• Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
371
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
11
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide
  • Norma = panjang vektor

Transcript

  • 1. ALGORITMA FLOYDWARSHALL DENGAN SIKLUS NEGATIF Fajar Maulana Putra Ahmad Yusuf Syaifuddin Agus Budi Raharjo Adam [5109100057] [5109100134] [5109100164] [5109100702]
  • 2. PENDAHULUAN Algoritma Floyd Warshall adalah algoritma untuk mencari jarak terpendek dari semua simpul dalam graf  Hanya bisa untuk graf tanpa siklus negatif, namun bisa mendeteksi keberadaan siklus negatif dalam graf 
  • 3. PENELITIAN SEBELUMNYA  Banyak peneliti yang sudah menemukan alternatif algoritma Floyd Warshall, diantaranya :      Michael L. Fredman, New bounds on the complexity of the shortest path problem, SIAM Journal on Computing 5 (1) (1976) 83–89. Tadao Takaoka, A new upper bound on the complexity of the all pairs shortest path problem, Information Processing Letters 43 (1992) 195– 199. Yijie Han, A note of an O(n3 / log n) time algorithm for all pairs shortest paths, Information Processing Letters 105 (2008) 114–116 Tadao Takaoka, A faster algorithm for the all-pairs shortest path problem and its application, in: K.-Y. Chwa, J.I. Munro (Eds.), COCOON 2004, in: Lecture Notes in Computer Science, vol. 3106, SpringerVerlag, Berlin–Heidelberg, 2004, pp. 278–289. Uri Zwick, A slightly improved sub-cubic algorithm for the all pairs shortest paths problem with real edge lengths, Algorithmica 46 (2006) 181–192.
  • 4.       Tadao Takaoka, An O(n3 log log n / log n) time algorithm for the allpairs shortest path problem, Information Processing Letters 96(2005) 155–161. Timothy M. Chan, All-pairs shortest paths with real weights in O(n3 / log n) time, Algorithmica 50 (2008) 236–243. Yijie Han, An O(n3(log log n / log n)5/4) time algorithm for all pairs shortest paths, Algorithmica 51 (2008) 428–434. Timothy M. Chan, More algorithms for all-pairs shortest paths in weighted graphs, in: STOC’07, 2007, pp. 590–598. Yijie Han, An O(n3 log log n/ log2n) time algorithm for all pairs shortest paths, Manuscript, 2009. Akan tetapi, algoritma-algoritma di atas jauh lebih rumit dan seringkali melibatkan struktur data yang kompleks, sehingga dalam banyak kasus algoritma Floyd Warshall tetap menjadi pilihan
  • 5. TUJUAN  Tujuan Stefan Hougardy membuat paper ini adalah untuk menunjukkan bahwa untuk algoritma Floyd Warshall yang standar, terdapat contoh sederhana (dengan siklus negatif) yang bisa menyebabkan overflow
  • 6. MASUKAN  Sebuah graf berarah G dimana G boleh memiliki siklus negatif Contoh graf berarah dengan siklus negatif
  • 7. METODE PENELITIAN Algoritma Floyd Warshall Masukan: Sebuah graf berarah G dengan V(G) ={1,...,n} dan bobot c : E(G) → R Keluaran: Sebuah matriks M berukuran n x n dimana M[i, j] berisi jarak terpendek dari simpul i ke simpul j. 1. M[i,j] := ∞ ∀i ≠ j 2. M[i,i] := 0 ∀i 3. M[i,j] := c((i,j)) ∀(i,j) ∈ E(G) 4. for i := 1 to n do 5. for j := 1 to n do 6. for k := 1 to n do 7. if M[j,k] > (M[j,i]+M[i,k]) then 8. M[j,k] := M[j,i] + M[i,k] 9. for i := 1 to n do 10. if M [i,i] < 0 then return (‘graf memiliki siklus negatif’)
  • 8. Dari deskirpsi masukan diatas, kita memisalkan cmax sebagai nilai mutlak terbesar dari sebuah sisi dalam graf, atau bisa ditulis cmax := maxe ∈ E(G) {|c(e)|}  ║M║max adalah norma maksimum dari matriks M dengan mengabaikan nilai ∞,atau bisa ditulis : ║M║max := maxi,j{|M[i,j]| dimana M[i,j] ≠ ∞} 
  • 9.   Dari fakta diatas menghasilkan proposisi berikut: Jika masukan pada Algoritma Floyd Warshall tidak memiliki siklus negatif, maka ║M║max ≤ n.cmax selama eksekusi algoritma Bukti : Jika tidak ada siklus negatif, maka selama algoritma bekerja, M[i,j] ≠ ∞ berisi jarak dari simpul i ke simpul j. Dengan demikian sebuah path bisa berisi paling banyak n-1 sisi dari hasil akhir
  • 10.   Sekarang akan dibuktikan bahwa entry dari matriks M bisa membesar secara eksponensial jika masukan berisi siklus negatif, diberikan teorema berikut : Terdapat sebuah graf dimana ║M║ max = 2 · 6n-1· cmax selama eksekusi Algoritma Floyd Warshall. Bukti : misalkan ada graf dengan simpul 1…n dan himpunan sisi E = {(1,i) | 1 ≤ i ≤ n} U {(I,1) | 2 ≤ i ≤ n}. Berikan c(e) = -1 untuk semua e ∈ E Contoh matriks dan penyelesaian
  • 11.
  • 12.
  • 13. HASIL PENELITIAN  Hasil dari penelitian yang dilakukan oleh Stefan Hougardy adalah kebenaran teorema berikut : Terdapat sebuah graf dimana ║M║ max = 2 · 6n-1· cmax selama eksekusi Algoritma Floyd Warshall.