Esta es la expresión matricial del sistema de
• Cuando “n” es pequeño, es usual designar a las ecuaciones lineales.
incógnitas con la s letras x, y, z, t, ...
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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES EL MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS
LINEALES.‐ DE ECUACIONES LINEALES
Atendiendo al número de soluciones los sistemas Consiste en transformar un sistema de ecuaciones
de ecuaciones se clasifican de la siguiente manera: en otro equivalente de forma que éste sea
escalonado.
CLASE SOLUCIÓN
Incompatible No tiene solución. Para facilitar el cálculo es necesario transformar el
Compatible Tiene solución. sistema en una matriz, en la que pondremos los
Compatible determinado Solución única. coeficientes de las variables y los términos
Compatible indeterminado Infinitas soluciones. independientes (separados por una línea vertical).
Sistemas de ecuaciones lineales escalonados Reglas básicas para lograr una matriz escalonada:
Son aquellos en que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. 1. Cada fila de la matriz puede ser
multiplicada por un número real.‐
x + y + z = 3 1 1 1 3
y + 2z = ‐ 1 0 1 2 ‐1 Esto significa que si tenemos: E1: 2x + y = 3,
z = ‐ 1 0 0 1 ‐1 podemos multiplicar la ecuación E1: por
cuatro.
Si observamos la 3ra ecuación, tenemos que: z = ‐1. Eso significa efectuar: 4 ( E1 )
Sustituyendo su valor en la 2da obtenemos: y = 1. Es decir: E2 : 4 (2x + y = 3), de donde
Y sustituyendo en la 1ra los valores anteriores obtenemos: E2 : 8x + 4y = 12, equivalente a
tenemos que: x = 3. E1
2. Se puede sumar o restar una fila o su
Hay que notar que en la forma
matricial escalonada resaltan los equivalente a cualquier otra o su
ceros, que representan a las equivalente.
variables ausentes.
Esto significa que si tenemos:
F1 : x + y = 5 y F2 : 2x – 3y = 1, entonces
También es un sistema escalonado:
podemos hacer:
F1 + F2 : 3x – 2y = 6, o también:
x + y + z = 4
F1 – F2 : ‐1x – 4y = 4
y + z = 2
–2F1 + 3F2 : 4x – 14y = ‐7
Como en este caso tenemos más incógnitas que
Pero no se trata de sumar por sumar o
ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por
restar por restar. Es preciso ir buscando
ejemplo la “z” y la pasaremos al segundo miembro.
que la matriz se transforme en una matriz
escalonada.
x + y + z = 3
y = 2 ‐ λ
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema:
Consideraremos z= λ, siendo λ un parámetro que
3x +2y + z = 1
tomará cualquier valor real.
5x +3y +4z = 2
x + y ‐ z = 1
Las soluciones son: z = λ, y = 2‐λ x= 1.
Solución:
Convertimos el sistema en una matriz:
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Efectuamos las operaciones para lograr una matriz
3 2 1 1 escalonada:
5 3 4 2
1 1 ‐1 1
3 2 1 1 3 2 1 1
5 3 4 2 3f2 ‐5f1 0 ‐1 7 1
1 1 ‐1 1 3f3‐f1 0 1 ‐4 2
3 2 1 1 3 2 1 1
0 ‐1 7 1 0 ‐1 7 1 Luego de hacer el cambio entre las columnas 2 y 3,
0 1 ‐4 2 f3+f2 0 0 3 3 notamos que:
Luego de haber obtenido la matriz escalonada, Si: 1 – m = 0 El sistema se hace incompatible
retornamos las variables: Es decir, con m = 1 el sistema no tiene soluciones.
3x + 2y + 1z = 1 Si: m ≠ 1 El sistema se hace compatible.
0x ‐1y + 7z = 1
0x + 0y + 3z = 3 de donde: z = 1 x + z + my = 1
– z + (1‐m2)y = 0
Con el valor de z podemos encontrar el de “y” y “x” (1 – m)y = m
En E2 : ‐ y + 7(1) = 1 de donde: y = 6 De donde:
En E1 : 3x + 2(6) + 1(1) = 1 de donde: x = ‐4 m
y= ,
1- m
∴ El C.S. = { x = ‐4, y = 6, z = 1 } z = (1 + m)m,
m 3 - m 2 + 2m + 1
x=
1- m
Ejemplo: Estudiar si existe algún valor de m, para el
cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del
sistema para ese valor de m.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS DE
x +my + z = 1
ECUACIONES
mx + y +(m‐1)z = m
x + y + z = m + 1
Pasos a seguir:
• Leer y comprender el enunciado.
Resolución:
• Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos,
Convertimos el sistema a una matriz: diagramas,...
• Elegir una notación que nos permita relacionar
las distintas variables.
• Plantear y resolver el sistema.
• Comprobar la solución.
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PRÁCTICA DIRIGIDA
1. El dueño de una tienda ha comprado refrescos, • El primero de 20 partes de oro, 30 partes
cerveza y vino por importe de S/. 500 (sin de plata y 40 partes de cobre.
impuestos). El valor del vino es S/. 60 menos • El segundo de 30 partes de oro, 40 partes
que el de los refrescos y la cerveza juntos. de plata y 50 partes de cobre.
Teniendo en cuenta que los refrescos deben • El tercero de 40 partes de oro, 50 partes de
pagar un impuesto del 6%, por la cerveza del plata y 90 partes de cobre.
12% y por el vino del 30%, lo que hace que la Se pide qué peso habrá de tomarse de cada
factura total con impuestos sea de S/. 592.4. uno de los lingotes anteriores,
Calcular la cantidad invertida en cada tipo de respectivamente, para formar un nuevo
bebida. lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de
cobre.
A) 120, 160, 220 B) 130, 150, 225
C) 130, 160, 220 D) 130, 150, 220 A) 20, 60, 20 B) 30, 50, 25
C) 10, 60, 22 D) 45, 48, 54
2. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes
afirmaciones: 5. La edad de un padre es doble de la suma de las
a) En un sistema compatible indeterminado edades de sus dos hijos, mientras que hace
se puede eliminar una ecuación y obtener unos años (exactamente la diferencia de las
un sistema equivalente. edades actuales de los hijos), la edad del padre
b) Un sistema compatible indeterminado es era triple que la suma de las edades, en aquel
equivalente a un sistema homogéneo. tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos
c) Todo sistema compatible indeterminado años como la suma de las edades actuales de
tiene dos ecuaciones iguales. los hijos, la suma de edades de las tres
d) De un sistema incompatible podemos personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el
extraer otro compatible (no equivalente) padre en el momento de nacer sus hijos?
eliminando ecuaciones.
A) 35 y 40 B) 30 y 50
A) VVFF B) VFFV C) FVFV D) VFVF C) 35 y 60 B) 30 y 60
3. Estudiar si existe algún valor de m, para el cual 6. Clasificar y resolver el siguiente sistema de
el sistema es compatible. Si es así, resolver el ecuaciones:
sistema para ese valor de m.
Rpta:___________________________
A) El sistema es compatible para cualquier
valor de m. 7. Evaluar el siguiente sistema de ecuaciones:
B) El sistema es incompatible para m = 0.
C) El sistema es incompatible para cualquier x + 2y – z = 2
valor de m. 2x + 5y – z =0
D) No se puede afirmar con precisión. 3x + 7y – 2z = 3
4. Se tienen tres lingotes compuestos del Rpta:_________________________
siguiente modo:
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